[r]
Trang 1đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
môn toán
( Thời gian: 150 phút)
Bài 1:( 2.5 đ) Cho biểu thức
P = x2−√x
x +√x+1 -
2 x +√x
√x +
2( x −1)
√x −1
a Tìm x để biểu thức P có nghĩa
b Chứng minh P = x- √x + 1 có nghĩa
c Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2:( 1 đ) Giải hệ phơng trình
¿
− x +2(x + y)=1
2(x + y )+5 y=5
¿ {
¿
Bài 3:(2.5 đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol( P): y=x2 và đờng thẳng
( d): y = 2(m+1)x - 4m+1
a Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đờng thẳng( d) luôn cắt ( P) tại hai điểm phân biệt A, B
b Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 sao cho
hệ thức đó không phụ thuộc vào m
Bài 4:( 3 đ) Cho đờng tròn tâm O bán kính R, một dây cung CD có trung
điểm H Trên tia đối của tia CD lấy điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB của đờng tròn Đờng thẳng AB cắt SO và OH lần lợt tại E và F
a Chứng minh OE.OS = R2
b Chứng minh tứ giác SEHF là nội tiếp
c cho R= 10 cm, OH = 6 cm, SD = 4 cm Tính độ dài CD, SA
Bài 5:(1 đ) Cho x,y là hai số thực thoả mãn x.y = 1
Chứng minh: 4
❑(x + y)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đáp án môn toán tuyển sinh 10
Bài 1:( 2.5 đ)
Trang 2a ĐK:
¿
x >0
√x −1 ≠ 0
¿
¿ {
¿
⇔
¿
x >0
x ≠ 1
¿
¿ {
¿
b P = √x((√x)3−1)
x +√x +1 -
√x( 2√x +1)
√x +
2 (√x − 1)(√x +1)
√x −1
= √x(√x −1)(√x2+√x +1)
x +√x+1 - 2 √x - 1 + 2 √x +2 = x - √x +1
(đpcm)
c P = ( √x )2 - √x + 1 = ( √x - 1
2 )2 +
3 4
⇒ Min P = 3
4 ⇔ x = 1
4
Bài 2:( 1 đ)
Ta có:
¿
− x +2 x +2 y=1
2 x +2 y +5 y =5
¿ {
¿
⇔
¿
x+2 y =1
2 x +7 y=5
¿ {
¿
⇔
¿
2 x +4 y=2
2 x+7 y =5
¿ {
¿
⇔
¿
x=−1
y =1
¿ {
¿
Bài 3: Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phơng trình:
x2 = 2(m +1)x - 4m +1 ⇔ x2 -2(m +1)x + 4m -1 = 0 (*)
a Ta có: Δ ’ = (m +1)2 - 4m + 1 = (m-1)2 +1 > 0 ∀ m ⇒ (*) có hai nghiệm phân biệt ⇒ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b Ta có:
¿
x1+x2=2(m+1)
x1x2=4 m− 1
¿ {
¿
⇔
x
2( ¿¿1+x2)=4 (m+1)
¿
¿x1x2=4 m− 1
¿ {
¿
⇔ 2(x1 + x2) -x1x2
= 5
Bài 4:
a Xét hai tam giác vuông EOA và AOS ta có ∠ AOS chung
Trang 3⇒ Δ
EOA
Δ
AOS
⇒
OE
OA =
OA
OS ⇔ OE OS = OA2 = R2 (đpcm)
b Do H là trung điểm CD
⇒ OH SC ⇒ ∠ SHF = 1 v (1)
SA, SB là tiếp tuyến ⇒ SO AB
⇒ ∠ SEF = 1 v (2)
Từ (1),(2) ⇒ SEHF nội tiếp
c Ta có CD = 2HD = 2 √OD 2 − OH2 = 2 √R2 − OH2 = 16 (cm)
SO2 = OH2 + HS2 = OH2 +( HD + SD)2 = 36 +(4 + 8)2 =180
⇒ SA = √SO 2 − OA2 = 4 √5
Bài 5: Ta có
4
(x + y )2 + x2 + y2 3 ⇔ 4
x2+y2+ 2 + x
⇔ 4 + ( x2 +y2 )2 +2(x2 +y2) 3(x2 +y2 ) +6
⇔ ( x2 +y2 )2 - 4( x2 +y2) +4 +3( x2 +y2 ) - 6 0
⇔ [(x2 +y2) -2]2 +3[x2 +y2 - 2xy] 0
⇔ [(x2 +y2) - 2]2 + 3(x-y)2 0 đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
¿
x2+y2=2
x= y
¿ {
¿
⇔
¿
x =±1 y=± 1
¿ {
¿