Chuyên đề tổ hợp sắc xuất và nhị thức newton

Chuyên đề tổ hợp sắc xuất và nhị thức newton hay khó giúp phát triển tư duy của học sinh

Trang 1

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

Chuyên đề

Bài 1 NHỊ THỨC NEWTON

I Kiến thức cơ bản cần nắm vững

 Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:

0

n

k

=

 Nhận xét trong khai triển nhị thức:

+ Trong khai triển (a b± )n có n + số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu 1

và số hạng cuối thì bằng nhau: k n k

n n

+ Số hạng tổng quát dạng: 1 k n k k

T+ =C a− b và số hạng thứ N thì k=N− 1 + Trong khai triển (a b− )n thì dấu đan nhau, nghĩa là ,+ rồi ,− rồi ,+ ….…

+ Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n

+ Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt Chẳng hạn như:

+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + → + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

1

x

=−

−

• − = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − =

 Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):

+ Hoán vị: P n=n! =n n.( −1).(n−2) 3.2.1, (n≥1)

+ Chỉnh hợp: ! , 1( )

( )!

k n

n

n k

, (1 )

k

n

A n

1

+

II Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước

1) Khai triễn dạng: p q n

(ax + bx ) kết hợp với việc giải phương trình chứa A , C , P k n k n n

BT 1 Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức:

a)

12

1 , 0

x

5 3 2

1

x x

c)

10

1

2x , x 0

x

12

3 3

x x

e)

12

1

, 0

x

18 5

1

2x , x 0

x

g)

7 3

4

1 , 0

x

17

4 3

3 2

1

x

BT 2 Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:

17

3 2 C

−

25

C

9

3 C

−

TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON

6

Trang 2

11

3 C

12

3 C

−

g)

40 2

1 , 0

x

31

40

C

h)

10

2 2

, 0

x

11

10

2 C

− i) (3x− 2 x) 7

j)

10

, 0, 0

x

y

6 2

l) x(1 2 )− x5+x2(1 3 ) + x10 M=x5 ĐS: 3320

(2x+1) +(2x+1) +(2x+1) +(2x+1) M=x5 ĐS: 896

BT 3 Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau:

a)

5

1 , 0

x

c)

15

1 , 0

x

− ∀ >

5

15

C

25

2 3 C

BT 4 Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)

a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn C n3=5C1n Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị

thức Newton của 3

4

, 0 5

n

−

4

7 35

C =

b) Tìm hệ số của 4

x trong khai triển biểu thức 2 3 , 0,

n

x

  biết n là số tự nhiên thỏa mãn

hệ thức: 6 2

n

C − n A

c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển: 3

5 28

1

n

x

  biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: C n n+C n n−1+C n n−2 =79 ? ĐS: 792

d) Cho 3 1

5

log 9 7

a= −+ và

1 5

1 log ( 3 1) 5

5

x

b

−

= Tìm các số thực ,x biết rằng số hạng chứa a trong khai 3

triển Newton: (a b+ )8 bằng 224 ĐS: x=1 ∨ x=2 e) Tìm các giá trị của ,x biết trong khai triển 2lg(10 3 )x 52( 2)lg 3

n x

+

  có số hạng thứ 6 bằng 21

f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 3C n2+2A2n=3n2+15 Tìm số hạng chứa x trong khai 10

triển nhị thức Newton: 3

2

3

n

x

4 6 4 10

10.2 3

∈ ℕ Biết rằng a3=2014a2

Trang 3

h) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 3 2

, 0

n

x

  Biết rằng n thỏa mãn điều

2

15.2 320320

i) Cho n +

∈ ℤ và , , (a b b >0) Biết trong khai triển nhị thức Newton

n a b b

+

  có hạng tử chứa

4 9,

a b tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau ? ĐS: 5005a b 6 6

j) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 3 2 1 2

C − −C − =C C− ++ Tìm hệ số của số hạng chứa x 11

trong khai triển: 3 8 , 0

3

n

x

−

8 8

12.4

C

k) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 1 2

1

+ = + Tìm hệ số của x trong 7

khai triển: (1 2 )(2− x3 +x)n ? ĐS: 2224−

P= − +x x −x =a +a x a x+ + +a x Tìm a ? 7 ĐS: 40− m) Tìm hệ số của x trong khai triển: 5 P=x(1 2 )− x n+x2(1 3 ) ,+ x2n biết rằng 2 1

1 5

n

n n

+

ĐS: 3320

P x = x+ x+ =x +a x +a x + +a x a+ Tìm a ? 5 ĐS: 672

o) Cho: ( )

3 2

, 0

x x

= −  + −  ∀ ≠

  Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sẽ gồm

2) Khai triễn dạng: (a + bx p + cx ) q n kết hợp với việc giải phương trình chứa A , C , P k n k n n

Viết

n

p q n p q k n k p q k k n k i p k i q i

0 0

.( ) ( ) ,

n k

k n k i k i i

k i

C a− C bx − cx

= =

BT 5 Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:

d) (2+ x−3 ) , x2 5 ∀ ≥x 0 M=x2 ĐS: 230.−

h)

12

4 1

x

8

BT 6 Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)

(1+ −x x ) =a o+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tìm a ? 8 ĐS: a =8 45

n

x

  Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển ( )

P x biết n thỏa: 3 2

1

2

c) Tìm hệ số x4 trong khai triển biểu thức 3 1 1 , ( 0)

n

x

dương thỏa mãn 3C1n+1+8C n2+2 =3C3n+1 ĐS: 4422

Trang 4

− + = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Xác định hệ số a biết 6, rằng:

15 3

1 2

1

n

a

a + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =   ⋅

(1 2 ) (3 4+ x + x+4 )x =a o+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tìm a ? 6 ĐS: a =6 482496 f) Tìm hệ số của x trong khai triển Newton: 10

2 2

3

1 ( 2) 4

n x

  với n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: 3 n 2 14

n n

3) Khai triển (ax p + bx ) ; a q n ( + bx p + cx ) q n kết hợp tính tổng đơn giản

Khai triển Newton: ( )n 0 n 1 n1 n1 n1 n n,

 Số mũ của a giảm dần và số mũ của b tăng dần Nếu trong biểu thức không có số mũ tăng hoặc giảm thì nó (a hoặc b) có thể bằng 1

 Nếu dấu của biểu thức đan nhau thì khai triển sẽ có dạng (a b− ) n

 Trong biểu thức có 0 2k 4k

C +C +C (toàn chẵn hoặc toàn lẻ) thì đó là dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng (a b− )n và (a b+ )n khi chọn , a b rồi cộng lại (khi toàn chẵn) hoặc trừ đi

(khi toàn lẻ) theo từng vế

BT 7 Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+x2)n là 1024 Tìm hệ số của x ? 12 ĐS: n =10; 210

BT 8 Tìm hệ số của x trong khai triển 6 1 3

,

n x x

+

  với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ

BT 9 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8 ( ) 5

3

x

  với x > Biết n thỏa mãn 0

12.2 7920

BT 10 Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x) ,n biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 3n 0 3n 1 1 3n 2 2 3n 3 3 ( 1)n n 2048

10 11.2 22

BT 11 Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( x−3 ) , (x2 n x>0), biết rằng n là số nguyên dương và tổng

BT 12 Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x) ,n biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 3n 0 3n 1 1 3n 2 2 3n 3 3 ( )1 n n 2048

BT 13 Tìm hệ số của x19 trong khai triển biểu thức 9

(2 1) ( 2) ,n

P= x− x+ biết rằng n là số nguyên dương: C n0+C1n+C n2+ +C n n=2048 ? ĐS: 8960

BT 14 Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 – 3 ) ,x2n trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn

+ + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = ? ĐS : a = −7 2099520

BT 15 Tìm hệ số x4 trong khai triển (1+ +x 2 ) ,x2 n biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:

2 2 2 2n 512

BT 16 Hãy tìm hệ số của x5 trong khai triển: P x( ) (1 2= − x+4x2 3)n

2014 2014 2014 2014 2014 2 n 1

C +C +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C = − với n là số nguyên dương

5 2 12 34 8 12 44 ( 2) 12 5

BT 17 Tìm hệ số chứa x18 trong khai triển P x( ) (= x+2) (13 x2−2x+4)n Biết n nguyên dương thỏa mãn

C + +C + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C + = − ĐS: a =18 15138816

Trang 5

4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển n

(a + bx)

Xét khai triển nhị thức Newton (a bx+ )n có số hạng tổng quát: 1 k n k k k

T C a−b x

Đặt k n k k, 0

k n

= ≤ ≤ thì dãy hệ số là { }a Khi đó hệ số lớn nhất trong khai triển này thỏa k

hệ phương trình: 1

1

k k

o

k k

k

+

−

 ≥



≥

o o o o

k n k k

BT 18 Trong khai triển

11

1 2

x

+

o

a +a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x Hãy tìm k để hệ số a lớn nhất và k

8 8 max 11 11

2 3

k

n

+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ + trong đó n ∈ ℤ và các hệ số a a0, , ,1 a thỏa mãn n

hệ thức 1

n n a a

a + + ⋅ ⋅ ⋅ + = Tìm số lớn nhất trong các số a a0, , ,1 a ? ĐS: n amax =126720

1

2 3

n

n n

x

+ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

  Tìm số lớn nhất trong các số a a a0, , , ,1 2 a ? n

Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn 2 n 2 2 n2 n1 1 n1 11025

C C − C −C − C C −

62208

BT 21 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1+x)n có tỉ số hai hệ số liên tiếp trong khai triễn trên bằng 7

5) Tìm số hạng hữu tỉ ( hoặc số hạng là số nguyên) trong khai triển n

(a + b)

Xét khai triển (a b+ )n có số hạng tổng quát:

m r

p q

k n k k k

C a−b C

= α β với , α β là các số hữu tỉ Số

hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ: ( , 0 ) o

m p

r q



∈





 ∈



ℕ ℕ ℕ

o o o

k n k k n

C a− b

⇒ là số hạng cần tìm

BT 22 Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức: 3

( 3+ 2) ,n biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: ( )3

2 3 27

n n n

n n n n

93 2

92

C

BT 23 Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển:

3 1 3

1

2

n+

+

  Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn

2

+

0 6 3 2

10 102 5

;

⋅

III Chứng minh hoặc tính tổng

1) Sử dụng những nhận xét cơ bản hoặc tính chất, công thức A , C , P k n k n n

• Trong khai triển (a b− )n thì dấu đan nhau, nghĩa là ,+ rồi ,− rồi ,+ ….…

• Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n

• Vận dụng linh hoạt tính chất: 1 1

1,

+

1

+ +

=

• Khi gặp tổng giữa các tích của hai công thức tổ hợp ( i j ),

n n

C C

⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ lúc đó thường so sánh

hệ số của biến cùng bậc với nhau, chẳng hạn so sánh khai hệ số của số mũ cùng bậc của hai khai triển: (1−x2)n với (1−x) (n x+1) n

Trang 6

BT 24 Tính các tổng sau:

2010 2010 2010 2010

2010 2 2010 2 2010 2 2010

10 10 10 10 10

100 100 100 100

2

+

−

= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + −

n S n

= +

2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014!

2013

2014!

BT 27 Hãy tính các tổng sau:

1 1 2013 2 2013 3 2013 2013 2013

S = C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: 2013.2014.22011 b) 02013 12013 22013 20132013

2

2014 2

2014

2

C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C =C với n≥2, n∈ ℕ

BT 29 Cho số tự nhiên n ≥2, chứng minh đẳng thức:

2 2 2

1

+ +

11.12 11.12 11.12 2012.2013 2013.2014

2013

1 132

BT 31 Chứng minh ∀ ≥n 2, n∈ ℕ, ta luôn có:

1

n n n

n

−

BT 32 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức sau đây:

2 2 3 2k.3k 2n 3n 2n.3 n 2 (2 1)

2) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng

a) Sử dụng đạo hàm cấp I

• Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần (1, 2, 3, ., hay 1 , 2 , ., )n 2 2 n hoặc 2

giảm dần dạng ( , ., 3, 2, 1 hay n n2, , 2 , 1 )2 2 (không kể dấu) Hay tổng quát hơn nó có dạng là k C hoặc dạng n k k C a n k n k k−b−1

• Phương pháp giải:

+ Bước 1 Xét khai triễn: ( )n 0 n 1 n 1 2 n2 2 n1 n1 n n

+ Bước 2 Lấy đạo hàm hai vế được:

( )n1 1 n1 2 2 n 2 ( 1) n1 n 2 n n1

+ Bước 3 Chọn giá trị x và a thích hợp dựa vào đề bài để thế vào (i)

BT 33 Chứng minh n 1, n ∗,

∀ ≥ ∈ ℕ thì: 1.3n1 2 2.3n 2 3 3.3n3 n 4 n–1

BT 34 Chứng minh n 1, n ∗,

∀ ≥ ∈ ℕ thì: 2n1 1 2n1 2 2n 3 3 2n4 4 n 3 n1

BT 35 Tìm n +,

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 (2 1).2n 2n1 2005

BT 36 Tính tổng S trong các trường hợp sau:

Trang 7

2000 2 2000 3 2000 2001 2000

2

n

x

∗

  ℕ Hãy tìm số hạng chứa

6,

x biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn

đẳng thức: 1.2n1 1 2.2n2 2 3.2n 3 3 n 12.3n1

12

2 C x

(x−1) =a x o +a x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x +a x a+

S= a + a + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a + a + ĐS: S =201

(1 3 )− x =a o+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tính tổng S=a o+2a1+3a1+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2015a2014 ? ĐS: S =3022.22014

2014 3 2014 5 2014 2015 2014

S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =1008.22013

2014 2 2014 3 2014 1007 2014

A C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: 1007 2013

.2 2

b) Sử dụng đạo hàm cấp II

• Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần 1.2, 2.3, .,( n−1)n hoặc giảm dần (n 1) , , 2.3, 1.2n

  (không kể dấu), có dạng tổng quát: k C a k n k n −

hoặc ( 1) k

n

k k− C

• Phương pháp giải: Các bước giải tương tự như đạo hàm cấp 1

S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C + C ĐS: 2007.2008.22005

1 C +2 C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2012C +2013C =2013.2014.2

BT 44 Cho n ∈ ℤ thỏa mãn điều kiện: ,

3 3

35, ( 3)

( 1)( 2)

n n

n

+

Hãy tính tổng: 2 2 2 32 3 42 4 ( 1) n 2 n

S= C − C + C − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − n C ? ĐS: S =30

3) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng

• Nhận dạng: Số hạng tổng quát có dạng

1

k k

k n

C k

−

⋅ + ( có dạng phân số)

• Phương pháp giải:

+ Bước 1 Xét khai triễn: ( )n 0( )n 1( )n1 n1 n1 n n

+ Bước 2 Lấy tích phân hai vế với cận a và b

cx d dx+ = C cx +C cx − d+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C −cxd− +C d dx

b b

+

+ Bước 3 Chọn , , , a b c d phù hợp dựa vào đề bài

BT 45 Các bài toán mở đầu về sử dụng tích phân

n

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

1

n S n

+

−

+ b) Tính tổng: 0 22 1 1 23 1 2 2 1 1

n n

n

+

1

S n

−

+ c) Tính tổng: 2 0 2 1 1 20

S

−

= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

1

2( 1)

n S n

+

−

+

Trang 8

S= − C + − C + − C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − C ⋅ ĐS:

2011 2011

4022

− −

⋅

n n

n

1

2( 1)

n S n

+

−

+

n

−

2

n S n

−

− g) 1 1 2 2 3 3

n

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

1

n n S n

+ h) Tìm n +

n

BT 46 Tìm hệ số của x trong khai triển Newton của biểu thức 20 5

3

2

,

n x x

+

  biết rằng n là số nguyên

1

n

− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = ⋅

12.2 25344

BT 47 Tìm hệ số chứa x trong khai triển 2

4

1 , 2

n x

x

+

  biết n là nguyên dương thỏa mãn điều kiện:

2

n n

+

+ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

21

2

4

BT 48 Tìm n +

∈ ℤ thỏa:

2

n n

+ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 49 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton 5 3 2 ( )

, 0

n

x

  Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 4C n3+1+2C n2=A n3

BT 50 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton 3

2

1 3

n x x

−

  với x ≠0, biết rằng

2

−

BT 51 Tìm hệ số của 9

x trong khai triển (1−x 3) , 2n n∈ ℕ Biết số nguyên dương n thỏa mãn mãn ∗ điều kiện: 22 143 1

3

C + C = ⋅

BT 52 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 3

4

1 , 0

n

x

  Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 2(C n2+C n3) 3= n2−5 n

BT 53 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 5 n1 3

= Tìm số hạng chứa x trong khai 5

triển nhị thức Newton

2 1 , 0

14

n nx

x x

BT 54 Tìm hệ số của x trong khai triển 7 2 2

n x x

−

  biết hệ số của số hạng thứ ba bằng 1080

BT 55 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức: 8 2

(x +2) ,n biết rằng số nguyên dương

n thỏa mãn phương trình: A n3−8C n2+C n1=49

BT 56 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức: 10 ( x−3 ) , (x2 n x>0), biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 2048−

Trang 9

BT 57 Tìm hệ số x trong khai triển 4 2 3

, 0

n

x

  Biết n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 6 2

n

C − nA

BT 58 Tìm hệ số của số hạng chứa x− 1

trong khai triển 2

3

3 2

n x x

−

  thành đa thức Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 3 3 2 1

1 1 3

x

  Biết số nguyên dương n thỏa

2

C + C + C +C = C+

BT 60 Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển Newton của nhị thức: 2 12 ,

2

n x

x

−

∈ ℕ và thỏa mãn phương trình: 2C n1+C n2 =90

BT 61 Cho số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: A n3+6C n2−4C1n=100 Tìm hệ số chứa x trong 8

khai triển nhị thức Newton của

3

2 2 5

n n x

+

BT 62 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2

3

2

, 0

n

x

  Biết rằng n là số nguyên dương

C + +C + +C + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C + = −

BT 63 Tìm số hạng chứa x của 10 ( ) 3 1

n

x

+

∈ ℤ thỏa: 2 1

n

n n

+

BT 64 Khai triển nhị thức: (2+x)n theo lũy thừa tăng dần của x ta được số hạng thứ tám là 144 Tìm x biết n thỏa mãn phương trình: C n n+13 2C n n2 16(n 2), n *

BT 65 Tìm hệ số của 6

x trong 1 3 ,

n x x

+

  biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024 ?

BT 66 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của

31 ,

2

n

x x

 +  biết n thỏa mãn n là số nguyên dương thỏa mãn: 1 4 2 3 322 4 423 n2n1 6561

BT 67 Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức 19 P=(2x−1) (9 x+2) ,n biết rằng n là số nguyên dương thay đổi thỏa mãn phương trình: 0 1 2 n 2048

C +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ +C =

(1+ +x x ) =a o+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tính a 4

BT 69 Tìm hệ số x trong khai triễn 4 P x( ) (1= − −x 3 )x3 n, biết n +,

1

n

+

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = Hãy tìm số hạng chứa x trong khai triển: 14 2

( ) (1 3 ) n

P x = + +x x

3

3 2

1

2 1 4

n

  với n là số tự nhiên thay đổi thỏa mãn phương trình: 3 n 2 14

n n

BT 72 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 1 2 1

255

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = Hãy tìm số hạng chứa x trong khai triển: 14 P x( ) (1= + +x 3 ) x2 n

BT 73 Tìm hệ số chứa x trong khai triển 10 P x( ) (1= − +x x3−x4)n Biết rằng n là số nguyên dương thay

2n 1 2n 1 2n 1 2n1 2n1 2 1

+ + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + = −

Trang 10

BT 74 Tìm n +,

n

x + +x =a +a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x và a1+2a2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2na2n=81 ?

BT 75 Tìm hệ số của x trong khai triển: 5 P x( )=x(1 2 )− x n+ (1 3 ) x2 + x 2n Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 2 1

1 5

n

n n

+

P x = − x =a +a x+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Hãy tính giá trị của biểu

n n a a

T=a + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 2C2n−8C1n=n

BT 77 Tìm số hạng hữu tỉ trong các khai triển nhị thức Newton sau:

a/ ( )7

316+ 3 b/ ( )9

3

3+ 2 c/

10 5

1 5 3

+

10 5

2 2 3

−

BT 78 Hãy tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton:

P x = x+ =a x +a x +a x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x a+

n

P x = + x =a +a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Hãy tìm hệ số lớn nhất trong khai triển biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 1 3 2 1 27

2 2 2n 2

2014 2014 2014 2014 2014

T=C +C +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C

BT 81 Tính tổng: 02013 20131 20132 20132013

S = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

S= C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C

S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + n+ C

BT 84 Tìm n ∗

∈ ℕ thỏa mãn điều kiện sau:

a/ C02n+2C22n+3C24n+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (n+1)C22n n=22n+1

2011 2011 2011 2010 2011k 2011 k 2011 1 2011.2 n

k

−

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

2 1.2 n 2 2 1.2n 3 2 2n1.2.3n (2 1) 2n1.3n 2011

1

n n

n

− + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = ⋅

e/

2

(1 )

, (1 – 1)

k n

 + = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +



⋅





BT 85 Tính tổng trong các trường hợp sau đây:

2000 2 2000 3 2000 2001 2000

S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C

b/ S=1.2C162 −2.3C163 +3.4C164 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −14.15C1615+15.16C1616

c/

n n

n

+

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ d/

n n

n

−

= − + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ f/

S C= + − C + − C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − C + − C

g/

S= C + − C + + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − C + + C

h/ ( 1 )2 ( 2 )2 ( 99)2 ( 100)2

S= C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C + C

S= C − C + C − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C − C

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	406,27 KB