TON BIN ÊI I SÈ
B i 1 (HSG H Nëi 2018) Cho c¡c sè thüc a, b, c thäa m¢n
a + b + c = 2018 v 1
a + b +
1
b + c +
1
c + a =
2017 2018 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P = a
b + c +
b
c + a +
c
a + b
B i 2 Cho a, b, c > 0 thäa m¢n: a + b + c +√
abc = 4 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc
Q =
q
a (4 − b) (4 − c) +
q
b (4 − c) (4 − a) +
q
c (4 − a) (4 − b)
B i 3 Cho c¡c sè thüca, b, cthäa m¢n:
a + b + c = 0
a3 + b3 + c3 = 0 Chùng minh
a2019+ b2019 + c2019 = 0
B i 4 (HSG Nam ành 2012) Cho c¡c sè thüc a, b, c æi mët kh¡c nhau v thäa m¢n: a2 − b = b2 − c = c2 − a Chùng minh r¬ng
(a + b + 1) (b + c + 1) (c + a + 1) = −1
B i 5 (HSG H T¾nh 2014) Cho c¡c sè thüc a, b, c thäa m¢n
a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc
M = a2012+ b2013 + c2014
B i 6 Cho c¡c sè thüc x, y, z thäa m¢n
x2 + 2y + 1 = y2 + 2z + 1 = z2 + 2x + 1 = 0 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc A = x2019 + y2019+ z2019
B i 7 (SP 2012, váng 2) Cho c¡c sè thüc a, b, c æi mët ph¥n bi»t v thäa m¢n:
a2(b + c) = b2(c + a) = 2012 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc A = c2(a + b)
B i 8 Cho c¡c sè thüc a, b, c æi mët kh¡c nhau v hai sè thüc x, y thäa m¢n:
a3 + ax + y = 0, b3 + bx + y = 0, c3 + cx + y = 0
Trang 2Chùng minh: a + b + c = 0.
B i 9 (SP 2017, váng 1) Gi£ sû x, y l hai sè thüc ph¥n bi»t thäa m¢n: 1
x2 + 1 +
1
y2 + 1 =
2
xy + 1 H¢y t½nh
x2 + 1 +
1
y2 + 1 +
2
xy + 1
B i 10 (SP 2015, váng 2) Cho c¡c sè thüc x, y thäa m¢n
0 < x < 1, 0 < y < 1 v x
1 − x +
y
1 − y = 1 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P = x + y +px2 − xy + y2
B i 11 (SP 2018, váng 1) Cho ph÷ìng tr¼nh: x3 − x − 1 = 0
Gi£ sû x0 l mët nghi»m cõa ph÷ìng t¼nh ¢ cho
a) Chùng minh x0 > 0
b) T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc M = x
2
0 − 1
x30 .
p 2x2
0 + 3x0 + 2
B i 12 (KHTN 2015, váng 1) Gi£ sû a, b l hai sè thüc ph¥n bi»t thäa m¢n a2 + 3a = b2 + 3b = 2 Chùng minh r¬ng
a) a + b = −3 b) a3 + b3 = −45
B i 13 (chuy¶n ngú 2005).Cho c¡c sè thüc x, y, z 6= 0 thäa m¢n:
(x − y)2+(y − z)2+(z − x)2 = (x + y − 2z)2+(y + z − 2x)2+(z + x − 2y)2 Chùng minh r¬ng x = y = z
B i 14 (KHTN 2015, váng 2) Vîi a, b, c l c¡c sè thüc thäa m¢n
(3a + 3b + 3c)3 = 24 + (3a + b − c)3 + (3b + c − a)3 + (3c + a − b)3 Chùng minh r¬ng: (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = 1
B i 15 (KHTN 2017, váng 1) vîi a, b l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n:
ab + a + b = 1, chùng minh r¬ng
a
1 + a2 + b
1 + b2 = p 1 + ab
2 (1 + a2) (1 + b2)
B i 16 (Ams 2016, chuy¶n Tin) Cho c¡c sè thüc a, b, c thäa m¢n
a + b + c 6= 0 v a3 + b3 + c3 = 3abc T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc
2
b2 + c2 + b
2
c2 + a2 + c
2
a2 + b2
Trang 3B i 17 (Ams 2016, chuy¶n To¡n) Cho c¡c sè thüc a, b, c æi mët kh¡c nhau thäa m¢n: a3 + b3 + c3 = 3abc v a, b, c 6= 0 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc
2
a2 + b2 − c2 + bc
2
b2 + c2 − a2 + ca
2
c2 + a2 − b2
B i 18 (SP 2016, váng 2) T¼m t§t c£ c¡c sè thüc x, y thäa m¢n
x2 − 4
y2 − 4
y + 8 = 4
√
x − 1 +py − 1
B i 19 (Ams 2018, chuy¶n To¡n) Vîi x, y, z l c¡c sè thüc thäa m¢n xyz = 1 v
(xy + x + 1)(yz + y + 1)(zx + z + 1) 6= 0 Chùng minh r¬ng
1
xy + x + 1 +
1
yz + y + 1 +
1
zx + z + 1 = 1
B i 20 (KHTN 2014, váng 1) Gi£ sû x, y, z l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n i·u ki»n x + y + z = xyz Chùng minh r¬ng
x
1 + x2 + 2y
1 + y2 + 3z
1 + z2 = xyz (5x + 4y + 3z)
(x + y) (y + z) (z + x)
B i 21 (KHTN 2014, váng 2) Gi£ sû x, y l nhúng sè thüc d÷ìng ph¥n bi»t thäa m¢n
y
x + y +
2y2
x2 + y2 + 4y
4
x4 + y4 + 8y
8
x8 − y8 = 4 Chùng minh r¬ng: 5y = 4x
B i 22 Cho c¡c sè thüc x, y 6= 0 °t a = x + 1
x, b = y +
1
y, c = z +
1
z Chùng minh r¬ng a2 + b2 + c2 − abc = 4
B i 23 (SP 2006, váng 1) Cho c¡c sè thüc a, b, c 6= 0 v æi mët kh¡c nhau thäa m¢n: a + b + c = 0 Chùng minh r¬ng
a
b − c +
b
c − a +
c
a − b
b − c
c − a
a − b c
= 9
B i 23 (SP 2013, váng 2) Cho c¡c sè thüc a, b, c thäa m¢n çng thíi hai ¯ng thùc
Trang 4i) (a + b)(b + c)(c + a) = abc.
ii) a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3= a3b3c3
Chùng minh abc = 0
B i 24 (SP 2014, váng 2) Gi£ sû a, b, c, x, y, z l c¡c sè thüc kh¡c 0
thäa m¢n
a
x +
b
y +
c
z = 0 v x
a +
y
b +
z
c = 1 Chùng minh r¬ng x2
a2 + y
2
b2 + z
2
c2 = 1
B i 25 (KHTN 2013, váng 1) Gi£ sû a, b, c l c¡c sè thüc kh¡c 0thäa
m¢n: (a + b) (b + c) (c + a) = 8abc Chùng minh r¬ng
a
a + b+
b
b + c+
c
c + a =
3
4+
ab (a + b) (b + c)+
bc (b + c) (c + a)+
ca (c + a) (a + b)
B i 26 (HSG Nam ành 2016) Cho c¡c sè thüc x, y, z thäa m¢n
x + y + z = 2, x2 + y2 + z2 = 18, xyz = −1 T½nh S = 1
xy + z − 1 +
1
yz + x − 1 +
1
zx + y − 1 − 1
B i 27 (thi thû KHTN 2019, váng 1) Vîi a, b, c l nhúng sè thüc,
chùng minh r¬ng
a + 2b
a − b
2b + c
b − c
+
b + 2c
b − c
2c + a
c − a
+
c + 2a
c − a
2a + b
a − b
= −3
B i 28 (thi thû KHTN 2019, váng 2) Vîi a, b l c¡c sè thüc d÷ìng
thäa m¢n a + b = 1 Chùng minh r¬ng
a
b3 − 1 +
b
a3 − 1 =
2 (ab − 2)
a2b2 + 3
B i 29 (thi thû KHTN 2019, váng 1) Cho c¡c sè thüc a, b, c æi mët
kh¡c nhau Chùng minh r¬ng
2a + b
a − b +
2b + c
b − c +
2c + a
c − a = 3+
(2a + b) (2b + c) (a − b) (b − c) +
(2b + c) (2c + a) (b − c) (c − a) +
(2c + a) (2a + b) (c − a) (a − b)
B i 30 (thi thû KHTN 2019, váng 2) Vîi a, b, c l c¡c sè thüc thäa
m¢n a + b + c = abc Chùng minh r¬ng
a2 − 1
a2 + 1 +
b2 − 1
b2 + 1 +
c2 − 1
c2 + 1 = 1 +
4 p
(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2)
Trang 5B i 31 (thi thû KHTN 2018, váng 1) Cho c¡c sè thüc a, b, c æi mët kh¡c nhau thäa m¢n(1 − ab) (1 − bc) (1 − ca) 6= 0 Chùng minh biºu thùc
M = 1 + ab
1 − ab.
b + c
b − c +
b + c
b − c.
ac + 1
ac − 1 +
ac + 1
ac − 1.
1 + ab
1 − ab luæn nhªn gi¡ trà l sè nguy¶n vîi måi a, b, c
B i 32 (thi thû KHTN 2018, váng 2) Cho c¡c sè thüc a, b, c æi mët kh¡c nhau Chùng minh biºu thùc
a − b.
c
c − b +
b
b − c.
a
a − c +
c
c − a.
b
b − a luæn nhªn gi¡ trà l sè nguy¶n vîi måi a, b, c
B i 33 (HSG TP HCM 2016) Cho hai sè thüc ph¥n bi»t a, b thäa m¢n: ab = a − b T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc
M = a
b +
b
a − ab
B i 34 Cho c¡c sè thüc a, b, c, x, y, z thäa m¢n
x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by Chùng minh 1
1 + a +
1
1 + b +
1
1 + c = 2
B i 35 Cho c¡c sè thüc a, b, c v x, y, z 6= 0 thäa m¢n
a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1 v a
x =
b
y =
c z Chùng minh: xy + yz + zx = 1
B i 36 (HSG H Nëi 2014) Cho c¡c sè thüc a, b, c 6= 0 thäa m¢n
abc = 1 v a + b + c = 1
a +
1
b +
1 c Chùng minh r¬ng trong ba sè a, b, c câ ½t nh§t mët sè b¬ng 1
B i 37 Cho c¡c sè thüc a, b, c æi mët kh¡c nhau thäa m¢n
b − c (a − b) (a − c) +
c − a (b − c) (b − a) +
a − b (ac − a) (c − b) = 2019 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc P = 2
a − b +
2
b − c +
2
c − a
B i 38 Cho c¡c sè thüc a, b, c thäa m¢n abc = 2019 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc
ab + a + 2019 +
b
bc + b + 1 +
2019c
ac + 2019c + 2019
Trang 6B i 39 (HSG Ninh B¼nh 2015) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a, b thäa m¢n
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc M = a2015+ b2015
B i 40 Cho c¡c sè thüc x, y, z thäa m¢n
x + y + z = 1, x2 + y2 + z2 = 1, x3 + y3 + z3 = 1 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc Q = x4 + y5 + z6
B i 41 Cho c¡c sè thüc a, b, c thäa m¢n: a + b + c = 0 Chùng minh r¬ng a) a5 + b5 + c5
a3 + b3 + c3
a2 + b2 + c2 2 b) 2 a7 + b7 + c7 = 7abc a4 + b4 + c4
c) a7 + b7 + c7 = 7abc a2b2 + b2c2 + c2a2
d) 10 a7 + b7 + c7 = 7 a2 + b2 + c2 a5 + b5 + c5