Bài giảng DE TAI LOC

Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong la

Mục Lục

Trang

Phần I : Mở đầu ………02

1.Lý do chọn đề tài ……….02

2.Mục đích nghiên cứu………02

3.Nhiệm vụ nghiên cứu………03

4.Phạm vi và đối tợng nghiên cứu……… 03

5.Phơng pháp nghiên cứu……… 03

Phần II : Nội dung ……… 03

Chơng I : Cơ sở lý luận và mục đích của đề tài………03

Chơng II : Các biện pháp tiến hành ……….03

I Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ……… 03

II Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải……… 08

III Giúp đỡ học sinh tìm tòi một số lời giải bài toán……… 13

Chơng III : Thực nghiệm s phạm………14

A Mục đích thực nghiệm……….14

B Nội dung thực nghiệm……….14

C Kết quả thực nghiệm………17

D Bài học kinh nghiệm……… 19

E Điều kiện áp dụng………19

F Vấn đề còn hạn chế bỏ ngỏ, hớng tiếp tục nghiên cứu……… 19

Phần III : Kết luận ………20

Tài liệu tham khảo ……… ………… .20

Phần i: mở đầu 1.Lý do chọn đề tài

Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học Để giúp HS học tốt môn toán đòi hỏi ngời thày giáo phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc

Một vấn đề lớn trong chơng trình toán THCS là vấn đề chia hết Vấn đề này đợc

đa vào từ lớp 5, phát triển ở lớp 6, lớp 7 và đợc đề cập trong những bài toán nâng cao dành cho học sinh giỏi ở lớp 8, lớp 9 Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, đặc biệt

là ở lớp 6 thì vấn đề chia hết là một nội dung hay đề cập đến và thờng là những bài khó Các bài toán về chia hết nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập nh SGK thì rất dễ nh-

ng các bài toán nâng cao thì rất khó, đa dạng và không có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phơng pháp khác nhau một cách linh hoạt, sáng tạo Trong khi năng lực t duy, khả năng phân tích tổng hợp của HS còn hạn chế nên HS thờng bế tắc trong việc tìm ra cách giải cho loại toán này Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài toán và lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải Hơn nữa để giải đợc các bài tập nâng cao về tính chia hết thì ngoài việc nắm kiến thức cơ bản có trong chơng trình, HS còn phải nắm vững một số kiến thức bổ sung mở rộng, những kiến thức này không đợc phân phối trong các tiết học nên HS ít đợc vận dụng và rèn luyện trừ khi gặp những bài tập khó.Vì thế kỹ năng vận dụng các kiến thức đó cha đợc thành thạo, nhạy bén, HS thờng mắc sai lầm nh : Khi thấy một tổng chia hết cho m thì vội vã kết luận các số hạng chia hết cho m ; hoặc khi thấy a⋮m và a⋮n thì kết luận ngay là a⋮mn mà không xem xét xem m,n có nguyên tố cùng nhau hay không

2.Mục đích nghiên cứu:

Để giúp HS gải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến thức về tính chia hết, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dỡng HS giỏi, góp phần vào việc

“đào tạo và bồi dỡng nhân tài” Tôi xin trình bày kinh nghiệm “Hớng dẫn HS lớp 6 giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong Z” Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho HS phơng pháp nhận dạng các bài toán về tính chia hết và hớng dẫn phơng pháp phân tích để có lời giải hợp lý

3.Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tìm hiểu nội dung dạy học về tính chia hết trong vành số nguyên

Tìm hiểu mạch kiến thức về tìm ƯC, ƯCLN, BC, BCNN thuật toán Ơclit trong vành số nguyên Z

hợp giúp nâng cao chất lợng giảng dạy.

4 Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:

Khi viết đề tài này tôI đã nghiên cứu tại trờng THCS Văn Lang – Hạ Hòa – Phú Thọ

đối với học sinh đại trà

Phạm vi : 35 em học sinh lớp 6A

5 Phơng pháp nghiên cứu

Phơng pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu là phơng pháp thực nghiệm s phạm

Phần hai : nội dung

Chơng I : cơ sở lý luận và mục đích của chuyên đề

Để làm đợc các bài tập nâng cao về tính chia hêt HS phải nắm đợc định nghĩa, các tính chất cơ bản về số nguyên tố, hợp số, các em phải nắm đợc tính chất chia hết

có liên quan đến số nguyên tố nh thế nào Các em còn cần đợc mở rộng một số dấu hiệu chia hết, bổ sung một số kiến thức về ƯCLN, BCNN Từ đó các em phải nắm đợc phơng pháp cơ bản để giải bài toán về tính chất chia hết và các bài tập có liên quan Ngoài ra HS cần nắm đợc một số dạng toán điển hình về chia hết và cóphơng pháp giải quyết phù hợp đối với mỗi dạng Có đợc kỹ năng này các em sẽlàm đợc các bài tập một cách nhanh gọn, linh hoạt

Để giải quyết đợc những vấn nêu trên HS cần phải phát huy tính tích cực,t duy sáng tạo Còn giáo viên là ngời thiết kế, hớng dấn các em, khơi dậy t duy, tạo hứng thú học tập Có nh vậy chơng trình dạy và học mới đạt hiệu quả cao

Chơng II : Các biện pháp tiến hành :

I Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ :

- Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng cố cho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan, đó là:

- Đối với giáo viên để giảng dạy cho học sinh hiểu kiến thức về chia hết thì ngời giáo viên phải hiểu đầy đủ kiến thức về phép chia hết và phép chia có d trong vành số

nguyên Z nh sau:

1.Tính chia hết:

*Định nghĩa:Số nguyên a đợc gọi là chia hết cho số nguyên b nếu a= b.q với một số

nguyên q nào đó.Khi đó ta nói alà bội của b và ký hiệu a + b

Ta cũng nói bchia hết a hay b là ớc của a và ký hiệu b │a

Quan hệ chia hết có một số tính chất đơn giản sau.Đối với mọi số nguyên a,b,c ta luôn có:

1 a │ 0

2 a│a (tính phản xạ)

3 Nếu 0 │ a thì a = 0

4 a │ b và b │ c thì kéo theo a │ c ( tính bắc cầu )

5 Nếu a chia hết các số nguyên c,( i = 1, ,n) thì a cũng chia

( Ta coi xc là một tổ hợp tuyến tính nguyên của các c ) Những tính chất này đợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa Chẳng hạn đối với tính chất 4 ta có:

b = ad và c = bd => c = a(dd )

*Mệnh đề 1:Các ớc của 1 ( còn gọi là ớc của đơn vị )trong Z gồn có ± 1

Chứng minh: mệnh đề khẳng định rằng:

ab = 1 ⇒ a = b =1 hoặc a = b = -1

Thật vậy từ giả thiết ab = 1 suy ra │ab│ =│a│.│b│ = 1 Do a ≠ 0 nên │a│≥

1 Cũng nh vậy │b│ ≥ 1 Từ đó │a│=│b│ =1 ,bởi vậy

a = b= 1 hoặc a = b = -1.

*Hệ quả 2: Nếu hai số nguyên a và b chia hết lẫn nhau thì a = ± b

Chứng minh: Do a │b và b│a nên tồn tại các số nguyên u ,v sao cho

a = bu, b = av từ đó a = a(uv) Do a ≠ 0 nên

uv = 1 ⇒ u =± 1 ⇒ a = ± b 

2 Phép chia với d:

2.1 Định lí 3: Cho hai số nguyên a và b , b ≠ 0 Khi đó tồn tại duy nhất cặp số

nguyên q, r sao cho :

- │b││a│≤ -│a │≤a ⇒ - │b││a│ ∈ M

Tập M bị trặn trên nên nó có số lớn nhất Chẳng hạn số đó là bq Do số nguyên

bq + │b│ cũng là bội của b nêntừ tính lớn nhất của bq trong M ta có

Chứng minh:

Điều kiện cần là hệ quả trực tiếp của hệ quả vừa nêu trên

Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ.Hiển nhiên 1 là một ớc chung của các số

Nếu b là ớc của ac thì b là ớc của biểu thức của vế phải,do đó b là ớc của c

• Mệnh đề 10: nếu hai số a và b nguyên tố cùng nhau thì

(ac,b) = (c, b), với mọi c ∈ Z

Chứng minh :Nếu d là một ớc chung của ac và b thì nó cũng là

-ớc chung của ac và bc ,do đó nó là -ớc của

(ac,bc) = (a,b)c = c

điều này có nghĩa là nếu d là ớc chung của b và c thì d cũng là ớc chung của

b và ac Nh vậy tập hợp các ớc chung của ac và b trùng với tập các ớc chung của

c và b Bởi vậy

(ac,b) = (c, b).

4 Thuật toán Ơclit để tìm ƯCLN

Để tìm ƯCLN của hai hay nhiều số tự nhiên ta thờng sử dụng tính chất sau;

a = bq + c ⇒ (a,b) = (b,c)

( Lu ý rằng ở đây không đòi hỏi 0 < r < b)

Thuật toán Ơclít đợc tiến hành nh sau:

( a,b) = (b,r) = = ( r , r ) =r

nghĩa là ƯCLN của a và b bằng số d cuối cùng r trong thuật toán nói trên.Bây giờ việc tìm ƯCLN của n số ( n > 2) sẽ đợc tính theo công thức truy hồi: ( a ,a , ,a) =( ( a ,a , ,a ), a ) … …

4 Bội chung - Bội chung nhỏ nhất:

a) Số nguyên m đợc gọi bội chung của các số nguyên a ,a , ,a…

( n ≥ 2 ) nếu nó chia hết cho mỗi số nguyên đó

b) Bội chung m của các số nguyên a ,a , ,a đ… ợc gọi là bội chung nhỏ nhất ( viết tắt là BCNN) nếu nó là ớc của mọi bội chung của a ,a , ,a …

* Chú ý: Nếu m và m’ là bội chung nhỏ nhất của các số a ,a , ,a thì …

m =± m’ Trong trờng hợp m > 0 ta ký hiệu

m = BCNN ( a ,a , ,a) , hoặc m = [ a ,a , ,a].… …

và quy ớc nó là BCNN của a ,a , ,a.…

• Định lí 11:( về sự tồn tại của bội chung nhỏ nhất)

Tồn tại bội chung nhỏ nhất của n số nguyên a ,a , ,a ( n … ≥ 1 )

Do k và m đều chia hết cho a ( i = 1,2, , n) Điều này chứng tỏ r ∈ M nếu

r ≠ 0.Nhng điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của m Bởi vậy r = 0 và k

Nên m là một bội chung của a và b

Bây giờ nếu k là mmọt bội chung nào đó của a và b thì

k = ak = bk , k ,k ∈ Z

Suy ra : k = k

Do và nguyên tố cùng nhau nên là ớc của k Từ đó

m = là ớc của ak = k điêù này chứng tỏ m là bội chung nhỏ nhất của a

-Đối với học sinh :Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng

cố cho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan,

đó là:

1/Định nghĩa :

cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0) Ta nói a chia hế cho b nếu tồn tại số tự nhiên

q sao cho a = b.q Ta còn nói a là bội của b hoặc b là ớc của a, hoặc a chia hết cho b

2/ Các tính chất về chia hết :

* Tính chất chung :

a) Số 0 chia hết cho mọi số b ≠ 0

b) Mọi số a ≠ 0 đều chia hết cho chính nó

c) Tính chất bắc cầu : Nếu a⋮b, b⋮c thì a + c

+ Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu

d) Nếu a⋮m, b⋮m thì tổng a + b⋮m, a - b⋮m

+ Hệ quả :

- Nếu (a + b)⋮m (hoặc a - b⋮m) và a⋮m thì b⋮m

- Nếu (a + b)⋮m (hoặc a - b⋮m) và b⋮m thì a⋮m

e) Nếu a⋮m, b⋮m thì a + b⋮m, a - b⋮m ;

Nếu a⋮m, b⋮m thì a + b⋮m, a - b⋮m

f) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

+ Hệ quả: Nếu a⋮m thì an⋮m (n là số tự nhiên ≠ 0)

g) Nếu a⋮m, b⋮n thì ab⋮mn

+ Hệ quả : nếu a⋮b thì an⋮bn

h) Nếu A⋮B thì mA +nB⋮B , mA – nB⋮B

i) Nếu một tích chia hết cho một số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p.

+ Hệ quả: nếu an⋮p (p là số nguyên tố) thì a⋮p

j) Nếu ab⋮m, b và m, n guyên tố cùng nhau thì a⋮m

k) Nếu a⋮m, a⋮n thì a⋮BCNN(m,n)

+ Hệ quả :

- Nếu a⋮m, a⋮n, (m,n) = 1 thì a⋮mn

- Nếu a chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì a chia hết cho tích của chúng

3/ Bổ sung một số dấu hiệu chia hết :

Ngoài các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 mà HS đã đợc học trong chơng trình SGK, cần bổ sung thêm một số dấu hiệu sau:

a) Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 :

Một số chia hết cho 4 (hoặc cho25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 ( hoặc cho 25)

b) Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 :

Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 ( hoặc cho 125)

c) Dấu hiệu chia hết cho 10:

Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0

d) Dấu hiệu chia hết cho 11 :

Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các số đứng ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết chia 11

4/ Bổ sung kiến thức về ƯCLN và BCNN :

a) Thuật toán Ơclit :

+ Nếu a⋮b thì ƯCLN(a,b) = b

+ Nếu a⋮b thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r)

(r là số d trong phép chia a cho b)

b) ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) = ab

5/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau :

+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có hai ớc là 1 và chính nó

Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất

+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ớc

+ Hai hay nhiều số đợc gọi là hai số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1

II Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải:

Bài tập về tính chia hết rất phong phú và đa dạng Trong phần này tôi chỉ đề cập

đến một số dạng toán điển hình, có thể phân loại nh sau :

1/ Các bài toán áp dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết :

* Dạng 1:

Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số: Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số nào đó, ngoài việc sử dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết đã biết rồi còn phải tuỳ theo từng trờng hợp cụ thể để kết hợp với một số kiến thức khác nh :Các tính chất của các phép toán, phép luỹ thừa, tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa, phép chia có d, cấu tạo số, số nguyên tố cùng nhau Cụ thể là :

a)Kết hợp với các kiến thức về luỹ thừa và tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa :

Ví dụ 1 :

Chứng minh rằng 34n + 1 + 2 ⋮5 với mọi n

- Phơng pháp : Tìm chữ số tận cùng của 34n + 1 + 2 rồi sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5

Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c chia hết cho 7

- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích abc thành tổng của hai

* Dạng 2 : Tìm các chữ số theo điều kiện về chia hết

• Ví dụ 6 :

Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 12

- Phơng pháp : Xét điều kiện để A⋮4 và cho 3 từ đó tìm ra các chữ số

* Dạng 3 : Tìm số nguyên theo điều kiện cho trớc

Ví dụ 7: Tìm các số nguyên x và y sao cho:

*Dạng 4: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ

Ví dụ 10: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với n nguyên

Vì (2,3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3

Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1)

Mà n, n + 1, n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1)2

Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k ∈ Z) + Nếu n = 3k thì n3 – n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 – 1) 3

Tìm ƯCLN của hai số bằng thuật toán Ơclit : nếu α = bq + r (0 < r < b) thì

ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r) Từ đó có cách tìm ƯCLN của hai số nh sau :

Lấy a chia cho b d r, Lấy b chia cho r d r1, Lấy r chia cho r1 d r2 Cứ tiếp tục nh vậy cho đến khi đợc số d bằng 0 thì số d cuối cùng khác 0 là ƯCLN phải tìm

Ví dụ 11: Trong một buổi liên hoan, ban tổ chức đã mua 96 cái kẹo, 36 cái bánh và

chia đều ra các đĩa, mỗi đĩa gồm cả kẹo và bánh Có thể chia đợc nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa, mỗi đĩa có bao nhiêu cái kẹo, bao nhiêu cái bánh?

Giải: Gọi số đĩa là a Ta phải có 96 a, 36 a, a lớn nhất Do đó a là ƯCLN( 96; 36)

Ta tính đợc a = 12 Chia đợc nhiều nhất thành 12 đĩa Mỗi đĩa có 96: 12 = 8 (kẹo)

36:12 = 3 ( bánh)

Ví dụ 12:

Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 ngời,

nh-ng xếp hành-ng 7 thì vừa đủ Biết số học sinh cha đến 300 Tính số học sinh

Gọi số học sinh là a ( 0 < a < 300 )

Ta có a + 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6 và 1 < a + 1 < 301 Do a 7, ta tìm đợc a+1 =

120 nên a = 119 Số học sinh là 119 ngời

Tìm hai số trong đó biết ƯCLN, BCNN

Khi giải các bài toán về tìm hai số trong đó biết ƯCLN, BCNN ta thờng sử dụng các kiến thức sau:

2) 1)(n n(n

2]

n 1), [n(n n nê b) (a,

ab b]

[a,

:

Mặt khác

+ +

+ +

= + +

=

2

2) 1)(n n(n

2]

n 1, n [n, + + = + +

, , , ,

.b da d

.db da d

ab

=

=

a = 12a,

ƯCLN (a,b) = 12 ⇔ b = 12b,

(a,, b,) = 1

a.b = ƯCLN (a, b).BCNN (a, b) = 12.72 ⇒12a, 12b, = 12.72 ⇒ a,.b, = 6

Do a ≥ b nên a, ≥ b, Chọn hai số có tích bằng 6, nguyên tố cùng nhau và a, ≥ b,,

12

5427

2

105

510

5025

Vậy có 5 cặp số thoả mãn là (1;54) ; (2;27) ; (5;50) ; (10;25) ; (11;44)

III Giúp đỡ học sinh tìm tòi một số lời giải bài toán

ở phần II đã nêu một số dạng toán điển hình, cách giải các dạng toán đó Song các bài toán về chia hết rất phong phú, đa dạng và không có một quy tắc chung nào

để giải, có những bài cùng nằm trong những dạng đã nêu trên nhng khi giải tơng tự thì lại gặp bế tắc Vì vậy khi hớng dẫn học sinh cần phân tích kỹ đầu bài để lựa chọn phơng pháp thích hợp, đi đến lời giải hợp lý Sau đây là một số bài toán cụ thể:

Bài 1:

Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b ∊ N) Chứng minh rằng 10a + b ⋮13

1, Phân tích đề bài:

Đề bài cho biết a + 4b ⋮ 13 và phải chứng minh 10a + b⋮13 Do đó cần nghĩ ngay

đến việc sử dụng giả thiết này bằng cách làm xuất hiện tổng hoặc hiệu của hai số, một

số chứa a + 4b, một số chứa 10a + b rồi xét tổng hoặc hiệu của chúng

Giáo viên gợi ý cho học sinh thấy hệ số của a ở X là 1, ở Y là 10 nên có thể nhân X với 10 rồi xét hiệu 10X – Y nhằm khử a hoặc nhân X với 3 rồi xét tổng 3X + Y, nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13 Nếu xét hệ số của b ta cũng làm tơng tự nh vậy, từ đó hớng dẫn học sinh tìm đợc nhiều cách giải bài toán

3, Lời giải vắn tắt: Đặt a + 4b = X, 10a + b = Y