Câu 1 Trong khai triển nhị thức (a + 2)2n + 1 (n ℕ) Có tất cả6 số hạng Vậy n bằng A 17; B 11; C 10; D 5 Đáp án D Ta có trong khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng Trong khai triển (a + 2)2n + 1 (n ∈ ℕ)[.]
Trang 1Câu 1 Trong khai triển nhị thức (a + 2)2n + 1 (n ℕ) Có tất cả6 số hạng Vậy n bằng
A 17;
B 11;
C 10;
D 5
Đáp án:D
Ta có trong khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng
Trong khai triển (a + 2)2n + 1 (n ∈ℕ) có tất cả 6 số hạng nên ta có 2n + 1 = 5
Vậy n = 2
Câu 2. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (2a + b)4 bằng
A 4;
B 5;
C 3;
D 6
Đáp án: A
Trang 2Ta có tổng số mũ của a, b trong mỗi hạng tử khi khai triển (a + b)n luôn bằng n
Vậy tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + b)4 bằng 4
Câu 3.Biểu thức (5x)3(–6y2)2 là một số hạng trong khai triển nhị thức nào dưới đây
A (5x – 6y)2;
B (5x – 6y2)3;
C (5x – 6y2)4;
D (5x – 6y2)5
Đáp án: D
Vì trong khai tiển (a + b)n thì trong mỗi số hạng tổng số mũ của a
và b luôn bằng n Do đó, thay a = 5x, b = –6y2 thì tổng số mũ của
a và b bằng 5 Đáp án D đúng
Câu 4. Số hạng tử trong khai triển (x – 2y)4 bằng
A 8;
B.6;
C 5;
D. 7
Trang 3Đáp án: C
Ta có trong khai triển (a + b)n có n + 1 hạng tử
Vậy trong khai triển (2x + y)4 có 5 hạng tử
Câu 5.Hệ số của x3 trong khai triển của (3 – 2x)5 là
A 4608;
B 720;
C –720
D –4608
Đáp án: C
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = 3, b = –2x vào trong công thức ta có Ck5C5k35 – k .(– 2x)k = (–2)k Ck5C5k35 – k .(x)k
Vì tìm hệ số của x3 nên ta có xk = x3⇒ k = 3
Hệ số của x7 trong khai triển là (– 2)3 32 = –720
Câu 6.Hệ số của x3 trong khai triển 3x3 + (1 + x)5 bằng
A 13;
B 10;
Trang 4C 7;
D. 15
Đáp án: A
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = 1, b = x vào trong công thức ta có Ck5C5k15 –
k .(x)k = Ck5C5k15 – k .(x)k
Vì tìm hệ số của x3 nên ta có xk = x3 k = 3
Hệ số của x5 trong khai triển (1 + x)5 là 12 = 10
Hệ số của x5 trong khai triển là: 10 + 3 = 13
Câu 7. Hệ số của x3y3 trong khai triển nhị thức (1 + x)5(1 + y)5 là
A 10;
B 400;
C 100;
D 36
Đáp án: C
Ta có hệ số của x3 có khai triển (1 + x)5 là
Trang 5Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = 1, b = x vào trong công thức ta có Ck5C5k15 –
k .(x)k = Ck5C5k15 – k .(x)k
Vì tìm hệ số của x3 nên ta có xk = x3 k = 3
Hệ số của x3 trong khai triển (1 + x)5 là C35C53 13 = 10
Ta có hệ số của y3 có khai triển (1 + y)6 là
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = 1, b = y vào trong công thức ta có Ck5C5k15 –
k .(y)k = Ck5C5k15 – k .(y)k
Vì tìm hệ số của y3 nên ta có yk = y3⇒ k = 3
Hệ số của y3 trong khai triển (1 + y)5 là C35C53.13 = 10
Hệ số của x3y3 trong khai triển nhị thức (1 + x)5(1 + y)5 là: 10.10
= 100
Câu 8. Khai triển nhị thức (2x – y)5 ta được kết quả là:
A 32x5 – 16x4y + 8x3y2 – 4x2y3 + 2xy4 – y5 ;
B 32x5 – 80x4y + 80x3y2 – 40x2y3 + 10xy4 – y5 ;
C 2x5 – 10x4y + 20x3y2 – 20x2y3 + 10xy4 – y5 ;
D 32x5 – 10000x4y + 80000x3y2 – 400x2y3 + 10xy4 – y5 ;
Đáp án: B
Trang 6Khai triển nhị thức
y)5 = C05C50(2x)5(y)0 – C15C51(2x)4(y)1 + C25C52(2x)3(y)2 – C 35C53(2x)2(y)3 + C45C54(2x)(y)4 – C55C55(2x)0(y)5 = 32x5 – 80x4y + 80x3y2 – 40x2y3 + 10xy4 – y5
Câu 9.Trong khai triển (x – 2y)4 số hạng chứa x2y2 là:
A 24;
B –24;
C 35;
D –35
Đáp án:A
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = x, b = –2y vào trong công thức ta có
Ck2C2k(x)4 – k .(–2y)k = (–2)k Ck2C2k (x)4 – k .(y)k
Số hạng cần tìm chứa x2y2 nên ta có x4 – kyk = x2y2
Vậy k = 2 thoả mãn bài toán
Khi đó hệ số cần tìm là (– 2)2 C24C42 = 24
Câu 10.Trong khai triển (x+8x2)5x+8x25 số hạng chứa x2 là:
A 30x2;
Trang 7B 20x2;
C 40x2;
D 25x2
Đáp án:C
Ta có (x+8x2)5x+8x25
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = x, b = 8x28x2 vào trong công thức ta có
Ck5C5k(x)5 – k (8x2)k8x2k = 8k Ck5C5k(x)5 – k (1x2)k1x2k =
8k Ck5C5k x5 – 3k
Số hạng cần tìm chứa x2 nên ta có 5 – 3k = 2
Do đó k = 1 thoả mãn bài toán
Khi đó hệ số cần tìm là (8)1 C15C51 = 40
Vậy số hạn cần tìm là 40x2
Câu 11.Trong khai triển (x2 – 2x)5 hệ số của số hạng chứa x6 là:
A – 80;
B – 50;
C 50;
D 80
Trang 8Đáp án:D
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = x2, b = –2x vào trong công thức ta có
Ck5C5k(x2)5 – k .(–2x)k = (–2)k Ck5C5k (x)10 – k
Số hạng cần tìm chứa x6 nên ta có 10 – k = 6
Do đó k = 4 thoả mãn bài toán
Khi đó hệ số cần tìm là (– 2)4 C45C54 = 80
Câu 12. Trong khai triển nhị thức (2x2+1x)n2x2+1xn hệ số của
x3 là 22C1n22Cn1 Giá trị của n là
A.n = 2;
B.n = 3;
C.n = 4;
D.n = 5
Đáp án: B
Khai triển nhị thức
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = 2x2, b = 1x1x vào trong công thức ta có
CknCnk(2x2)n – k (1x)k1xk = (2)n-k CknCnk(x)2n –3k
Vì hệ số của số hạng chứa x3 là 22C1n22Cn1 nên ta có k = 1
Trang 9Số hạng cần tìm chứa x3 nên ta có 2n – 3.1 = 3
Vậy n = 3 thoả mãn bài toán
Câu 13 Biết hệ số của x3 trong khai triển của (1 – 3x)n là –
270 Giá trị của n là
A. n = 5;
B. n = 8;
C. n = 6;
D. n = 7
Đáp án: A
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = 1, b = – 3x vào trong công thức ta có
CknCnk(1)n – k .(–3x)k = (–3)k(1)n-k CknCnk(x)k
Số hạng cần tìm chứa x3 nên ta có k = 3
Vậy k = 3 thoả mãn bài toán
Vì hệ số chứa x3 bằng – 270 nên
(– 3)3(1)n-3 C3nCn3 = –270 ⇔ C3n=10Cn3=10
⇔n!3!(n−3)!=n(n−1)(n−2)(n−3) 16(n−3)(n−4) 1=10⇔n!3!(n−3)
!=n(n−1)(n−2)n−3 16(n−3)n−4 1=10
⇔n(n−1)(n−2)6=10⇔n(n−1)n−26=10
Trang 10⇔ n3 – 3n2 + 2n – 60 = 0 ⇔ (n – 5)(n2 + 2n + 12) = 0
Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn bài toán
triển (x2−1x)nx2−1xn biết A2n−C2n=10An2−Cn2=10
A –20;
B 10;
C –10;
D 20
Đáp án: B
Ta
có: A2n−C2n=10An2−Cn2=10 ⇔n!(n−2)!−n!2!(n−2)!=10⇔n!n−2
!−n!2!n−2!=10
⇔n(n−1)(n−2) 1(n−2) 1−n(n−1)(n−2) 12.(n−2) 1=10⇔n(n− 1)(n−2) 1(n−2) 1−n(n−1)(n−2) 12.(n−2) 1=10
⇔ n(n – 1) – 1212n(n – 1) = 10
⇔ 1212n(n – 1) = 10 ⇔ n2 – n – 20 = 0 ⇔(n=5n=−4)⇔n=5n=−4 Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn
Nhị thức (x2−1x)nx2−1xn
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Thay a = x2, b = −1x−1x vào trong công thức ta có
Ck5C5k(x2)5 – k (−1x)k−1xk = ( –1)k Ck5C5k (x)10 – 3k
Trang 11Số hạng cần tìm chứa x4 nên ta có 10 – 3k = 4
Vậy k = 2 thoả mãn bài toán
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: (– 1)2C25C52 = 10
mãn C1n+C2n=10Cn1+Cn2=10, hệ số chứa x2 trong khai triển của biểu thức (x3+2x2)nx3+2x2n bằng
A 36;
B 10;
C 20;
D 24
Đáp án: D
Ta có C1n+C2n=10Cn1+Cn2=10
⇔n!1!(n−1)!+n!2!(n−2)!=10⇔n!1!(n−1)!+n!2!(n−2)!=10
⇔n(n−1) 1(n−1) 1+n(n−1)(n−2) 12(n−2) 1=10⇔n(n−1) 1( n−1) 1+n(n−1)(n−2) 12(n−2) 1=10
⇔n+n(n−1)2=10⇔n+nn−12=10
⇔ n2 + n – 20 = 0 ⇔(n=4n=−5)⇔n=4n=−5
Kết hợp với điều kiện n = 4 thoả mãn bài toán
Nhị thức (x3+2x2)nx3+2x2n
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là CknCnkan – k .bk (k ≤ n)
Trang 12Thay a = x3, b = 2x22x2 vào trong công thức ta có
(x3)4 – k (2x2)k2x2k = (2)k Ck4C4k (x)12 – 5k
Số hạng cần tìm hệ số chứa x2 nên ta có 12 – 5k = 2
Do đó k = 2 thoả mãn bài toán
Vậy hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển là: (2)2 C24C42 =
24