Một số bài toán của lý thuyết đàn hồi và lý thuyết dẻo

Các í óc giả cũng đã tìm ra điểu kiện cần và đù cho sự tòn tại duy nhát sóng Rayleigh trong môi tnrờng đan hồi đắng hướng, nén được, có biến dạng trước.. Mở đầu.[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

TẼN ĐÊ TAI: MỌT s o BAI TOẢN CUA LÝ THUYÊT ĐAN

HỔI VÀ LÝ THUYẾT DẺO

MẢ SỐ: QT-06-05

CHÙ TRÌ ĐỂ TÀI: PGS TS PHẠM CHÍ VĨNH

CÁC CÁN B ộ THAM GIA:

TH.S.BÙI THANH TÚ TH.S NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH

Đ A I H O C Q U Ố C G i A HA N O '

T RUNG TÂM T H Ô N G TIN i h ư Vl ẺN

HA NOI - 2006

- Sự phán xạ khúc xạ cùa sóng đối với biẻn có độ nhám cao.

b Nội dung nshiên cứu:

- Xây dưn.2 công thức vận tôc sóng Rayleigh trone môi trườns đàn hói đản2 hướng nén được có biến dạng trước bằns phươns pháp hàm biến phức.

-Áp dụne phương pháp bình phươns tối thiếu để tìm cơ sờ toán học của

côns thức xấp xỉ Malischevvsky

-Sử dụns phương pháp thuần nhát hoá để tìm các phươns trình thuan nhất

hoá cùa các bài toán biên với biên có độ nhám cao sử dụns các phươns trình

này để nghiên cứu bài toán phản xạ, khúc xạ của sónơ SH đối với biên có độ

nhám cao.

c Các kết quả đạt được:

Xây dựng được cỏns thức của vận tốc sóns Rayleish tron2 mói trườnt _ .2 đàn hồi đàng hướns nén được có biến dạna trước.V— <—■ <—

- Chứna minh được rằna: xấp xi Malischevvskv là xấp xi tốt nhất ciia

giá trị chính xác cùa vận tốc són° Rayleiah trona khôns 2Ían Lr [-1, 0.5] đối với

tập các khai triển Tavlor của vận tốc sóna Rayleish đến cấp ha tại các aiá trị

thuộc đoạn [-1, 0.5].

-Tìm được các hệ số phản xạ khúc xạ cùa són2 SH đối với biên có độ

nhám cao.

Các kết quả chính của đề tài được trình bày trons ba bài báo sau:

1 Phạm Chí VTnh, Nguyễn Thị Thu, Cồng thức vận tốc sóng Ravleiah tron” môi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, có biến dạn° trước, Tuyến lặp côny

trình hội nahị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ 8 Thái

Nguyên, 25-26/8/2006 trang 938-948.

Malischevvskys approximate expression for the Rayleiah \vave velocity

Ultrasonics 45 (2006), 77- 81.

với biên có độ nhám cao, Tuyến tập còng trình hội nahị khoa học toàn quốc Cơ

học Vật rán biến dạn2 lần thứ 8 Thái Nsuvên 25-26/8/2006 trana 949-959.

5 Tinh hình sử dụng kinh phí:

b.Chi tiêu:

- Hội nghị, hội thảo khoa học: 3.000.000 đ

Title of the Project: Some problems of theory of elasticity and theory

of plasticity

Code of the project: QT-06-05

Head of the research group: Ass Prof Dr Pham Chi Vinh

Participants: MSc Bui T hanh Tu

MSc Nguven Thi K hanh Linh Aims and Contents of the Project:

a Aims of the project:

- Formulas for Rayleigh wave speed in compressible isotropic elastic media with initial deformations.

- Studyinơ the mathematical base of Malischewsky"s approximation

of the Rayleioh wave velocity.

- InvestÌ2O atiri2»— the reílection and reữaction of SH \vaves to the boundaries with hiah roughness.

b Contents of the prọject:

- To find a íormula for Rayleish \vave speed in compressible isotropic elastic media \vith initial deíormations usina the complex íunction method.

- To investigate the explanation for Malischewsky's approximate íormula of the Rayleieh wave velocitv.

- To construct the homogenized equations of the boundarv problems with highlv rough boundaries by using the homogenization method.

To studv the reílection and reíraction of SH \vaves to the boundaries with hĨ2h rouahness by employing the homo2enized equations.

c Main obtained results :

- Obtained the íormula for Rayleigh wave speecl in compressible isotropic elastic media with initial deformations.

- Proved that Malischewsky's approximation can be considered as the best approximation of the Rayleish wave velocity in the interval [-1 0.5], in the sense of least squares, \vith respect to the class of Taylor e.xpansions of the Rayleigh \vave velocity up to the third povver at the values helong to [-1.0.5].

- Found the reílection and reíraction coefficients of SH waves to the boundaries with hiah roughness

Finance

b Spending:

MỞ ĐẦU

Sóng mặt Rayleigh được Lord Rayleigh phát hiện và nahiên cứu từ hơn một thế kỷ qua nãm 1885 Nó vẫn tiếp tục được nơhiên cứu và khám phá do những ÚT12 dụng to lớn của nó trona nhièu lĩnh vưc khác nhau của khoa học và

kỹ thuật như: Âm học Khoa học vật liệu Khoa học đánh 2Íá không hư hại (Nondestructive evaluation) Khoa học kiêm tra khôna hư hòng (Nondestructive Testing), Địa vật lý, Côna nahệ viễn thông,

Đối với són2 Ravleiah, vận tốc là một đại lượng cơ bàn và quan trọng Nó thu hút sự quan tàm đặc biệt của các nhà nahiên cứu trong các lĩnh \TJC khoa học ứng dụng nói trên Hơn nữa, nó còn được sử dụng đê xây dựng các hàm Green đối với các bài toán độn2 cùa bán không gian Cho nên việc tìm các công thức của vận tốc sóns Rayleish, dưới dạns hiện, là hết sức cần thiết và có ý nahĩa trẽn

cả hai phươne diện: lý thuyết lẫn ứng dụng.

Đến năm 2000 công thức chính xác hoàn chình đầu tiên cùa vận tốc sóng Rayleiah trong môi trường đàn hồi đản2 hướnơ được tìm ra bởi Malischcvvskv [10] bằn2 cách sừ dụng trực tiếp MATHEMATICA Sự chứii2 minh chặt chẽ

về mặt toán học cùa côns thức nàv đuọc hoàn thành vào nãm 2004 bới Pham và Oaden [20] Dựa vào phươns pháp chứns minh, hai tác siá Pham và Osden còn tìm đươc một cõng thức khác của vận tốc sóns Rayleioh đối với mỏi trườns đàn hồi đána hướna [20] và các CÔĨI2 thức đối với môi trườna đàn hồi dị hướna nén được [18 21] cũna như không nén được [17].

Vât liệu có biến dạns trước đã và đan2 được sừ dụng một cách hết sức rộna rãi Do vậy việc tìm ra các côn2 thức vận tốc sóna Rayleish đối với môi trườns đàn hồi có biến dạna (ứna suất) trước là hết sức cần thiết.

Mục tiêu thứ nhất của đề tài là: Tìm các cõng thức cùa vặn tóc SÓI1ÍỈ Rayleigh trong môi trường đàn hồi nén đưọc có biến dạng trước.

Do tính chất quan trọng của vận tốc sóna Rayleish, trước khi tìm ra cỏn° thức chínli xác đầu tiên (năm 2000), các nhà nahiên cứu đã tìm được một sỏ' cỏna thức xấp xì của nó dưới dạne đon giản, dễ sứ duns Gán đ á \

với mòi trường đàn hói đảnă hướng, đối với các hệ số Poisson r e [-1 0.5] dành cho các vặt liệu với hệ số Poisson ãm (auxetic materials) ngày càng được

sử dụng rộng rãi Tuy nhiên, công thức này được tìm ra chi bằng kinh nghiệm.

Do vậy mục tiêu thứ hai cùa đề tài là: Cơ sờ toán học của công thức xáp

Mục tiêu thứ ba của đề tài là:

Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên có độ nhám cao.

Các kết quà chính của đề tài được trình bàv trons ba bài báo sau:

1 Phạm Chí Vĩnh Nguyễn Thị Thu Côns thức vận tốc sóng Rayleigh trona mòi trườns đàn hồi đẳns hướna nén được, có biến dạng trước Tuyến tập côns trình hội nahị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạna lần thứ 8 Thái Nguyên 25-26/8/2006 trang 938-948.

2 Pham Chi Vinh and Peter G Malischevvsky E.xplanation for Malische\vsky’s approximate expression for the Rayleish \vave velocity Ultrasonics 45(2006) 77- 81.

3 Phạm Chí Vĩnh Đỗ Xuân Tùng Sự phàn xạ khúc xạ của sóns SH đối với biên có độ nhám cao, Tuyến tập công trình hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạns lần thứ 8 Thái Nsuyên 25-26/8/2006, trans 949-959.

CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HÒI ĐÀNG HƯỚNG, NÉN Được, CÓ

T h e o D e s t r a d e [6], c á c thiết bị só n g m ặt (sur fac e a c o u s t i c w a v e

de vices) đ ã đ ư ợ c s ử d ụ n g một c á c h rất thà nh côn g trong c ô n g n g h ệ viễn thông (te lecom munication industry)

Đối với s ó n g m ặt Rayleigh, vận tốc sóng là một đại l ư ợ n g rất qu an trọng Theo Malischevvsky [11], vận tốc sóng Rayleigh là một đại lượng cơ

bả n (a í u n d a m e n t a l quantity) đ ư ợ c c á c nhà nghiên c ứ u trong địa c h ấ n học vật iý địa cầu và các lĩnh vực khác của vật lý quan tâm.

T h e o Nkemzi [15], vi h àm G r e e n củ a nhiều bài t o á n đ ộ n g đ à n hồi đối với bán không gian có liên q u a n đ ế n nghiệm c ủ a p h ư ơ n g trình tán s ắ c củ a sóng Rayleigh, nên việc tìm công thức (dưới dạng hiển ) của vận tốc sóng Rayleigh v ừ a có ý n g hĩ a lý thuyết, v ừ a có ý nghĩa ứ n g dụng

Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng, các công thức vận tốc s óng Rayleigh đ ư ợ c tim ra bời Malischewsky [10], P h a m v à O g d e n [20] Đối với vật liệu dị h ư ớ n g , trong một số t rư ờ n g h ợ p đ ặ c biệt c ủ a vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng X , = 0, các công thức vận tốc sóng Rayleigh đ ư ợ ctìm ra bời Ting [28], D e s t r a d e [6] Đối với vật liệu t rự c h ư ớ n g không nén

đ ư ợ c , công t h ứ c v ận tốc só ng Rayleigh đ ư ợ c tim ra bởi O g d e n và P h a m [17] d ự a trên lý thuyết p h ư ơ n g trình b ậ c ba Đối với vật liệu t r ự c h ư ớ n g né n được, các công thức vận tốc sóng Rayleigh được tim ra bời Pham và

O g d e n [18,21] G ầ n đây, công t h ứ c vận tốc só ng Rayleigh trong môi tr ư ờ n g

đ àn hồi đ ẳ n g h ư ớ n g , không nén đ ư ợ c , có biến d ạ n g t r ư ớ c đ ư ợ c tìm ra bởi

P h a m [19]

Mục đích chính c ủ a c h ư ơ n g này là thiết lập cốn g t h ứ c vận tốc s ó n g Rayieigh trong môi t r ư ờ n g đ à n hồi đ ẳ n g h ư ớ n g , n é n đ ư ợ c , có biến d ạ n g

t rư ớ c bằn g c á c h s ử d ụ n g p h ư ơ n g p h á p h à m biến ph ứ c

C h ư ơ n g này gồ m 2 p h ầ n

P h ầ n 1: P h ư ơ n g trình tán s ắ c c ù a só n g Rayleigh trong môi t r ư ờ n g

đ àn hồi đ ẳ n g h ư ớ n g , n é n đ ư ợ c , có biến d ạ n g trước

Mục đích c ủ a p h ầ n n ày n h ằ m tìm ra p h ư ơ n g trình tán s ắ c c ù a só n g Rayleigh trong môi t r ư ờ n g đ à n hồi n én đ ư ợ c có biến d ạ n g trư ớc Khi môi trườ ng không có biến d ạ n g b an đầu, p h ư ơ n g trình đ ư ợ c biến đổi t ư ơ n g

đ ư ơ n g về p h ư ơ n g trình tán s ắ c thông t h ư ờ n g củ a s ó n g Rayleigh trong môi trườ ng đ àn hồi, đẳ n g h ư ớ n g n én đ ư ợ c

P h ầ n 2: Cõ ng t h ứ c vận tốc s ó n g Rayleigh trong mỏi t r ư ờ n g đ à n hồi đẳn g h ư ớ n g , nén đ ư ợ c , có biến d ạ n g trước

Trong c h ư ơ n g này, công t h ứ c vận tốc só n g Rayleigh trong môi t r ư ờ n g

đ àn hồi đ ẳ n g h ư ớ n g , n é n đ ư ợ c có biến d ạ n g t r ư ớ c đ ư ợ c tìm ra b ằ n g c á c h

áp dụng p h ư ơ n g p h á p h à m biến phức, s ử dụng công t h ứ c này tác già đâ

ch ứ n g minh đ ư ợ c điều kiện c ầ n và đủ đ ể tồn tại duy n h ấ t s ó n g Rayleigh trong môi t r ư ờ n g đ à n hồi đ ẳ n g h ư ớ n g , nén đ ư ợ c có biến d ạ n g trước

II.PHƯONG TRÌNH TẢN SẮC CÙA SÓNG RAYLEIGH TRONG MỎI TRƯỜNG ĐÀN HÒI ĐẢNG HƯỚNG, NÉN ĐƯỢC, CÓ BIÉN DẠNG TRUỚC

I C á c p h ư ơ n g t r ì n h c ơ b ả n

Xét một vật thể đ à n hồi đ ẳ n g h ư ớ n g , nén đ ư ợ c m à ờ trạng thái t ự nhiên (không có ứ n g s u ấ t) chiếm bán không gian x : <0. Giả s ử vật chịubiến d ạ n g b an đ ầu t h u ầ n nhất, t ứ c là:

c á c công t h ứ c [16, 25]:

ẽ '-w

CẢ.Ả, cW

Để đ ơ n giản trong trình bày ta s ử dụ ng c á c ký hiệu sa u:

Theo (1.13), để thoả mãn điều kiện tắt dần thì s1, s2 phải có phần ảo

âm T ừ đó ta s ẽ c h ứ n g minh đ ư ợ c rằng vận tốc s ó n g Rayleigh c phải thoả

m ãn c á c bất đ ẳ n g t h ứ c s au :

0 < pc~ < min(v a ) = •/, (1.21)

Thật vậy, đặt X = s z , từ (1.17) suy ra:

Trường hợp 1: A>0:Khi đó Xí, x 2 là các số thực, do vậy X, x 2 phải là

các số âm Vì nếu ngược lại chẳng hạn Xí >0 thi 5 = v X, là một số thực.

do vậy phần ảo của S ị bầng không, m âu thuẫn với điều kiện Im s, < 0 Do

T r ư ờ n g h ợ p 2: A<0 khi đ ó p h ư ơ n g trình (1.22) có hai ng hi ệm p h ứ c liên hợp: X ì = X 2. Do vậy:

N h ư vậy trong mọi t r ư ờ n g h ợ p ta luôn có:

Từ phương trình (1.17) ta tìm được Sì, s2 sao cho lms,<0 (i=1.2) Với mỗi s, (i=1,2) ta tìm đư ợc nghiệm riêng tương ứng cỏ dạng (1.11) trong đó các hằng số Aì, A2 được xác định bởi hệ (1.15) Một tổ hợp tuyến tính của

(1.28)

(1.29)

8

c á c nghiệm riêng n à y ch í n h là t rư ờ n g c h u y ề n dịch c ủ a s ố n g Rayleigh, tứ c là:

u = [c, exp(iks,.x2) + c , exp(/'Ấrs,x, )]exp[/(kxỊ - cot\

trong đó c 1f c 2 là c á c h ằ n g số ( đ ư ợ c xác định t ừ điều kiện biên) q 1f q 2

Ị/;5, -rỵ.ọ / ; 5; + /• ‘7: í = 0

|a i; + a , g ìs ì a \2 + a 22 < Ỉ 2 s 2 '

ỵ :a r (sl - s 2) - ỵ :a ::s s 2(qí - q 2) + a r ỵ ( q ì - q 2) - a ::ỵ q, q : ịs, - s : ) = 0 (1.37)

Sử dụng các kí hiệu: CI\\ - a u - pc~,Yị = ỵ. - p c : p - (a + ỵ ), từ (1.33)

củ a s ó n g Rayleigh trong môi t r ư ờ n g đ à n hồi đ ẳ n g h ư ớ n g n é n đ ư ợ c Nó

đ ư ợ c tìm ra đ ư ợ c bời Rayleigh [24] v à o n ă m 1885 và đ ư ợ c trình bày trong

c á c s á c h giáo trình v ề lý thuyết đ à n hồi, hay s ó n g đ à n hồi, c h ẳ n g h ạ n [1]

Ta s ẽ c h ứ n g minh với điều kiện (1.49) p h ư ơ n g trình (1.58) t ư ơ n g

đ ư ơ n g với p h ư ơ n g trình (1.47) Đó chính là điều kiện c ầ n c h ứ n g minh

Thật vậy, chia hai vế củ a (1.58) c h o yf\ - y * 0 ta có:

III.CÔNG THỨC VẬN T Ó C S Ó N G RAYLEIGH T R O N G MỒI T R Ư Ờ N G ĐÀN HÒI ĐÁNG H Ư Ớ N G , NÉN Đ Ư Ợ C , CÓ BIÉN DẠNG T R Ư Ớ C

(ft ) F ( :) liên tục trên L t ừ b ên trái và từ b ẽn phải với c á c giá trị biên là:

(1.86)

(1.87)

(1.88)

Từ (1.95) ta thấy thay cho việc giải (1.79) ta giải phương trinh P(z) = 0.

Từ (1 79) và (1.80) ta thấy F (—) = 0 do vậy từ (1.95) suy ra:

TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ t/IÊN

lo g ơ ự ) = logỊ^ — dlj = JogỊj _ iọ ự ) \ -log[l - i(pụ)\

= log l + iọ{t)\ + /arg[l -r log l - iạ>(tỳ - /arg[l - i ọ ( t ) \ (1 -98)

N h ư trên đ ã biết đ ể tìm vận tốc s ó n g Rayleigh ta phải tìm nghi ệm t h ự c

lớn h ơ n 1 c ủ a p h ư ơ n g trình b ậ c hai P(z) = 0 trone miền s u í —Ị u

M

T h e o (1.96) thì p h ư ơ n g trình P(:) = 0 có hai ngh iệm là :

ơ

4 Sóng Rayleigh trong trường hợp không có biến dạng trước

Trong t r ư ờ n g h ợ p môi t r ư ờ n g không có biến d ạ n g trư ớc , t ừ (1.113) ta

9

20

5 Điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của sóng Rayleigh

Ta s ẽ c h ử n g minh định lý về điều kiện c ầ n v à đủ đ ể tồn tại duy nhất s ó ng Rayleigh trong môi t r ư ờ n g đ à n hồi, đ ẳ n g h ư ớ n g , n én đ ư ợ c , có biến d ạn g trước

Định lý:

Rayleigh trong môi trường đàn hồi, đẳng hướng, nén được, có biến dạng trước là A>0 Khi đó vận tốc s ó n g Rayleigh đ ư ợ c tính b ằ n g công thức

t rư ờ n g đ à n hồi đ ẳ n g h ư ớ n g , nén đ ư ợ c , có biến d ạ n g t r ư ớ c ta s ẽ c h ứ n g minh A>0.

T he o n h ậ n xét (i) s ó n g Rayleigh tồn tại trong môi t r ư ờ n g đ à n hồi đẳng

Mà / s u y ra z0< 1 , trái với giả thiết z 0> 1 , do đó A>0

24

p h ư ơ n g trinh tán s ắ c đ ã đ ư ợ c biến đồi t ư ơ n g đ ư ơ n g về p h ư ơ n g trình tán

s ắ c c ủ a s ó n g Rayleigh c ủ a s ó n g trong môi t r ư ờ n g đ à n hồi đ ẳ n g h ư ớ n g né n

đ ư ợ c m à Rayleigh đ ã tìm ra n ă m 1885

S ử dụ ng p h ư ơ n g p h á p h à m biến p h ứ c t á c giả đ ã tìm ra công t h ứ c vận tốc s ó n g Rayleigh trong môi t r ư ờ n g đ à n hồi đ ẳ n g h ư ớ n g , n én đ ư ợ c , có biến dạng đầu Cô n g t h ứ c n à y c h o biết s ự phụ thuộ c củ a vận tốc s ó n g Rayleigh vào c á c th am s ố vật liệu và c á c tham s ố c ù a biến d ạ n g trước, t ứ c là c á c độ dãn /./■(/' = 1.2.3) C h o = / = Ậ =1 ta thu đ ư ợ c cô n g t h ứ c vận tốc sóng Rayleigh trong môi t r ư ờ n g đ à n hồi đ ẳ n g h ư ớ n g n én đ ư ợ c không có ứng

s uấ t trước

CHƯƠNGII: C ơ S Ở TOÁN HỌC CỦA XẤP x ỉ MALiSCHEVVSKY

I.MỞĐÀU.

Bài to án vê s ự lan truyền s ó n g Rayleigh trên bề m ặt c ủ a b án không

g i a n - đ à n hôi là m ộ t thàn h t ự u lỗi lạc và là điểm nổi bật của lí thuyết sóng Vận tốc s ó n g Rayleigh c là một đại lượng c ơ bản là mối q u a n tâm cùa c á c n hà ngh iên c ứ u về S ó n g siêu âm Địa c h ấ n học và c á c lĩnh vự c khác n h a u củ a Vật lí, Khoa h ọ c vật liệu Vận tốc s ó n g Rayleigh là nghiệm c ủ a một p h ư ơ n g trình b ậ c 3, đ ư ợ c tìm ra bời Lord Rayleigh [24]

h ơ n một thế kỷ q u a (vào n ă m 1885) Tuy nhiên, chỉ g ầ n đây một công

th ứ c chính xác, t h u ậ n tiện và đ ơ n giản c ủ a vận tốc s ó n g Rayleigh mới

đ ư ợ c tìm ra bời Malischewsky [10], [11], P h a m Chi Vinh và O g d e n [20]

S ự tồn tại một c ô n g t h ứ c hiển cho vận tốc só n g Rayleigh trong bán không gian có rất nhiều ứ n g dụng trong t h ự c tiễn, n h ư trong Địa vật lý [26] và cho nhiều ứ n g dụng k há c nh au trong việc kiểm tra tính không phá huỷ c ủ a c á c vật liệu [12]

Do tính c h ấ t q u a n trọng của v ận tốc só n g Rayleigh, trước khi tìm ra công thức chính x á c đ ầ u tiên (n ăm 2000), c á c n h à nghiên cứu đ ã tìm được một

s ố cõng thức x ấp xỉ c ủ a nó dưới d ạ n g đơn giản, d ễ s ử dụng G ầ n đây, Malischevvsky [12] đ ư a ra một côn g thức xấp xỉ của v ận tốc s ó n g Rayleigh đối với môi t rư ờ n g đ à n hồi đ ẳ n g hư ớn g, đối với c á c h ệ s ố P o i s s o n r 6 [-1, 0.5], d à n h cho c á c vật liệu với hệ s ố P oi ss on â m (auxetic materials (xem [29]) n g à y c à n g được s ử d ụn g rộng rãi Tuy nhiên, c ô n g thức này được tìm ra chỉ b ằ n g kinh nghiệm

Do vậy việc tìm ra c ơ s ờ toán học c h o công t h ứ c này là rất c ầ n thiết Chú ý rằng g ầ n đ ây R a h m a n và Micheltsch [23] đ ư a ra côn g t h ứ c xấp xỉ khác c h o đ o ạ n

[-1 0.5 ] d ự a trên x ấ p xỉ L a n cz o s [9] Mặc d ầ u vậy cô ng t h ứ c này p h ứ c tap

h ơ n côn g t h ứ c Malischewsky

2 6

II CỔNG THỨC CHỈNH XÁC CÙA VẬN TỐC SÓNG RAYLEIGH

S ử dụ ng c á c kí hiệu c ủ a Malischewsky [11], vận tốc s ó n g Rayleigh

III PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIẺU.

Như đ ã nói ờ trên, ta c ầ n tìm c á c công t h ứ c xấp xỉ c ủ a vận tốc só n g Rayleigh v(v) v ề mặt toán học, nó liên quan tới bài toán xấp xỉ của một

h àm cho trư ớc , đ ư ợ c ph á t biểu n h ư sau:

Cho X là một không gian tuyến tính định ch u ẩn và r là không gian con của A' Hãy tìm phần tử g sao cho:

ở đây \\ọ\ là kí hiệu chuẩn của ơ e X Nếu bài toán (2.3) có nghiệm thì phần tử " gọi là một xấp xỉ tốt nhất của f đối với V Nếu r là một không

gian con tuyến tính h ữ u h ạn chiều h o ặ c một t ập con c o m p a c t c ủ a X thì bài toán (2.3) cỏ một nghiệm (xem [7]) Hơn nữa, nếu A' lã một tập lồi ngặt (tức

là ịọ-ri/ <2 khi 'Ộ' = "iu\ = lvà ọ * l ị / ) và ỉ'lả không gian con tuyến tính

h ữ u h ạn chiều c ủ a A'thì bài toán (2.3) có một nghiệm duy n h ấ t (xem [7]) Vi A-(v)có thể xem n h ư một p h ầ n t ử củ a không gian I?[a,b], ( - 1 < C 7 < 6 < 0 5)

nên ta xét t r ư ờ n g h ợ p x= I? \a ,b }. Nhắc lại rằng L:\a.b) là một không gian

Cho ỉ là một tập c on c ủ a z.; [<7.ỏ] với một h àm ch o t r ư ớ c € L'\fi.b\. xác

g(v) (nếu tồn tại) làm ch o phiếm h àm (2.6) c ự c tiểu Đại lượng

/ = ■ x'ỉ(g)>'(b-a) đư ợc gọi là sai số trung bình cùa nghiệm xấp xỉ e(v)của

bài toán (2.5) trên [ct.b]. Vi là một không gian Hilbert n ê n nó lồi ngặt(xem [7]) Do vậy bài toán (2.5) có nghiệm duy nhất trong trường hợp r là

một không gian con hữu hạn chiều của L:[a.b] Tập con V e L-[a.b] được

chọn sao cho ơ(v) có dạng đơn giản Vì đa thức được xem xét là các hàm

đ ơ n giản nh ất nên ( t h ư ờ n g đ ư ợ c chọn là tập c ủ a c á c đ a t h ứ c có bậ c không lớn h ơ n /7-1 là một không gian con tuyến tính c ủ a L: [a.b] với số chiều là n Nếu r là m ột không gian con tuyến tính h ữ u h ạn chiều với c ơ s ở

trong đó lĩ (v)là c á c p h ầ n t ử cho t rư ớ c c ủ a Z.; [í7 ò ] c (r) là c á c h à m khả

vi t heo 1 trong [ỡ.ố] Khi đó phiếm hà m I(h) trờ thàn h h à m khả vi c ủ a biến

y trong k h o ản g đ óng vì vậy nó đạt giá trị nhỏ n h ấ t trong [íT/.ò], và bài toán (2.5) d ẫ n đ ến việc giải p h ư ơ n g trình (nói chung là phi tuyến):

Dấu p h ẩ y ở đ ây kí hiệu đ ạ o h à m c ấ p một

IV c ơ SỜ TOÁN HỌC CỦA CÔNG THỨC XÁP x ỉ MALISCHEVVSKY

N h ư đ ã biết, b ằ n g việc t h ử và đá nh giá sai số Malischevvsky [12 ] đã tìm

đ ư ợ c một công t h ứ c x ấ p xỉ c ủ a vận tốc s ó n g Rayleigh trong kh o ản g r e [-1.0.5] n h ư sau:

Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu được trình bày ờ trên, ta đưa

ra c ơ s ờ t oán học c ho x ấp xỉ này Do x ấp xỉ (2.10) thu đ ư ợ c b ằ n g cách khai triển Taylor h à m ,r(v), xác định bởi (2.1), đ ế n b ậ c ba tại giá trị

V = 0.12 , và bằng p h ư ơ n g pháp thử, đ á n h giá sai số nó cho thấy: trong số các đ a t h ứ c b ậ c 3 n h ậ n đ ư ợ c bằn g c ác h khai triển v(v) thàn h chuỗi Taylor đến b ậ c 3 tại c á c giá trị v e [-1.0.5], x j v ) lệch ít nhất so với hàm.YM) trong đoạn [-1.0.5], nên có thể nói rằng trong số các đa thức này, A \ ( v ) là xấp xỉ tốt nhất c ủ a h àm ,v(v) trên đ o ạ n [-1.0.5] Điều n ày có ngh ĩa là v,.(v)là

nghiệm của bài toán (2.5) trong đó: / ( v ) = A'(v), a = - \ b = 0.5 và V là một tập

cá c p h ầ n tử h ( v y)có d ạ n g sau:

với v e [-1.0.5] được xem như là một tham số ờ đây .V ■ íV) chúng ta kí hiệu là đ ạ o h à m b ậ c k c ủ a .v(y) theo y Dễ d à n g t hấy rằng, trong trư ờ ng

hợp này, I' là một tập compact của L:[-1,0.5] Các phần tử của nó có dạng

(2.11) Khi h(v.y) x á c đ ị n h từ (2.11), phiế m h àm / (/ í ) t r ở t h à n h h à m của

biến V kí hiệu là I(y) T ừ (2.1), (2.2), (2.6) và (2.11) dễ dàng thấy rằng / ( v) là một hàm khả vi theo biến V trong đoạn [-1.0.5], và nó có giá trị nhỏ nhắt trong đoạn này.

3!

<P\ (>’) = -V ■ (y).Y 4 (y)[(0.5 - V)' - (1 -r >■)' ] '126 — [x':"( v)]: [(0.5 - y ỹ - (1 - y )' ] 36

ọ Ạ y ì = \ : ( r).v : ( v)[(0.5 - y ) 5 - ( 1 - V)5] 10 — [.V - ( y ) ] : [(0.5 - v r - (1 - y ý] 4

o,(.v) = 2.v (v).v : ( v ) [ ( 0 5 - V)' - ( 1 - I ; ] 3 - [ v ( v)]: [ ( 0 5 - y ) : — (1 - V) : ]

o,(y) = 3.y( v ) x ( v)

c ụ V) = [.Y : (VU-J l.v)-r(.r ■ (V)): J(0.5-.V)4 - < 1 - v ) ’ ] / 3 6 - v : (y).Y ■(!)[( 0.5 - y ý - (1 - 1 )f ] 6

<p60 ) = [.V1 (v).v" (V) + x'-'(y)x': (y)Ị(.0.5 - v)5 + (1 -H y ỹ]/l5 -x"J(v).Y; (v)[<0.5 - VIJ - (1 - V f ] 3

ơ-(.v) = Ị.v(y >.Y ■ (_v)-r.Y : (y).v,:' (_v)J(0.5- v)4 - (1 - v)4] ’12-.Y(_v).Y : ( Vi[i0.5 - V) - l i - V) ] 3

S ử d ụ n g (2.1), (2.2) và (2.14), (2.15) c h o việc giải s ố p h ư ơ n g trình / ( v) = 0 trong k h o ả n g (-1.0.5) c h ú n g ta tìm đ ư ợ c 3 n g h i ệ m s au:

V, = - 0 2 8 1 0 0 , V, = - 0 0 4 7 8 8 , y, = 0.10644Dùng (2.12), (2.13):

V KÉT LUẬN

Bằng p h ư ơ n g p h á p bình p h ư ơ n g tối thiểu, nó đ ã chỉ ra rằng xấp xỉ Mal i schewsky có t hể x e m n h ư là x ấp xỉ tốt nhất c ủa vậ n tốc s ó n g Rayl ei gh trong đ o ạ n [-1.0.5], t h e o n g h ĩ a bình p h ư ơ n g tối thiểu, đối với c á c khai triển

h à m Taỵlor c ủ a h à m .VI v) đ ế n b ậ c 3 tại c á c giá trị V s [-1.0.5]

32

C H Ư Ơ N G III: S ự P H Ả N XẠ, K HÚ C XẠ C Ù A S Ó N G S H ĐỐI VỚI