Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia những năm gần đây tôi thấy bắt gặp một số bài toán theo kiểu: Vật đang chuyển động ổn định ở quỹ đạo tròn thì có một tác động nhỏ làm cho vật dao động. Tìm chu kì dao động. Qua tìm hiểu tôi thấy các bài toán trên là một trong các ví dụ liên quan đến lý thuyết dao động nhiễu loạn trong lĩnh vực cơ học. Đây là một lý thuyết rất hay và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt là các bài toán liên quan đến chuyển động của vệ tinh. Để tìm được chu kì dao động nhiễu loạn thường có hai cách: Cách thứ nhất là dựa vào thế năng hiệu dụng, cách thứ hai dựa vào khai triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển động ổn định của vật. Do thời gian có hạn tôi xin trình bày theo cách thứ hai: tìm chu kì dao động nhiễu loạn bằng phương pháp triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển động ổn định của vật. Nội dung chuyên đề gồm các phần sau: Phần 1: Cơ sở lý thuyết nhiễu loạn Phần 2: Các bài tập vận dụng với lời giải chi tiết Phần 3: Các bài tập ôn luyện và đáp số
Trang 1Chuyên đề dao động nhiễu loạn
Lời mở đầu
Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia những năm gần đây tôi thấy bắt gặp một số bài toán theo kiểu: Vật đang chuyển động ổn định ở quỹ đạo tròn thì có một tác động nhỏ làm cho vật dao động Tìm chu kì dao động Qua tìm hiểu tôi thấy các bài toán trên là một trong các ví dụ liên quan đến lý thuyết dao động nhiễu loạn trong lĩnh vực cơ học Đây là một lý thuyết rất hay và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt là các bài toán liên quan đến chuyển động của vệ tinh Để tìm được chu kì dao động nhiễu loạn thường có hai cách: Cách thứ nhất là dựa vào thế năng hiệu dụng, cách thứ hai dựa vào khai triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển động ổn định của vật
Do thời gian có hạn tôi xin trình bày theo cách thứ hai: tìm chu kì dao động nhiễu loạn bằng phương pháp triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển động ổn định của vật
Nội dung chuyên đề gồm các phần sau:
Phần 1: Cơ sở lý thuyết nhiễu loạn
Phần 2: Các bài tập vận dụng với lời giải chi tiết
Phần 3: Các bài tập ôn luyện và đáp số
Phần 1: Cơ sở lý thuyết
Trong dao động nhiễu loạn ta hay gặp bài toán chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm Vì vậy ta nhắc lại một số lý thuyết liên quan
1 Hệ tọa độ cực
r z
OMuuuur=r er +z er
Biểu thức vận tốc trong hệ tọa độ cực:
v vr r= +vrθ =v er +v eθ θr =r er +rθ erθ
Các đạo hàm của vecto đơn vị:
' ' ;r r' '
erθ = −θ er er =θ erθ
Biểu thức gia tốc trong tọa độ cực
a ar r= +arθ =a er +a eθ θr
( ) ( r r) d v e
d v e dv
a
θ θ
= r = r + r
r
( ) ( ) ( )r ( )r
2
a r er= r +r θ erθ +rθ −er +erθ θ r r+ θ
2
( '' ' ) r (2 ' ' '')
ar = r −rθ er + r θ +rθ erθ
Trang 22 Phương trình chuyển động của vật trong trường xuyên tâm
Phương trình chuyển động của vật trong trường xuyên tâm viết trong trong hệ tọa độ cực
'' ' F r dV r
θ
( ( )F r là thành phần lực theo phương err
)
2
1 ( ')
θ
θ + θ = = =
(F là thành phần lực theo phương e t θ
r )
3 Định luật bảo toàn momen động lượng trong trường xuyên tâm
Từ biểu thức: 2 ' 'r θ +rθ'' 0=
2
0
d r
r dt
θ
2 '
⇔ = θ = = hằng số
(Định luật bảo toàn momen động lượng viết trong hệ tọa độ cực )
4 Sơ lược về lý thuyết nhiễu loạn
Trong quá trình phân tích các hệ thống động học trên khía cạnh cân bằng và ta phải giải quyết bài toán về sự nhiễu loạn và các thông số biến đổi Lý thuyết nhiễu loạn được ứng dụng rộng rãi Chúng ta sẽ trình bày trong phần này một vài ý tưởng cơ bản và một số ứng dụng cho các bài toán về tính chu kì dao động nhiễu loạn quanh quỹ đạo ổn định
Đầu tiên chúng ta xem xét sự khai triển hàm ( , , )F α β γ quanh giá trị mốcF0( ,α β γ0 0, )0 Với
α α δα β β δβ= + = + (δα δβ, là rất nhỏ) Ta thừa nhận hàm này ( , , )F α β γ có đạo hàm ở mọi
cấp Ta có thể viết:
= + = + ÷ + ÷ +
0
,
1
2!
α
Bỏ qua số hạng vô cùng nhỏ bậc hai trở đi ta viết:
Trong đó δFlà lượng thay đổi nhỏ của hàm F quanh giá trị mốc F khi các tham số , 0 α β biến đổi
nhỏ Trong một số trường hợp , , α β γ lại là hàm ẩn theo biến số khác (ví dụ theo thời gian).
Trang 3Phần 2: Bài tập vận dụng Bài 1: Một chất điểm khối lượng m chuyển động trong trường xuyên tâm O có biểu thức lực xuyên tâm
có dạng ( )F r
a) Ở quỹ đạo tròn ổn định, hạt có vận tốc v và bán kính quỹ đạo tròn là 0 r Tìm liên hệ giữa 0 v r0, 0
b) Một tác động nhỏ làm hạt lệch khỏi quỹ đạo ổn định Tìm điều kiện để hạt dao động quanh quỹ đạo ổn định và tìm tần số góc dao động đó
Giải
a) Tại quỹ đạo ổn định, lực xuyên tâm ( )F r đóng vai trò lực hướng tâm
( )
2
0
0 0
v
r = −
b) Phương trình chuyển động theo phương bán kính là:
2
3
C
r
&
&& &&
(với C r v= 0 0 là momen động lượng của vật lúc ban đầu)
( ) 02 20
3
r v
r
== − ÷
&& Xét sự lệch nhỏ so với quỹ đạo tròn, ta viết: r r= 01+ε( )t Khai triển lực ( )F r quanh trị F r ta ( )0
được:
0
'
m +ε m + = ε&&− r − ε +
Sử dụng kết quả: 02 ( )
0 0
v
r = −
ta viết lại biểu thức trên:
( )
2
0 0
2
0
' 3
0
F r v
ε + − ÷ε =
0 0
3 1
F r
F r
&&
Vậy điều kiện để vật chuyển động trong quỹ đạo ổn định là:
( )0 ( )
0 0
3
F r
F r
r + <
Tần số góc dao động của hạt quanh quỹ đạo cân bằng là:
( )0 ( )
0 0
3 1
'
F r
F r
ω= + ÷
Bài 2: Một chất điểm khối lượng m chuyển động trong trường xuyên tâm O có biểu thức lực xuyên tâm
có dạng ( ) n
K
F r
r
−
= Một tác động nhỏ làm hạt lệch khỏi quỹ đạo ổn định Tìm điều kiện để hạt dao động quanh quỹ đạo ổn định
Trang 4Các phương trình chuyển động của hạt viết trong hệ tọa độ cực là:
( 2) K n 0
m r r
r
θ
− & + =
&&
và r2θ = =& h const
Suy ra
2
m r
− + =
&&
Phương trình nhiễu loạn của vật là:
2
0
n
δ + − + ÷δ = ÷δ =
&&
(1) Tại quỹ đạo tròn ổn định ta có:
2 2 3
n
mr
r = θ&= r
⇒ K mh r= 2 n− 3
Điều kiện để quỹ đạo ổn định là hệ số của δrphải dương:
3
3
mh mh n
n
r > r → <
Bài 3: Xét chuyển động của các e trong 1 từ trường đối xứng trục Giả thiết tại z = 0 (xOy), thành phần
bán kính của từ trường bằng 0 (urB ( 0) z = = B k rur) Các electron tại z = 0 chuyển động tròn bán kính R.
a) Xác định mối quan hệ giữa động lượng và bán kính quỹ đạo
b) Trong máy Betatron, các e được gia tốc bởi 1 từ trường biến thiên Lấy Bav là giá trị trung bình của từ
trường trên mặt phẳng quỹ đạo( trong quỹ đạo), từ thông qua quỹ đạo là
2
B
Tại bán kính
R, lấy từ trường là B0
b1) Giả thiết B thay đổi 1 lượng av ∆B av và ∆ B0, hỏi phải có liên hệ gì giữa ∆ Bav và ∆ B0 để e
vẫn chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính R khi động lượng của chúng tăng
b2) Giả thiết thành phần z của từ trường biến thiên theo quy luật B rz( ) An
r
= Tìm tần số dao động theo phương bán kính (xét sự lệch nhỏ khỏi VTCB theo phương bán kính ) Tìm điều kiện n để có ổn định
Giải
a)Phương trình chuyển động quay của vật theo phương bán kính:
2
R (1)
mV R eB V
eBV
m
⇒ =
=
Mômen động lượng của hạt:
Trang 5R R
b) Khi Bav thay đổi dBav thi B0 thay đổi dB0
Trên quỹ đạo của hạt e xuất hiện điện trường E tiếp tuyến quỹ đạo:
2 2
2
av
av
dt
dB R Edt
π
π =
Lực điện do E tác dụng lên e gây ra 1 xung lực X:
eRdB 2
av
dV
m
Vi phân phương trình trên ta được: 0
eR
m
=
0
0
eRd eR 2
2
av
av
B
dB
B B
=
∆
⇒ ∆ = c)Ở VTCB vật có hạt chuyển độn trên đường tròn bán kính r0
0
0
r
n
V
Khi vật lệch 1 đoạn rất nhỏ x theo phương bán kính: r r = +0 x
Bảo toàn mômen động lượng:
0 0
0 0 0 0
0
r
=
V
=
Xét hệ quy chiều gắn với bán kính:
Phương trình chuyển động hướng tâm:
Trang 62 2
2 2 1
2 2
2 2 0
x
x
1 3x 1 (n+1)x
3x (n+1)x
x + ( ) 0
x + (2 ) 0
n
n
mV
eBv m r
m
m
e A
e A
n x
m r
−
′′
′′
′′
′′
′′
Vậy hạt dao động với tần số:
A 2
2 rn
e
m
π
Điều kiện để hạt có dao động ổn định: n < 2
Bài 4: Một vật khối lượng m, điện tích q chỉ có thể dịch chuyển không ma sát trong mặt phẳng trong của
nón có góc mở 2α Một điện tích –q đặt cố định tại đỉnh nón Bỏ qua tác dụng trọng lực Tìm tần số dao
động nhỏ của vật quanh quỹ đạo tròn
Giải
Khi chuyển động vật chịu tác dụng của 2 lực: F Fr rlt, d
Gọi ω0,r là vận tốc góc và bán kính quỹ đạo vật tại quỹ đạo tròn ổn định 0
F =F
2
0 0 2
0
sin
sin
kq
m r r
kq2sinα =m rω0 02 3 (1)
Gọi ω, r là vận tốc góc và bán kính quỹ đạo khi vật lêch khỏi quỹ đạo cân bằng đoạn x nhỏ theo đường
sinh Ta viết: r r= +0 xsinα
Bảo toàn momen động lượng: m rω 2 =m rω0 02 ⇒
2
0 0 2
r r
ω
ω =
Phương trình chuyển động của vật theo phương đường sinh:
2 2
sin
sin
kq
r
′′ = − +
2 4
0 0
sin
sin
r kq
m
ω
Trang 7
2 4
0 0
sin
sin
r kq
m
ω
3 0
3 sin sin
r
−
( do x << r ) (2)0
Thay (1) vào(2) được: mx′′ = −xmω02sin2α
0sin
x′′ = −xω α
Vậy vật dao động nhỏ với tần số
0sin 2
π
=
Bài 5: Một hạt chuyển động không ma sát trong vách một hình đối xứng được cho bởi phương trình
2
b
z= x +y
với b là hệ số cố định Hạt đang chuyển động ổn định ở độ cao z = z0 nhưng bị hơi ấn xuống dưới Tìm tần số góc dao động nhỏ của hạt quanh quỹ đạo tròn ổn định
Giải
Cắt tiết diện Oxz Do y = 0 nên
2
2
b
Bán kính quỹ đạo ở vị trí cân bằng
2
2
z b
b
Hệ số góc tiếp tuyến: tanα0 = b.x0
Chiếu các lực theo phương tiếp tuyến:
sin cos
Khi ấn xuống đoạn nhỏ dz << z
Ta có:
b
Bảo toàn momen động lượng có
Trang 8( )2 ( )
0
2 x x x dx x 2 x dx 1 dx
x
ω =ω =ω − =ω − → =ω ω + ÷
Chiếu các lực theo phương tiếp tuyến
2
sin cos
cos
mx
α
− = &&
0
0
4 sin cos cos 1 dx
x
&&
0
4 tan cos cos 1 dx
x
&&
0
4 cos cos 1 dx
x
&&
2 0 0
4 cos dx
x
α
(do cos α ≈ cos α0)
Suy ra
2
4 cos
gb
Bài 6: Hai chất điểm m1,m2nối với nhau bằng một sợi dây dài L đi qua 1 lỗ tròn trên bàn Dây và chất
điểmm chuyển động không ma sát trên mặt bàn,1 m chuyển động theo phương thẳng đứng.2
a) Tốc độ m bằng bao nhiêu để1 m đứng yên cách bàn d ?2
b) Tìm tần số góc dao động nhỏ của m2 quanh quỹ đạo tròn ổn định
Giải
a) Phương trình động lực học của hệ viết trong hệ tọa độc cực
1
2
m
T r
r− θ =−
(1)
1
2
m
E r
rθ+ θ= θ
)(2 ở quỹ đạo tròn Eθ =0 ; r =0,r=0
d l r
r= o = −
Trang 9m đứng yên⇒T =m2g,v1r =0 thay vào )( ta có1
1
2 2
m
g m
r oθ =
⇒ m r o
g m
1
2
2 =
θ
2 1
1
) (
m
d l g m r v
b) Phương trình nhiễu loạn có r =r o +dr ,θ =θo+dθ
Từ )( 2 ⇒ 2d r.θo+r o.dθ=0
d r dt
dr
o o
θ
θ
o
r
dr
dθ θ
=−2
)( 3
2
) )(
(
m
T d
dr r r
d− o + θo + θ = −
2 2
2
m
T dr
d r r
r
d− oθo − oθo θ− θo = −
2 1
2
2
m
g m m
T dr
d r r
d− oθo θ− θo = − +
2 1
2 2
4
m
g m m
T dr
dr r
d+ θo − θo = − +
2 1
2
3
m
g m m
T dr
r
d+ θo = − +
⇒
r d a m
T g m dr
m
m r d m
m
1
2 2 2
1 2
⇒
0 3
2
2
− +
d l
g r d m
m m
Vậy m dao động nhỏ với2 ( )( )
3
2 1
2
m m d l
g m
+
−
=
ω
Bài 7: Một vệ tinh khối lượng m lúc đầu chuyển động ở quỹ đạo tròn bán kính 2R đối với Trái Đất Sau
đó vệ tinh chịu một lực đẩy độ lớn 10 mg−4 0 theo phương eθ trong khoảng thời gian một vòng quay Tính
sự thay đổi nhỏ của vận tốc và bán kính quỹ đạo vệ tinh giữa 2 thời điểm bắt đầu và ngừng tác dụng lực
Trang 10- Ta có các phương trình chuyển động của vệ tinh:
2
2
hd r
a r r
θ
′′ ′
= − = = −
(1)
m
θ = ′ ′θ + θ′′=
(2)
- Ở quỹ đạo trong ban đầu: F=0,θ′′=0,r′=0,r′′=0 nên: r r= =0 2R
2
2
2
g R g R
R
θ′ = =
(3)
v
ω θ′= = = ⇒ =
- Xét sự nhiễu loạn do xuất hiện lực F 10 mg= −4 0 theo phương tiếp tuyến.
Giả sử: r r= +0 δr và θ θ δθ′= +0′ ′ Khi đó các pt (1), (2) trở thành:
(1):
( ) ( )2 ( 0 2)
0
δ
′′− + ′+ ′ = −
+
2
δ ′′− +δ θ′ + θ δθ δθ′ ′+ ′ = − + δ
2
δ ′′− θ′ − θ δθ δ θ′ ′− ′ + θ δ δθ′ ′= − + δ
Bỏ qua số hạng rất nhỏ 2θ δ δθ0′ r ′ và thay (3) vào ta được:
2
0
2
r
δ ′′− θ δθ δ θ′ ′− ′ = δ
0
0 0
3
8
g
R
δ ′′− θ δθ′ ′− δ =
(4) (2): 2 r ( 0 ) (r0 r) F
m
δ θ δθ′ ′+ ′ + +δ δθ′′=
Trang 112δ θr′ ′ 0 +2δ δθr′ ′+r0δθ′′+δ δθr ′′=10−4g0
Bỏ qua số hạng rất bé, ta được:
2δ θr′ ′ 0+r0δθ′′=10−4g0
Lấy tích phân 2 vế theo thời gian:
2 δ θr 0′+r0δθ′=10−4g t0
⇒r0δθ′=10−4g t0 −2 δ θr 0′ (5)
Thay (5) vào (4) được:
3
8
g
R
δ ′′− θ′ − − δ θ′ − δ =
3
8
g
R
δ ′′− θ′ − + θ δ′ − δ =
Thay (3) vào có:
4
0
δ ′′ + δ − − =
Phương trình trên cho nghiệm có dạng:
0
δ = ω ϕ+ + −
Tại t=0: δr= Acosϕ =0
δr′ = −Aωsinϕ+4 2g R0 10−4 =0
Suy ra:
4
0
2
8
g R
g R
π
Sau 1 vòng quay(t T= ):
4 0
0
8
16 10 2
R
r
π
v r
δ δ δθ θ
θ
′
′
′
Từ(5) có:
δ δθ
′
Suy ra:
4 0
10 g t
4 0
8
2
R
v
π
δ = − − π − = π − − π − = − π −
Trang 12Bài 8: Ba hạt cùng khối lượng m được đặt ở 3 đỉnh của 1 tam giác đều cạnhl Ban đầu truyền cho chúng
vận tốc đầu 0
GM
v =
l có phương và chiều như hình vẽ Giả sử rẳng chỉ có trọng lực tác dụng Tính rmin
và rmax trong chuyển động tiếp theo của các vật Tính chu kì chuyển động của hệ.
Giải
- Rõ ràng theo tính đối xứng của hệ ban đầu và vận tốc, 3 hạt sẽ luôn tạo thành 1 tam giác đều Khoảng cách l sẽ thay đổi, tốc độ góc θ& sẽ thay đổi nhưng vẫn bảo toàn động lượng hệ.
- Giờ ta sẽ đi tính năng lượng tổng cộng của hệ:
- Thế năng của hệ ( l r= 3 ):
= − = −
- Động năng của hệ:
d = mv = m r&+r θ&
- Bảo toàn năng lượng:
0
θ
&
(1) Momen động lượng hệ được bảo toàn:
2
0
0 2
3
3 r
2
2 3
cv r
θ θ
⇒ =
&
&
(2) Khi r đạt cực đại hay cực tiểu, r&=0, thay vào (1), kết hợp với (2) ta có:
2
c
r c
Thay giá trị v ta nhận:0
Trang 13y
O
ω
2 2
min
max
2
0 12 3
1 1 ( ) 0,077 2
3
1 1 ( ) 1,077 2
3
⇒
- Giờ chúng ta hãy nói đến lực tác dụng lên từng hạt Các lực này có phương bán kính
- Gọi F là lực tác dụng lên từng vật, ta có: r
2 2
W 1
t r
Gm F
∂
= − = −
∂
- Như vậy mỗi vật chịu 1 lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ vật tới tâm O
- Từ lực F ta suy ra hệ số hấp dẫn của hệ là: r 3
Gm
µ =
- Mỗi hạt chuyển động theo quỹ đạo hình elip với bán kính trục lớn:
- Từ đó ta tìm được chu kì chuyển động của hệ:
3
T
Gm
µ
Phần III: Bài tập ôn luyện Bài 1: Một dây kim loại cứng mảng được uốn sao cho nếu đặt trục Oy thẳng đứng trùng với một phần của
dây thì phần còn lại của nó trùng với đồ thị hàm số y ax= 3với x > 0 Quay đều dây quanh trục Oy với tốc
độ góc ω Một hạt có khối lượng m được đặt sao cho có thể chuyển động không ma sát dọc theo dây Tìm
tọa độ của hạt ở VTCB M (x0, y0) và tìm chu kì dao động bé của hạt xung quanh vị trí cân bằng
Đáp số:
4 2 2
2
3
ag
Bài 2: Một bánh xe có momen quán tính I có thể quay quanh trục nằm ngang đi qua tâm O Vật khối
lượng m có thể trượt tự do dọc theo một lan hoa, vật này được gắn với lò xo lồng qua lan hoa, đầu còn lại
Trang 14lò xo gắn vào tâm O Cho lò xo có chiều dài tự nhiên là L và độ cứng k Cho bánh xe quay với tốc độ góc
0
ω Gọi r là khoảng cách từ vật đến tâm O khi nó nằm cân bằng trong hệ quy chiếu gắn với bánh xe 0
Tìm tần số góc dao động nhỏ của vật quanh quỹ đạo tròn ổn định
Đáp số:
2
2 0
0 2 0
k
−
ω = + ÷ω
+
Bài 3: Một con lắc đơn có chiều dài dây là l quay đều để dây treo quét nên hình nón có góc ở đỉnh 2θ0
Tìm tần số dao động nhỏ của vật nặng m khi góc θ0 lệch giá trị nhỏ.
Đáp số:
2 0 0
0
sin
cos
g a
θ
θ
Bài 4: Một hạt khối lượng m, điện tích e chuyển động treo quỹ đạo tròn cân bằng bán kính r0 trong mặt phẳng nằm ngang Từ trường có phương thẳng đứng và có tính đối xứng trụ Biết từ trường giảm theo
khoảng cách đến trục theo công thức z( ) n
A
B r
r
=
(với 0 < n <1) Xác định tần số dao động thẳng đứng ωz
của hạt trên quỹ đạo cân bằng này trong trường hợp hạt bị lắc nhẹ theo phương ngang
Đáp số:
0
( )
z Z
eB r
n m
ω =
Bài 5: Trong trường xuyên tâm, một vật đang chuyển động theo quỹ đạo elip ổn định thì vận tốc tiếp
tuyến biến thiên một lượng nhỏ ∆v thì sẽ dẫn đến sự biến đổi nhỏ của bán kính trục lớn (a) và chu kì (T) như thế nào ?