Gi¸o s Jacob Tractenberg x©y dùng mét s¬ ®å cho phÐp tÝnh mét c¸ch nhanh chãng vµ ®¬n gi¶n tÝch 2 sè nguyªn.. C¸c sè trung gian nµy ®îc gäi lµ bé d÷ liÖu Tractenberg..[r]
Trang 1Sơ đồ Tractenberg
Giáo s Jacob Tractenberg xây dựng một sơ đồ cho phép tính một cách nhanh chóng và
đơn giản tích 2 số nguyên Ví dụ, để tính 23*14 ta phải dựa trên bộ dữ liệu trung gian
12, 11 và 2 Các số trung gian này đợc gọi là bộ dữ liệu Tractenberg Từ bộ dữ liệu này, ta có thể dễ dàng suy ra tích cần tìm là 322
Để hiểu về bộ dữ liệu Tractenberg, ta xét thêm một số ví dụ:
6 => 7721728
=> 244001
=> 18136602
=> 9960
Hãy xác định cách xây dựng bộ dữ liệu Tractenberg và từ bộ dữ liệu này xác định các cặp thừa số cũng nh tích của chúng
Dữ liệu: vào từ file văn bản MULTP.INP các số của 1 bộ dữ liệu Tractenberg, số lợng
số không quá 50, ghi trên 1 hoắc nhiều dòng, các số trên 1 dòng cách nhau ít nhất 1 dấu cách
Kết quả: đa ra file văn bản MULTP.OUT thông tin dạng:
Thừa số I * Thừa số II = Tích
Mỗi dòng ứng với một kết quả khác nhau tìm đợc Các thừa số không chứa số 0 không
có nghĩa ở đầu Hai kết quả đợc coi là giống nhau, nếu chỉ khác nhau ở trình tự các thừa số trong tích
Ví dụ:
8
chu kỳ tuần hoàn
Xét hàm F xác định trên tập các số nguyên từ 1 đến M ( M 32767) Giá trị của hàm cũng nằm trong khoảng đó Cho N số nguyên x1, x2, , xN ( 1 < N 1000, 1 xi
M, i) Ngời ta xây dựng các véc tơ Vj nh sau:
V0 = x1, x2, , xN
V1 = F(X1), F(X2), , F(XN)
V2 = F(F(X1)), F(F(X2)), , F(F(XN))
V3 = F(F(F(X1))), F(F(F(X2))), , F(F(F(XN)))
Vì tập giá trị của F là hữu hạn, nên đến một lúc nào đó dãy Vi sẽ lặp lại các giá trị của mình Hãy tìm độ dài của phần trớc khi xuất hiện chu kỳ và độ dài chu kỳ tuần hoàn của dãy V
Trang 2Dữ liệu: vào từ file CYCLE.INP:
Dòng đầu tiên chứ số nguyên M,
Dòng thứ 2 chứa M số nguyên F(1), F(2), , f(M),
Dòng thứ 3 chứa số nguyên N,
Dòng thứ 4 chứa N số nguyên x1, x2, , xN
Các số trên 1 dòng cách nhau ít nhất 1 dấu cách
Kết quả: đa ra file văn bản CYCLE.OUT độ dài trớc chu trình và chu kỳ trên một
dòng, các số cách nhau ít nhất 1 dấu cách
Ví dụ:
5 6 4 3 2 5 1 1 5 4 4
1 10 8 1
D y sốãy số Ngời ta xây dựng dãy vô hạn các số A[1], A[2], theo quy tắc sau:
A[1] = 0,
Giả thiết đã xây dựng đợc dãy A[1], A[2], , A[3M] Khi đó, các số A[3M+1], A[3M+2], ,A[3M+1] sẽ nhận các giá trị tơng ứng là A[3M] + 3M, A[3M -1]+3M, , A[1]+3M, A[1]+2*3M, A[2]+2*3M, , A[3M]+2*3M
Với số nguyên N cho trớc ( 1 N 1 000 000 000) hãy xác định A[N]
Dữ liệu: vào từ file văn bản NUMBER.INP, gồm không quá 50 dòng, mỗi dòng một
số nguyên N
Kết quả: đa ra file văn bản NUMBER.OUT các số A[N] tìm đợc, mỗi số trên 1 dòng.
Ví dụ:
Trang 3Đục lỗ
Cho tờ giấy kẻ ca rô kích thớc 2N * 2N ô mỗi chiều ( 3 N 500) Ngời ta gập tờ giấy này N-3 lần, mỗi lần gập nh sau: gấp mép dới lên mép trên để mặt trớc đè lên nhau, sau đó gấp mép phải đè lên trên mép trái Nh vậy, sau mỗi lần gấp kích thớc mỗi chiều của tờ giấy giảm đi một nữa Kết quả cuối cùng ta có xếp giấy kích thớc 8*8 Bằng máy dập, ngời ta đục một số ô của xếp giấy đồng thời ở tất cả các lớp Hãy xác
định, sau khi mở lại tờ giấy, ta có bao nhiêu phần rời nhau, biết rằng 2 ô dính với nhau khi chúng có ít nhất 1 cạnh chung
Dữ liệu: vào từ file LIST.INP:
Dòng đầu tiên chứa số nguyên N,
8 dòng sau, mỗi dòng chứa 8 số 0 hoặc 1, trong đó 1 là ô bị đục Các số cách nhau
1 dấu cách
Kết quả: đa ra file LIST.OUT 1 số nguyên cho biết có bao nhiêu phần rời nhau.
Ví dụ:
0 1 0 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Trang 4Đẳng cấu
Xét một đồ thị có hớng N đỉnh với các tính chất sau:
Giữa 2 đỉnh u và v khác nhau tồn tại đúng 1 cung có hớng nối chúng,
Không tồn tại cung nối trực tiếp một đỉnh với chính nó, tức là không tồn tại đỉnh kiểu u u
Các đỉnh của đồ thị đợc đánh số từ 1 đến N P là một hoán vị của các số từ 1 tới N Hoán vị P gọi là đẳng cấu với 2 đỉnh u và v, nếu hớng của cung (u,v) trùng với hớng của cung (P(u), P(v)) trong đồ thị này
Với một đồ thị và một hoán vị P cho trớc, ta có T đồ thị đẳng cấu đối với P
Ví dụ: với N = 4 và P(1) = 2, P(2) = 4, P(3) = 3, P(4) = 1, tồn tại 4 đồ thị đẳng cấu ( T
= 4):
Yêu cầu: Với một đồ thị và một hoán vị P cho trớc, hãy xác định T mod 100.
Dữ liệu: vào từ file văn bản AUT.INP:
Dòng đầu tiên chứa số nguyên N, ( 0 < N 10 000),
Các dòng sau chứa các số nguyên P(1), P(2), ,P(N), ghi trên 1 hoặc nhiều dòng, các số trên 1 dòng cách nhau ít nhất 1 dấu cách
Kết quả: đa ra file văn bản AUT.OUT phần d của phép chia T cho 100.
Ví dụ:
2 4 3 1
Trang 5Cây nhị phân
Xét cây nhị phân Cây có thể rỗng hoặc có một số đỉnh Mỗi đỉnh của cây có không quá 2 cây con Đỉnh không thuộc một cây con nào đợc gọi là gốc Mỗi đỉnh chứa một chữ cái tiếng Anh khác nhau Cây đợc gọi là Cây nhị phân tìm kiếm ( BST), nếu nó thoả mãn điều kiện sau: với cây đã cho và cây con bất kỳ các nút ở cây con trái của nó
đều chứa chữ cái trớc chữ cái ở nút gốc và các các nút ở cây con phải đều chứa chữ cái sau chữ cái ở nút gốc Tập các chữ cái của cây có thể rỗng (nếu cây rỗng) hoặc là K chữ cái đầu tiên, nếu cây có K nút Mỗi cây BST tơng ứng với 1 xây K ký tự Xâu đợc xây dựng theo thứ tự giữa: đầu tiên là ký tự ở nút gốc, sau đó là các ký tự biểu diễn cây con trái và cuối cùng là các ký tự biểu diễn cây con phải Các xâu này đợc sắp xếp theo thứ tự từ điển và cây đợc đánh số theo thứ tự từ điển của xâu Mã (N, K) ký hiệu xâu tơng ứng với cây thứ N trong các cây BST có đúng K nút
Ví dụ, với K = 4, ta có 14 cây, tơng ứng với các xâu:
abcd, abdc, acbd, adbc, adcb, bacd, badc, cabd, cbad, dabc, dacb, dbac, dcab, dcba Mã (7, 4) là badc, tơng ứng với cây:
Yêu cầu: từ N và K cho trớc, xác định có bao nhiêu cây BST và mã (N,K), 0<K 26
Dữ liệu: vào từ file văn bản BST.INP, gồm nhiều dòng, mỗi dòng một cặp N, K, kết
thúc là dòng chứa 2 số 0 Các số trên 1 dòng cách nhau 1 dấu cách
Kết quả: đa ra file văn bản BST.OUT, mỗi dòng tơng ứng với một cặp N, K khác 0 của
dữ liệu vào, chứa số lợng cây (số nguyên ) và mã (N,K)
Ví dụ:
2 3
0 0