CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC (NHIỀU TÁC GIẢ).. BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.. cos sin.[r]

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

(NHIỀU TÁC GIẢ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG

Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản Kiến thức cơ bản

cos asin a1

Hệ quả 1 :

1 tan

cot

1 cot

tan

a

a

a a

a

a







  



Hệ quả 2 :

2

2

1

1 tan

cos

a

a

2 2

1

1 cot

sin

a

a

B TOÁN

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1 CUNG

1) a.Tính sina , tana, cota biết cosa =

4

5 và 0a900

2) b.Tính cosa, tana, cota biết

12 sin

13

a 

và

3 2

a 

  

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN

5) a.tính

E





3 sin

5

a 

6) b.Tính

F





7) c.Tính

G



8) d.Tính

B





9) e Tính

P



10) tính

Q



11) a.Tính sin cosa a, sina cosa , sin4acos4a biết sinacosa m

b.Tính tan2acot2a, tan3cot a3 biết tanacota5

ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

M   a a  a

13)

2

a N







14)

P a  a  a  a

15)

2

1 2sin

a A

a a







16)

B

17)

1 cot sin3 1 tan cos3

18)

2

cot

Q

a



19)

E







20)

F





CHỨNG MINH CÁC HẰNG

ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

21)

sina cosa2 cos2a1 tan asin2a1 cot a

22) tan2a sin2atan sin2a 2a

23)

1 sin cos



 



24)



25)

sin acos a sin a cos asin cosa a

26)

 4 4   6 6 

27)





28)

a a

a c a



29) cot2a c os2a c ot os2a c 2a

CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO X

30) a

 4 4   6 6 

A x x  x x

31) b

sin cos

c x x

x x





32) c

 8 8   6 6  4

B x c x  x x  x

33) d

 4 4 2 2  2 8 8 

C x x a a  x c x

34) D4 sin 4acos4a cos4a

35)

 8 8 

E a a  c a a

VẤN ĐỀ 2 : CUNG ( GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT (Cung

liên kết).

STT Hai cung Gọi là hai cung

1 a v a à Đối nhau

c a  a

sin(a) sina

tan(a) t ana

cot(a)cota

2   a v a à Bù nhau sin(  a) sin a

c   a  a

tan(  a) t ana

3 2 a v aà





4 a v a à Sai kém



2 a v a





Sai kém

2



Hệ quả : A , B , C là 3 góc trong 1 tam

giác

( ù)

A B   C b

sin A B sinC

c A B c C

Chứng minh rằng:

36) tan10 tan 20 tan 70 tan 800 0 0 0 1

37)

38) tan 500tan 750 tan 2300tan 2550

39)cos200cos400 sin1100sin1300

40)sin 250sin 650 sin1550sin1150

41)

sin 75 sin 65 cos165 cos205 0

42)

0 0

sin 78





Tính giá trị biểu thức :

43)

0

tan 36

c A

c





44)

 0 0 0

0

ot17 ot73 os316

c

c



45)C  cot 5 cot10 cot 80 cot 850 0 0 0 46)

47)

E

c







Đơn giản biểu thức sau :

48)

F     c         

49)

G c            

50)

2

H    c    c     

VẤN ĐỀ 3 : CÔNG THỨC

CỘNG

KIẾN THỨC CƠ BẢN

c a b  a b a b

c a b c a b a b

sin(a b ) sin cos a b c a os sinb

sin(a b ) sin cos a b c a os sinb

1 tan tan

a b

a b

a b





1 tan tan

a b

a b

a b





Ta có :

2 2

2 2

2 2

E a x b x

a b c x



Áp dụng kết quả trên ta có :

4

a a c a 

4

a a c a

4

a a a

4

a a a  

Rút gọn các biểu thức sau :

51) A c os54 os40c 0 cos36 os860c 0

52) B sin 56 sin 40 0 sin 34 sin 860 0

53)

1 tan 64 tan 356



54)

D a c a  a c a

55)

E   c  

56)

c a b a b F

a b a b



57)

5

5

G



58)

tan

a b

a b a b



59)

K

a a







Chứng minh rằng :

60)

a b

a b

b a





61)

tan(a b ) tan a tanbtan tan tan(a b a b )

62)

a b

a b

c a b c a b



63)

sin (a b ) sin a sin b2sin sin os(a b c a b )

64) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :

65)

A c a x c x a x c a x

66)

B c x a x c a x c a x

67)

 6 6   4 4 

C a a  a a

Các bài toán liên quan đến tam giác :

68) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC (không vuông) ta đều có : 69)

t anA tan BtanCt anA.tan tanB C

70) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có :

72) Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức :

73) M t anA+ tanBtanC và xác định

hình tính của tam giác ABC trong

trường hợp này

74)

75) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và

HA

m m

tan , tanB C theo m và chứng minh

rằng :

m





76) Cho tam giác ABC thỏa mãn :

2

tanA2 tanBtan A.tan B CMR

tam giác ABC cân

Các bài toán liên quan

khác

77) Cho x và y là hai số thay đổi và là

nghiệm đúng của phương trình

2 2 1

giá trị lớn nhất của phương trình

P x y 

78) Cho bốn số thay đổi a, b, x, y thỏa

: 3 2 3 ax  by2 3

79) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

80) Cho hai số x và y thay đổi sao cho

và nhỏ nhất của biểu thức :

P x y

VẤN ĐỀ 4 : CÔNG THỨC NHÂN

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Công thức nhân đôi

sin 2a2sin cosa a

2 2

1 2sin

c a a

c a c a

a









2

2 tan tan 2

1 tan

a a

a





Hệ quả

a

t 

, ta có :

2 2 2

2

2 sin

1 1 cos

1 2 tan

1

t a t t a t t a t















Công thức nhân 3

3 3

3 3

tan 3

1 3tan

a

a







81) Tính sin 2 , os2 , tan 2a c a a biết

a v  a 

82) Tính

4

a a v  a

Tính giá trị biểu thức sau:

83) A sin24 osc 24 osc 12 osc 6



84) B sin12 osc 12 os osc 6 c 3



85)C 2cos 752 01

86) D  1 2sin 752 0

 os150 sin150  os150 sin150

87)

 os750 sin 750  os750 sin 750

88)

2

tan

8

1 tan

8

G









89)

2 0 0

1 cot 105

cot 75

H  

Chứng minh rằng :

90)

4

a

a a a a

91)

1

a a



 



92)

2

tan 2

a a





93)

2 tan 2

a

94)

2

a

95)

2

tan







96)

2

a

a   

97)

sin 3a4sin sin(60a a).sin(60  a)

98)

c a c a c a c  a

99)

tan3atan tan(60a a).tan(60  a)

Tính giá trị biểu thức sau :

101)

sin

3 2cos

a M

a



a



102)

N





2 tan

5

a 

103)

a c a P





1 tan

a



VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH

TỔNG

1

2

a b c a b c a b

1

2

a b c a b  c a b

1

2

a c b a b  a b

1

2

c a b a b  a b

Biến đổi các biểu thức sau thành tổng :

104) sin(a b ).sin(a b )

106) cos cos cosa b c

Chứng minh các đẳng thức sau:

107)

sin sin(a b c ) sin sin( b c a ) sin sin( c a b ) 0

108)

c b c b c c c a c a 

109)

a   c   

4

A B C CMR c A c B c C

VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

KIẾN THỨC CƠ BẢN

cos cos 2cos cos

a b a b

a b  

a b a b

a b  

a b a b

a b  c 

a b a b

a b c  

Hệ quả :

4

a a c a 

4

a a c a

4

a b a 

4

a b a  

sin

cos cos

a b

a b

a b



sin

cos cos

a b

a b

a b



sin

sin sin

a b

a b

a b



sin

sin sin

a b

a b

a b



Biến đổi các biểu thức sau về dạng

tích :

111) sin 700 sin 200 sin 500

112) cos440 cos220 2 os79c 0

113) sinxsin 2xsin 3x

114) 1 cos x c os2x

Đơn giản các biểu thức sau:

115)

a b a c a b c a

A

a b a c a b c a

116)

x c x B



Chứng minh rằng : 117) cos850cos350 cos250 0

118) cos1300cos1100 cos100 0

VẤN ĐỀ 7 : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC TRONG

TAM GIÁC

sin(A B ) sin C

A B C

c





A B C



Bất đẳng thức côsi

2

2

a b

a b  

a a  a n a a a

Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY

a2b2 c2 d2 a c b d  2

hay a c b d   a2b2 c2d2

Định lí hàm số sin

2

R

A B C 

Định lí hàm số cosin

2 2 2

2 2 2

2 cos cos

2

a b c bc A

b c a

A

bc

Cho tam giác ABC biến đổi các biểu

thức sau về dạng tích :

120) sin 2Asin 2Bsin 2C

A , B , C là 3 góc của 1 tam giác

Chứng minh rằng :

122)

A B C 

123)

cos 2Acos 2Bcos 2C 1 4cos cos cosA B C

124)

c A c B c C   A B C

125)

sin Asin Bsin C 2 2cos cos cosA B C

126)

tanA+ tanBtanC t anA.tan tanB C

127)

128)

A B C c c c

129)

sin 6Asin 6Bsin 6C4sin 3 sin 3 sin 3A B C

C B

thì tam giác ABC là 1 tam giác cân

biết : cos2A c os2B c os2C1

và các góc thỏa mãn hệ thức :

2 2

B a c



tam giác ABC cân

lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn

hệ thức :

2

A B C 

Tính các góc A, B , C

cân khi và chỉ khi :

a B b A a A b B

ABC có :

a A b B c C p

a B b C c A R



g đó p là nửa chu vi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) Thì tam giác ABC là tam giác đều

điều kiện :

2 cosa A b cosB c cosC   a b c

Thì tam giác ABC là tam giác đều

VẤN ĐỀ 8 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CƠ BẢN

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Loại 1 : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Phương trình

cosX c os

t anX tan









Giải các phương trình sau :

138)

1 sin

2

x 

140)

3 cos

2

x 

141)

3 sin 2

2

x 

142)

3 cos 2

x 

143)

3 sin 2

x 

2

x  

146)

3

x 

147)

3

x 

148)

2 1

tan

3

x 

149) 2 tan sinx x tanx0

150)

2

151) 3sin 22 x7 cos 2x 3 0

153) cos 2x 5sinx 3 0

154) cos 2xcosx 1 0

155) 6sin 32 xcos12x14

156) 4sin4x12cos2x7

157) 2cos2 x 3cos 2x4

158) 5sin2x2cos 2x2

159) sin 2xsinx0

x

x

162)

2

4

x 

163) 7 tanx 4cotx12

164) cot2x 3 1 cot  x 3 0

2 2

1 tan

x

x



167)

c   x c x   x 

168) 2 tanx 1 tan2 x

169) tanxtan 2x0

170) tanx 3 cotx 1 3 0

172)

2

2

tan

x

x







173)

1

sin 2

x

174)

2

175) 3cos 2x4cos3x cos3x0

177) tanxtan 2xsin 3 cosx x

178)

 0  0 4cos2

x



179) sin 2 sin 6x xsin 3 sin 5x x

180) sin sin 7x xsin 3 sin 5x x

181) sin 5 sin 3x xsin 9 sin 7x x

182)

cos os3x c x sin 2 sin 6x x sin 4 sin 6x x0

183)

sin 4 sin 5x xsin 4 sin 3x x sin 2 sinx x0

184) sin 5xsin 3xsin 4x

185) sinxsin 2xsin 3x0

186) cosxcos 3x2cos5x0

187) cos2 x sin2xsin 3x c os4x

188)

cos 22x3cos18x3cos14x c os10x0

189)

23

2

x

c x x

190) 8cos 2 sin 2 os4x x c x  2

191)

2

x x x

192)

sin 3xsin 4xsin 5xsin 6x

193) sin 22 xsin 42 xsin 62 x

194)

c x c x c x c x

195) sin6xcos6x4cos 22 x

196)

2 tan x3 tanx2cot x3cotx 2 0

197)

2 tan x 3tanx2cot x3cotx 3 0

Tính giá trị gần đúng các nghiệm

phương trình sau:

198)

2 sin 2

x 

,

3 6

 



199)

2 os

x

c 

trong khoảng

2 , 4 

200)

3

5

x 



trong khoảng

7 ,

,



201)

trong đoạn x0, 2

202)

cos

x

x

0, 2 

203)

x x

c x





204)

4sin cos

x x



GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG

TRÌNH:

205)

cos 2x 4m1 sinx 2m0

206)

cos 2x 2m 3 cosx m 1 0

để phương trình sau có 1 và chỉ 1 nghiệm x0,

2m1 cos 2 x5cosx m  3 0

trình sau có nghiệm

3 ,

2 2

x  

cos 2x 2m1 cosx m  1 0

trình sau có nghiệm

0, 12

x   

cos 4x c os x m sin x

LOẠI 2

Loại 2 : PHƯƠNG TRÌNH acosx b sinx c a ( 2b2 0)

Cách giải :

2 2 2 2 2 2

a x b x c

2 2

2 2

2 2

os

sin

a c

x c x

b

a b

a b

















c x

a b



Giải các phương trình sau :

212)

6

2

x x

213) cos3x sin 3x1

214) cos5xsin 5x1

215)

9

2

x x

216) 3sin 2x2 cos 2x3

217) 2sin 2x3cos 2x 13 sin 4x

219) cos 2 x150 sin 2 x150 1

221) 2 sin 2x3cos 2x4

222)

 0  0

223)

5 2

224) 2sin2x 3 sin 2x3

225) 2sin 22 x 3 sin 4x3

226)

sin 8x c os6x 3 sin 6x c os8x

227)

8cos

x

228)

3

x x   x

229)

3 2

230)

6

x x  x  

231)

5

232)

cos

x

233)

2

x x x

trình :

cos3sin 3x2 3 osc 3sin 2xsin cos 3 0

trình :

2sin cos2 1x2  3 sinx2 osc 2 3 3 sin  0

236)

sin 4x3sin 4 os4x c x 4 os 4c x0

trong khoảng

0, 2

x   

Giải và biện luận phương trình theo tham số m :

rằng phương trình trên luôn có nghiệm

m 2 os2c x2 sin cosm x x3m2

Giải và biện luận phương trình theo tham số m

239) Tìm các giá trị của

3 , 4

x   

thỏa mãn phương trình sau với mọi m:

2sin sin2 2cos os2 cos sin

m x m x m x mc x x x

có nghiệm :

cos

m

x

LOẠI 3 Phương trình chứa tổng và tích của sinx và cosx :A(sinx+cosx)

+Bsinxcosx+C=0 (1)

4

t x x c x   t 

2

2

1 2sin cos

1 sin cos

2

t

x x



Thay vào phương trình (1), ta có :

2 1

0 2

t

At B  C

Giải các phương trình sau :

241) 3 sin xcosx sin 2x 3 0

242) sinxcosx 4sin cosx x1 0

243) 2sin 2x 3 3 sin xcosx 8 0

244) 2 sin xcosx3sin 2x2

245)

1 2 sin  xcosx sin 2x 1 2 0

246) 2 sin4x 3sin2x  cos2x 3 0 

247) sin 2x 4 cos x sinx 4 0

248) 5sin 2x12 sin x cosx12 0

249) 1 2 1 sin   x cosxsin 2x

250)

4

x x  

251)

 3 3   

2 sin x c os x sin 2 sinx xcosx  2

252)

253)

4 sin x c os x  3sin 2x 4 sinxcosx 0

254)

3

sin cos

255)

9

256)

sin 2x c os2x sin 23 x c os 23 x 1

257)

3

3sin 2x 4sin 2x 2 3 sin 3x c os3x  6 1 0 

sin 2x 2 a2 sinxcosx 2a 3 0

trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng

0, 2



trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng

0, 2



trình có 2 nghiệm trong khoảng

0, 2



2.sin 2x 2m 2 sinxcosx 2m 1 0

Xác định m để phương trình có

LOẠI 4 :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Cách 1 : Bước 1 : kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm đúng của phương trình hay không ?

Cách 2 :

Dùng công thức :

2

2

os

2

sin

2 1

2

c x

c x

c x x



























Để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x (Acos2x + Bsin2x =

C)

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU :

260) sin2x10sin cosx x21cos2 x0

261) sin2x 2sin cosx x 3cos2x0

262) 6sin2xsin cosx x cos2x2

263) sin 2x 2sin2x2cos 2x

264)

2sin 2x 3sin 2 cos 2x xcos 2x2

265) cos2 x 3sin cosx x 1 0

266) cos2 x sin2x 3 sin 2x1

267)

2

x x c x x

268)

1

269) sin6x c os6x 3sin cosx x0

271)

272)

273)

x x  x x    x c x 

274)

275)

3sin x 3 3 sin cosx x 3 osc x0

276)

c     c  c     c

tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình :

sin xsin sin 2x x 3 osc x0 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

VẤN ĐỀ 9 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

c x m x m  

3 2

m 

3 ,

2 2

x   

sin xcos xa sin 2x

Xác định a để phương trình có nghiệm

2

3

Với giá trị nào của m thì phương trình

có nghiệm

sin 2 x   sin 3x  a sinx

a) Giải phương trình khi a = 1

b) Tìm a để phương trình có ít nhất 1

1 sin x 1 sin xkcosx

a) Giải phương trình với k = 2

b) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát

cos

x

Xác

định a để phương trình có nhiều hơn 1

nghiệm trong khoảng

0, 2



điều kiện :

 

2

VẤN ĐỀ 10 - MỘT SỐ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG

GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

4cos x3tan x 4 3 cosx2 3 tanx 4 0

c x  c x   x

x  x xy 

cos4x c os2x2  5 sin 3x

15 24

cos xsin x1

tan xtan ycot x y 1

vô nghiệm :

sinx 2sin 2x sin 3x2 2

4

x y x y 

4

x x x x

x  x 

VẤN ĐỀ 11 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

4

4











1

2 3

2









x y

x y







2 2









x x m







nghiệm

nghiệm :

1

2

x y









x y z 







   



y x







2







309) Tìm m để hệ phương trình

1

2

x y

c x c y m







x y m





nghiệm Tìm nghiệm đó

cos

m

x

VẤN ĐỀ 12 - BẤT PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Giải các bất phương trình lượng giác

sau:

312)

3

313) sinxsin 2x0



316)

 3 4 sin 2  x cos 4x 1 2 3 0

317)

2

x

x     

318) cos 4x 3 cos 2x 2 0

321) 2 osc 4x 7 cos2x 3 0

322) 3tan2 x  1 0 323)

2

1

324)

2

1 tan

4 tan 2

x

x x



325) tan 6xtan 3x0

sao cho phương trình sau có nghiệm :

2 2 2sin 1 2sin 1 0

trình sau vô nghiệm :

2 2sin 1 6sin2 sin 1 0

sinxsin 3xsin 2x

8

c xc x x x

0

x c x

x c x



phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x:

cos

0

m x m m



 