Các bài toán nâng cao đại số lớp 9

Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ rất tự nhiên là đánh giá làm mất các dấu căn bậc hai, chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là:... Bài 67.

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023

Chủ đề 4 Các bài toán phương trình bậc hai, định lý vi-et

Chủ đề 5 Các bài toán hệ phương trình

Chủ đề 6 Phương trình vô tỷ, hệ phương trình vô tỷ

Chủ đề 7 Toán thực tế phương trình – hệ phương trình

Chủ đề 8 Các bài toán đa thức

Không thể đánh giá bất đẳng thức trên bằng bđt Co si hay Bunhia vì sẽ thu được

đánh giá ngược chiều nhau Do đó ta hướng đến phép biến đổi tương đương Khi

đó bất đẳng thức trên tương đương với:

mất tính tổng quát ta có thể giả sử a≥ ≥b c, khi đó ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

22

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 3 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng:

c c a +a a b +b b c ≥c a+ a b+b c

Gi ải:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= =b c

Đề bài từ bài 01 đến bài 10

Bài 01 Cho a, b,c là các s ố thực dương thỏa mãn a + + = Ch b c 3 ứng mnh rằng:

.2

Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ rất tự nhiên là đánh giá làm mất các dấu

căn bậc hai, chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức

Bunhiacopxki là:

Dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= =b c

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử c là số nhỏ nhất trong ba số a b c, , Khi

đó ta cố gắng đánh giá bất đẳng thức xoay quanh biến c Áp dụng bđt Cô si ta

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

D ấu " "= x ảy ra khi 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + +

≥

−

+

b a

b a

Cho a, b, c là các s ố thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1

Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2

V ậy minP = 1006 t ại a = b = c = 2 1006

a + b ≥ ⇔ 0 a + b ≥ − 2ab ⇔ 2ab ≥ − (a + b ) ≥ − (a + b + c ) ≥ − ⇒ 18 2ab ≥ − 18 (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta được P = 3ab+bc+ca ≥ −27 ⇒ PMin = − 27 khi

a

ab b

a b

a

b

a

− +

b a b a b

a b a

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên

C đạt GTNN khi x= y Do đó, ta biến đổi như bên dưới

4 1

1 2

D ấu “=” xảy ra khi

Cho a, b, c là các s ố thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1

Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2

Áp dụng kết quả trên, ta có:

49x 2 49x 49x 14.

Dấu "=" xảy ra khi 49

x y P

Bài 036

Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1 Chứng minh rằng

5a+ + 4 5b+ + 4 5c+ ≥ 4 7

Bài 037

Cho a, b, c là các s ố thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3 + + =

Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

Cho ba s ố thực dương x y z, , th ỏa mãn x+ + =y z 3

Tìm giá tr ị lớn nhất của biểu thức 3 2

Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 31 3 1

ĐÁP ÁN TỪ BÀI 031 ĐẾN BÀI 040

Bài 031

P là biểu thức đối xứng nên ta có thể dự đoán minP = m khi a = b = c = 1

9 Ta đi tìm m

1 2009 2009

Bài 036

Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên

2 2 2

D ấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

V ậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

2

3 0; 0; 0

P= x= = =y z 1

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a+ + = b c 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy giỏ trị nhỏ nhất của M là 8 khi a= =b 1

Bài 042

Khi đó A=x2 +y 2 +16y+2x=(5-3y)2+y2+16y+2(5-3y)=10y2-20y+35

=10(y-1)2+25≥25( vì 10(y-1)2 ≥0 với mọi y)

1 10( 1) 0

y y

Vậy GTNN của A=25 khi

Khi đó A=x2 +y 2 +16y+2x=(5-3y)2+y2+16y+2(5-3y)=10y2-20y+35

=10(y-1)2+25≥25( vì 10(y-1)2 ≥0 với mọi y)

Dấu “=” xảy ra khi 2

1 10(y 1) 0 <=> y

DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 4

y x

z ; z, ta được:

z y

x + x ≥ 3y (3) và

2 2

z y

x +

2 2

x z

y + y ≥ 3z (4) dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 051 ĐẾN BÀI 060

Bài 051 Cho: a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn: a+b+c = 1 Tìm GTLN của

biểu thức: P = a b+ + b c+ + c+a

Bài 060 Cho x>0,y > th0 ỏa mãn xy=6.Tìm giá tri nh ỏ nhất của biểu thức:

 a b+ + b c+ + c a+ ≥ 3(2a+ 2b+ 2 )c Dấu đẳng thức xảy ra  a=b=c

Mà a+b+c=1 nên: Min P = 6  a=b=c = 1

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  8 khi x  y 2.

x Q

Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a= = = Theo một đánh giá quen b c 1.

a − b − c − luôn tồn tại hai

số cùng dấu và ta hoàn toàn có thể giả sử hai số đó là 2 2

b − c − Như vậy bài toán được chứng minh xong

Bài 67.Trước hết ta để ý đến đẳng thức xảy ra tại a= = =b c 1điều này có nghĩa là

khi đẳng thức xảy ra thì a−1;b−1;c−1cùng bằng 0, ngoài ra trong bất đẳng thức

chứa các đại lượng ab abc, nên ta nghĩ đến tích c a( −1)(b−1 ,) tuy nhiên ta chưa

thể khẳng định được tích đó không âm hay không nên ta sử dụng nguyên lý

Dirichlet

Theo nguyên lý Dirichlet trong ba số a−1;b−1;c−1luôn tồn tại hai số cùng dấu,

không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a−1;b−1, khi đó ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Bài 68.Sau khi nhân 2 vế cho 2 thì bất đẳng thức trên tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bài toán được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1

Bài 69 Bất đẳng thức đề tương đương với :

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1

Bài 70.Theo nguyên lý Dirichlet ta có :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 71 ĐẾN BÀI 80

Bài 71.Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a−1,b−1cùng không âm

Khi đó ta được : c a( −1)(b− ≥ ⇒1) 0 abc≥bc+ca− c

Suy ra a+ + +b c abc≥ + + +a b c ac+bc− ⇔ + + +c a b c abc≥(a+b c)( + 1)

(x−1)(y− +1) (y−1)(z− + −1) (z 1)(x− ≥ 1) 3

Hay ta cần chứng minh xy+ yz+zx≥2(x+ + y z)

Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số (x−2 ,) (y−2 ,) (z− cùng dấu 2)

Không mất tính tổng quát, giả sử (x−2)(y−2)≥ , suy ra 0

Từ hai bất đẳng thức trên ta được : 2(x+ + ≤y z) 2z+ xy+ ≤4 xy+ yz+ zx

Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Bài 74.Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số (a−1 ,) (b−1 ,) (c− cùng dấu, 1)

không mất tính tổng quát, giả sử (b−1)(c− ≥ Khi đó ta được : 1) 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1

Bài 75.Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số (a−1 ,) (b−1 ,) (c− cùng dấu, 1)

không mất tính tổng quát giả sử (a−1)(b− ≥ ⇒1) 0 abc≥ac+bc− c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Bài 77.Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số (a−1 ,) (b−1 ,) (c− cùng dấu, 1)

không mất tính tổng quát, giả sử (a−1)(b− ≥ ⇒1) 0 abc≥ac+bc− c

2 a +b +c +abc+ ≥8 2 a +b +c +ac bc c+ − + 8

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được :

Bài 78.Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số (a−1 ,) (b−1 ,) (c− cùng dấu, 1)

không mất tính tổng quát giả sử (a−1)(b− ≥ ⇒1) 0 3abc≥3ac+3bc− 3c

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1 3+ ac+3bc− ≥c 4(ab bc+ +ca)

Thật vậy , bất đẳng thức trên tương đương với :

Bài 80.Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số (a−1 ,) (b−1 ,) (c− cùng dấu, 1)

không mất tính tổng quát giả sử :

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 81 ĐẾN BÀI 90

Bài 81.Cho a,b,c là các s ố thực dương thỏa mãn abc = Ch1 ứng minh rằng :

11

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đằng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Bài 82 Trước tiên ta chứng minh 2 bổ đề sau :

Vậy bổ đề 1 được chứng minh

+Bổ đề 2: Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số (a−1 ,) (b−1 ,) (c− cùng dấu, 1)

không mất tính tổng quát, giả sử ( )( ) 1

Vậy bổ đề 2 được chứng minh

Trở lại bài toán thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Bài 83.Chú ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức thành :

Bài 84.Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy được sự phức tạp của bài toán, để có

các đánh giá hợp lý trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại 1

3

a= = =b c Bất đẳng thức có tính đối xứng nên ta sẽ đi phân tích một biểu thức rồi áp dụng

nhiên để ý là ta viết mẫu số thành 2 2 2 2

1 a− −b +a b lại trội hơn nên muốn đánh giá

vế đại lượng lớn hơn sẽ rất khó khăn Từ đó ta nghĩ đến việc tìm ra mối liên hệ

giữa tử và mẫu Để ý là ta chứng minh được ( 2)( 2) ( )2

1−a 1−b ≤ −1 ab , nên ta cần đánh giá tử số về ( )2

1 ab− hoặc ( )2

4 xy+ yz+zx − ≥1 7 xy+ yz+zx − 2

Điều này dẫn tới 9xyz≥7(xy+ yz+zx)− 2

Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh xong

Bài 85.Trước hết ta để ý đến các mẫu số, để đồng bậc ta áp dụng bất đẳng thức

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong Dấu đẳng thức xảy ra tại a= = = b c 1

Bài 86.Từ giả thiết a+ + =b c 1ta suy ra 1

27

abc≤Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

Từ bất đẳng thức quen thuộc (a+ −b c b)( + −c a c)( + − ≤a b) abcsuy ra

(1 2− a)(1 2− b)(1 2− c)≤abchay 11.4(ab bc+ +ca)≤11 1 9( + abc)

4 3 19 + abc−27a b c ≥11 1 9+ abc

Bài 87.Quan sát bất đẳng thức ta thấy có số 7, vậy thì số 7 này có ý nghĩa gì trong

bài toán Để ý đến giả thiết 2 2 2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a= = =b c 1

Bài 88.Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại a= = =b c 1.Khi đó để

b + = b+ b − b+ và cả chiều của bất dẳng thức ta

2 2

Bất đẳng thức cuối đúng, do đó bài toán được chứng minh

Bài 89.Quan sát bất đẳng thức ta thấy các đại lượng ( )2

a+ +b c ;a2 +b2 + , ta c2

cần đánh giá đại lượng abcvề ab+bc+cađể tìm xem có mối liên hệ nào với các

đại lượng trên hay không Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:

Vậy bài toán được chứng minh xong

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 91 ĐẾN BÀI 100

Bài 91.Cho a,b,c là các s ố thực dương tùy ý Chứng minh rằng :

Bài 91.Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại a= =b c.Quan sát bất đẳng

thức ta nhận thấy cần phải khử các căn bậc hai, do đó ta nghĩ đến bất đẳng thức Cô

si hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki Tuy nhiên để áp dụng các bất đẳng thức này

ta cần tạo ra tích các đại lượng Do đó ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cần

chứng minh như sau :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Bài 92.Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a= = = Quan sát bất đẳng b c 1

thức ta liên tưởng đến một đánh giá quen thuộc

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 93.Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại a= = Quan sát biểu b c

thức thứ nhất bên vế trái ta thấy cả tử và mẫu cùng chứa các đại lượng a b c; +

Tuy nhiên dưới mẫu lại là tổng nên nếu đánh giá mẫu được về tích thì có cơ hội rút

gọn được Chú ý đến chiều bất đẳng thức và dấu đẳng thức xảy ra ta có dánh giá

Bunhiacopxki dạng phân thức, chú ý đến dấu đẳng thức ta có :

Dấu bằng xảy ra khi a = =b c

Bài 94.Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại a= =b c Để có những

đánh giá hợp lý ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại thành :

Bài 96.Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là cố gắng đơn

giản hóa các đại lượng dưới dấu căn rồi tiến tới loại bỏ căn bậc hai Trước hết ta

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi

3

a= = = b c

Bài 97.Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái có ba phân thức phía sau đồng

bậc nên ta đánh giá ba phân thức đó trước Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được :

Trong biểu thức dưới dấu căn ta chú ý đến đại lượng (a+b b)( +c c)( +a)có thể

đánh giá về a+ +b c.Như vậy, theo bất đẳng thức Cô si ta được :

Ngoài ra chú ý đến đại lượng 2 2 2

a +b +c ở dưới mẫu của phân thức thứ nhất, để đánh giá được vế trái về ( )2

a+ +b c thì ta cần đánh giá đại lượng 2 2 2

Bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi

3

a= = = b c

Bài 98.B ất đẳng thức không xảy ra dấu bằng tại a b c= = , do đó ta dự đoán xảy ra

tại một biến bằng 0 và hai biến còn lại bằng nhau Thay vào bất đẳng thức ta có

dấu đẳng thức xảy ra tại 1; 0

2

a= =b c= Trong tình huống này ta nghĩ đến sắp thứ

tự các biến và đánh giá làm sao bảo toàn được dấu đẳng thức Vì vai trò của các

biến như nhau nên ta giả sử c là số nhỏ nhất trong các số a b c, , Như vậy, khi đánh

giá ta cần chú ý sao cho dấu đẳng thức xảy ra tại 1; 0

2

a= =b c = Trong các đánh giá ta cần xem vai trò của a, b như nhau so với c Từ những phân tích trên ta có các

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( , , ) ; ;0

2 2

a b c =  và các hoán vị của nó

Bài 99.Trước hết ta phân tích các giả thiết bài toán, từ min{a+b b; +c c; +a}> ta 0

suy ra được trong các tổng trên không có tổng nào bằng 0 và từ giả thiết thứ hai ta

thu được trong các biến a b c, , chỉ có thể có một số bằng 0 Do đó ta dự đoán dấu

đẳng thức xảy ra tại a=b c, =0và các hoán vị của nó Quan sát bất đẳng thức ta

nhận thấy không thể đánh giá trực tiếp tử hoặc mẫu của các biểu thức Do đó ta

hướng đến biến đổi các biểu thức trước Chú ý đến phép biến đổi

ab a b ab

+

=

+ + Để đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra ta nhân với 2.Khi

đó bất đẳng thức được viết lại thành :

Bài 100.Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng kỹ thuật đổi biến trong bất

đẳng thức Cô si Ở đây ta thực hiện đổi biến và áp dụng bất đẳng thức

Bunhiacopxki xem có thể chứng minh được không ?

Từ giả thiết ab+bc+ca=2abc Suy ra 1 1 1 2

4 x + y +z ≥12xyz x y; + y x+x z≥3xyz z x; + y z+z y≥3xyz

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 101 ĐẾN BÀI 110

Bài 101.Cho a,b là các s ố thực dương thỏa mãn ab + + = Ch a b 3 ứng minh rằng :

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với t ≥2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = b 1

Bài 102.Không mất tính tổng quát, ta giả sử : a≥ ≥b c, Khi đó ta có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

00

2

c c

Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunhiacopxki quen thuộc

Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là P, áp dụng bất đẳng thức trên ta có :

Bài 104.T ừ giả thiết ab bc ca abc+ + = ta được 3

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Bài 105.Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1

Bài 106.Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = =b c

Bài 107.Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 108.Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = Bất b c 1

đẳng thức có chứa dấu căn bậc ba nên suy nghĩ rất tự nhiên là đánh giá làm mất

căn bậc ba Tuy nhiên ta không đánh giá theo hướng đó được vì đại lượng trong

căn có dạng tích nên không thể dùng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá, ngoài ra ta

cũng không thể sử dụng phép đặt ẩn phụ vì như vậy đại lượng ngoài căn sẽ có bậc

ab bc ca

+ + + về (a+b b)( abc+c c)( +a)thì khi đó ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức Với ý tưởng như vậy và chú ý đến

dấu đẳng thức xảy ra tập trung chứng minh bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 110.Chú ý đến giả thiết 2 2 2

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 111 ĐẾN BÀI 120

Bài 111.Cho a,b,c là các s ố thực dương thỏa mãn a+ + =b c abc.Ch ứng minh

Bài 111.Dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại a= = =b c 3 Biến đổi giả thiết

= = = , khi đó giả thiết trở thành xy+ yz+zx= và b1 ất đẳng thức cần

chứng minh được viết lại thành : 2 2 2 1

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a= = =b c 3

Bài 112.Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại 1

3

a= = =b c Bất đẳng thức cần chứng minh có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân

thức, do đó ta thử tiếp cận với bất đẳng thức đó xem sao ?

Bất đẳng thức trên không đồng bậc và ta cần phải đánh giá đại lượng có bậc 4 vế

phải về đại lượng trội hơn, tuy nhiên đánh giá không khả thi, nên ta tạm dừng đánh

giá này ở đây