de dap an HSG toan 9

[r]

PHÒNG GD MỘ ĐỨC KỲ THI CHỌN HSG KHỐI 9 MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS ĐỨC HOÀ NĂM HỌC :2009-2010 (t/gian 150 phút)

Bài 1:

Chứng mỉnh rằng :số P= x5

120+

x4

12+

7 x3

24 +

5 x2

12 +

x

5 luôn luôn là một số tự nhiên,với mọi x

thuộc N

Bài 2:

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm 0 vào giữa các chữ số rồi cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp

9 lần số phải tìm

Bài 3

Giải p/ trình: 2x2 - 6x -1 = √4 x +5

Bài 4:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

(x+2y) (3x+7y ) =216

Bài 5:

Cho tam giác ABC , trên cạnh AB,BC,AC lấy các điểm M,N,P sao cho :

AM / AB = BN / BC =CP / CA = 1 /3

Gọi S là diện tích tam giác ABC và S0 là là diện tích tam giác tạo bởi các đường CM,AN,BP Hãy so sánh S0 và S

PHÒNG GD MỘ ĐỨC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

TRƯỜNG THCS ĐỨC HOÀ

câu

nội dung

Đ iể m

1

P = x

5

+10 x4+35 x3+50 x2+24 x 120

Ta có : x5 + 10x4 +35x3 +50x2 +24x = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =A

Ta thấy A lần lượt chia hết cho 3,5,8 và 120= 3.5.8 với 3;5;8 đôi một nguyên tố cùng nhau

Vậy A chia hết cho 120 nên P luôn luôn là một số tự nhiên với mọi số tự nhiên x

0, 5 0,

5 đ 1 đ

1 đ

1 đ

2 Gọi số cần tìm là ab a,b thuộc N và 0 <a < 10 , Ta có ab chia hét cho 3 và a 0 b+2 a=9 ab

⇔

(a+b)⋮3

100 a+b+2a=9 (10 a+b)

⇔

¿(a+b)⋮3

3 a=2 b

¿{

Từ 3a = 2b suy ra 2b chia hết cho 3mà ( 2;3)= 1 suy ra b chia hết cho 3

Do (a+b) chia hét cho3 suy ra a chia hết cho 3 mà 3a chia hét cho 3 suy ra a chia hết cho 2

Ta có :a ⋮3,a⋮2 ,(2;3)=1 suy ra a chia hết cho 6, 0< a <10 Suy ra a=6; b=9 Số đó là 69

0, 5

1, 5

1 đ 0, 5 3

a ĐK: x −5

4

2x2-6x-1= √4 x +5 ⇔ 4 x2−12 x − 2=2√4 x +5

2 x +3¿2=2√4 x+5+11

⇔¿

0, 5

0, 5 0, 5

Đặt 2y-3 = √4 x +5 Ta được hệ phương trình

2 x +3¿2=4 y +5

¿

2 y+3¿2=4 x +5

¿

¿{

¿

¿

⇒(x − y)(x + y −1)=0

Với x = y ⇒2 x −3=√4 x +5 ⇒ x=2+√3

với x +y -1 = 0 ⇒ y=1 − x ⇒ x=1 −√2

KL:Nghiệm của hệ phương trình là {1- √2;1+√3 }

1

1

4 Đặt x +2y =A và 3x +7y =B

⇒ y =B-3A và x =7A-2B

Do x >0 và y> 0 suy ra B< 7 AB2 và B>3A

Từ AB =216 suy ra A2> 615

7⇒ A ≥8

Mặt khác 3A<B ⇒ 3A2<AB ⇒ A2 <72 ⇒ A=8

Vậy A=8 do đó B=27

Suy ra x =2 ;y =3

0, 5 0, 5

0, 5

5

Gọi S1 ,S2 ,S3 là diện tích các Δ EPC , AMF , DBN ta có :

S = SAMC + SPBC + SABN + SFDE - ( S1 + S2 + S3)

B

SAMC = SABN =SBPC

suy ra : SFDE = S0 = S1+ S2+S3 N

Vẽ MK // BP tam giác AMK ~ tam giác APB

M

A K P C

Nên AK=1/3 AP ; AP =2/3 AC nên AK=2/9 AC

SAMK=2/9 SAMC =2 / 27 S và SKMC=7 / 27 S

tam giác PEC ~ tam giác KMC nên S1 =( PC / KC)2.SKMC

PC=1/3AC ; KC= 7/9 AC nên S1= 1/ 21 S

Tương tự : S2 =S3 = 1/ 21 S

Vậy: S0=1 / 7 S do đó S = 7S0