Nhận xét: Ứng với mỗi số thực có một điểm nằm trên đường tròn A x O K lượngđiểm xác định bởi số đó tương tự như trên trục số.. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô s[r]
Trang 1
CHUYEN DE 2
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC (CUNG) LƯỢNG GIÁC
A TOM TAT LY THUYET
1 Giá trị lượng giác của øĩc(cunø) lượng giác
LƯỢNG GIÁC
a) Đường trịn lượng giác: Đường trịn lượng giác là đường trịn đơn vị, định hướng và trên đĩ chọn
điểm A làm gốc ; ;
b) Tuong tg giira so thuc va diém trén đường trịn lượng giác
Điểm Ä⁄ trên đường trịn lượng giác saocho OA,OM =a goila
điểm xác định bởi số œ (hay bởi cung œ, hay bởi gĩc œ) Điểm
1 cịn được gọi là điệm trên đường trịn lượng giác biêu diễn
cung(gĩc) lượng giác cĩ sơ đo œ
vị
B
H'
Nhận xét: Ung voi mỗi số thực œ cĩ một điểm nằm trên đường trịn
lượng(điểm xác định bởi số đĩ) tương tự như trên trục số Tuy nhiên,
mỗi điểm trên đường trịn lượng giác ứng với vơ số thực Các số thực
co dang la a+ &27m,k € Z
d) Gia tri lượng giác sin, cơsin, tang và cơtang: Cho hệ trục tọa độ
găn với đường trịn lượng giác Với mỗi gĩc lượng giác Ou,Ov cĩ
số đo œ, xác định điểm Ä⁄ x;y trên đường trịn lượng giác sao cho sđ Khi đĩ ta định nghĩa
COSŒ% = Z, SI1@ = y
sina 7T
tana = axz—+tkr
COS œŒ 2
COS @
cota = — az kr
sinœ
Y nghĩa hình học: Gọi #{, 77 lần lượt là hình chiếu của ⁄ lên trục Ĩz,Ớ Vẽ trục số 4£ gốc 4 cùng hướng với trục Ĩw và vẽ trục số 7s gốc B cing hướng với trục Ĩz, gọi 7, lần lượt là giao điểm của đường thắng Ộ⁄/ cắt với các trục sơ 4í, 2s Khi đĩ ta cĩ:
SI1 œ = OH, cosq = OK, tana = AT, cota = BS
e) Tinh chat:
e sina,cosa xac dinh voi moi gia tri cua a va —1 < sina <1—1<cosa <1
© tana duoc xac dinh khi a = 5 + kr, cota xac dinh khia = kr
e sina=sin a+k27 ,cosa=cos a+k2r
tana = tan a+kr7 ,cota = cot a+kr
f) Dau ciia cac gid tri lwong gidc:
Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị tri diém M nằm trên đường trịn lượng giác
Bảng xét dấu
Giá trị lượng giác
COSŒ + — — +
tanœ + — + —
Trang 1/12
Trang 2
ø) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0° 30° 459 60° 90° 120° 135° | 180° | 270° | 360°
sin @
COSŒ
1 | 8} v2) 2 ] 9 | 2} 2| [| so Ea
tan œ 05211 || || 3 |9 | |9
COẲ œ Vi vet 1 |B foo [MBF a fo foo fa 3 3 3 3
2 Các hệ thức lượng giác cơ bản
1) sin” œ + cos’ a = 1
2)1+ tan? a = 5 (xz—+Èa)
Cos @
3) 14 cot? a = — (a + kr)
sln @
A)tana.cota =1l(az xT)
3 Giá trị lượng giác của øóc(cung) có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau (œ và —eœ ) Góc bù nhau(œ và z — œ) | Góc phụ nhau(œ và 5 —a)
cos(—a) = cos a sin(7 — a) = sina “|5 — “| = cosa
sin(—a) = — sina cos(7 — a) = — cosa cos| 3 — ¬| = sina
tan(—a) = — tana tan(7 — a) = — tana tan| 3 — ¬| = cota
cot(—a) = — cota cot(m — a) = — cota «|5 — ¬| = tana
Góc hơn kém z(œ và +a) | Góc hơn kém sía và s1 œ)
sin(r + œ) = — sinœ sin[ 2-4-0] = cova
Trang 3
tan(7 + a)= tana tan{ 24-0] = — cota
cot(m + a)= cota cot[5 +0] = —tana
Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém 7 tang côtang,
„TÚ ns A 4k 4 kK a `2 bà ` A 4 \ HÁT
hơn kém 5 chéo sin” Với nguyên tặc nhăc đên giá trị nào thì nó băng còn không nhặc thì đôi
Câu 1 Giá trị cots la
3 Lời giải Chọn B
Biến đồi cot 22 = cot 7 4152 — cot 2 = cot =-Y3
Câu2 Gidtricua tan180° là
Lời giải Chọn B
Biến đổi tan18Œ = tan (0 +180) = tan =0
Câu 3 Cho 2<ø<z Kết quả đúng là
Á sinz>0, cosz>0 B sina<0O, cosa<0.C sina>0, cosa<0O.D sina <0, cosa>0
Loi giai Chon C
Vi ễỄ<a<zsina>0, €osø <0
2
^ 51 k a ay `
Câu4 Cho 2z<a<=_ Kêt quả đúng là
Á tanz>0, cotz >0 B tanz<0, cotz<0
Œ tanz>0, cota<0Q D tanz<Ð0, cotz>0
Lời giải Chon A
Vi 2x<a< =>fanøz >0, cotz>0
2
Câu 5 Đơn giản biểu thức A =(I-sin? x).cot” x +(1—cot? x), ta co
A A=sin’ x B A=cos’ x C A=-sin’ x D A=-—cos’ x
Lời giải
Chon A
A =(I—sin? x).eo x+(I—cot x) = cot? x—cos* x+1-—cot? x =sin’ x
Câu 6 Trong các đăng thức sau, đắng thức nào đúng 2
C sin(180° —a) =sina D sin (180° —a) =cosa
Lời giải
Trang 4Cau 7
Cau 8
Cau 9
Cau 10
Cau 11
Cau 12
Cau 13
Chon C
Theo công thức
Chọn đăng thức sai trong các đăng thức sau
Lời giải
Chon D
cos 750° + sin 420°
43
V3-1
Loi giai
Gia tri cua biêu thức A= cn (-330") ~~ cos men
Chọn A
0 : 0
A — £0830 +sin60° _ 2/3 =-3-_ J8
~ sin30°—cos30° 1-3 -
Đơn giản biểu thức A= cos § — a +sin (4 — a — cos (4 + a — sin( 4 + a , ta CÓ :
A A=2sina B A=2cosa C A=sina—cosa D A=0
Lời giải
Chọn A
A=sina+cosa@+sina—cosa = A=2sina
Gia tri của cot1458° là
Lời giải
Chọn D
cot 1458° = cot (4.360° +18°) = cot 18° = 5 +25
Trong các giá trỊ sau, sinø có thê nhận gia tri nao?
Chon A
Vi -—l<sina <1 Néntachon A
Trong các công thức sau, công thức nào sa1?
COS“ Œ 2
C 1+ cot” @=—— (a eka, k eZ) D tana+cota =1 av kel
Lời giải
Chọn D
D sai vì : tan z.cot ø (a + pet)
Cho biét tana = 3v Tính cota
Trang 5Cau 14
Cau 15
Cau 16
Cau 17
Á cotœ =2 B cota == C cota = = D cota =
Lời giải
Chon A
Taco: tana.cota=l1=>cota= =1 =2,
tanz l
2 Cho snư== và 2<#<Z Giá tr của cosz là :
Lời giải
Chọn B
coSsư =^
Ta có : sin? 7 cos? a =1 > cos? a@=l—sin’a =1-2-= 1° <> 3
008đ =— =
` # 4
Vì 2<e<z => cosa =-—
Cho sina = = va 90° <or < 180°, Giá trị của biểu thức B =~ tana+3cota
Lời giải
Chọn B
cosa =
ca 5 3 sa 9 16 7
sin‘ a+cos’ a=1 => cos’ a=l-sin’ @ =1-—=— &
cosa =—=
Vi 90° <a <180° = coset = -= Vậy tana =—= va cota =>
_4_,{_3
pa Oba = 2 tan _ 3 \ 4) 2
Cho tana =2 Gia tri cua A= SH † cós # la:
sin a —Cosa
Lời giải
Chon C
A- 551đ + c0Sđ _3tana+l_,
sin @ —cosa@ tana —1 Các cặp đăng thức nào sau đây đông thời xảy ra?
1
A sina =1 va cosa =1 B sina => va cos =
C sina => va cosa =~ D sina =V3 và cosz =0
Lời giải
V2
16
55"
57
Trang 6Cau 18
Cau 19
Cau 20
Cau 21
Cau 22
Cau 23
Chon B
B đúng vì: sin” z+cos“œ = B (-8) =1
2
Cho cosa = VỚI 0<ø< Tính SING
A sina = B sina =—_ C sina => D sina =+2
Loi giai
Chon C
2
Ta co: sin = 100s" a =1-( ~? Jing as?
5 25
Do 0<z<Š nên sinøz >0 Suy ra, sina ==
Tinh a@ biét cosa=1
C.ø=s+k2z (k7) D.+z=-z+k2z (ke)
Lời giải
Chon C
Ta cĩ: cosa= eo a= > +k2a (keEZ)
Giá trị của A = cos” S + cos” s +€COS” s +€COS” s băng
Lời giải
Chon C
A=cos? = +cos? 2 + cos? = + cos? = <>Ậ=2 cos? = + cos? 2%
9 A=2{ cos’ sin? 2) 2,
Cho tam giác ABC Hãy tìm mệnh đề sai
A sin Bt” ~ cos 8 B cos ATE ~ gin
C sin(A+B)=sinC D cos(A+B)=cosC
Lời giải
Chọn D
Đơn giản biêu thức A= cos -4) +sin(@—z), ta c6
A A=cosa+sina B A=2sina ΠA=sina-cosa D A=0O
Lời giải Chọn D
A=eo|Š =z | sin(r=#) A=sinz—sinz=0
sin (234°) —cos 2160
| m—.tan 36”, ta cĩ A băng
sinl144" - cos 126
Trang 7Cau 24
Cau 25
Cau 26
Cau 27
Cau 28
Lời giải Chon C
ot 0 0 — Ow 0
A= sin 238 +sn Lá tan 360 <= A= Zoos tet nt ‘tan 36°
cos 54° —cos126 —2sin 90 sin (36 )
_ —1.sin54° sin 36°
1sin(-36°) ‘cos 36°
(cot 44° + tan 226° ) cos 406°
Biểu thức B= —cot 72.cot18? có kết quả rút gọn băng
cos316°
2 2
Lời giải Chọn B
cot 44° + tan 46° ).cos 46° 0 0
cos 44 cos 44
Cho cosa = = va 2<z<z Giá trị của sinø và tanz lần lượt là
13 3 3 12 13 12 13 12
Lời giải
Chọn D
Do 2<<z nên sinz >0 Từ đó ta có sin? 1-008 a =1-{ 22 = — = sina ==
sina _ 5
=> tana = =-—
COS 12
Biét tana =2 va 180° <a < 270° Gidtri cosa+sina bang
Loi giai
Chon A
Do 180° <a@ <270' nên sina <0 va cosa <0 Tu do
1 m— =l+tan*a=5 >cos a= = >cosa=—-—H= 2 2 1 1
sing = tana.cosa@ = 2.} ——= |=-—=
2 1_ WS
Biéu thức D = cos” x.cot” x+ 3cos” x— cot” x+2sin” x không phụ thuộc x va bang
Lời giải
Ta có
Nhu vay, cos@+sin@ =—
Chon A
D=cos’ x.cot? x+3cos’? x—cot” x+2sin’ x =cos’ x+2+cot? x(cos? x-])
= cos’ x + 2— cof“ x.Sin“ x = cos“ x+ 2—cos“ x= 2
2
2
Cho biét cot x=— Giá trị biêu thức A=
2 > X—SIn x.COS x— COS“ x bang
sin
Trang 8
Cau 29
Cau 30
Cau 31
Cau 32
A 6 B 8 C 10 D 12
Loi giai
Chon C
"ở,
2 2} 1+—
Aq 2 _ sin? x - 2(1+cot x) _ 4 10
— sin2 sin’ x—sinx.cosx—cos’ x v._.ei " 20 l-cotx-cot^x 1—- " 2v Ïl—-cotx—-cot“ˆ x 1_—- " 200 1- L1 `
igure 4 ID (C328”).sin958” - cos(—508').cos(—1022")
rút gọn băng:
A =1 B 1 C 0 D 2
Lời giải
Chon A
sin (—328° ) sin958° cos (—508° ) COS (—1022° ) sin 32°.sin58° cos 32°.cos 58°
A=- sin32 “C08 32° _ cos32 sin 5? = gin? 309 — cos? 32” =I
cot 32 tan 32 Biêu thức:
A =cos(œ +26Z)— 2sin(œ —7Z)—cos],5Z — cos la + er cos(œ —1,5Z).cot(œ—8z) có
kết quả thu gọn băng :
Lời giải
Chọn B
A =cos(œ+26Z)— 2sin(œ 7# )— cos (1,52 )— cos la + 20085 ] +cos (œ —1,5Z).cot (œ —8Z)
A =cosz~2sin(#~—)—cos| — |—cos( z—— |+cos| z+— |.cotø
A =cosø + 2sIin z—— s1n #z — Sin #.COf # = COS # +S1n #—COS # = SIn Ø
Cho tạng =—S với ST <#<2z Khi đó:
A sing =—-—te cos @ = —-—== B sing=—~ cosa ==
C sing =—-—te cosa = = D sin@=—te cosa = —-—
Lời giải
Chon C
l+ tan“ ø= 5 >14+—=H ”— ST =a > cos’ A =— > cosa =t———
COs” a 25 cosa cosa 25 4] 44I
sin’ @ =1—cos* @ =1-— = — > sina =+—=
cosa >O0—-> cosa =
» SI
37
—<0œ< 27 >>
2
sna <0O->sina =-— Jal
Cho cos15° = 24/3 Giá trị của tan15° bằng :
2
Trang 9Cau 33
Cau 34
Cau 35
Lời giải
Chon C
tan? 15” = | —] =——~-1=(2- V3) > tan15° =2-V3 4 2
sin 515°.cos (475° ) + cot 222° cot 408°
cot 415° cot (505°) + tan 197° tan 73°
Biểu thức A= có kết quả rút gọn bằng
1
A đun? 25° B 1 cos? 55° C 1 cos? 25°, D —sin’ 65°
Loi giai
Chon C
sin155°.cos115? + cot 42".cot48” sin25” (—sin 25°) + cot 42° tan 42°
cot 55° cot (—145°) + tan17°.cot 17° cot 55° tan 55° +1
— cix2 2<0 2560
> A= sin’ 25° +1 A= cos“ 25
2 —
Đơn giản biểu thức A = 2c x-I ta có
sin x+cos x
A A=cosx+sinx B A=cosx-sinx C A=sinx—cosx D A=-—sinx—cosx
Loi giai
Chon B
2 2 2
2cos?x-l1 2cos x—(sin X +COS x) cos? x—sin? x
sin Xx +COs x sin x+cos x sin x+cos x
(cos x—sin x) (cos x+sin x)
Tacó A =
= cos x—sin x
sin x+ cos x Như vậy, A=cosx—sinx
° A * 2 a A 2 A 2 x °
Biét sina@+cosa@ = 5 Trong cac két qua sau, két qua nao sai ?
C sin! a+ cos" a =~ D tan? z+cot? ø =12
Lời giải
Chọn D
Ta có SING + COs a= —— => (sina + cosa) =5 —> Ï+ 2SI1n 2 Id # coS # =5 —§In#C0Sđ =— 1 1
= (sina —cosa) =1-2sinercosr=1-2{-4]=§ = sina — cos ar = +
2
— sin” œ+cos” œ = (sin” Œœ +coS” a) —2sin* acos’ a = 1-2-1) =—
8
7
sin* a +cos* a
— tan” œ +cotÌø =—— ——= 8 >=14
sin” œcos” 1
4 Như vậy, tan” z+cot? œ =12 là kết quả sai
Trang 10
Cau 36
Cau 37
Cau 38
Cau 39
Cau 40
Tính giá trị của biểu thức A =sin® x+cos® x+3sin’ xcos’ x
Lời giải
Chọn B
Ta có A =sin” x+cos”“ x+3sin” xcos” x= (sin” x) + (cos? x) + 3sin” xcos’ x
2 2_\3 2 2 2 2 2 2
=(sin x+cos x) — 3SInˆ x.cos x(sin x+cos x)+3sin XCOS“ x= Ï
Biêu thức A= 5 ———p ”— không phụ thuộc vào x và băng
4tanˆ x 4sinˆ xcoS“ x
Loi giai
Chon B
4tan“ x Asin’ xcos’ x 4tan“ x 4tan“ x \ cos“ x (1 — tan” x) (1 + tan” x) _ (1 — tan” x) — (1 + tan” x) — _-4 tan” Xx
4tan” x 4tan” x 4tan” x 4tan” x
COS” *—Sin” y Sin” x.sin” y
Lời giải
Biéu thức 8= —cot” x.cot? y không phụ thuộc vào x, y và bằng
Chọn D
COS“ x—SIn“ y COS“ X—SIn“ˆ y COS“ X.COS“ y
Ta có B= —€Ot” x.cot” y=
Sin” x.sin” y sin’ xsin* y sin“x.sin y
COS x(I—cos y)—sin Y cos“xsin y-sin y sin y(cos x-1) 1
= - 2 - 2 — - 2 - 2 — - —— °
SIn“ xsin“ y SIn“ xsin“ y (I-cos” x) sin’ y
Biêu thức C= 2(sin* x+cos* x+sin’ xcos* x) — (sin® x+cos” x) có giá trị không đôi và băng
A 2 B —2 C 1 D -1
Lời giải
Chon C
Ta co C =2(sin x+cos’ x+sin* xcos x) —(sin x+COS x)
2
2 2 2 2 - 4 4 - 4 4
= 2 (sin x+cos x) —SIn“ xcos x| -| (sin xX+cos x) — 2SIn" xcos x|
2 _ 2 27 _ 2 2_\7 - 2 2 - 4 4
= 2| lI—-sinˆ xcos“ x | —| (sin° x+cos’ x) —2sin° xcos*° x} +2sin" xcos” x
| 1- sin~ x cos x | —|1-2sin XCOS x | + 2sInˆ xcos” x
=2
=2(1—2sinˆ xeos” x+sin" xcosf x) — (1 —Asin” xcos* x +4sin* xcos* x) +2sin* xcos* x
=]
Hệ thức nào sai trong bôn hệ thức sau:
2
Lời giải
Trang 11Cau 41
Cau 42
Chon D
A dung vi VT = — = tan x.tan y= VP
tanx tany
B dung vi
l+sina 1-sina (1+sina) +(1-sina)’ 2+2sin” a
- "_ ` _" 1
—sin*a@—cos’a@ _ sin*a+cos*a 1+cot?a _
cos’a-—sin?a@ sin?’a—cos*a 1-—cot’a
Nêu biết 3sin* x+2cos* x= 81 thì giá tri biêu thức A = 2sin* x+3cos* x bang
A, Ot ay SOL B 1% hay 63 c 1 hay 89 D Tổ” nay 207
Lời giải
Chọn D
Ta có sin' x—cos“x= Ó— A c>cos2x= A- 25
5(sin* x+cos" x)= “+ A ©1—~-sin°2x== 28 4 1+ Jeo?2y=l 3 va
2
e142] =2{ a+ )=2( 4-2) se
"
Đặt "-.- 4
9 +) .,
+) pot
Néu sin x+ COs x =~ thi 3sinx+2cosx bang
5-7 bày 5+ V7 5—M5 1y 55,
Loi giai Chon A
SỈnx + cosx = > = (sin x+ cos x) “4 @ 2SIN x.COS X= —7 => sin x.cos x =—=
sin x = Khi đó sin x,cosx là nghiệm của phương trình X? _ly 3 0>
2 8 sin x= _ 1-v7 —
ps 1
Ta có Sinx+ cos x= 2 = 2(sin x+ cos x) = Í
54/7
4
+) Với sine = => 3sinx+2cosx=