chuyên đề về lương giác, các bài tập lượng giác hay

PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác... PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thông thường để giải một phương trình lượng giác, ta thường dùng các phém biến đổi lượng g

Trang 2

Đồ thị

Dạng 1 Tìm tçp xác định của hàm sö

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho f(x) có nghĩa

 y f ( x )

g( x )

 có nghĩa  g( x ) 0

 y2n f ( x ) có nghĩa  f ( x ) 0, ( n  )

 y2n 1 f ( x ) có nghĩa  f(x) có nghĩa ( n )

 ytan f ( x ) có nghĩa  cos f(x)  0  f ( x ) k ,( k )

2

 ycot f ( x ) có nghĩa  sin f(x)  0  f ( x )  k ,( k  )

B BÀI TẬP MẪU

VD 1.1 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) y = 1 cosx





1 sin x

1 cosx c) y =

   

 

 

tan x

3 d) y =

   

 

 

cot x

6

Trang 3

C BÀI TẬP CƠ BẢN

1.1 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) y = sin3x b) y = cos x

2 c) y =

3

2x

x 1 e) y = 3 sin x f) y =    

 

 

tan 2x

3 g) y = cos x h) y = cot

   

 

 2x  4

D BÀI TẬP NÂNG CAO

1.2 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) y = sin 



1 x

1 x b) y =



sin x 2 cosx 1 c) y = 

cot x

x 3

e) y = sin



2

1

x 1 f) y = 

2

3 sin x cos x

1.3 Tìm m để hàm số sau xác định  x  R: y  sin x cos x 2msin x cos x4  4 

1.4 Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y  2 tan x cos x  2  b) y  sin 2x s inx 3  

Dạng 2 Tìm giá trị lớn nhät – Giá trị nhỏ nhät của hàm sö lượng giác

 Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác x  :

0sin x1 , 2

0co s x1

 0 sin x 1 , 0 co s x 1  0 s inx1 , 0 co s x1 (khi sinx ≥ 0, cosx ≥ 0)

 Sử dụng các tính chất của bắt đẳng thức:

 



 

a b

a c

b c

 a    b a c b c (cộng 2 vế với c)  a b a c b d

c d

 

   



 

 a b a.cb.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a b a.cb.c (nếu c < 0: đổi chiều)

c d 0

  



1 1

a b 0

a b

   

 a  b 0 a 2nb 2n ( n * )  a b a 2n 1 b 2n 1 ( n * )

 Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Cô-si, BCS, …

VD 1.2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

Trang 4

a) y = 2 cosx 1 b) y = 3 – 2sinx c) y = 2cos    

 

 x 

3 + 3 d) y =  

2

1 sin(x ) 1

1.5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y = 1 4 cos x  2

3 b) y = 4sin x c) y = 2(1 cosx) 1   d) y = cos2x + 2cos2x e) y = 2 + 3cosx f) y = 3 – 4sin2xcos2x

g) y = 2sin2x – cos2x h) y = 3 – 2  sinx  i) y = 3 – 4sinx

j) y = 3sin    

 

 x 6  – 2 k)y = 

 

 x 3 

1.6 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

a) y  s inx  cos x b) ysinx(1 2cos 2x)

1.7 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ycot x4 cot y 2 tan x tan y 24  2 2 

Dạng 3 Xét tính chẵn – lẻ của hàm sö

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D:

a) Hàm số chẵn trên D nếu x D x D

f ( x ) f ( x )

    



  



Trang 5

b) Hàm số lẻ trên D nếu x D x D

f ( x ) f ( x )

    



   



c) Hàm số không chẵn, không lẻ trên D nếu: 0 0

x D : f ( x ) f ( x ) f ( x )

    





 Nhận xét:  Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung

 Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

( a b ) ( ba ) , n

( a b )    ( b a )  , n

VD 1.3 Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:

a) y = x – sinx b) y = 3sinx – 2 c) y = sinx – cosx

d) y = sinxcosx + tanx e) y = cos x

x f) y = 1 cosx

Trang 6

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.8 Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:

a) y = 



tan x cot x





1 cosx

1 cosx c) y = x

3 sin2x d) y = cos3x e) y = tan   

 

 x 



3

x sin x cos2x

y

s inx t anx



 h)

6

y





Dạng 4 Tính tuãn hoàn của hàm sö

Sử dụng định nghĩa về tính tuần hoàn của hàm số:

Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu có số T  0 sao cho x  D, ta có: x T D,x T D và f ( x T )  f ( x )

Nếu số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T.

B BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.9 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau (a  0):

a) y = sin(ax + b) b) y = cos(ax + b) c) y = tan(ax + b) d) y = cot(ax + b)

1.10 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số:

a) y = cos3x.(1 + cosx) b) ysin x6 cos x6 c) ysin(x )2

Dạng 5 Sử dụng đõ thị

 Vẽ đồ thị hàm số trên miền đã chỉ ra

 Dựa vào đồ thị xác định giá tị cần tìm

Trang 7

VD 1.4 Hãy xác định giá trị của x trên đoạn    

 

 

3

;

2 để hàm số y = tanx nhận giá trị:

a) bằng 0 b) bằng 1 c) dương d) âm

VD 1.5 Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn       3 ; 2  2 để hàm số đó: a) Nhận giá trị bằng – 1 b) Nhận giá trị âm

B BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.11 Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx = 1

2

1.12 Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng:

  

   

 

1

3

J ;

2 ,

   

   

 

2

J ;

4 4 ,

   

  

3

31 33

4 4 ,

   

    

4

452 610

3 4 Hỏi hàm nào trong ba hàm trên đồng biến trên khoảng J1? Trên khoảng J2? Trên khoảng

J3? Trên khoảng J4? (Trả lời bằng cách lập bảng biến thiên)

1.13 Trong mỗi khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao?

a) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch biến

Trang 8

b) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin2x đồng biến thì hàm số y = cos2

1.16 CMR: sin2(x + k  ) = sin2x với mọi số nguyên k Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x

Trang 9

Vấn đề 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 1 Phương trình cơ bản

 Chú ý:

 Khi gặp dấu trừ ở trước thì:

– sinx = sin(– x) – cosx = cos( – x) – tanx = tan(– x) – cotx = cot(– x)

Trang 10

 Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0

)

VD 1.6 Giải các phương trình sau:

a) sinx = – 3

2 b) cos(3x –



6) = –

2

2 c) tan(3x – 30

0

) = – 1

d)  

3 cot x

3 3 e) sinx =

1

4 f) cos(x + 3) =

1 3

Trang 11

C BÀI TẬP CƠ BẢN 1.18 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: a) sin(x – 600) = 1 2 b) sin2x = – 1 c) cos(x – 2) = 2 5 d)           1 cos 2x 3 2 e) cos(2x + 500) = 1 2 f)          cot 4x 3 6 g)           x tan tan 2 4 8 h)          0 x 3 cot 20 3 3 i) tan2x = tan  2 7 j) sin4x = 2 3 k) cos(3x – 45 0 ) = 3 2 l) sin3x = – 3 2 m) sin(2x – 150) = 2 2 n)          0 x 1 sin 10 2 2 o) sin2x = 3 2 Dạng 2 Phương trình bçc nhät theo một hàm sö lượng giác A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác là các phương trình có dạng: asinx + b = 0 ; acosx + b = 0 ; atanx + b = 0 ; acotx + b = 0  Phương pháp giải: Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản. B BÀI TẬP MẪU VD 1.7 Giải các phương trình sau: a) 3sin 4x  2 b) 2sin 2x 1 0   c) 3 cot x 1 0 3          d) 0 2cos(x 50 )   3 e) 2cosx – 3 = 0 f) 3tan3x – 3 = 0

Trang 12

VD 1.8 Giải các phương trình sau: a) cos2x cot        x  4 = 0 b)             x x cot 1 cot 1 0 3 2

c) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0 d) (cotx + 1) sin3x = 0

VD 1.9 Giải các phương trình sau: a) cos3x – sin2x = 0 b) tanx tan2x = – 1

Trang 13

1.19 Giải các phương trình sau:

a) sin2x cotx = 0 b) tan(x – 300).cos(2x – 1500) = 0

c) (2cos2x – 1)(2sin2x – 3) = 0 d) (3tanx + 3)(2sinx – 1) = 0

e) tan(2x + 600)cos(x + 750) = 0 f) (2 + cosx)(3cos2x – 1) = 0

g) (sinx + 1)(2cos2x – 2 ) = 0 h) (sin2x – 1)(cosx + 1) = 0

C BÀI TẬP NÂNG CAO

a) sin3x = cos2x b) cosx = – sin2x

c) sin3x + sin5x = 0 d) cot2x cot3x = 1

e) sinx – cos(x + 600) = 0 f) cos(x – 100) + sinx = 0

i) tan3x + tanx = 0 f) tan3x + tan(2x – 450) = 0

k) sin2x + cos3x = 0 l) tanx tan3x = 1

m) cot2x.cot(x + 450) = 1 n) tan(3x + 2) + cot2x = 0

a) sin2x = 1

4 b) 4cos

2

x – 3 = 0 c) sin23x – cos2x = 0 d) sin2(x – 450) = cos2x e) 8cos3x – 1 = 0 f) tan2(x + 1) = 3

Dạng 3 Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên khoản, đoạn cho trước

 Bước 1 Giải phương trình lượng giác đã cho và tìm các họ nghiệm (nếu có)

 Bước 2 Với mỗi họ nghiệm tìm được, cho thuộc khoản, đoạn đề cho và tìm k (k  Z)

 Bước 3 Ứng với mỗi giá trị k vừa tìm được, thế vào họ nghiệm tìm nghiện tương ứng.

4 3 với 0 < x < 

Trang 14

a) cos(2x + 10 = 1

2 với –  < x <  b)

     

 

 

1 sin 2x

3 2 với 0 < x < 2 

c) sinx = – 1

2 với –  < x < 0 d) cos(x – 2) =

3

2 với x  [0 ;  ] e) tan(x – 100) = 1 với – 150 < x < 150 f) sin 

x 

4 = 1 với x  [  ; 2  ]

1.23 Tìm nghiệm thuộc đoạn [0 ; 14] của phương trình : cos3x  4cos 2x 3cos x    4 0

Trang 15

1.24 Tính giá trị của x ; 0

2



 

   

  thỏa mãn phương trình:

sin 2x cos2x cot x

2 sin 2x







1.25 Tìm nghiệm thuộc (0 ; 2  ) của phương trình :     

cos3x sin3x

Dạng 4 Phương trình bçc hai, bçc 3 đöi với một hàm sö lượng giác

 Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a  0):

 asin 2 u + bsinu + c = 0 (1)  acos 2 u + bcosu + c = 0 (1)

Điều kiện: – 1  t  1 Điều kiện: – 1  t  1

(1)  at 2 + bt + c = 0… (1)  at 2 + bt + c = 0…

 atan 2 u + btanu + c = 0 (1)  acot 2 u + bcotu + c = 0 (1)

Điều kiện: cosu  0 Điều kiện: sinu  0

(1)  at 2 + bt + c = 0… (1)  at 2 + bt + c = 0…

a) 2sin x 3sinx 2 02    b) 3cot x 3cot x 2 02   

c) 3cos x 5cosx 2 02    d) 3tan x 2 3 tanx + 1 = 02 

Trang 16

a) 2cos2x + 2 cosx – 2 = 0 b) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

c) 6sin2x – 5sinx – 4 = 0 d) 3 tan x (12   3)tan x 1 0 

a) sin2x – 2cosx + 2 = 0 b) cos2x + sinx + 1 = 0

c) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0 d) 2cos2x – 2( 3 + 1)cosx + 3 + 2 = 0 e) cos2x + 9cosx + 5 = 0 f) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 g) cot4x – 4cot2x + 3 = 0 h) cos2(x + 

3 ) + 4cos(6 x



) = 5 2

i) tan2x – 4

1

k) t anx 2cot x 1 0    l) cos4x – 3 



2 2

1 tan x

1 tan x + 2 = 0

a) tan3x – 3tan2x – 2tanx + 4 = 0 b) 4sin3x + 4sin2x – 3sinx = 3

2cos x

Dạng 5 Phương trình bçc nhät đöi với sinx và cosx (Phương trình cổ điển)

asinx + bcosx = c (1) với a, b, c  R, và a 2 + b 2 0

 Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a 2

Trang 17

Vì    

a b a b nên đặt cos = 2  2

a

a b , sin = 2 2

b

a b Khi đó ta được: sin(x + ) =



c

a b rồi giải như phương trình cơ bản

 Chú ý: Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:

sinx  cosx = 2sin(x  4 ) =  2cos(x

4



)

a) sinx  3 cosx 1  b) cosx – 3sinx = 2

c) 3sin3x – 4cos3x = 5 d) 2sin x 2cosx  2 0

Trang 18

a) sinx – cosx = 6

2 b) 3cosx + sinx = – 2 c) sin4x + 3cos4x = 3 d) 2sinx – 9cosx = 85 e) 3sinx + 3cosx = 1 f) 2cosx – 3sinx + 2 = 0

g) cosx + 4sinx + 1 = 0 h) 2sin2x + 3cos2x = 4 i) cos(2x–150) + sin(2x–150) = –1

j) sin2x – 3cos2x = 1 k) 5cos2x + 12sin2x = 13 l) 2sinx + 2 cosx = 2

a) 2sin22x + 3sin4x = – 3 b) cosx + 3sinx = 2 cos x

3

 

c) 2sin x

4

 



  + sin x

4

 



  =

3 2

2 d) 2cos x 6

 



  + 3cos

   

 x 

3 =

5 2 2 e) sin2x + sin2x = 1

2 f) 2sin

2

x + 3sin2x = 3 g) 3cos2x – sin2x – sin2x = 0 h) 4sinxcosx = 13sin4x + 3cos2x

i) 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx) j) 2sin17x + 3cos5x + sin5x = 0

k) cosx – 3sinx = 2cos3x l) sin9x + 3cos7x = sin7x + 3cos9x m) sin5x + cos5x = 2cos13x n) 8sin2x

2 – 3sinx – 4 = 0

1 cosx 2











1.32 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:

a) y = 2sinx + 3cosx + 1 c) y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3

b) y = sin2x + cos2x – 2 d) y sin x cosx 1

sin x cosx 3



Dạng 6 Phương trình thuãn nhät bçc hai, bçc ba đöi với sinx và cosx

(Phương trình đẳng cäp)

Trang 19

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (1)

Hoặc a  sin2x + b  sinxcosx + c  cos2x = d (2)

(2)  asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d(sin 2 x + cos 2 x) (a  – d)sin2 x + b  sinxcosx + (c  – d)cos2 x = 0 (2  ) Phương trình (2) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1) Nếu gặp dạng (2) thì ta đưa về dạng (1) như trên Sau đây là cách giải dạng (1):  Nếu a = 0 và b, c  0 thì (1)  cosx.(bsinx + ccosx) = 0   

   cos x 0 bsin x ccos x 0  Nếu c = 0 và b, a  0 thì (1)  sinx.(asinx + bcosx) = 0   

   sin x 0 asin x bcos x 0  Nếu a, b, c  0:  Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì sinx =  1) Nếu thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x = 2 + k (k  Z)  Với cosx  0, chia 2 vế của (1) cho cos 2 x, ta được phương trình: atan 2 x + btanx + c = 0 (1) (1) là phương trình bậc 2 theo tanx, ta đã biết cách giải (Xem phần 2)  Nghiệm của (1) là nghiệm của (1) và x = 2  + k (nếu có)  Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình bậc nhất theo sinX và cosX (Phần 3) Với: 2 1 cos2x sin x 2   , cos x 2 1 cos2x 2   , sin x.cos x 1 sin2x 2   Phương trình đẳng cấp bậc 3: asin3 x + bsin 2 xcosx + c.sinxcos 2 x + dcos 3 x = 0 Giải tương tự như đẳng cấp bậc 2 B BÀI TẬP MẪU VD 1.13 Giải các phương trình sau: a) 2sin x 5sinxcosx cos x2   2   2 b) 4sin2x – 3 3 sin2x – 2cos2x = 4 c) 3sin2x + 2cos2x – 1 = 0 d) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0

Trang 20

a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0 b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2

c) sin2x + sin2x – 2cos2x = 1

2 d) 2cos

2

x + sin2x – 4sin2x = – 4 e) sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 0 f) cos2x – 3sinxcosx + 1 = 0

g) cos2x – 3sin2x – sin2x = 1 h) 2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0

i) 3sin2x – 2 3sinxcosx + cos2x – 1 = 0 j) 3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 2

Trang 21

k) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1 l) 3cos2x – sin2x – 3sin2x = 1

m) 3sin2x + 2cos2x – 1 = 0 n) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0

a) sin3x + cos3x = sinx + cosx b) sin3x + 2sin2xcosx – 3cos3x = 0

e) 3cos x 4cos x sin x sin x4  2 2  4  0 f) sin x 4sin x cos x  3   0

c) cos3x – 4cos2xsinx + cosxsin2x + 2sin3x = 0

d) sin3x – 5sin2xcosx – 3sinxcos2x + 3cos3x = 0

Dạng 7 (Nâng cao) Phương trình đöi xứng – Phản đöi xứng

Đặt t = sinx + cosx = 2 sin(x +



(1)  at + b

2

t 1 2



= c  bt 2 + 2at – b – 2c = 0 (2)

Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t  2

Giải phương trình 2sin(x +

4



) = t để tìm x

Đặt t = sinx – cosx = 2 sin(x –



(1)  at + b

2

1 t 2



= c  bt 2 – 2at – b + 2c = 0 (2)

Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t  2

Giải phương trình 2 sin(x –

4



) = t để tìm x

Đặt t = |sinx  cosx| = 2 sin(x

4



 Điều kiện: 0  t  2 Giải tương tự như trên

a) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 b) 3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 0

Trang 22

a) (cosx – sinx) + 2sin2x – 1 = 0 b) 2  sinx + cosx  + 3sin2x = 2

c)  sinx – cosx  + 4sin2x = 1 d) tanx + cotx = 2 (sinx + cosx)

e) (1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x f) 2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0

g) cosx + 1

cos x + sinx +

1sin x =

Trang 23

a) sin25x + 1 = cos23x b) sin2x – 2sinx + 2 = sin23x

c) sinx + cosx = 2 (2 – sin3x) d) 2cos2x = 3sin25x + 2

e) (cos4x – cos2x)2 = 4 + cos23x f) sinx + cosx = tanx + cotx

g) cos5x.sin3x = 1 h) sin2x + sin3x + sin4x = 3

Dạng 9 Phương trình dạng khác (tổng quát)

Thông thường để giải một phương trình lượng giác, ta thường dùng các phém biến đổi lượng giác (cung

liên kết, hạ bậc, nhân 2, …) để đưa phương trình đã cho về dạng tích hoặc một trong những dạng phương

trình đã học

Lưu ý một số biến đổi sau:

B BÀI TẬP

Trang 24

a) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x b) sin24x + sin23x + sin22x + sin2x = 2

c) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 d) sin2x + sin22x = cos23x + cos24x

e) sin2x + sin22x = sin23x f) sin x sin 3x2  2  cos 2x cos 4x2  2

sin x sin 2x sin 3x    cos x cos 2x cos 3x cos 4x   

a) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0 b) cos2x – cos8x + cos6x = 1

c) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 d) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x

e) sin6x.sin2x = sin5x.sinx f) cos8x.cos5x = cos7x.cos4x

g) sin7x.cosx = sin5x.cos3x h) sin3x + sin5x + sin7x = 0

i) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0 j) 3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x

k) sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x

l) sinx + sin2x + sin3x = cosx+cos2x+cos3x

a) cos2x + 4sin4x = 8cos6x b) sinx = 2sin5x – cosx

c) tanx + cot2x = 2cot4x d) 2cos2x + sin10x = 1

e) tanx + tan2x = sin3x.cosx f) 5tanx – 2cotx = 3

g) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx h) 4sin3x = sinx + cosx

m) 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cotx – 3 = 0

Dạng 10 Phương trình lượng giác có tham sö

A BÀI TẬP

a) msinx – 2m + 1 = 0 có nghiệm

b) mcosx – 2m + 1 = (2m – 1)cosx có nghiệm

c) msinx + 1 = 2(sinx + m) vô nghiệm

d) cos2x – sinx.cosx – 2sin2x = m có nghiệm

e) (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1) có nghiệm

f) mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 2 có nghiệm

g) sinx + mcosx = 1 vô nghiệm

h) (m + 2)sinx + mcosx = 2 vô nghiệm

i) (m2 + 2)cos2x – 2msin2x + 1 = 0 có nghiệm

j) sin2x – 4(cosx – sinx) = m có nghiệm

1.41 Xác định m để phương trình : 2(sin x cos x) cos 4x4  4  2sin 2x m 0 có ít nhất một

nghiệm thuộc đoạn 0 ;

Trang 25

1.42 Cho phương trình : 2sin x cos x 1 a

sin x 2 cos x 3

  

  (1) a) Giải phương trình (1) khi a = 1

Trang 26

Dạng 1 Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đìm sö phương án

 Để sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Phân tích các phương án thành k nhóm độc lập với nhau: H 1 , H 2 , …, H k

Bước 2 Nếu:  H1 có n 1 cách chọn khác nhau

 H2 có n 2 cách chọn khác nhau

 …

 Hk có n k cách chọn khác nhau

Bước 3 Khi đó, ta có tất cả n 1 + n 2 + … + n k phương án

 Để sử dụng quy tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Phân tích một hành động H thành k công việc nhỏ liên tiếp: H 1 , H 2 , …, H k

Bước 2 Nếu:  H1 có n 1 cách thực hiện khác nhau

Trang 27

VD 2.1 Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc cỡ 40 Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ

40 có 4 màu khác nhau Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)

VD 2.2 Cho tập hợp A = {a, b, c, d} Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tập con khác rỗng của tập A ?

VD 2.3 Ở một trường THPT A, khối 12 có 2 học sinh giỏi, khối 11 có 3 học sinh giỏi, khối 10 có 4 học sinh giỏi Nhà trường cần lập nhóm có 4 học sinh giỏi để tham gia hội trại với đơn vị bạn sao cho khối nào cũng có ít nhất một em trong nhóm Hỏi nhà trường

có bao nhiêu cách thành lập?

2.1 Có 18 đội bóng tham gia thi đấu Hỏi có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc,

đồng cho 3 đội nhất, nhì, ba biết rằng mỗi đội có thể nhận nhiều nhất một huy chương và đội nào cũng có khả năng đạt huy chương

2.2 Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình sau Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần ?

b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A ?

Trang 28

2.3 Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và

nhựa) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây ?

2.4 Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ

a) Nhà trường cần chọn một học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự đại hội của học sinh thành phố Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học

sinh thành phố Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

Dạng 2 Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đìm sö

các hình thành từ tçp A

1 Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Số cần tìm có dạng: a a a 1 2 k , với a i A, i = 1 k, a 1 0

Bước 2 Đếm số cách chọn a i , (không nhất thiết phải theo thứ tự) giả sử có n i cách

Bước 3 Khi đó, ta có tất cả n 1 n 2 …  n k số

2 Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Chia các số cần đếm thành các tập con H 1 , H 2 , … độc lập với nhau

Bước 2 Sử dụng qui tắc nhân để đếm số phần tử của các tập H 1 , H 2 , …, giả sử bằng k 1 , k 2 , …

Bước 3 Khi đó, ta có tất cả k 1 + k 2 + … số.

VD 2.4 Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)

b) Có 4 chữ số khác nhau

VD 2.5 Có bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ ?

Trang 29

VD 2.6 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và khác không, biết rằng tổng ba chữ

số này bằng 8

2.5 Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà cả ba chữ số đó đều lẻ ?

2.6 Từ các chữ số 4, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau ? 2.7 Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau mà tổng của các chữ số của mỗi số bằng 12 ? 2.8 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số b) Hai chữ số c) Hai chữ số khác nhau

2.9 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?

Vấn đề 2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

1 Hoán vị

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp

A được gọi là một hoán vị của n phần tử Kí hiệu : P n

n

P n!1.2.3 (n 1)n

Chú ý : n.(n – 1).(n – 2) 3.2.1 = n! ; 0! = 1

2 Chỉnh hợp

Cho tập A gồm n phần tử ( n  1) Kết quả của việc lấy k ( 1 k n ) phần tử khác nhau từ n  

phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho Kí hiệu : A n k

k n

n!

A (n k)! ( 0 k n ) 

3 Tổ hợp

Giả sử tập A có n phần tử ( n  1) Mỗi tập con gồm k ( 1 k n ) phần tử của A được gọi là  

một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Kí hiệu : C n k

k

n

A n(n 1) (n k 1) C

n!

C k!(n k)! ( 0 k n ) Tính chất của C n k :  n  n k

Trang 30

Dạng 1 Thực hiện bài toán đìm theo hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

1 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các

dấu hiệu sau:

 Tất cả n phần tử đều có mặt

 Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần

 Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử

2 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa

trên các dấu hiệu sau:

 Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

 Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

3 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên

các dấu hiệu sau:

 Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

 Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.

VD 2.7 Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường trực thì có bao nhiêu cách chọn ? ĐS: a) 35 b) 210

VD 2.8 Một lớp học có 40 học sinh trong đó 25 nam và 15 nữ Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn

ra 3 em để tham gia đội văn nghệ nhà trường nhân ngày Nhà giáo Việt Nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:

a) Chọn ra 3 học sinh trong lớp ?

b) Chọn 3 học sinh trong đó có 2 nam và một nữ ?

c) Chọn 3 học sinh trong đó phải có ít nhất một nam ? ĐS: a) 9880 b) 4500 c) 9425

Trang 31

2.10 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số ?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000 ? ĐS: a) 6! b) 35! c) 12

2.11 Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một

2.12 Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba

bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông) ? ĐS: 210

2.13 Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ? ĐS: 360

2.14 Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)

nếu:

a) Các bông hoa khác nhau ? b) Các bông hoa như nhau ? ĐS: a) 60 b) 10

2.15 Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi

có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho ? ĐS: 20

2.16 Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song

với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó ? ĐS: 60

2.17 Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có

5 đội bóng ? (Giả sử không có hai đội nào có điểm trùng nhau) ĐS:120

Trang 32

2.18 Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi Nếu không kể trường hợp có hai vận động

viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ

nhất, thứ nhì và thứ ba ? ĐS:336

2.19 Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm Hỏi:

a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?

b) Có bao nhiêu vectơ mà hai đầu mút thuộc P ? ĐS: a) n(n – 1)/2 b) n(n – 1)

2.20 Một bài trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu Mỗi câu có 4 phương án trả lời Hỏi bài thi

đó có bao nhiêu phương án trả lời ? ĐS: 1 048 576

2.21 Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có ha người nào có điểm bằng

trong đó số viết trên một cạnh cho biết số con

đường nối hai tỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh

(hình bên) Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A

đến tỉnh G ? ĐS:252

2.24 Xét sơ đồ mạch điện ở hình bên có 6 công tắc khác

nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 thạng thái đóng và mở

Hỏi có bao nhiêu cách đóng – mở 6 công tắc để mạng

điện thông mạch từ P đến Q (tức là có dòng điện từ P đến Q) ? ĐS:15

2.25 Trong một hội chợ cuối năm ở một cơ quan,ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1

đến 100 cho 100 người Xổ số có bốn giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư Kết

quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Hỏi:

a) Có bao nhiêu kết quả có thể có ? ĐS:a) 94 109 400 b) 941 094 c) 3 764 376

b) Có bao nhiêu kết quả có thể, biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất ?

c) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng 1 trong 4 giải ?

2.26 Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học

sinh thanh lịch của trường Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? ĐS:196

2.27 Một nhóm học sinh gồm 7 em nam và 3 em nữ Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm

tham gia đồng diễn thể dục Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? ĐS:126

Dạng 2 Rút gọn và tính các giá trị của biểu thức chứa

các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Để thực hiên việc rút gọn các biểu thức chứa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chúng ta thường sử dụng

công thức phân tích, ngoài ra trong nhiều trường hợp cần vận dụng kỹ năng đơn giản dần

Trang 33

VD 2.10 Tính giá trị các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi):

5 7(m 1)!A5!

2.28 Tính giá trị các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi):

6! ( 1)!

( 1) 4!( 1)!

m A

n n

P n

Trang 34

Trang 35

Dạng 4 Giải phương trình, hệ phương trình, bät phương trình

chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Ta thường sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1 Thực hiện việc đơn giản biếu thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để chuyển phương trình về

dạng đại số quen thuộc

Cách 2 Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới.

Trang 36

VD 2.14 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Trang 37

2.30 Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

A C P P

Trang 38

 Chú ý: Đặc điểm của nhị thức Niu-tơn:

- Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, trong khi số mũ của b ngược lại tăng từ 0 đến n

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n

- Trong công thứ (1) thay b = – b thì ta được công thức (2)

  

 

 

VD 2.16 Cho biểu thức: P sin x cos x  10  10 Hãy viết P về dạng đa thức theo cos2x Từ đó hãy giải phương trình ẩn x: P 1

16



Trang 39

2.31 Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

a) ( a  2 ) b 5 b) (a 2)6 c)

812

xx

Với yêu cầu về hệ số trong nhị thức Niu-tơn, ta cần làm theo các bước:

Bước 1 Viết số hạng tổng quát

Bước 2 Dùng công thức lũy thừa rút gọn số hạng tổng quát

Bước 3 Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau

 Chú ý:

- Số hạng không chứa x tức là số hạng chứa x 0

- Phải phân biệt được yêu cầu đề hỏi là số hạng hay hệ số mà trả lời cho chính xác

- Các công thức lũy thừa cần nhớ:

- a a m na m n ;

m

m n n

  

 

 

Trang 40

VD 2.18 Trong khai triển của (1 + ax)n ta có số hạng đầu là 1, cố hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2 Hãy tìm a và n.

VD 2.19 a) Cho f (x)  (1 x x3x )4 4 Sau khi khai triển và rút gọn ta được

b) Tính hệ số của x3 trong khai triển (1 2x 3x)  10

Định dạng
Số trang	152
Dung lượng	4,17 MB