Đề HSG toán 7 năm 16-17

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AC và F là trung điểm của AC.. Đường thẳng qua H và song song với AD cắt AB kéo dài tại M.[r]

PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN LỚP 7

Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1 (2,0 điểm): Thực hiện phép tính:

a) A =

Bài 2 (2,0 điểm):

a) Tìm số hữu tỉ x biết:

4 7

9 1296

2 x

b) Cho các số x, y, z thỏa mãn 3 4;

 2y3z và 3x1y0 Tính giá trị biểu thức A x6y2z24

c) Tính giá trị biểu thức P = x + y + z, biết:

19

x y  y z z x   y z z x x y     

Bài 3 (1,5 điểm):

a) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho: 2016a  1 b 2017  b 2017

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n 2023

 là một số chính phương.

Bài 4 (1,0 điểm): ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 3 2 2  3 4 2 2017 2 2 2 289

Bài 5 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các

tam giác đều ABE và ACD

a) Chứng minh rằng BD = CE;

b) Chứng minh rằng CDE là tam giác cân

c) Giả sử  ACB  300, kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AC và F là trung điểm của AC Đường thẳng qua H và song song với AD cắt AB kéo dài tại M Chứng minh rằng HF//AD và M, K, D thẳng hàng

Bài 6 (0,5 điểm):

Cho tập hợp A 1, 2,3, , 2016 Chứng minh rằng trong số 1009 phần tử của tập hợp A luôn tồn tại hai phần tử a b, sao cho a b 2

……… Hết ………

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Giáo viên coi giao lưu không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tên học sinh………SBD……….

PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016 - 2017

1

a Vì

6 3

81 0

A            

0,5

b

201 2015.2017 201

B                     



0,5

6.2015.2014 1 8.2017.2016 3 7.2016.2015 2 7.2016.2015 2

1 2018 2018 7

201 2 4034

0,5

2

a

4

7

9 6

7

9 6 2

x

x



 



 



0,25

5 7

9 6

18 2

x x















Vậy

5 19

;

18 18

x   

0,25

3 4

 2y3z và 3x1 y 0

Từ 2y 3z y3 2z y64z

Mà 3 4

 nên 3 6 4

 

 Lại có: 3x1  y 0 3x y 3

0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1

3 6 4 9 9 6 3

0,25

Suy ra: x = -3; y = 6; z = -4

Thay x = -3; y = 6; z = -4vào biểu thức A, ta được:

0,25

 4 25 5

3 6.6 2 24

A       

c

Ta có:

x y z 19 19 19 19 19z 19 19x 19 19y

0,25

19 19.3 19

5

57

Khi đó:

5

19

x y z

0,25

2015

460 19

x y z   

Vậy

19 1748 460

2015 403

x y z    

0,25

3

a

2017 2017

2017

khi b khi b

b













Do b là số tự nhiên nên b 2017 b 2017 là số chẵn

0,25

Kết hợp với giả thiết 2016a  1 b 2017 b 2017 suy ra:

2016a 1 là số chẵn

Nếu a ≠ 0 thì 2016a1 là số lẻ ( loại)

0,25

Khi a = 0, ta có 20160  1 b 2017  b 2017

2017 2017

2017 0 2017

b b

 

Vậy a0;b2017b N 

0,25

b

Nếu n  1 2n2023 2025 45  2là số chính phương suy ra n  thỏa1

Nếu n  1 2 4n suy ra 2n2023 chia cho 4 thì dư 3 (1) 0,25

Mặt khác mỗi số nguyên dương k thì k chia cho 4 thì dư 0 hoặc 1 (2).2

Từ (1), (2) ta được 2n2023 không là số chính phương khi n  1

Vậy n 1

0,25

4 a Vì

 3 x  2 y 2  0; 3  y  4 z 2  0; x2 y2  z2  289 0   x y z , , 0,25

 3 2 2  3 4 2 2017 2 2 2 289 2017

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

 3 x  2 y 2  0; 3  y  4 z 2  0 x2  y2  z2 289  0

Suy ra : 3 x  2 y  0; 3 y  4 z  0 x2  y2  z2  289 0 

0,25

2 2 2









Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

1

Mà x, y, z cùng dấu nên

x  y  z  hoặc x  8; y  12; z  9

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=2017 đạt được khi

x  y  z  hoặc x  8; y  12; z  9

0,25

4

F K

H

M

D

E

C B

A

a

Ta có:

DAB BAC DAC 90 60 150

DAB CAE CAE BAC EAB 90 60 150





Xét ABD và AEC có:

AB = AE (gt)

DAB CAE (cmt)

AD = AC (gt)

Do đó: ABD = AEC (c – g – c)

0,5

 BD = CE (Hai cạnh tương ứng) 0,25

b Ta có: BAC DAC EAB DAE 360     0 Từ đó suy ra: DAE 150  0 0,25

Xét DAE và CAE có:

DA = CA (GT)

DAE CAE (=1500) AE: Cạnh chung

0,5

Do đó: DAE = CAE (c – g – c)

 DE = CE (Hai cạnh tương ứng) Suy ra: CDE là tam giác cân tại E 0,25

c

Vì F là trung điểm của AC nên DFAC

Ta có

CAH 60 , AH

2

nên AHF là tam giác đều suy ra

AFH CAD 60  nên HF//AD Lại có MH//AD

0,5

Do MH//AD nên ba điểm M, H, F thẳng hàng Mặt khác HKAC, do đó AK = KF

Mà AMF = FDA (g.c.g) cho nên AM = DF

Từ đó AMK = FDK(c.g.c), dẫn đến AKM DKF

Do đó DKM DKF FKM AKM FKM AKF 180       0 Vậy ba điểm D, K, M thẳng hàng

0,5

6

Chia tập hợp A thành 1008 cặp như sau:

1,3 , 2, 4 , 5,7 , 6,8 , , 2013, 2015 , 2014, 2016           0,25

Khi đó trong 1009 phần tử được chọn phải có hai phần tử thuộc vào cùng một cặp, giả sử hai phần tử đó là ,a b Khi đó a b 2 0,25

Chú ý: - Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm bài hình.