Hình học không gian Oxyz luyện thi đại học

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và thẳng  : 1 2 2 cắt mặt phẳng ABC theo một đường tròn sao cho bán kính đường tròn nhỏ nhất.[r]

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Phần 1: Lí thuyết :

1 Mp đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và cĩ VTPT =(A;B;C) phương trình là:n 

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Ax + By + Cz + D = 0

2.Đường thẳng (d) qua M(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và cĩ VTCP =(a,b,c) cĩ:u 

* Phương trình tham số là: 0 với t R

0 0



  







* Phương trình chính tắc là: x x0 y y0 z z0 (a.b.c ≠ 0)

3 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R : x a   2 y b   2 z c  2  R 2

4 Phương trình x 2  y 2  z + 2Ax + 2By + 2Cz 2  D  0 (2) (với A B C D2   2 2 0)

là phương trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và R  A 2  B 2  C 2  D

5.Cơng thức tính gĩc giữa hai đường thẳng :

1 2 trong đĩ lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng

1 2

u u c

u u



 

 

os u u 1, 2

6 Cơng thức tính gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

sin

 

 

 n u

u u

trong đĩ n u , lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng

7 Cơng thức tính gĩc giữa hai đường thẳng : 1 2

n n c

n n

 

 

 

os

trong đĩ n n 1, 2 lần lượt là hai VTPT của hai mặt thẳng

8 Cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm   2  2 2

AB= x -x + y -y + z -z

9 Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng (  ): Ax+by+Cz+D=0 là:

Ax +By +Cz +D

d M ,(α) =

A +B +C

10 Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng  đi qua M0 và cĩ vectơ chỉ phương là: u

1

d(M ,Δ)=

M M ,u0 1

u

 



11 Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và  ’chéo nhau:

'

0 0

u,u' M M d( ,Δ')=

u,u'





 

 

trong đĩ  đi qua điểm M0, cĩ VTCP Đường thẳng ’ đi qua điểm u ' , cĩ VTCP

0

12 Cơng thức tính diện tích hình bình hành : SABCD= AB,AD  

13 Cơng thức tính diện tích tam giác : SABC=1 AB,AC

2  

14 Cơng thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C'D'= AB,AD AA'   

15 Cơng thức tính thể tích tứ diện : VABCD= AB,AC AD 1

6   

2/ Một số bài toán tổng hợp về mặt phẳng :

Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d :

z

y







1

2

1

5 3

2

2











y x

Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau Viết phương trình mặt phẳng ()đi qua d và vuông góc với d’

Giải

.Đường thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ chỉ phương u(1;1;1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm M'(2;3;5) và có vectơ chỉ phương u('2;1;1)

Ta có MM (2;1;5),  u;u' (0;3;3), do đó u u MM  ; '  ' 12 0 vậy d và d’ chéo nhau

Mặt phẳng ()đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ pháp tuyến là u('2;1;1) nên có phương trình:

hay 0 )

2

(

2x y z 2xyz20

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d :

z

y







1

2

1

5 3

2

2











y x

Viết phương trình mặt phẳng () đi qua d và tạo với d’ một góc 300

Giải

.Đường thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ chỉ phương u   (1; 1;1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm M'(2;3;5) và có vectơ chỉ phương u'(2;1; 1)

Mp() phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến vuông góc với và n u Bởi

2

1 60 cos ) '

; cos(n u  0 

vậy nếu đặt n(A;B;C) thì ta phải có :



























2

1 6

2

0

2 2

A

C B

A

C

B

A









































0 2

) ( 6

3

C A B C

C A A A

C A B

Ta có 2A2 ACC2 0(AC)(2AC)0 Vậy AC hoặc 2AC

Nếu AC ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B2, tức là n(1;2;1) và mp()có phương trình

hay 0 )

2

(

Nếu 2AC ta có thể chọn A  C1, 2, khi đó B1, tức là n(1;1;2) và mp()có phương

trình x(y2)2z0 hay …

Bài 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : ( ) :1 1 1 và



( ) :2 2 1 Viết phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và hợp với (d 2) một góc 300



Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương trình:

Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo

x y z  x y z 

một đường tròn có bán kính bằng 1

Giải Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2

Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ n a b c( , , ),(a2b2c2 0)làm véctto pháp tuyến có PT:

ax by cz   b c

Từ giả thiết:

(2;0; 2) ( ) tìm được a, b, c suy ra PT mp(P)

( ;( )) 3

d I P



Bài 5 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH (ABC)và

với H là trực tâm tam giác ABC Tính góc giữa (DAB) và (ABC).

3

DH 

Giải

Trong tam giác ABC, gọi K CH AB

Khi đó, dễ thấy AB(DCK) Suy ra góc giữa (DAB) và

(ABC) chính là góc DKH Ta tìm tọa độ điểm H rồi

Tính được HK là xong.

+ Phương trình mặt phẳng (ABC).

- Vecto pháp tuyến n  [AB AC, ]0; 4; 4  

- (ABC): y z  2 0

+ H(ABC) nên giả sử H a b( ; ; 2b)

Ta có: AH ( ; ;a b b BC ),(4; 2; 2).

CH(a2; ;b b AB ), ( 2; 2; 2).

a b

AB CH



 

 

Vậy H(-2; -2; 4).

+ Phương trình mặt phẳng qua H và vuông góc với AB là: x y z   4 0

Phương trình đường thẳng AB là:

2

x t





  



  



Giải hệ: ta được x =2/3; y =-2/3, z =8/3.

2

4 0

x t

x y z









    



HK           

Gọi là góc cần tìm thì:

tan DH HK/  96 /12 6 / 3  arctan( 6 / 3)

Vậy arctan( 6 / 3) là góc cần tìm

Bài 6 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S):

, (P): 2x +2y – z + 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng song song với (P)

x y z  x y z

và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Giải

Ta cã: x2 + y2+ z2 - 2x + 4y +2z -3= 0(x1)2(y2)2 (z 1)2 32

=> mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3

Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D5)

Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d I Q ;( ) R 3 1 9 10

8

D D

D





     

 Vậy (Q) có phương trình: 2x + 2y - z + 10 = 0

Hoặc 2x + 2y - z - 8 = 0

Bài 7 Trong hkông gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình: (S):

’ (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q)song song

x y z  x y z 

với (P) và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 16 

Giải

Vì (Q) //(P) nên (Q) có phương trình : 2x+2y+z+D=0.G ọi O là tâm đường tròn giao tuyến

I(1 ;2 ;-2) là tâm mặt cầu R = 5 bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến theo giả thuyết ta

có  r2 16  r 4

mặt khác ta có IO = 4 l ại c ó R2 = r2 + OI2

( ;( ))

3

D

vậy mặt phẳng (Q) cần tìm: 2x+2y+z+5=0 ho ặc 2x+2y+z-13=0

Bài 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3

Giải

•Gọi n(a;b;c)Olà véctơ pháp tuyến của (P)

Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0

Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0  b = a-2c

Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0

•TH1: acta chọn a  c1  Pt của (P): x-y+z+2=0

 TH2:a 7 c ta chọn a =7; c = 1 Pt của (P):7x+5y+z+2=0

Bài 9 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng:  : 3 4 6

d      ,

và mặt phẳng (P): x + 4y + z + 1 = 0

( ') :

d     



Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d’) và song song với đường thẳng (d) Lập phương trình mặt cầu có tâm I là giao điểm của (d) và (P), có bán kính là khoảng cách giữa (d) và (d’)

Giải

+ (d) đi qua điểm A(3;4;6) và có vecto chỉ phương  

1

u (1;3; 2) (d’) đi qua điểm B(-1;-4;5) và có vecto chỉ phương   

2

u (2;1; 2) Khi đó mặt phẳng (Q) qua B và có vecto pháp tuyến là n u   1 u2   8;6; 5 

Phương trình mặt phẳng (Q) : 8x-6y+5z-41= 0 (rõ ràng d song song (Q))

+ Giao điểm của d và (P) là điểm I( ;19 6 38 ; )

15 5 15 Khoảng cách giữa d và d‘ là R = (d;(Q)) = d(A;(Q)) = 11

5 5

+Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R là:

         

Bài 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng () đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)(Q) và tạo với trục Oz góc

300

Giải

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: u d(1;2;3)

gọi n(a;b;c)(với a2+b2+c2≠0) là vectơ pháp tuyến của ()

d//() n.u d 0a-2b-3c=0a=2b+3c

Sin((),Oz)=sin300=cos(n,u d) 3c2=a2+b2 3c2=(2b+3c)2+b2

2

1

2 2







c b a c

) 2 (

2

2 2









c c a a

c a













c a

c a

7

5b2+12bc+6c2=0



























c b

c b

5

6 6 5

6 6

5

6 2 3 5

6





chọn a32 6;b6 6;c5

phương trình mặt phẳng () là: (32 6)x(6 6)y5z123 60

5

6 2 3 5

6





chọn a32 6;b6 6;c5

phương trình mặt phẳng () là: ( 3  2 6 )x (  6  6 )y 5c 12  3 6  0

Bài 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 1 2 và điểm

x y z



A(2;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng  1

3

Giải

Đường thẳng đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là = (2 ; -1 ; 1). u

Gọi = (a ; b ; c ) là vtpt của (P) Vì n  ( )P   n u  n u 0

2a – b + c = 0 b = 2a + c =(a; 2a + c ; c ) ,

từ đó ta có: Pt(P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0Pt (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0 d(A ; (P)) = 1

1 3 (2 )

a

0

a c

     a c 0

với a + c = 0 , chọn a = 1 , c = -1 pt(P) : x + y – z = 0

Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : 1

1

1

z

 



  



 

 Viết phương trình mp(P) song song với và , sao cho khoảng cách từ

2

:

đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P)

Giải

Ta có : đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : d1 u1 1; 1;0 

d2 đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: u2 1; 2; 2 

Gọi là vtpt của mp(P), vì (P) song song với và n d1 d2 nên

= [ ] = (-2 ; -2 ; -1) pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0

n



1; 2

d( ;(P)) = d(A ; (P)) =d1 7 ; d( = d( B;(P)) =

3

m



2;( ))

3

m



vì d( ;(P)) = 2 d(d1 d2;( ))P  7 m 2 5m





3 17 3

m m

 







  

 Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0

Với m = -17 mp(P) : 2x + 2y + z - = 0

3

Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với

mặt phẳng (Q): 2x + y - 3z = 0 một góc 600

Giải

Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, np (A;B;0) và nQ (2;1; 5)

2 2

2

1 5 1 4

2 60

cos ) ,

B A

B A n

















6A2 16AB6B2 0

Chọn B = 1 ta có : 6A2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3

Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0

Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) : x 12 y2 z 22  9

Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a : và cắt mặt cầu (S) theo

2 2

1



x

đường tròn có bán kính bằng 2

Giải

KL : Có 2 mặt phẳng : (P1) : x 2y 2z 5  3 5  0 và (P2) : x 2y 2z 5  3 5  0

Bài 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( ) :S x2y2z22x6y4z 2 0

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1;6; 2), vuông góc với mặt phẳng

và tiếp xúc với (S)

( ) : x4y z  11 0

Giải

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4

Véc tơ pháp tuyến của ( ) là n(1; 4;1)

Vì ( ) ( )P   và song song với giá của nên nhận véc tơ v

n  p   n v (2; 1; 2) làm vtpt Do đó (P):2x-y+2z+m=0

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên (d I ( )) 4P   ( ( )) 4 21

3

m

m

 



 Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0

3/ Một số bài toán tổng hợp về đường thẳng:

Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :

x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng :

(d) x 1 3 y z 2 và (d’)

    



x 1 2t

y 2 t

z 1 t

 



  



  

 Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) 

và (d’) CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng

Giải

Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)

Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :

(S) có tâm J( 1 , 0 ,  2 ) bán kính R = 3

+ đt a có vtcp u( 1 , 2 ,  2 ), (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận làm vtptu

Pt mp (P) có dạng : x 2y 2zD  0

+ (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) = R2 r2  5

nên ta có : 5

3

) 2 (

2 0 2 1































5 3 5

5 3 5

D D

x 9 t

y 6 8t

z 5 15t

 



  



  

 + Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2 

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1 

Ta có :

  1 2 2 1 1 1

1 1 1 2 2 1

MM ' u, u '   2; 1;3 ; ;   8 0

  

   

  MM ' u, u ' 8

d d , d '

11

u, u '

  

 

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :

(d) và (d’)

x t

y 1 2t

z 4 5t





  



  



x t

y 1 2t

z 3t





   



  



a CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau

b Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’)

Giải

a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5 

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3   

Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là I 1;0;3 hay (d) và (d’) cắt nhau (ĐPCM)

b) Ta lấy v u u ' 15; 2 15; 3 15

u '



 



Ta đặt : a u v 1 15; 2 2 15;5 3 15

  

b u v 1 15; 2 2 15;5 3 15

  

Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ a, b làm VTCP và chúng có phương trình là :

15

7

   

   



    



15

7

   

   



    



Bài 3. Cho hai đường thẳng có phương trình:

1

d    y 

2

3

1

 



  



  

 Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1)

Giải

 MM '2; 1;3 

Do đó (d) và (d’) chéo nhau (Đpcm)

Khi đó :

Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b)

Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> MA k MB 

MA3a1;a11; 4 2 ,  a MB b; 2  b 3; b

=> MA2; 10; 2  

Phương trình đường thẳng AB là:

3 2

10 10

1 2

 



  



  



Bài 4 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P)xyz10,đường thẳng d:

Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng nằm trong

3

1 1

1

1

2













(P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 3 2

Giải

• (P) có véc tơ pháp tuyến n(P) (1;1;1) và d có véc tơ chỉ phương u(1;1;3)

) 4

; 2

; 1 ( )

(P I

d

• vì (P); d  có véc tơ chỉ phương u  n(P);u (4;2;2) 2(2;1;1)

Phương trình (Q): 2(x1)(y2)(z4)02xyz40

Gọi d1 (P)(Q)d1có vécto chỉ phương

và qua I

n(P);n(Q)(0;3;3)3(0;1;1) d1























t z

t y

x ptd

4 2

1 :

1

Ta có Hd1 H(1;2t;4t)IH (0;t;t) 



















3

3 2

3 2 2

t

t t

IH

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :

;d2: và d3: Chứng tỏ rằng là hai đường thẳng

1 : 4

1 2

x t





  



   



2

x  y  z

x  y  z

1; 2

d d

chéo nhau,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d d1; 2.Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC

Giải

+)Đường thẳng 1: 4 suy ra đi qua điểm A(0;4;-1) và có một vtcp Đường thẳng

1 2

x t





  



   



1

d2: 2 suy ra đi qua điểm B(0;2;0) và có một vtcp Ta có và

x  y  z

(0; 2;1)

AB 



• Gọi H là hình chiếu của I trên Hmp (Q)qua I và vuông góc 

• TH1:

1

7 1

5 2

1 : )

7

; 5

; 1 ( 3





















t

TH2:

1

1 1

1 2

1 : )

1

; 1

; 1 ( 3

























t

1, 2 9;5; 2

u u

 

1 2

, 9.0 ( 2).5 1.( 2) 12 0

AB u u         

  

1

d d2

chéo nhau Khoảng cách giữa và d1 d2là :   1 2

1 2

,

55

9 5 ( 2) ,

AB u u

d d d

u u

  

 

+)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3

Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)

A, B, C thẳng hàng và AB = BC B là trung điểm của AC

( 1 5 ) 2

4 (1 2 ) 2.(2 3 )

1 2 ( 1 ) 2( 3 )





      



Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0

Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)

Đường thẳng  đi qua A, B, C có phương trình 2

x  y  z

Bài 6.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; 6; 6), B(4; 4; 4), C( 2; 10; 2) và

S(2; 2; 6) Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (OABC) trùng với tâm I của OABC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AC.

Giải

Ta có:

+ Các đoạn OB và AC đều nhận I(2; 2; 2) làm trung điểm (1)

+ AC  8; 16; 8 ,  OB4; 4; 4 AC OB   32 64 32 0  AC OB (2)

Từ (1) và (2) suy ra O, A, B, C là 4 đỉnh của hình thoi OABC

SI AC

SI OB





 



 

+ Do OABC là hình thoi và SI (OABC)nên: AC OB AC (SOB)

AC SI







Từ đó trong mp(SOB) nếu kẻ IH SO tại H thì IH  ACtại H Vậy IH là đoạn vuông góc chung của

SO và AC

11

2 11

SI OI

d SO AC IH

SO

4/ Một số bài toán tổng hợp về mặt cầu:

Bài 1 Trong kg Oxyz cho đường thẳng ( ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT  mặt cầu(S) có tâm I và khoảng cách từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3

Giải Mặt cầu(S) có tâm I g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của (1)

*d I P ;  2 (2)

Từ (1) và(2) ta có hệ PT:

2

a b c

b t

c t



 



Dor R2   4 3 R 13

Vậy có 2 mặt cầu theo ycbt :

 

1

2

         

         

Bài 2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng và hai mặt phẳng

1

3 2

3 1

1



x d Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P)

0 4 :

) ( , 0 9 2

2

:

)

(P x y z  Q xyz 

và cắt (Q) theo một đường tròn có chu vi 2

Giải

Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0 Vì Id nên I(t1;2t3;t3)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên

3

2 2 )) (

;

d





3

2 11 ))

(

;

3

) 2 11 ( ))

(

;

2

R



















2 23

4 1

3

) 2 11 ( 9

) 2 2

t

t t

t

* Với t4 ta có I(3;5;7),R2 Suy ra mặt cầu (x3)2(y5)2 (z7)2 4

2

23



2

29

; 20

; 2









I

2

29 20

2









 

















Bài 3. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2xy 2z 4  0 , đường thẳng

và đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng Viết

1

1 1

1 2

2

:













x

phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với và (P).

Giải

Mặt cầu có tâm I(2t2;t1;t1)d

3

9 ))

(

;

 t

P

I

d u (0;1;1) M(1;1;3)

Khi đó MI (2t1;t2;t2)

Suy ra [u, MI](2t4;2t1;2y1)

2

18 24 12 ]

, [ )

,



u

MI u I

d

Từ giả thiết ta có d(I;(P))d(I;)R



































53 90

0 0

90 53 9 12 6

3

t

t t

t t

t t

* Với t 0 Ta có I(2;1;1),R3 Suy ra phương trình mặt cầu

9 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 (x 2 y 2 z 2 

53

90





t

53

129 ,

53

143

; 53

37

; 53









I

2 2

2 2

53

129 53

143 53

37 53

74

























 













 













Bài 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d1 ) : 4 Gọi (d 2 ) là

x y z

 

giao tuyến của 2 mặt phẳng () x  y30; () 4x4y3z120 Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo

nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuômg góc chung của (d 1 ) và (d 2 ).