- Định lý 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng ấy.. - Định lý 2: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng nằm trên đường trun[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG
TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
A Lý thuyết:
- Định lý 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng ấy
- Định lý 2: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ấy
- Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy
B Bài tập:
Dạng 1: Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng
Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB
Chứng minh AD là đường trung trực của đoạn BE
Dạng 2: Sử dụng tính chất đường trung trực để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 2: Tam giác ABC có B̂ − Ĉ = 40° Đường trung trực BC cắt AC ở I Tính ABI ̂
Bài 3: Tam giác ABC có AB = 6 và BC = 4 Qua trung điểm M của AC, kẻ đường vuông góc với
AC cắt AB ở I Tính chu vi tam giác IBC
Bài 4: Cho 𝑥𝑂𝑦 ̂ = 60°, điểm A nằm trong góc đó Lấy các điểm B, C sao cho Ox là đường trung trực của AB, Oy là đường trung trực của AC Tính số đo các góc của tam giác OBC
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A có 𝐴 ̂ = 40° Đường trung trực của AB cắt đường thẳng BC
ở D Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = CD Tính các góc của tam giác BDE
Bài 6: Tam giác ABC có AB < AC Gọi d là đường trung trực của BC, E là giao điểm của d với
AC Gọi K là một điểm bất kỳ thuộc d ( K ≠ E) So sánh chu vi hai tam giác AKB và AEB
Dạng 3: Dạng kết hợp 1 – 2
Bài 7: Cho tam giác ABC, gọi I là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC Chứng
minh rằng I cũng nằm trên đường trung trực của đoạn BC
Bài 8: Cho điểm M thuộc đường trung trực của đoạn AB Trên các đoạn thẳng MA và MB lấy
hai điểm C, D sao cho AC = BD Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn CD đi qua M
Dạng 4: Sử dụng tính chất đường trung trực vào bài toán tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 30, AC = 40 Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD
= AB Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với BD Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng MB + MC
Trang 2Bài 10: Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy Điểm d đối xứng với A qua Ox, điểm E đối xứng
với A qua Oy Gọi B và C theo thứ tự là giao điểm của DE với Ox và Oy Chứng minh rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất trong các tam giác có một đỉnh là A, hai đỉnh kia nằm trên hai tia
Ox và Oy
LUYỆN TẬP Bài 11: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm điểm O cách đều ba điểm đã cho
Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E
trên cạnh AC sao cho BD = CE Chứng minh AM là đường trung trực của cả hai đoạn BC và DE
Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC sao cho AD
= AE Gọi I là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng AI là đường trung trực của BC
Bài 14: Cho điểm A nằm trong góc xOy có số đo bằng 𝛼 (𝛼 < 90°) Lấy các điểm B, C sao cho
Ox là đường trung trực của AB, Oy là đường trung trực của AC Gọi giao điểm của BC với Ox
và Oy lần lượt là E, F
a Chứng minh rằng BC bằng chu vi tam giác AEF
b Với giá trị nào của 𝛼 thì OB ⊥ OC
Bài 15: Cho đoạn thẳng BC và đường thẳng d song song BC Lấy điểm K sao cho d là đường
trung trực của BK Gọi A là giao điểm của d và KC A’ là điểm bất kỳ khác A nằm trên đường
thẳng d Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC luôn nhỏ hơn chu vi tam giác A’BC
Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A có 𝐵 ̂ = 70° Đường trung trực của AB cắt đường thẳng BC
ở D Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = CD
a Chứng minh BDE là tam giác cân
b Tính các góc của tam giác BDE
Bài 17: Cho tam giác ABC có AB < AC Đường trung trực d của BC cắt cạnh AC ở E Gọi K là
một điểm bất kỳ thuộc d ( K ≠ E) So sánh chu vi tam giác AEB và AKB
Bài 18: Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy Vẽ điểm D đối xứng với A qua Ox, điểm E đối
xứng với A qua Oy Gọi B và C theo thứ tự là giao điểm của DE với Ox và Oy
a Chứng minh chu vi tam giác ABC bằng DE
b Gọi B’ là điểm bất kỳ nằm trên tia Ox, C’ là điểm bất kỳ trên tia Oy Chứng minh chu vi
tam giác AB’C’ lớn hơn hoặc bằng DE
Bài 19: Cho 𝑥𝑂𝑦 ̂ = 90°, điểm A thuộc tia Ox Tìm điểm B trên tia Oy sao cho OB + BA = a (
với a là một độ dài cho trước, a > OA)
Bài 20: Tam giác ABC cân có cạnh đáy BC cố định, A có thể thay đổi Các đường trung tuyến
BD và CE cắt nhau tại I
Trang 3a Điểm A chuyển động trên đường thẳng nào?
b Điểm I chuyển động trên đường thẳng nào?
Trang 4Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam
Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành
tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí