Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm... nhiêu cách chọn nếu:a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau?. kể cả thủ môn.. Bài 27: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ
Trang 1Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
4
1
24 23
n
n
A
+
=
C −C =C c) C x x−1+C x x−2+C x x−3+ + C x x−10 =1023
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) C10x++4x =C102 10x+−x b) x2−C x C C4x + 32 1 3=0 c) A2x−2+C x x−2 =101
d) C8x+x3 5A3x 6
+ = + e) C1x +6C x2+6C3x =9x2−14
ĐS: a) x = 14 b) x = 3 c) x = 10 d) x = 17 e) x = 7
Bài 3: Giải các bất phương trình:
a)
3
1
4
3 1
1 14
n
n
n
C
P A
−
−
+
3 60 ( )!
k n
n
P
A
4
C − −C − − A − <
ĐS: a) đk: n ≥ 3, n 2 + n – 42 > 0 ⇔ n ≥ 6
b) ( 5)( 4)( ≤k n n n n k 1) 0
• Xét với n ≥ 4: bpt vô nghiệm
• Xét n ∈ {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)
c) đk: n ≥ 5, n 2 – 9n – 22 < 0 ⇒ n = 6; 7; 8; 9; 10
Bài 4: Giải các phương trình và bất phương trình:
a/ C x x+−12+2C3x−1=7(x−1) b/ A3x +C x x−2 =14 x
c/
5
5
2
336
x
x
x
A
2 28
2 4 24
225 52
x x
C
e/ 4 1 3 1 5 2 2 0
4
3 1 4
3 1
1 14
n n n
C
P A
−
− +
< .
g/ 2C2x+1+3A2x <30 h/ 1 22 2 6 3 10
2A x −A x ≤ x C x + ĐS: a/ x = 5 b/ x = 5 c/ x = 8 d/ x = 7
e/ 5≤ ≤n 10,n N∈ . f/ x≥6,n N∈ g/ x = 2. h/ x = 3, x = 4.
Bài 5: Giải các hệ phương trình:
1
126 720
x
y y x
y x
x
A
C P
P
− +
+
b) C x y+1:C x y+1:C x y−1=6 : 5 : 2 c)
1 1
0
y y
x x
+
−
ĐS: a) =x y 75
=
8 3
x y
=
=
17 8
x y
=
=
Bài 6: Giải các phương trình và hệ bất phương trình:
:
3 1 :
24
x x
y y
x x
y y
C C
C A
+
c/ lg(3 ) lg3 1 1
3 x 6 x
ĐS: a/ x = 5, y = 2 b/ x = 4, y = 8 c/ 3≤ ≤x 6; ,x y Z∈ +
Bài 7: Tìm số tự nhiên k sao cho C14k ,C14k+1,C14k+2 lập thành một cấp số cộng
ĐS: k = 4; 8.
Trang 2Bài 8: Chứng minh rằng: 12 . 2 1
2
n n
n C
n
<
+ ( n ∈ N, n ≥ 1)
HD: Biến đổi vế trái: 12 2 2(2 )! 1.3.5 (2 1)
2.4.6 (2 )
n n
C
n
n n
−
Vậy ta phải chứng minh: 1.3.5 (22.4.6 (2 )1) 1
n
n− < n
+
Ta có:
+
−
Cho k lần lượt từ 1, 2, …, n Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
Bài 9: Chứng minh rằng: C2n n k+ C2n n k− ≤(C2n n)2 (với k, n ∈ N, 0 ≤ k ≤ n)
HD: • Đặt u k = C2n n k+ C2n n k− (k = 0;1;…;n)
Ta chứng minh: u k > u k+1 (*)
Thật vậy, (*) ⇔ C2n n k+ C2n n k− >C2n n k+ +1 2.C n n k− −1 ⇔ n + 2nk > 0
Điều này luôn luôn đúng ⇒ đpcm.
Bài 10: Chứng minh các hệ thức sau:
a) C C n k n k p k−− =C C n p k p (k ≤ p ≤ n) b) C r n n C n r 11
r −−
=
Bài 11: Chứng minh các hệ thức sau:
a) C n m+1+C n m−1+2C n m =C n m++21 b) C n k +3C n k−1+3C n k−2+C n k−3=C n k+3 (3 ≤ k ≤ n)
ĐS: Sử dụng tính chất: C n k−1+C n k =C n k+1
Bài 12: Chứng minh các hệ thức sau:
a) C n k +4C n k−1+6C n k−2+4C n k−3+C n k−4 =C n+4k (4 ≤ k ≤ n)
b) C n p+1= n p+1C n p−1 c) k k( −1)C n k =n n( −1)C n k−−22 ( 2 < k < n)
Bài 13: Chứng minh các hệ thức sau:
a) C C r0 q p+C C1r q p−1+ + C C r p q0=C r q p+ b) ( )C n0 2+( )C1 2n + + ( )C n n 2 =C2n n
c) C20p+C22p+C24p+ + C22p p=C21p+C23p+ + C22 1p p− =c2 1p−
d) 1−C n1+C n2−C n3+ + − ( 1)p p C n = −( 1)p p C n−1
ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x) r (1+x) q = (1+x) r+q So sánh hệ số của x p ở 2 vế.
b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n
c) Sử dụng (x+y) 2p và (x–y) 2p
d) Sử dụng C n r =C n r−−11+C n r−1, với r lẻ thì nhân 2 vế với –1.
Bài 14: Rút gọn các biểu thức sau:
A = 52 105
P + P B = P A1 21+P A2 32+P A3 43+P A4 54−P P P P1 2 3 4
C =
ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42
Bài 15: Chứng minh rằng:
n
n với n N n n
−
Trang 3b/ A n k = A n k−1+k A n k−−11 c/ A n k n++2+A n k n++1 = k A2 n k n+
Bài 16: Giải các phương trình sau:
a) A n3=20n b) A n3+5A n2= 2(n + 15) c) 3A n2−A22n+42 0.=
Bài 17: Tìm n ∈ N sao cho:
a) 42
1 3
210
n
n
n
P
+
−
−
= b) 2(A n3+3A n2) = Pn+1 c) 2P n+6A n2−P A n n2 =12
Bài 18: Giải các phương trình:
a/ A10x +A x9 =9 A x8 b/ P A x 2x +72 6(= A x2+2 )P x
c/ 2A2x +50=A22x d/
1 1 1
72
y
x x y x
P
+
−
=
ĐS: a/ x = 11. b/ x = 3; 4 c/ x = 5 d/ x = 8, y ≤7, y N∈ .
Bài 19: Giải các bất phương trình:
( n2)! ( 1)!
A
4 2
4
n
A
P++ − P− <
ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2 ≤ n ≤ 36
Bài 20: Rút gọn các biểu thức sau:
A = (m−2)(6!m−3) (. m+1)(1m−4) (. m(m−+5)!5! 12.(1)! − m m.(m−−4)!3!1)!
B = 7!4! 8!10! 3!5! 2!7! − 9! ÷
5! . ( 1)!
( 1) ( 1)!3!
m
+
ĐS: A = – 4(m–1)m; B = 2
Bài 21: Chứng minh rằng:
a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 b) P n = −(n 1)P n−1+ −(n 2)P n−2+ + 2P P2+ +1 1
c) 1 1 1 1 1 3
1! 2! 3! n!
! ( 1)! ( 2)!
n
n = n− + n−
Bài 22: Giải phương trình: x! ((− −x x1)!1)! 1=6
+
ĐS: x = 2; x = 3
Bài 23: Giải bất phương trình:n12n51 (. n(n+3)!4! 12(1)! − n n n.(3).(−n1)!4)!2!÷≤5
6
n− n≤
⇒ n = 4, n = 5, n = 6
Bài 24: Giải các phương trình:
a) P2.x2 – P3.x = 8 b) 1
1
1 6
x x x
P+ −
−
=
ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3
Bài 25: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 6840.
Bài 26: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét Có bao
Trang 4nhiêu cách chọn nếu:
a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn)
b/ Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4
ĐS: a/ 55440. b/ 120
Bài 27: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí
Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
Bài 28: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả:
a/ Số chẵn b/ Bắt đầu bằng số 24 c/ Bắt đầu bằng số 345
d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
ĐS: a/ 312. b/ 24 c/ 6 d/ 120 ; 480
Bài 29: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác
nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
a/ n là số chẵn?
b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?
(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ĐS: a/ 3000. b/ 2280
Bài 30: a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết
cho 3
b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1
(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999)
c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4
Bài 31: a/ Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6
chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Tính tổng của các số này
ĐS: a/ 37332960. b/ 96 ; 259980
Bài 32: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn
khác 0)
(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1)
b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 9 Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho
(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) ĐS: a/ 3024. b/ 36960
Bài 33: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập Người ta cấu tạo thành các đề thi Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
ĐS: • Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập: C C42 1 6 =36
• Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập: C C14 6 2 =60
Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.