Bài soạn Bai tap nghiep vu Hai

1.2 Cơ sở thực tiễn : Qua thực tiễn giảng dạy ở một số đơn vị trờng THCS trong và ngoài huyện tôi nhận thấy phần kiến thức đại số phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội d

Môc lôc

nghị quyết Trung ơng Đảng lần thứ 2 Khoá VIII của Ban chấp hành Trung

-ơng Đảng cũng đã khẳng định : “ Thực tế giáo dục nói chung, dạy học nói riêng của đất nớc ta hiện nay còn bộc lộ nhiều yếu kém” Trong phần đánh giá thực trạng giáo dục - Đào tạo Nghị quyết còn nêu rõ: “ Giáo dục - Đào tạo nớc ta còn nhiều yếu kém bất cập cả về qui mô cơ cấu, nhất là về chất l-ợng và hiệu quả Đáng quan tâm nhất là chất lợng và hiệu quả Giáo dục &

Đào tạo có những mặt yếu kém

Để đáp ứng yêu cầu của đất nớc trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện

đại hoá và đổi mới toàn diện, ngành Giáo dục và Đào tạo tiếp tục có những cải cách, đổi mới về chơng trình, sách giáo khoa, phơng pháp giảng dạy Đòi hỏi mỗi giáo viên phải không ngừng học tập, tự bồi dỡng chuyên môn nghiệp

vụ, tăng cờng công tác nghiên cứu khoa học nhằm nâng cao trình độ và năng lực s phạm để làm tốt hơn công tác giáo dục toàn diện cho học sinh

Đợc sự chỉ đạo thờng xuyên, kịp thời của Phòng Giáo dục Tam Nông , trơng THCS Thợng Nông tôi nhận thấy rằng việc tổng kết kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học thực sự là việc làm rất cần thiết, rất có ích của mỗi giáo viên nhằm góp phần khắc phục những mặt còn hạn chế về chất lợng, hiệu quả giáo dục nói chung và chất lợng dạy - học nói riêng

1.2 Cơ sở thực tiễn :

Qua thực tiễn giảng dạy ở một số đơn vị trờng THCS trong và ngoài huyện tôi nhận thấy phần kiến thức đại số phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung rất cơ bản và trọng tâm của đại số bậc THCS Đây

là kiến thức rất cần thiết để giải bài tập về Cộng trừ phân thức, rút gọn phân thức, chứng minh chia hết, tạo điều kiện cho việc giải phơng trình mà học sinh học ở kì II

Tuy vậy khi giảng dạy ở nội dung này, tôi phát hiện thấy rằng một bộ phận không nhỏ học sinh thờng gặp khó khăn hoặc không giải đợc một cách trọn vẹn hoặc cha triệt để Lý do chủ yếu là học sinh cha khai thác sâu các

phơng pháp, cha tổng quát hoá đợc thuật giải hoặc tổng quát hoá từng dạng bài.

ở trờng THCS Thợng Nông, việc giảng dạy bồi dỡng học sinh toàn diện và học sinh giỏi theo từng chuyên đề đã đạt đợc kết quả cao Từ những

lý do trên nên tôi chọn đề tài nghiên cứu : "Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử"

2 Mục đích nghiên cứu:

- Tìm ra đợc hệ thống các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

và những sai lầm thờng mắc phải của học sinh để tìm hớng khắc phục

- Nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện cho học sinh

- Tìm ra các hớng để đổi mới phơng pháp dạy học cho phù hợp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

3.1 Tìm hiểu cơ sở lý luận cho vấn đề nghiên cứu

- Tổng kết hệ thống các phơng pháp, kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử

3.2 Thực tiễn:

Tìm hiểu thực trạng nảy sinh vấn đề, phân tích tình hình học tập của học sinh để rút ra nguyên nhân

Hệ thống các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử , phát hiện những sai lầm thờng mắc phải của học sinh và đa ra cách khắc phục những sai lầm đó

Đa ra các dạng bài tập cơ bản, có lời giải hoặc hớng dẫn chi tiết một cách có hệ thống Đồng thời ra các bài tập tự giải để học sinh áp dụng, từ đó rèn kỹ năng và phát triển t duy logíc, tổng quát hoá cho học sinh

3.3 Đề xuất biện pháp giảng dạy chuyên đề một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

4 Phạm vi và đối tợng nghiên cứu :

4.1 Đối tợng nghiên cứu:

1.Cơ sở lý luận :

Trong những năm gần đây có sự quan tâm của Đảng và Nhà nớc đối với Ngành giáo dục đào tạo

- Đời sống của CB - GV đợc cải thiện nâng cao

- Kỷ cơng nề nếp của nhà trờng đợc hoàn thiện, củng cố vững chắc

- Chất lợng giáo dục toàn diện đợc nâng cao một bớc đáng kể

- Sự nghiệp giáo dục - đào tạo đã góp sức quan trọng trong công cuộc xây dựng công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc theo định hớng xã hội chủ nghĩa

Để có thành quả đó : Nhà trờng đặc biệt là đội ngũ cán bộ - giáo viên

có vai trò then chốt đặc biệt quan trọng Vì vậy cán bộ quản lý ở các nhà ờng cần phải tiếp tục học tập nâng cao nhận thức chính trị, kiến thức chuyên môn và nghiệp vụ để có năng lực lãnh đạo thích ứng với yêu cầu mới

tr-2.Cở sở thực tiễn

* Thuận lợi :

- Đa số học sinh có tinh thần học tập tốt, tích cực tham ra xây dựng bài

* Khó khăn:

- Trờng THCS Thợng Nông là trờng nằm ở vung khá hẻo lánh, dân số

phần lớn làm nông nghiệp, nhiều gia đình còn khó khăn nên việc quan tâm tới tình hình học tập của con cái còn cha chu đáo

- Một số học sinh cha ham học còn mải chơi

- Lứa tuổi học sinh còn biến đổi nhiều phức tập

Chơng II - Các biện pháp s phạm

nâng cao chất lợng

1 Biện pháp 1 : Điều tra thực nghiệm

- Qua quá trình giảng dạy phần kiến thức phân tích đa thức thành nhân

tử trong chơng trình đại số lớp 8, tôi nhận thấy đây là một trong những kỹ năng rất cơ bản trong quá trình biến đổi phân thức đại số, giúp ích cho việc giải phơng trình , biến đổi căn thức mà học sinh đợc học sau này Do phân phối chơng trình nên sách giáo khoa cha giới thiệu đầy đủ các phơng pháp khi phân tích đa thức thành nhân tử đồng thời vì nhận thức không đồng đều của một số học sinh nên kỹ năng phân tích đa thức nhân tử còn hạn chế

- Kết quả kiểm tra

- Việc xác định nhân tử chung cha thật chính xác, học sinh còn bỏ các nhân tử là các biến

- Cha phát hiện ra hằng đẳng thức hoặc phát hiện còn chậm

- Việc nhóm các hạng tử cha hợp lý

- Cha xác định đợc hạng tử phải tách hoặc tách cha hợp lý

- Học sinh đổi dấu cha thành thạo và phối hợp các phơng pháp

cha linh hoạt

2 Biện pháp 2 : Hớng dẫn theo từng phơng pháp ,có sự kết hợp các phơng pháp với nhau

- Tái hiện cho học sinh các kiến thức cơ bản có trong sách giáo khoa

- Đa các dạng bài tập nâng cao theo từng phơng pháp cho từng đối ợng học sinh

t-Một số phơng pháp phân tích đa thức

thành nhân tử và biện pháp khắc phục

những sai lầm của học sinh

* Trớc tiên học sinh phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là : Biến đổi đa thức thành tích của của những đa thức bậc nhát hay bậc hai không có nghiệm

3 Chú ý :

- Việc xác định nhân tử chung cần tiến hành nh sau :

+ Tìm ƯCLN của các hệ số trong các hạng tử của đa thức

+ Xác định nhân tử chung là tích của ƯCLN và các thừa số chung với luỹ thừa có bậc thấp nhất

- Nhiều khi trong khi phân tích cần đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung: Tổng quát: A = - (-A)

Có thể đa tổng quát ở dạng sau: (y-x) = -(x- y) để học sinh dễ nhận biết

Ví dụ: Viết dới dạng tích đa thức sau:

- Hạng tử bậc cao nhất của đa thức có dạng bình phơng hay lập phơng.

- Luật đổi dấu của các hạng tử trong đa thức

III Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử:

1 Phơng pháp:

Trong trờng hợp đa thức không có nhân tử chung hoặc cha xuất hiện hằng đẳng thức, ta có thể nhóm các hạng tử một cách thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức Khi nhóm cần lu ý:

+ Làm xuất hiện nhân tử chung

+ Làm xuất hiện một vế của hằng đẳng thức Hay đa về dạng HĐT

A2 - B2

+ Việc nhóm phải thực hiện đợc ở các bớc tiếp theo

2 VÝ dô Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

= [ xy(x + y) + xyz] + [yz( y + z) + xyz] + xz(x + z)

1 §èi víi ®a thøc bËc hai : ax 2 + bx + c ( a ≠0 )

Khi ph©n tÝch thµnh nh©n tö ta cã thÓ thùc hiÖn nh sau:

a Làm xuất hiện hệ số tỉ lệ:

* Phơng pháp:

+ Tìm tích ac

+ Phân tích tích ac thành tích của 2 số nguyên bằng mọi cách

+ Chọn 2 thừa số có tổng bằng b ( giả sử 2 thừa số đó là b1; b2) thì:

b Làm xuất hiện hiệu hai bình phơng ( nếu có thể )

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/ 3y2 - 8y + 4

b/ x2 + 4x +3

Lời giảia/ 3y2 - 8y + 4 = (4y2 - 8y + 4) - y2

= ( 2y- 2)2 - y2

= (y - 2)(3y - 2)

b/ x2 + 4x +3 = x2 + 4x + 4 - 1

= (x + 2)2 - 1

= ( x + 1)(x + 3)Các dạng bài trên cũng có thể sử dụng phơng pháp tách hạng tử nh trên để làm

* Chú ý :

Khi làm các bài tập cần suy nghĩ để làm theo nhiều cách tách khác nhau Cách nào thuận lợi hơn thì tiến hành theo cách đó

2 Đối với đa thức có bậc 3 trở lên:

* Phơng pháp: Cũng sử dụng các phơng pháp trên nếu việc phân tích gặp

khó khăn thì có thể làm nh sau :

Với đa thức có từ bậc 3 trở lên để dễ dàng xuất hiện hệ số tỉ lệ, ngời ta dùng cách tìm nghiệm của đa thức Trớc hết ta phải nắm đợc một số kiến thức về đa thức:

+ Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0

+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì nó có nhân tử là ( x - a)

+ Mọi nghiệm nguyên nếu có của đa thức f(x) phải là ớc của hệ số tự do

+ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì có nghiệm là x = 1.+ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc

lẻ thì có nghiệm là x = -1

+ Nếu đa thức f(x) có hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ p/q( nếu có) thì p là

-ớc của hạng tử tự do, còn q là -ớc dơng của hệ số cao nhất

+ Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hạng tử tự do không là nghiệm của đa thức ta cần chú ý nhận xét sau:

Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì

f(1)/ a -1 và f(-1) / a +1 đều là số nguyên

*.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a/ f(x) =x3 - x2 - 4

Cách 1 :Ta có thể tách

Ta cã ¦( 18) = { 1 ; 2 ;3 ;6 ;9 ;18}

DÔ thÊy 2 ; -3 ; 6 ;9 ;18 ;-6 ;-9 ;-18 kh«ng lµ nghÖm cña ®a thøc

KiÓm tra víi x = -2 ; 3 ta thÊy f(3) = 0

Đa thức có dạng f(x) = x3m+1 + x3n +2 + 1 đều chứa thừa số ( x2 + x + 1)

* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Đặt y = x2+ mx + ab đa thức trở về bậc 2 đối với biến y

* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2 VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö :

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Lêi gi¶i

Dễ dàng kiểm tra thấy đa thức trên không có nghiệm nguyên cũng nh nghiệm hữu tỉ.

Do đó nếu đa thức phân tích đợc ra thành nhân tử thì phải có dạng:

Sử dụng tính chất của đa thức đối xứng, đẳng cấp nhiều ẩn

Sử dụng định lý Bơzu mở rộng P[g(x,y,z),y,z] = 0 thì P(x,y,z) chứa nhân tử ( x- g)

Trong thực hành ta tiến hành theo các bớc sau:

Bớc1: Định dạng của P(x,y,z)

Nhẩm lấy 1 giá trị g ( có thể là 1 biểu thức đối với y,z) sao cho:

P[g(y,z),y,z] = 0 Khi đó P(x,y,z) chia hết cho ( x - g) nhng do vai trò của x,y,z nh nhau nên

P(x,y,z) = ( x- g) (y - g)( z - g) Q(x,y,z)

Bớc 2 : Tìm Q(x,y,z)

Bớc 3 : Kết luận dạng phân tích của P(x,y,z)

2 Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

Vậy P(x,y,z) = k( x - y)( y - z)( z - x)

+ Ta nhận thấy k là hằng số vì P(x,y,z) và ( x - y)( y - z)( z - x) đều có bậc 3 đối với các biến

+ Vì đẳng thức :

x2( y - z) + y2( z - x) + z2( x - y) = k( x - y)( y - z)( z - x) đúng với các biến nên thay (x,y,z) = ( 2 ;1 ;0) Ta có :

4.1 + 1.(-2) +0 = -2k

=> k = -1

Vậy P(x,y,z) = - ( x - y)( y - z)( z - x)

IX Phơng pháp sử dụng các kết qủa đã biết :

Trong toán học, nhiều khi đòi hỏi ngời làm toán phải linh hoạt biết vận dụng những kết quả đã biết để vận dụng vào giải quyết những vấn đề mới, nh vậy lời giải sẽ ngắn gọn hơn và dễ dàng hơn

1 Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

( x - y)3 + ( y - z)3 + ( z - x)3

Lời giải

Bài toán này có thể giải bằng phơng pháp xét giá trị riêng, nhng ở đây ta

sẽ sử dụng 1 kết quả của bài toán “ Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz”

đã biết để giải

Thật vậy từ x + y + z = 0 => x = - ( y + z)

- Kiểm tra hiệu quả của đề tài nghiên cứu

- Tìm ra những thiếu sót ,những khuyết điểm cũng nh các biện pháp khắc phục để hoàn thiện đề tài cũng nh nâng cao chất lợng học sinh.

2 Nội dung thực nghiệm

(Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong chơng trình thực hiện

là 6 tiết từ (tiết 9 đến tiết 14) nhng trên đây tôi chỉ nêu lên 2 tiết dạy )

Học sinh quan sát và trả lời

- HS: Trả lời miệng (nhóm nhiều hạng tử,dùng HĐT và đặt nhân tử chung )

số của đa thức sau khi tách sau đó

so sánh với các hệ số của đa thức

4.Củng cố:Gv chốt bài ,lu ý học sinh cần vận dụng linh hoạt các phơng pháp

để làm bài ,tìm hiểu thêm một số cách phân tích đa thức thành nhân tử khác

C.Phơng pháp:Luện tập củng cố đan xen hoạt động nhóm

3 2

)2

= (49, 75 + 0,25)2

= 502 = 2500b) x2 - y2 - 2y - 1

đến đây bài toán trở nên đơn giản

GV: Tại sao ở đây ta lại thêm bớt 4x2

Học sinh tién hành làm tiếp và trả lời

Ví dụ 2: phân tích các đa thức sau thành

nhân tử: x3 - x2 - 4

GV:Đối với các đa thức có bậc 3 trở lên

nh đa thức trên việc tách mà không có

căn cứ cụ thể xẽ mất nhiều thời gian và

đôi khi đi vào bế tắc

Đối với đa thức có bậc 3 trở lên

* Phơng pháp

Với đa thức có từ bậc 3 trở lên để dễ

dàng xuất hiện hệ số tỉ lệ, ngời ta dùng

cách tìm nghiệm của đa thức

+ Mọi nghiệm nguyên nếu có của đa thức

f(x) phải là ớc của hệ số tự do

+ Nếu đa thức f(x) có hệ số nguyên,

nghiệm hữu tỉ p/q( nếu có) thì p là ớc của

LÇn lît kiÓm tra víi

x = -4; -2; -1; 1; 2; 4 ta thÊy:f(2) = 23 - 22 - 4 = 0

Qua quá trình giảng dạy, bằng cách cung cấp và hớng dẫn một cách

hệ thống và cơ bản về lý thuyết và bài tập cho học sinh Từ chỗ đa số học sinh khi gặp các bài toán mà không có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức, thờng rất lúng túng và khó khăn trong việc xác định hớng giải quyết bài toán, thiếu tính linh hoạt Thì sau đó học sinh đã biết cách phân tích tìm tòi lời giải biết áp dụng nhiều phơng pháp để giải quyết bài toán, đặc biệt các em đã biết tổng quát hoá thành các dạng toán nhằm khắc sâu kiến thức và có phơng pháp giải rõ ràng cho từng bài toán

Với bản thân khi giảng dạy phần kiến thức về phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử tôi đã giới thiệu từng phơng pháp thông qua các ví dụ cụ thể cho học sinh tự làm, qua đó chỉ rõ các sai lầm, thiếu hụt về kiến thức của học sinh do đó giáo viên uốn nắn kịp thời và cung cấp đợc kiến thức cơ bản

mà học sinh còn thiếu hụt

Với phơng pháp phát huy tính tích cực của học sinh, đồng thời cung cấp có hệ thống lý thuyết , bài tập cơ bản học sinh đã chủ động tiếp nhận và dần yêu thích môn học

Sau khi học tập chuyên đề này học sinh đợc làm bài kiểm tra và đợc

đánh giá thông qua kết quả khảo sát, cụ thể nh sau:

Đề bài kiểm tra khảo sát Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

25 5 20 12 48 5 20 3 12

Nh vậy so sánh với kết quả khảo sát trớc khi giảng dạy chuyên đề với

25 học sinh lớp 8 trờng THCS Thợng Nông tôi nhận thấy tỉ lệ học sinh có

điểm yếu và trung bình đã giảm rõ rệt , học sinh có điểm khá , giỏi có tăng

D Những bài học kinh nghiệm :

Qua kết quả và kinh nghiệm giảng dạy thực tế chuyên đề này tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:

1.Khi giảng dạy giáo viên phải giới thiệu đầy dủ và có hệ thống các phơng pháp của từng dạng toán

2 Cung cấp cho học sinh các kỹ năng phân tích tìm tòi lời giải, phát hiện hớng giải của bài toán

3 Đa ra các ví dụ qua đó phân tích rõ những sai lầm thờng mắc phải của học sinh khi phân tích đa thức thành nhân tử

4 áp dụng nhiều phơng pháp trong giảng dạy, đặc biệt lu ý phơng pháp nêu vấn đề

5 Phân tích rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh chủ động và có ý thức cao trong học tập

Phần iii – kết luận và kiến nghị

1 - Kết luận :

áp dụng chuyên đề một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân

tử có một tác động tích cực để nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện trong nhà trờng nói chung và kiến thức bộ môn toán nói riêng

Nội dung cơ bản của chuyên đề phản ánh đợc những nét chung nhất và

hệ thống hoá kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử, là tài liệu để bồi dỡng học sinh toàn diện và học sinh giỏi THCS

Đây là một hệ thống phơng pháp và bài tập cụ thể không chung chung Trên cơ sở kiến thức chuẩn bộ môn giúp giáo viên có khả năng tự mình trau dồi kiến thức và dạy kiến thức này cho ngời học