Tổ hợp và nhị thức newton

Khâa luªn tèt nghi»p Tê hñp v nhà thùc Newton ÷ñc ho n th nhdo sü cè g­ng né lüc t¼m hiºu v nghi¶n cùu còng sü gióp ï tªn t¼nh cõa... Hìn núa, tê hñp v nhà thùc Newton l nhúngb i to¡n kh

Sau mët thíi gian d i nghi¶m tóc, mi»t m i nghi¶n cùu còng vîi sü gióp

ï tªn t¼nh cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n sinh vi¶n, ¸n nay khâa luªncõa em ¢ ho n th nh Em xin b y tä láng c£m ìn ch¥n th nh, s¥u s­c tîic¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa To¡n, c¡c th¦y cæ trong tê ¤i Sè, °c bi»t l 

cæ D÷ìng Thà Luy¸n  ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, t¤o måi iºu ki»n v tªn t¼nh gióp ï ch¿ b£o em trong suèt thíi gian nghi¶n cùu, ho n thi»nkhâa luªn

M°c dò ¢ r§t cè g­ng xong do h¤n ch¸ v· thíi gian công nh÷ ki¸nthùc cõa b£n th¥n n¶n khâa luªn cõa em khæng thº tr¡nh khäi nhúngthi¸u sât Mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n tø th¦y, cæ v  c¡c b¤n ºkhâa luªn cõa em ÷ñc ho n thi»n hìn

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2019

Sinh vi¶n

Ngæ Thà Khanh

Khâa luªn tèt nghi»p Tê hñp v  nhà thùc Newton ÷ñc ho n th nh

do sü cè g­ng né lüc t¼m hiºu v  nghi¶n cùu còng sü gióp ï tªn t¼nh cõa

Líi mð ¦u 1

1.1 Hai quy t­c ¸m cì b£n 3

1.1.1 Quy t­c cëng 3

1.1.2 Quy t­c nh¥n 4

1.2 Ch¿nh hñp khæng l°p 8

1.3 Ch¿nh hñp l°p 11

1.4 Ho¡n và 12

1.5 Tê hñp 14

1.6 Nhà thùc Newton v  tam gi¡c Pascal 18

1.6.1 Nhà thùc Newton 18

1.6.2 Tam gi¡c Pascal 20

1.6.3 Nhà thùc Newton vîi c¡c h m sè sin v  cos 21

2 C¡c b i to¡n v· ¤i sè tê hñp 24 2.1 Rót gån v  t½nh gi¡ trà biºu thùc 24

2.1.1 Ph÷ìng ph¡p chung 24

2.1.2 Mët sè v½ dö 24

2.1.3 B i tªp vªn döng 25

2.2 Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh 25 2.2.1 Ph÷ìng ph¡p chung 25

2.2.2 Mët sè v½ dö 26

2.2.3 B i tªp vªn döng 28

2.3 T¼m sè h¤ng v  h» sè cõa mët lôy thøa 30

2.3.1 Ph÷ìng ph¡p chung 30

2.3.2 Mët sè v½ dö 30

2.3.3 B i tªp vªn döng 34

2.4 X²t t½nh chia h¸t 35

2.4.1 Ph÷ìng ph¡p chung 35

2.4.2 Mët sè v½ dö 35

2.5 T½nh têng tê hñp 36

2.5.1 p döng nhà thùc Newton v  chån gi¡ trà th½ch hñp 36 2.5.2 Sû döng ¤o h m 38

2.5.3 Sû döng t½ch ph¥n 41

2.5.4 Sû döng sè phùc 44

2.6 Chùng minh ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc 46

2.6.1 Ph÷ìng ph¡p chung 46

2.6.2 Mët sè v½ dö 47

3 Gi£i nhanh mët sè b i tªp tr­c nghi»m ¤i sè tê hñp b¬ng m¡y t½nh c¦m tay 57 3.1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tê hñp 57

3.2 B i tªp v· h» sè trong khai triºn nhà thùc Newton 59

3.3 Sû döng ph÷ìng ph¡p co bi¸n º t½nh têng tê hñp 62

3.4 B i tªp vªn döng 63

Câ thº nâi tê hñp, nhà thùc Newton v  c¡c b i to¡n li¶n quan l nhúng ph¦n ki¸n thùc r§t hay, nâ g¦n gôi vîi nhi·u b i to¡n trong thücti¹n Tê hñp v  nhà thùc Newton n¬m trong ch÷ìng tr¼nh gi£ng d¤y trunghåc phê thæng ð lîp 11, vîi nhúng b i to¡n hay, a d¤ng v  phong phó.Bði vªy câ khæng ½t c¡c em håc sinh công nh÷ c¡c bªc phö huynh v  c¡cth¦y cæ æi khi v¨n cán lóng tóng v  nh¦m l¨n trong c¡c b i to¡n v· têhñp v  nhà thùc Newton Hìn núa, tê hñp v  nhà thùc Newton l  nhúng

b i to¡n khæng thº thi¸u trong c¡c k¼ thi, °c bi»t l  c¡c k¼ thi håc sinhgiäi v  k¼ thi trung håc phê thæng Quèc gia

Bði vªy, vîi ni·m am m¶ v  hùng thó vîi tê hñp v  nhà thùc Newton,khæng ch¿ thäa ni·m am m¶ m  cán mong muèn câ mët h» thèng c¡c b ito¡n v· tê hñp v  nhà thùc Newton, l  mët nguçn t i li»u tham kh£o choc¡c em håc sinh, c¡c bªc phö huynh v  c¡c th¦y cæ, hi vång c¡c em håcsinh, c¡c bªc phö huynh công nh÷ c¡c th¦y cæ s³ câ c¡i nh¼n s¥u s­c hìnv· tê hñp v  nhà thùc Newton, ph¥n bi»t ÷ñc rã r ng c¡c d¤ng to¡n câli¶n quan tîi tê hñp v  nhà thùc Newton, bi¸t ÷ñc nhi·u b i to¡n cõa nâtrong thüc ti¹n, tr¡nh nh¦m l¨n trong håc tªp v  nghi¶n cùu, em ¢ chån

 Tê hñp v  nhà thùc Newton l  · t i khâa luªn cõa m¼nh

Nëi dung khâa luªn chia l m 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì b£n

Ch÷ìng n y nh­c l¤i mët c¡ch sì l÷ñc v· c¡c ki¸n thùc cì b£n v· ¤i

sè tê hñp gçm quy t­c cëng, quy t­c nh¥n, c¡c kh¡i ni»m, c¡c cæng thùc,v½ dö v· ch¿nh hñp, ho¡n và v  tê hñp Ngo i ra, nhà thùc Newton công

÷ñc tr¼nh b y

Ch÷ìng 2 C¡c b i to¡n v· ¤i sè tê hñp

Ch÷ìng n y ÷a ra c¡c b i to¡n v· ¤i sè tê hñp bao gçm ph÷ìngph¡p gi£i v  mët sè v½ dö

Ch÷ìng 3 Gi£i nhanh mët sè b i tªp tr­c nghi»m ¤i sè tê hñp b¬ngm¡y t½nh c¦m tay

Ch÷ìng n y ÷a ra mët sè d¤ng b i tªp v· ¤i sè tê hñp ð d÷îi d¤ngtr­c nghi»m m  câ sû döng ÷ñc m¡y t½nh c¦m tay, c¡c thao t¡c b§m m¡yt½nh v  mët sè v½ dö.

Do thíi gian câ h¤n v  n«ng lüc cõa b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n khâaluªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât Em r§t mong nhªn ÷ñc sü ânggâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n º khâa luªn ho n thi»n hìn

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

c¡ch thüc hi»n xong cæng vi»c.

Chùng minh

Cho tªp hñp A, k½ hi»u sè ph¦n tû cõa A l  |A|

Tr÷îc ti¶n ta i chùng minh n¸u A, B l  hai tªp húu h¤n, A v  B ríinhau, nâi c¡ch kh¡c A ∩ B = ∅ th¼ |A ∪ B| = |A| + |B|

Thªt vªy, gi£ sû |A| = m, |A| = n

°t A = {a1, a2, , am},B = {b1, b2, , bn} th¼

A ∪ B = {a1, a2, , am, b1, b2, , bn}

Vªy |A ∪ B| = m + n = |A| + |B| (*)

K½ hi»u Ai l  tªp m  méi ph¦n tû l  1 c¡ch thüc hi»n cæng vi»c ð cæng

o¤n thù i (i = 1, 2, , k) Khi â c¡c tªp hñp Ai æi mët ríi nhau, tùc

= |A1| + |A2| + |Ak| = n1 + n2 + + nk

V½ dö 1 Lîp 11A câ 20 o n vi¶n nú v  25 o n vi¶n nam Th¦y gi¡ochõ nhi»m c¦n ph£i cû 1 b¤n o n vi¶n i dü ¤i hëi o n tr÷íng Häith¦y gi¡o chõ nhi»m s³ câ bao nhi¶u c¡ch chån?

Líi gi£i

Th¦y gi¡o câ thº chån 1 b¤n o n vi¶n b¬ng c¡ch chån 1 o n vi¶n namho°c 1 o n vi¶n nú

+ Chån 1 o n vi¶n nú trong 20 b¤n nú câ 20 c¡ch chån

+ Ho°c chån 1 o n vi¶n nam trong 25 b¤n nam câ 25 c¡ch chån

Vªy theo quy t­c cëng th¼ câ 20 + 25 = 45 c¡ch chån 1 o n vi¶n cõa lîp11A i dü ¤i hëi o n tr÷íng

V½ dö 2 Tªp hñp A câ bao nhi¶u tªp hñp con? Bi¸t A = {a, b, c}

Líi gi£i

º ¸m sè tªp hñp con cõa tªp hñp A ta câ thº ph¥n chia theo sè ph¦n

tû cõa tªp hñp con Khi â câ 4 tr÷íng hñp:

+ Sè ph¦n tû cõa tªp con l  0 Khi â tªp con l  tªp réng, ta câ 1 c¡chchån

+ Sè ph¦n tû cõa tªp con l  1, ta câ 3 c¡ch chån Khi â c¡c tªp con câ

1 ph¦n tû l : A1 = {a} , A2 = {b} , A3 = {c}

+ Sè ph¦n tû cõa tªp con l  2, ta câ 3 c¡ch chån Khi â c¡c tªp con câ

2 ph¦n tû cõa tªp A l : A1 = {a, b} , A2 = {b, c} , A3 = {a, c}

+ Sè ph¦n tû cõa tªp con l  3, ta câ 1 c¡ch chån Khi â tªp con â l 

A1 = {a, b, c}

Vªy theo quy t­c cëng sè tªp con cõa tªp hñp Al  1+3+3+1=8 (tªp con)

1.1.2 Quy t­c nh¥n

N¸u mët cæng vi»c ÷ñc ho n th nh bði k cæng o¤n , cæng o¤n

1 câ n1 c¡ch thüc hi»n, cæng o¤n 2 câ n2 c¡ch thüc hi»n, , cæng o¤n k

câ nk c¡ch thüc hi»n,cæng o¤n sau phö thuëc v o cæng o¤n tr÷îc th¼ câ

n1.n2 nk c¡ch thüc hi»n xong to n bë cæng vi»c

Chùng minh

Tr÷îc ti¶n ta chùng minh, vîi måi tªp A v  B ta câ |A × B| = |A| |B|.Thªt vªy, gi£ sû|A| = m, |B| = nv A = {a1, a2, , am} , B = {b1, b2, , bn}

Vîi méi ai ∈ A ta câ

æi 1 ríi nhau n¶n ta câ

|A × B| = |{a1} × B| + |{a2} × B| + + |{am} × B| = m.n = |A| |B|.(1)

p döng(1) (n − 1) l¦n ta câ|A1 × A2 × × An| = |A1|×|A2|× ×|An|

vîi Ai(1 = 1, 2, , n) l  c¡c tªp tòy þ (2)

Ð cæng vi»c tr¶n, k½ hi»u Ai l  tªp câ c¡c ph¦n tû l  c¡ch thüc hi»n cængvi»c ð cæng o¤n i (i = 1, 2, , k) Mët c¡ch thüc hi»n xong cæng vi»c l mët ph¦n tû cõa t½ch ·-c¡c

Do â theo (2) sè c¡ch thüc hi»n xong cæng vi»c l 

+ Vîi méi c¡ch chån 1 b¤n nam câ 20 c¡ch chån ra 1 b¤n nú

Vªy ¡p döng quy t­c nh¥n ta câ sè c¡ch chån ra 1 c°p song ca nam nú l 14.20=280 (c¡ch)

V½ dö 2 Câ thº lªp ÷ñc bao nhi¶u sè tü nhi¶n gçm 5 chú sè æi mëtkh¡c nhau?

Líi gi£i

Méi sè tü nhi¶n ÷ñc t¤o bði c¡c chú sè: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Gåi a1a2a3a4a5(a1 6= 0) l  sè tü nhi¶n c¦n lªp.

+ Câ 9 c¡ch chån a1 ( v¼ a1 6= 0)

+ Vîi méi c¡ch chån a1, câ 9 c¡ch chån a2

+ Vîi méi c¡ch chån a1, a2 câ 8 c¡ch chån a3

+ Vîi méi c¡ch chån a1, a2, a3 câ 7 c¡ch chån a4

+ Vîi méi c¡ch chån a1, a2, a3, a4 câ 6 c¡ch chån a5

Vªy theo quy t­c nh¥n, sè c¡c sè tü nhi¶n gçm 5 chú sè æi 1 kh¡c nhau

l  9.9.8.7.6=27216(sè)

Chó þ Trong nhi·u b i to¡n ta c¦n chó þ chån c¡ch ¡p döng quy t­cnh¥n hay quy t­c cëng cho phò hñp æi khi công c¦n ph£i phèi hñp giúac¡c quy t­c cëng v  quy t­c nh¥n vîi nhau D÷îi ¥y l  mët sè v½ dö choth§y sü k¸t hñp â

V½ dö 4 Câ thº lªp ÷ñc bao nhi¶u sè tü nhi¶n gçm 6 chú sè æi 1kh¡c nhau v  chia h¸t cho 5?

Vîi méi c¡ch chån a1 câ 8 c¡ch chån a2

Vîi méi c¡ch chån a1, a2 câ 7 c¡ch chån a3

Vîi méi c¡ch chån a1, a2, a3 câ 6 c¡ch chån a4

Vîi méi c¡ch chån a1, a2, a3, a4 câ 5 c¡ch chån a5

Khi â theo quy t­c nh¥n ta câ 1.9.8.7.6.5=15120 (sè)

+ N¸u a6 = 5 th¼ câ 8 c¡ch chån a1 (v¼ a1 6= 0)

Vîi méi c¡ch chån a1 câ 8 c¡ch chån a2

Vîi méi c¡ch chån a1, a2 câ 7 c¡ch chån a3

Vîi méi c¡ch chån a1, a2, a3 câ 6 c¡ch chån a4

Vîi méi c¡ch chån a1, a2, a3, a4 câ 5 c¡ch chån a5

Khi â theo quy t­c nh¥n ta câ 1.8.8.7.6.5=13440 (sè)

Vªy theo quy t­c cëng câ thº lªp ÷ñc 15120+13440=28560 (sè)

V½ dö 5 (· thi tuyºn sinh v o ¤i håc Y h  nëi - 1999) Câthº lªp ÷ñc bao nhi¶u sè ch®n gçm 5 chú sè æi 1 kh¡c nhau l§y tø c¡c

sè 0,2,3,6,9

Líi gi£i.

Gåi sè c¦n lªp l  a1a2a3a4a5(a1 6= 0)

V¼ sè c¦n lªp l  sè ch®n ⇒ a5 ∈ {0, 2, 6}

+ N¸u a5 = 0 th¼ câ 1 c¡ch chån a5

Vîi méi c¡ch chån a5 câ 4 c¡ch chån a1

Vîi méi c¡ch chån a5, a1 câ 3 c¡ch chån a2

Vîi méi c¡ch chån a5, a1, a2 câ 2 c¡ch chån a3

Vîi méi c¡ch chån a5, a1, a2, a3 câ 1 c¡ch chån a4

Khi â theo quy t­c nh¥n ta câ 1.4.3.2.1=24 (sè)

+ N¸u a5 6= 0 th¼ câ 2 c¡ch chån a5

Vîi méi c¡ch chån a5 câ 3 c¡ch chån a1

Vîi méi c¡ch chån a5, a1 câ 3 c¡ch chån a2

Vîi méi c¡ch chån a5, a1, a2 câ 2 c¡ch chån a3

Vîi méi c¡ch chån a5, a1, a2, a3 câ 1 c¡ch chån a4

Khi â theo quy t­c nh¥n ta câ 2.3.3.2.1=36 (sè)

Vªy tø 2 tr÷íng hñp tr¶n, ¡p döng quy t­c cëng ta ÷ñc 24+36=60 (sè)c¦n lªp

V½ dö 6 Cho tªp hñp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Câ thº lªp ÷ñcbao nhi¶u sè tü nhi¶n câ 3 chú sè æi 1 kh¡c nhau v  nhä hìn 345 tø c¡cph¦n tû cõa tªp hñp A nâi tr¶n

Líi gi£i

Gåi a1a2a3 l  sè c¦n lªp, trong â (a1 6= 0) v  a1a2a3 < 345 n¶n ta câ

a1 ∈ {1, 2, 3} Khi â ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau:

+ Tr÷íng hñp 1: N¸u a1 ∈ {1, 2} th¼ câ 2 c¡ch chån a1

Vîi méi c¡ch chån a1 câ 9 c¡ch chån a2

Vîi méi c¡ch chån a1, a2 câ 8 c¡ch chån a3

Theo quy t­c nh¥n câ 2.9.8=144 (sè)

+ Tr÷íng hñp 2: N¸u a1 = 3 th¼ câ 1 c¡ch chån a1

Do 3a2a3 < 345 n¶n a2 ∈ {0, 1, 2, 4}

Trong tr÷íng hñp n y ta câ c¡c tr÷íng hñp sau:

N¸u a2 ∈ {0, 1, 2} th¼ câ 3 c¡ch chån a2, câ 8 c¡ch chån a3

Theo quy t­c nh¥n câ 1.3.8=24 (sè)

N¸u a2 = 4 th¼ câ 1 c¡ch chån a2

º 34a3 < 345 ⇒ a3 ∈ {0, 1, 2} ⇒ câ 3 c¡ch chån a3

Theo quy t­c nh¥n câ 1.1.3=3 (sè)

Vªy tø c¡c tr÷íng hñp tr¶n, theo quy t­c cëng ta câ thº lªp ÷ñc

144 + 24 + 3 = 171(sè)thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n

1.2 Ch¿nh hñp khæng l°p

Mët ch¿nh hñp khæng l°p ( hay cán gåi l  ch¿nh hñp) chªp k cõa n

ph¦n tû l  1 bë câ kº thù tü gçm k ph¦n tû kh¡c nhau l§y tø n ph¦n tû

¢ cho

Sè c¡c ch¿nh hñp chªp k cõa n ph¦n tû k½ hi»u l  Akn

Cæng thùc t½nh Akn = n (n − 1) (n − k + 1) = n!

(n − k)!.Chùng minh

º câ 1 ch¿nh hñp chªp k cõa n ph¦n tû ta chia ra k cæng o¤n

Tø â c¡c sè thäa m¢n b i to¡n l  A35 = 60 (sè)

V½ dö 2 Mët lîp håc gçm 45 håc sinh Häi câ bao nhi¶u c¡ch b¦u ra

3 b¤n l m ban c¡n sü lîp, trong â câ 1 b¤n l m lîp tr÷ðng, 1 b¤n l mlîp phâ håc tªp, 1 b¤n l m lîp phâ v«n thº Bi¸t r¬ng méi b¤n l m khængqu¡ mët nhi»m vö

Líi gi£i

Sè c¡ch chån ra 3 b¤n l m c¡n sü lîp, trong â 1 b¤n l m lîp tr÷ðng, 1

b¤n l m lîp phâ håc tªp, 1 b¤n l m lîp phâ v«n thº ch½nh l  ch¿nh hñpchªp 3 cõa 45.

º sè n y chia h¸t cho 10 ⇒ a6 = 0 Khi â câ 1 c¡ch chån a6

Trong 9 sè cán l¤i ta câ A59 c¡ch chån a1a2a3a4a5

Vªy theo quy t­c nh¥n sè c¡c sè c¦n lªp l  1.A59 = 15120(sè)

V½ dö 4 Cho tªp hñp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Tø c¡c ph¦n tû cõatªp hñp A câ thº lªp ÷ñc bao nhi¶u sè tü nhi¶n gçm 3 chú sè æi 1 kh¡cnhau sao cho

b T½ch cõa 3 sè l  1 sè ch®n khi v  ch¿ khi trong â câ ½t nh§t 1 sè ch®n

Ta câ sè c¡c sè gçm 3 chú sè æi 1 kh¡c nhau ÷ñc lªp tø c¡c ph¦n tû cõa

A l  A39 = 504(sè)

Sè c¡c sè gçm 3 chú sè æi 1 kh¡c nhau m  c£ 3 sè l  sè l´ l  A35 = 60(sè).Vªy sè c¡c sè c¦n lªp l  A39 − A35 = 504 − 60 = 444 (sè)

V½ dö 5.

a Câ thº lªp ÷ñc bao nhi¶u sè tü nhi¶n gçm 4 chú sè æi mët kh¡c nhau?

b T½nh têng cõa t§t c£ c¡c sè vøa lªp ÷ñc ð c¥u a

n = nk.

Chùng minh

º câ 1 ch¿nh hñp l°p chªp k ta chia ra k cæng o¤n Cæng o¤n i chånph¦n tû thù i (i = 1, 2, 3, , k) Méi cæng o¤n ·u câ n c¡ch thüc hi»n

Do â theo quy t­c nh¥n câ nk ch¿nh hñp l°p chªp k tø n ph¦n tû

V½ dö Mët sè i»n tho¤i cõa nh  m¤ng Viettel gçm 10 chú sè, bi¸tr¬ng c¡c ¦u sè cõa nh  m¤ng n y l : 086, 096, 097 , 098, 032, 033, 034,

035, 036, 037, 038, 039 Häi câ bao nhi¶u sè i»n tho¤i Viettel câ ¦u sè086? Câ t§t c£ bao nhi¶u sè i»n tho¤i Viettel?

câ thù tü câ thº tròng nhau tø 10 sè tø 0 ¸n 9

Do â c¡c sè i»n tho¤i Viettel câ ¦u sè 086 ch½nh l  ch¿nh hñp l°p chªp

Viettel l  12.107 (sè).

Chó þ Trong ch¿nh hñp l°p, mët ph¦n tû câ thº l°p i l°p l¤i nhi·ul¦n n¶n câ thº x£y ra tr÷íng hñp k > n Cán trong ch¿nh hñp khæng l°pc¡c ph¦n tû æi mët kh¡c nhau n¶n k ≤ n

Chó þ Ho¡n và l  tr÷íng hñp °c bi»t cõa ch¿nh hñp khi n = k, do

â ch¿nh hñp chªp n cõa n ph¦n tû ch½nh l  ho¡n và cõa n ph¦n tû â

Do â sè c¡ch x¸p tê n y ùng th nh 1 h ng ngang l P10 = 10! = 3628800

V½ dö 2 Câ 5 quyºn vð kh¡c nhau v  5 nh¢n vð kh¡c nhau Häi câbao nhi¶u c¡ch d¡n nh¢n vð v o c¡c quyºn vð?

Líi gi£i

Cè ành c¡c quyºn vð Méi ho¡n và cõa 5 nh¢n vð cho ta 1 c¡ch d¡n Vªy

câ P5 = 5! = 120 c¡ch d¢n nh¢n vð v o vð

V½ dö 3 Ð tê 1 cõa lîp 11A câ 14 b¤n håc sinh, trong â câ 6 nam

v  8 nú Häi câ bao nhi¶u c¡ch s­p x¸p 14 håc sinh tr¶n th nh 1 h ngngang sao cho:

a 6 b¤n nam ùng li·n nhau?

b 6 b¤n nam ùng li·n nhau v  8 b¤n nú ùng li·n nhau?

Líi gi£i

a Xem 6 b¤n nam ùng li·n nhau l  1 nhâm X.

X¸p X v  8 b¤n nú th nh 1 h ng câ 9! c¡ch

Trong nhâm X º x¸p 6 b¤n nam ta câ 6! c¡ch

Vªy theo quy t­c nh¥n ta câ 9!.6! c¡ch s­p x¸p 14 håc sinh tr¶n th nh 1

h ng ngang sao cho 6 b¤n nam ùng li·n nhau

b Xem 6 b¤n nam l  1 nhâm X, 8 b¤n nú l  1 nhâm Y

X¸p X v  Y câ 2! c¡ch

Trong nhâm X º x¸p 6 b¤n nam ta câ 6! c¡ch

Trong nhâm Y º x¸p 8 b¤n nú ta câ 8! c¡ch

Vªy theo quy t­c nh¥n ta câ 2!.6!.8! c¡ch s­p x¸p

V½ dö 4 Cho tªp hñp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Häi câ thº lªp bao nhi¶u

sè tü nhi¶n câ 3 chú sè æi mët kh¡c nhau v  chia h¸t cho 3 tø c¡c sè l§y

ng÷íi â Vªy sè c¡ch s­p x¸p 10 ng÷íi v o b n «n d i 10 ché l  P10 = 10!

Mët tê hñp chªp k cõa n ph¦n tû l  1 tªp con gçm k ph¦n tû l§y

Khi k = 0, câ 1 tªp con duy nh§t câ 0 ph¦n tû l  tªp ∅ , cæng thùc óng.Khi k ≥ 1 ta th§y 1 ch¿nh hñp chªp k cõa n ph¦n tû ÷ñc th nh lªp nh÷sau:

- Chån 1 tªp conk ph¦n tû cõa tªp hñp gçm nph¦n tû, câCnk (c¡ch chån)

a Câ t§t c£ bao nhi¶u c¡ch lªp?

b Câ bao nhi¶u c¡ch lªp o n ¤i biºu, trong â câ 3 nam v  2 nú?

Líi gi£i

a Méi o n ÷ñc lªp l  1 tê hñp chªp 5 cõa 10 ng÷íi V¼ vªy sè o n ¤ibiºu câ thº câ l  Cnk = 10!

5!5! = 252 (c¡ch)

b Chån 3 ng÷íi tø 6 nam, câ C63 (c¡ch chån)

Vîi méi c¡ch chån 3 ng÷íi nam, câ C42 (c¡ch chån) 2 ng÷íi tø 4 nú

Theo quy t­c nh¥n câ t§t c£ C63C42 = 20.6 = 120 c¡ch lªp o n ¤i biºugçm 3 nam v  2 nú

V½ dö 2 B¤n Lan câ 10 bæng hoa, trong â câ 6 bæng m u ä, 4 bæng

m u v ng Häi b¤n Lan câ bao nhi¶u c¡ch chån ra

a 5 bæng hoa b§t k¼?

b 5 bæng hoa, trong â câ 2 bæng m u ä, 3 bæng m u v ng?

c 5 bæng hoa, trong â câ ½t nh§t 1 bæng m u v ng?

Ng÷íi ta muèn chån 1 tê cæng t¡c gçm 6 ng÷íi T¼m sè c¡ch chån trongméi tr÷íng hñp sau:

a Trong tê ph£i câ m°t c£ nam v  nú

b Trong tê ph£i câ mët tê tr÷ðng, 5 tê vi¶n, hìn núa An v  B¼nh khæng

çng thíi câ m°t trong tê

Líi gi£i

a Sè c¡ch chån ra 6 ng÷íi b§t k¼ trong 14 ng÷íi câ C146 = 3003 (c¡ch)

Sè c¡ch chån ra 6 ng÷íi ·u l  nú câ C86 = 28 (c¡ch)

Sè c¡ch chån ra 6 ng÷íi ·u l  nam câ C66 = 1 (c¡ch)

Vªy º trong tê câ m°t c£ nam c£ nú th¼ sè c¡ch chån l 

Vîi 6 ng÷íi ¢ chån, ta câ 6 c¡ch chån ra 1 tê tr÷ðng v  5 tê vi¶n

Vªy sè c¡ch chån ra 6 ng÷íi, trong â câ 1 tê tr÷ðng, 5 tê vi¶n, An v B¼nh khæng çng thíi câ m°t l  6 C146 − C4

V½ dö 6 Trong m°t ph¯ng cho 1 a gi¡c lçi câ 20 c¤nh b¬ng nhau

a Câ bao nhi¶u tam gi¡c m  c¡c ¿nh cõa nâ tròng vîi ¿nh cõa a gi¡ctr¶n?

b Câ bao nhi¶u tam gi¡c m  c¡c ¿nh cõa nâ tròng vîi ¿nh cõa a gi¡ctr¶n v  khæng câ c¤nh n o l  c¤nh cõa a gi¡c?

c Câ bao nhi¶u ÷íng ch²o trong a gi¡c lçi â?

Líi gi£i

a Sè tam gi¡c m  c¡c ¿nh cõa nâ tròng vîi ¿nh cõa a gi¡c l C203 = 1140

b Sè tam gi¡c câ 2 c¤nh l  c¤nh cõa a gi¡c l  20

( V¼ 1 tam gi¡c câ 2 c¤nh l  c¤nh cõa a gi¡c s³ câ 3 ¿nh l  3 ¿nh li¶nti¸p cõa a gi¡c â.)

Ta i t¼m sè tam gi¡c câ 1 c¤nh l  c¤nh cõa a gi¡c Chån 1 c¤nh cõa agi¡c v  bä i 2 c¤nh b¶n Khi â ta cán l¤i 16 ¿nh

Tø 1 c¤nh v  16 ¿nh ta s³ ÷ñc 16 tam gi¡c câ 1 c¤nh l  c¤nh cõa agi¡c Trong a gi¡c ·u 20 c¤nh ta s³ câ 20.16 tam gi¡c nh÷ vªy

Vªy sè tam gi¡c m  khæng câ c¤nh n o l  c¤nh cõa a gi¡c l 

C203 − 20 − 20.16 = 1140 − 20 − 320 = 800(c¡ch)

c Cù 2 ¿nh nèi vîi nhau s³ cho ta 1 o¤n th¯ng

Vªy têng sè ÷íng ch²o v  c¤nh cõa a gi¡c l  C202

⇒ Sè ÷íng ch²o cõa a gi¡c ¢ cho l  C202 − 20 = 170 (÷íng ch²o)

1.6 Nhà thùc Newton v  tam gi¡c Pascal

1.6.1 Nhà thùc Newton

Biºu thùc (a + b)n gåi l  nhà thùc Newton, vîi n ∈ N.

Cæng thùc sau ¥y ÷ñc gåi l  cæng thùc khai triºn nhà thùc Newton

Do â, theo ph²p chùng minh quy n¤p th¼ cæng thùc óng vîi måi n ∈ N.

H» qu£ Tø cæng thùc khai triºn nhà thùc Newton:

cõa a v  b trong méi h¤ng tû luæn b¬ng n.

• Sè h¤ng têng qu¡t thù k + 1 cõa khai triºn l  Tk+1 = Cnkan−kbk ( n¸ukhai triºn c¡c h¤ng tû câ sè mô cõa a gi£m d¦n v  sè mô cõa b t«ng d¦n)ho°c Tk+1 = Cnkakbn−k n¸u khai triºn c¡c h¤ng tû câ sè mô cõa a t«ng d¦n

v  sè mô cõa b gi£m d¦n)

1.6.2 Tam gi¡c Pascal

Trong cæng thùc khai triºn nhà thùc Newton (a + b)0, (a + b)1,

(a + b)2, ,(a + b)n ta x¸p c¡c h» sè th nh 1 dáng, khi â ta ÷ñc 1tam gi¡c gåi l  tam gi¡c Pascal

Méi sè ð dáng sau câ ÷ñc b¬ng c¡ch cëng 2 sè ð tr¶n ¦u ð dáng ngaytr÷îc â

1.6.3 Nhà thùc Newton vîi c¡c h m sè sin v  cos

Trong c¡c cæng thùc l÷ñng gi¡c, ta câ cæng thùc:

cos (a + b) = cosa.cosb − sina.sinb

sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

Tø â ta suy ra c¡c cæng thùc sau:

cos2x = cos (x + x) = cos2x − sin2x

sin2x = sin (x + x) = 2sinx.cosx

cos3x = cos (2x + x) = cos3x − 3sin2x.cosx

sin3x = sin (2x + x) = 3cos2x.sinx − sin3x

cos4x = cos (3x + x) = cos4x − 6sin2x.cos2x + sin4x

sin4x = sin (3x + x) = 4cos3x.sinx − 4cosx.sin3x

cos5x = cos (4x + x) = cos5x − 10cos3xsin2x + 5cosx.sin4x

sin5x = sin (4x + x) = 5cos4xsinx − 10cos2xsin3x + sin5x

C¡c cæng thùc tr¶n v  c¡c bi¸n êi t÷ìng ÷ìng cõa chóng th÷íng ÷ñc

sû döng trong vi»c gi£i c¡c b i tªp l÷ñng gi¡c, °c bi»t l  c¡c b i thi trongk¼ thi trung håc phê thæng quèc gia º l m gi£m nhµ c¡c cæng thùc tr¶n

ta câ thº l÷u þ tîi t½nh quy luªt ÷ñc rót ra tr¶n cì sð vi¸t l¤i c¡c cængthùc â d÷îi d¤ng b£ng sau:

Trong méi æ ch­n bði 2 ÷íng k´ ngang ð tr¶n, ta vi¸t c¡c h» sè (khæng

kº d§u) theo chi·u môi t¶n tr¶n 1 h ng ta ÷ñc

Vi¸t khai triºn theo cæng thùc nhà thùc Newton cõa biºu thùc(cosx + sinx)n

( khai triºn h¤ng tû theo sè mô cõa cosx gi£m d¦n) th¼ c¡c h¤ng tû ùng

ð và tr½ l´ ÷ñc vi¸t vîi d§u theo trªt tü lu¥n phi¶n +, −, +, −, th¼ cho

ta cæng thùc cõa cosnx C¡c h¤ng tû ùng ð và tr½ ch®n ÷ñc vi¸t vîi d§utheo trªt tü lu¥n phi¶n +, −, +, −, s³ cho ta cæng thùc cõa sinnx

D÷îi ¥y s³ l  v½ dö º gióp c¡c b¤n d¹ h¼nh dung hìn

V½ dö Vi¸t cæng thùc cõa cos6x v  sin6x

Líi gi£i

Tr÷îc ti¶n ¡p döng cæng thùc nhà thùc Newton ta câ

(cosx + sinx)6 = C60cos6x+C61cos5xsinx+C62cos4xsin2x+C63cos3xsin3x+

C64cos2xsin4x + C65cosxsin5x + C66sin6x

= cos6x + 6cos5xsinx + 15cos4xsin2x + 20cos3xsin3x + 15cos2xsin4x +

6cosxsin5x + sin6x

C¡c h¤ng tû ùng ð và tr½ l´ l : cos6x, 15cos4xsin2x, 15cos2xsin4x, sin6x

⇒ cos6x = cos6x − 15cos4xsin2x + 15cos2xsin4x − sin6x

C¡c h¤ng tû ùng ð và tr½ ch®n l : 6cos5xsinx, 20cos3xsin3x, 6cosxsin5x

⇒ sin6x = 6cos5xsinx − 20cos3xsin3x + 6cosxsin5x

T÷ìng tü vîi n lîn hìn, ta ho n to n vi¸t ÷ñc cæng thùc sinnx, cosnx

C¡c b i to¡n v· ¤i sè tê hñp

2.1 Rót gån v  t½nh gi¡ trà biºu thùc

2.1.1 Ph÷ìng ph¡p chung

º rót gån hay t½nh gi¡ trà biºu thùc ¤i sè tê hñp ta sû döng c¡c cængthùc n!, Pn, Akn, Cnk v  t½nh ch§t cõa c¡c sè Cnk º bi¸n êi, ÷a v· biºuthùc ìn gi£n hìn v  t½nh to¡n

1(k − 1)! − 1

15(n − 1)!



y = 3

x = 8 Vªy h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m l  (x; y) = (8; 3)

⇔ (C2

n+ Cn3)2 = 100 ⇔ n = 4

B i tªp 3.(· thi ¤i håc, cao ¯ng khèi B - 2006)

Cho tªp hñp A gçm n ph¦n tû (n ≥ 4) Bi¸t r¬ng sè tªp con gçm 4 ph¦n

tû cõa A b¬ng 20 l¦n sè tªp con gçm 2 ph¦n tû cõa A

1 T¼m n

2 T¼m k ∈ {1, 2, , n} sao cho sè tªp con gçm k ph¦n tû cõa A l  lînnh§t

H÷îng d¨n

1 Theo b i ra ta câ ph÷ìng tr¼nh Cn4 = 20Cn2; (n ≥ 4) ⇔ n = 18

2 º t¼m max C18k , k ∈ {1, 2, , 18} ta ti¸n h nh gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh sau

2.3 T¼m sè h¤ng v  h» sè cõa mët lôy thøa

B÷îc 3 Thay k v o ta t¼m ÷ñc sè h¤ng hay h» sè c¦n t¼m

Vîi nhúng b i to¡n y¶u c¦u t¼m h» sè lîn nh§tak trong khai triºn nhà thùcNewton (ax + b)n ta l m nh÷ sau:

B÷îc 1 Vi¸t sè h¤ng têng qu¡t thù (k + 1) cõa khai triºn (ax + b)n

20−k

.x2k = C20k x52 k−10

1.6 Nhà thùc Newton v  tam gi¡c Pascal

1.6.1 Nhà thùc Newton

Biºu thùc (a + b)n gåi l  nhà thực Newton, vợi n N.

Cổng thực... Newton, vợi n N.

Cổng thực sau Ơy ÷đc gåi l  cỉng thùc khai triºn nhà thùc Newton

Do... quy nÔp thẳ cổng thực úng vợi mồi n N.

H» qu£ Tø cæng thùc khai triºn nhà thùc Newton:

cõa