bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề dao động nhiễu loạn

Cắt tiết diện Oxz... Dây và chất điểmm1chuyển động không ma sát trên mặt bàn,m2 chuyển động theo phương thẳng đứng... Tính rmin và rmax trong chuyển động tiếp theo củ

Trang 1

Chuyên đề dao động nhiễu loạn

Lời mở đầu

Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia những năm gần đây tôi thấy bắt gặp một số bài toán theo kiểu: Vật đang chuyển động ổn định ở quỹ đạo tròn thì có một tác động nhỏ làm cho vật dao động Tìm chu kì dao động Qua tìm hiểu tôi thấy các bài toán trên là một trong các ví dụ liên quan đến lý thuyết dao động nhiễu loạn trong lĩnh vực cơ học Đây là một lý thuyết rất hay và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt là các bài toán liên quan đến chuyển động của vệ tinh Để tìm được chu kì dao động nhiễu loạn thường có hai cách: Cách thứ nhất là dựa vào thế năng hiệu dụng, cách thứ hai dựa vào khai triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển động ổn định của vật

Do thời gian có hạn tôi xin trình bày theo cách thứ hai: tìm chu kì dao động nhiễu loạn bằng phương pháp triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển động ổn định của vật

Nội dung chuyên đề gồm các phần sau:

Phần 1: Cơ sở lý thuyết nhiễu loạn

Phần 2: Các bài tập vận dụng với lời giải chi tiết

Phần 3: Các bài tập ôn luyện và đáp số

Phần 1: Cơ sở lý thuyết

Trong dao động nhiễu loạn ta hay gặp bài toán chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm Vì vậy ta nhắc lại một số lý thuyết liên quan

1 Hệ tọa độ cực

r z

OM r e z e

Biểu thức vận tốc trong hệ tọa độ cực:

v v v v e v e  r e r e

Các đạo hàm của vecto đơn vị:

' ' ;r r' '

e  e e  e

Biểu thức gia tốc trong tọa độ cực

a a a a e a e 

( ) ( r r) d v e

d v e dv

a

dt dt dt

 



( )r ( )r

d e d v

d v d e



2

a r e  r  e r e e  r r 

2

( '' ' ) r (2 ' ' '')

a r  r e  r  r e

Trang 2

2 Phương trình chuyển động của vật trong trường xuyên tâm

Phương trình chuyển động của vật trong trường xuyên tâm viết trong trong hệ tọa độ cực

2 ( ) 1 ( )

r r

m m dt



2

r r

r dt m



      (F là thành phần lực theo phương e t )

3 Định luật bảo toàn momen động lượng trong trường xuyên tâm

Từ biểu thức: 2 ' 'r  r'' 0

2

0

d r

r dt



2 '

L r C

     hằng số

(Định luật bảo toàn momen động lượng viết trong hệ tọa độ cực )

4 Sơ lược về lý thuyết nhiễu loạn

Trong quá trình phân tích các hệ thống động học trên khía cạnh cân bằng và ta phải giải quyết bài toán về sự nhiễu loạn và các thông số biến đổi Lý thuyết nhiễu loạn được ứng dụng rộng rãi Chúng ta sẽ trình bày trong phần này một vài ý tưởng cơ bản và một số ứng dụng cho các bài toán về tính chu kì dao động nhiễu loạn quanh quỹ đạo ổn định

Đầu tiên chúng ta xem xét sự khai triển hàm ( , , )F    quanh giá trị mốcF   0( ,0 0, )0 Với

      ( , là rất nhỏ) Ta thừa nhận hàm này ( , , )F    có đạo hàm ở mọi

cấp Ta có thể viết:

F F F F

0

,

1

2!



Bỏ qua số hạng vô cùng nhỏ bậc hai trở đi ta viết:

Trong đó F là lượng thay đổi nhỏ của hàm F quanh giá trị mốc F khi các tham số , 0   biến đổi nhỏ Trong một số trường hợp , ,    lại là hàm ẩn theo biến số khác (ví dụ theo thời gian)

Trang 3

Phần 2: Bài tập vận dụng Bài 1: Một chất điểm khối lượng m chuyển động trong trường xuyên tâm O có biểu thức lực xuyên tâm

có dạng ( )F r

a) Ở quỹ đạo tròn ổn định, hạt có vận tốc v và bán kính quỹ đạo tròn là 0 r Tìm liên hệ giữa 0 v r0, 0

b) Một tác động nhỏ làm hạt lệch khỏi quỹ đạo ổn định Tìm điều kiện để hạt dao động quanh quỹ đạo ổn định và tìm tần số góc dao động đó

Giải

a) Tại quỹ đạo ổn định, lực xuyên tâm ( )F r đóng vai trò lực hướng tâm

 

2

0

0 0

v

m F r

r 

b) Phương trình chuyển động theo phương bán kính là:

3

C

F r m r r m r

r



  (với C r v0 0 là momen động lượng của vật lúc ban đầu)

 

2 2

0 0 3

r v

F r m r

r



Xét sự lệch nhỏ so với quỹ đạo tròn, ta viết: r r01 t  Khai triển lực ( )F r quanh trị F r ta được:( )0

2

0

'

m  m    r  

Sử dụng kết quả:  

2 0

0 0

v

m F r

r  ta viết lại biểu thức trên:

 

2

0 0

2

0

' 3

0

F r v

    

 

0

0 0

3 1

F r

m r



Vậy điều kiện để vật chuyển động trong quỹ đạo ổn định là:

 

0

0 0

3

F r

Tần số góc dao động của hạt quanh quỹ đạo cân bằng là:

 

0

0 0

3 1

'

F r

m r

Bài 2: Một chất điểm khối lượng m chuyển động trong trường xuyên tâm O có biểu thức lực xuyên tâm

có dạng F r  K n

r



 Một tác động nhỏ làm hạt lệch khỏi quỹ đạo ổn định Tìm điều kiện để hạt dao động quanh quỹ đạo ổn định

Giải

Các phương trình chuyển động của hạt viết trong hệ tọa độ cực là:

Trang 4

 2 K n 0

m r r

r



 và r2   h const

Suy ra

2

3 n 0

m r

r r



Phương trình nhiễu loạn của vật là:

2

0

n

       

Tại quỹ đạo tròn ổn định ta có:

2 2 3

n

mr

r    r 

2 n 3

K mh r 

Điều kiện để quỹ đạo ổn định là hệ số của rphải dương:

2 2

3

mh mh n

n

r  r  

Bài 3: Xét chuyển động của các e trong 1 từ trường đối xứng trục Giả thiết tại z = 0 (xOy), thành phần

bán kính của từ trường bằng 0 (B ( 0) z   B k r

) Các electron tại z = 0 chuyển động tròn bán kính R a) Xác định mối quan hệ giữa động lượng và bán kính quỹ đạo

b) Trong máy Betatron, các e được gia tốc bởi 1 từ trường biến thiên Lấy Bav là giá trị trung bình của từ trường trên mặt phẳng quỹ đạo( trong quỹ đạo), từ thông qua quỹ đạo là B R 2

av B

   Tại bán kính

R, lấy từ trường là B0

b1) Giả thiết B thay đổi 1 lượng av B av và  B0, hỏi phải có liên hệ gì giữa  Bav và  B0 để e vẫn chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính R khi động lượng của chúng tăng

b2) Giả thiết thành phần z của từ trường biến thiên theo quy luật B rz( ) An

r

 Tìm tần số dao động theo phương bán kính (xét sự lệch nhỏ khỏi VTCB theo phương bán kính ) Tìm điều kiện n để có ổn định

Giải

a)Phương trình chuyển động quay của vật theo phương bán kính:

2

R (1)

mV R eB V

eBV

m



Mômen động lượng của hạt:

2

b) Khi Bav thay đổi dBav thi B0 thay đổi dB0

Trên quỹ đạo của hạt e xuất hiện điện trường E tiếp tuyến quỹ đạo:

Trang 5

2

av

dt

dB R Edt



Lực điện do E tác dụng lên e gây ra 1 xung lực X:

eRdB 2

av

dV

m

Vi phân phương trình trên ta được: eR 0

m

0

2

av

B

dB

B B





c)Ở VTCB vật có hạt chuyển độn trên đường tròn bán kính r0

0

r

n

V

Khi vật lệch 1 đoạn rất nhỏ x theo phương bán kính: r r  0 x

Bảo toàn mômen động lượng:

0 0

0 0 0 0

0

r

=

V





Xét hệ quy chiều gắn với bán kính:

Phương trình chuyển động hướng tâm:

2

2 2

2 2 1

0 0 0

2 2

2 2 0

x

3x (n+1)x

n

mV

eBv m r

m

e A

n x

m r





Trang 6

Vậy hạt dao động với tần số: A

2

e

m



Điều kiện để hạt có dao động ổn định: n  2

Bài 4: Một vật khối lượng m, điện tích q chỉ có thể dịch chuyển không ma sát trong mặt phẳng trong của

nón có góc mở 2 Một điện tích –q đặt cố định tại đỉnh nón Bỏ qua tác dụng trọng lực Tìm tần số dao động nhỏ của vật quanh quỹ đạo tròn

Giải

Khi chuyển động vật chịu tác dụng của 2 lực: F F lt, d

Gọi 0,r là vận tốc góc và bán kính quỹ đạo vật tại quỹ đạo tròn ổn định 0

F F

2 2

2

0 0 2

0

sin

kq

m r r



2 2 3

0 0

sin

kq  m r (1) Gọi  ,r là vận tốc góc và bán kính quỹ đạo khi vật lêch khỏi quỹ đạo cân bằng đoạn x nhỏ theo đường

sinh Ta viết: r r 0 xsin

Bảo toàn momen động lượng: 2 2

0 0

m r m r 

2

0 0 2

r r



 

Phương trình chuyển động của vật theo phương đường sinh:

2 2

sin

kq

r



2 4

2 2

0 0

sin

r kq

m





2 4

2 2

0 0

sin

r kq

m





2 2

0 0 3

0

3 sin sin

m r x r



0 sin

mx xm 

2 2

0sin

x x 

Vậy vật dao động nhỏ với tần số 0sin

2

f  





Bài 5: Một hạt chuyển động không ma sát trong vách một hình đối xứng được cho bởi phương trình

 2 2

2

b

z x y với b là hệ số cố định Hạt đang chuyển động ổn định ở độ cao z = z0 nhưng bị hơi ấn xuống dưới Tìm tần số góc dao động nhỏ của hạt quanh quỹ đạo tròn ổn định

Trang 7

Cắt tiết diện Oxz Do y = 0 nên 2

2

b

z x

Bán kính quỹ đạo ở vị trí cân bằng 2 0

2

z b

b

Hệ số góc tiếp tuyến: tanα0 = b.x0

Chiếu các lực theo phương tiếp tuyến:

mg  m x   gb

Khi ấn xuống đoạn nhỏ dz << z

b

z dz x dx x x dx dx dz

Bảo toàn momen động lượng có

0

2

x

Chiếu các lực theo phương tiếp tuyến

2

cos

mx

mg  m x 



2 2 0

0

4

x



0

4

x



0

4

x



2 0 0

4 cos dx

x



gb

Trang 8

Bài 6: Hai chất điểm m1, m2nối với nhau bằng một sợi dây dài L đi qua 1 lỗ tròn trên bàn Dây và chất điểmm1chuyển động không ma sát trên mặt bàn,m2 chuyển động theo phương thẳng đứng

a) Tốc độ m1 bằng bao nhiêu đểm2 đứng yên cách bàn d ?

b) Tìm tần số góc dao động nhỏ của m2 quanh quỹ đạo tròn ổn định

Giải

a) Phương trình động lực học của hệ viết trong hệ tọa độc cực

1

2

m

T r

1

2

m

E r

r   ( 2 )

ở quỹ đạo tròn E  0 ; r  0,r 0

d l r

2

m đứng yên T m2g,v1r  0 thay vào ( 1 )ta có

1

2 2

m

g m

r o  

o

r m

g m

1

2 2



1

2 1

1

) (

m

d l g m r

v

v    o  

b) Phương trình nhiễu loạn có rr odr ,  od

Từ( 2 )  2d r o r o.d 0



dt

d r dt

dr

o o



.



o

r

dr

d  2 .

 (3)

Từ( 1 ) 

1

2

) )(

(

m

T d

dr r r



1

2 2

.

2

m

T dr

d r r

r



1

2 1

2

m

g m m

T dr

d r r

d oo  o  

Thay( 3 )vào ta có 

1

2 1

2 2

4

m

g m m

T dr

dr r

d o  o  

Trang 9

1

2 1

2 3

m

g m m

T dr

r

d o  

m

T g m dr

m

m r d m

m



1

2 2 2

1 2

2

2 1







dr d l

g r d m

m m



Vậy m2dao động nhỏ với ( 3)( )

2 1

2

m m d l

g m









Bài 7: Một vệ tinh khối lượng m lúc đầu chuyển động ở quỹ đạo tròn bán kính 2R đối với Trái Đất Sau

đó vệ tinh chịu một lực đẩy độ lớn 10 mg4 0

theo phương e trong khoảng thời gian một vòng quay Tính sự thay đổi nhỏ của vận tốc và bán kính quỹ đạo vệ tinh giữa 2 thời điểm bắt đầu và ngừng tác dụng lực

Giải

- Ta có các phương trình chuyển động của vệ tinh:

2

hd r

F g R

a r r



    (1)

m

      (2)

- Ở quỹ đạo trong ban đầu: F0, 0,r0,r0 nên: r r 0 2R

2

g R g R

R

    (3)

v

R R

- Xét sự nhiễu loạn do xuất hiện lực F 10 mg4 0

 theo phương tiếp tuyến

Giả sử: r r 0 r và 0 Khi đó các pt (1), (2) trở thành:

2

0

r r r

r r





2

Trang 10

2

               

Bỏ qua số hạng rất nhỏ 2  0 r  và thay (3) vào ta được:

2

2 0

0

2

r

       

0 0

3

8

g

R

       (4)

(2): 2 r  0  r0 r F

m

    

2 r 2 r r  r 10 g

Bỏ qua số hạng rất bé, ta được:

2 r r 10 g

  

Lấy tích phân 2 vế theo thời gian:

2  r r 10 g t

0 10 0 2 0

r  g t  r 

   (5)

Thay (5) vào (4) được:

3

8

g

R

0 0

3

8

g

R

         

Thay (3) vào có:

0

Phương trình trên cho nghiệm có dạng:

0

Tại t 0: rAcos0

0

Suy ra:

4

0

2

8

g R







Sau 1 vòng quayt T :

4 0

0

8

16 10 2

R

r









Mặt khác:

0 0 0

v r





Trang 11

Từ(5) có:



Suy ra:

4 0

10 g t

4 0

8

2

R

v







Bài 8: Ba hạt cùng khối lượng m được đặt ở 3 đỉnh của 1 tam giác đều cạnh Ban đầu truyền cho chúng

vận tốc đầu v 0 GM

 có phương và chiều như hình vẽ Giả sử rẳng chỉ có trọng lực tác dụng Tính rmin

và rmax trong chuyển động tiếp theo của các vật Tính chu kì chuyển động của hệ.

Giải

- Rõ ràng theo tính đối xứng của hệ ban đầu và vận tốc, 3 hạt sẽ luôn tạo thành 1 tam giác đều Khoảng cách l sẽ thay đổi, tốc độ góc  sẽ thay đổi nhưng vẫn bảo toàn động lượng hệ

- Giờ ta sẽ đi tính năng lượng tổng cộng của hệ:

- Thế năng của hệ ( l r 3 ):

- Động năng của hệ:

2 2 2 2

0



Momen động lượng hệ được bảo toàn:

Trang 12

0

0 2

3

3 r

2

2 3

cv r





Khi r đạt cực đại hay cực tiểu, r  0, thay vào (1), kết hợp với (2) ta có:

2

0 2

c

r c

Thay giá trị v ta nhận:0

2 2

min max

2

0 12 3

2 3

c c





 



- Giờ chúng ta hãy nói đến lực tác dụng lên từng hạt Các lực này có phương bán kính

- Gọi F là lực tác dụng lên từng vật, ta có: r

2 2

W 1

t r

Gm F



- Như vậy mỗi vật chịu 1 lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ vật tới tâm O

- Từ lực F ta suy ra hệ số hấp dẫn của hệ là: r

3

Gm

 

- Mỗi hạt chuyển động theo quỹ đạo hình elip với bán kính trục lớn:

min max

a  

- Từ đó ta tìm được chu kì chuyển động của hệ:

3

T

Gm



Phần III: Bài tập ôn luyện Bài 1: Một dây kim loại cứng mảng được uốn sao cho nếu đặt trục Oy thẳng đứng trùng với một phần của

dây thì phần còn lại của nó trùng với đồ thị hàm số 3

y ax với x > 0 Quay đều dây quanh trục Oy với tốc độ góc  Một hạt có khối lượng m được đặt sao cho có thể chuyển động không ma sát dọc theo dây Tìm tọa độ của hạt ở VTCB M (x0, y0) và tìm chu kì dao động bé của hạt xung quanh vị trí cân bằng

x

y

O



Trang 13

Đáp số:

4 2 2

2

3

ag

Bài 2: Một bánh xe có momen quán tính I có thể quay quanh trục nằm ngang đi qua tâm O Vật khối

lượng m có thể trượt tự do dọc theo một lan hoa, vật này được gắn với lò xo lồng qua lan hoa, đầu còn lại lò xo gắn vào tâm O Cho lò xo có chiều dài tự nhiên là L và độ cứng k Cho bánh xe quay với tốc độ góc

0

 Gọi r là khoảng cách từ vật đến tâm O khi nó nằm cân bằng trong hệ quy chiếu gắn với bánh xe 0

Tìm tần số góc dao động nhỏ của vật quanh quỹ đạo tròn ổn định

Đáp số:

2

2 0

0 2 0

k

m I mr



Bài 3: Một con lắc đơn có chiều dài dây là quay đều để dây treo quét nên hình nón có góc ở đỉnh 2 0

Tìm tần số dao động nhỏ của vật nặng m khi góc 0 lệch giá trị nhỏ

Đáp số:

2 0 0

0

sin

cos

g a



Bài 4: Một hạt khối lượng m, điện tích e chuyển động treo quỹ đạo tròn cân bằng bán kính r0 trong mặt phẳng nằm ngang Từ trường có phương thẳng đứng và có tính đối xứng trụ Biết từ trường giảm theo

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,03 MB