HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI đại học(2015)

HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI đại học(2015) ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ LUYỆN THI ĐẠI HỌCPhần 1: Lí thuyết :

1 Mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và cĩ VTPT n r

3 Ph ương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R : (x a − ) (2+ − y b) (2+ − z c)2= R 2

4 Ph ương trình x 2 + + y 2 z + 2Ax + 2By + 2Cz 2 + D = 0 (2) (với A B C D2+ + − >2 2 0)

là phương trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và R = A 2 + B 2 + C 2 − D

5.Cơng thức tính gĩc giữa hai đường thẳng :

1 2

u u c

u u

ϕ=

uur uur

uur uur

os trong đĩ u uuur uur1, 2

lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng

6 Cơng thức tính gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng

7 Cơng thức tính gĩc giữa hai đường thẳng : 1 2

n n c

n n

ϕ =

uuruuruur uuros

trong đĩ n nuur uur1, 2

lần lượt là hai VTPT của hai mặt thẳng

8 Cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm ( ) (2 ) (2 )2

12 Cơng thức tính diện tích hình bình hành : SABCD= AB,AD uuur uuur

13 Cơng thức tính diện tích tam giác : ABC

1

S = AB,AC

2 uuur uuur

14 Cơng thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C'D'= AB,AD AA' uuur uuur uuur

15 Cơng thức tính thể tích tứ diện : VABCD= AB,AC AD 1

6 uuur uuur uuur

.Đường thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ chỉ phương u(1;−1;1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm M'(2;3;−5) và có vectơ chỉ phương u('2;1;−1)

Ta có MM =(2;1;−5), [ ]u;u' =(0;3;3), do đó ; ' u u MMr ur uuuuur '= − ≠12 0 vậy d và d’ chéo nhau

Mặt phẳng (α)đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ pháp tuyến là u('2;1;−1) nên có phương trình:

0)

Giải

.Đường thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ chỉ phương ur= −(1; 1;1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm M'(2;3;−5) và có vectơ chỉ phương uur'(2;1; 1)−

Mp(α) phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và

2

160cos)'

;cos(n u = 0 = Bởi vậy nếu đặt n=(A;B;C) thì ta phải có :

2

0

2 2

A

C B

=

+

=

02

)(6

3

C A B C

C A A A

C A B

Ta có 2A2 −AC−C2 =0⇔(A−C)(2A+C)=0 Vậy A=C hoặc 2A=−C

Nếu A=C ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B=2, tức là n=(1;2;1) và mp(α)có phương trình

0)

− Viết phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và hợp với (d 2) một góc 300.

Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương trình:

x +y + +z x− y+ z− = Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 1

GiảiMặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2

Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ n a b cr( , , ),(a2+ + ≠b2 c2 0)làm véctto pháp tuyến có PT:

Bài 5 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH ⊥(ABC)và3

DH = với H là trực tâm tam giác ABC Tính góc giữa (DAB) và (ABC).

Giải

Trong tam giác ABC, gọi K CH= ∩AB

Khi đó, dễ thấy AB⊥(DCK) Suy ra góc giữa (DAB) và

(ABC) chính là góc DKH∠ .Ta tìm tọa độ điểm H rồi

x +y + −z x+ y+ z− , (P): 2x +2y – z + 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng song song với (P)

và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Giải

Ta cã: x2 + y2+ z2 - 2x + 4y +2z -3= 0⇔ −(x 1)2+ +(y 2)2+ +(z 1)2 =32

=> mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3

Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D 5≠ )

Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d I Q( ;( )) = =R 3 1 9 10

8

D D

Vì (Q) //(P) nên (Q) có phương trình : 2x+2y+z+D=0.G ọi O là tâm đường tròn giao tuyến

I(1 ;2 ;-2) là tâm mặt cầu R = 5 bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến theo giả thuyết ta

Bài 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3

Giải

•Gọi n=(a;b;c)≠Olà véctơ pháp tuyến của (P)

Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0

Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c

+ (d) đi qua điểm A(3;4;6) và có vecto chỉ phương ur1=(1;3; 2)

(d’) đi qua điểm B(-1;-4;5) và có vecto chỉ phương ru2 =(2;1; 2)−

Khi đó mặt phẳng (Q) qua B và có vecto pháp tuyến là n ur ur uur= ∧ = −1 u2 ( 8;6; 5− )

Phương trình mặt phẳng (Q) : 8x-6y+5z-41= 0 (rõ ràng d song song (Q))

+ Giao điểm của d và (P) là điểm I( ;19 6 38− ; )

15 5 15

Khoảng cách giữa d và d‘ là R = (d;(Q)) = d(A;(Q)) = 11

5 5+Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R là:

Bài 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0 Viết

phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)∩(Q) và tạo với trục Oz góc

300

Giải

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: u d(1;−2;−3)

gọi n(a;b;c)(với a2+b2+c2≠0) là vectơ pháp tuyến của (α)

d//(α) ⇒n.u d =0⇔a-2b-3c=0⇔a=2b+3c

Sin((α),Oz)=sin300=cos(n,u ) ⇔ c =1 ⇔3c2=a2+b2⇔ 3c2=(2b+3c)2+b2

)2(

2

2 2

+

−+

+

c c a a

c a

c a

7

c b

5

665

66

5

6235

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là u→= (2 ; -1 ; 1)

Ta có : d đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : 1 u→1 = −(1; 1;0)

d đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: 2 u→2 = −(1; 2; 2)

Gọi n→ là vtpt của mp(P), vì (P) song song với d và 1 d nên 2

m m

1514

260

cos),

B A

B A n

+++

Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) : (x− 1)2 +y2 +(z+ 2)2 = 9

Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a :

2 2

Giải

KL : Có 2 mặt phẳng : (P1) : x+ 2y− 2z− 5 + 3 5 = 0 và (P2) : x+ 2y− 2z− 5 − 3 5 = 0

Bài 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x +y + −z 2x+6y−4z− =2 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6;2)vr

, vuông góc với mặt phẳng( ) :α x+4y z+ − =11 0và tiếp xúc với (S)

Giải

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4

Véc tơ pháp tuyến của ( )α là nr(1; 4;1)

Vì ( ) ( )P ⊥ α và song song với giá của vr nên nhận véc tơ

Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0

3/ Một số bài toán tổng hợp về đường thẳng:

Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :

Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d)

và (d’) CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng

Giải

Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)

Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :

2 0 2 1

= +

5 3 5

D D

+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2v( )

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1uur( )

Ta có :

1 1 1 2 2 1

MM ' u, u '  = 2; 1;3− ; ; = − ≠8 0uuuuur r uur

a CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau

b Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’)

Giải

a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5v( )

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3uur( − − )

Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là I 1;0;3

Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểmA(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b).

Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> MA kMBuuur= uuur

;2

;1()

t y

x ptd

42

1:1

322

t

t t

− − suy ra d đi qua điểm B(0;2;0) và có một vtcp 2 uuur2(1; 3; 3)− − Ta có uuurAB(0; 2;1)− và

• Gọi H là hình chiếu của I trên ∆⇒H∈mp (Q)qua I và vuông góc ∆

• TH1:

1

71

52

1:)

7

;5

;1(3

12

1:)

1

;1

;1(3

+)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3

Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)

A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔B là trung điểm của AC

Bài 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; −6; 6), B(4; 4; 4), C(− 2; 10; −2) và

S(−2; 2; 6) Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (OABC) trùng với tâm I của OABC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AC.

Giải

Ta có:

+ Các đoạn OB và AC đều nhận I(2; 2; 2) làm trung điểm (1)

+ uuurAC = −( 8; 16; 8 ,− ) OBuuur=(4; 4; 4) ⇒uuur uuurAC OB = − +32 64 32 0− = ⇒AC⊥OB (2)

Từ (1) và (2) suy ra O, A, B, C là 4 đỉnh của hình thoi OABC

4/ Một số bài toán tổng hợp về mặt cầu:

Bài 1 Trong kg Oxyz cho đường thẳng (∆): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PTmặt cầu(S) có tâm I∈∆và khoảng cách từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3

Giải Mặt cầu(S) có tâm I∈∆g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của∆(1)

Bài 2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng

1

32

31

) ( , 0 9 2

2

:

)

(P x+y− z+ = Q x−y+z+ = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P)

và cắt (Q) theo một đường tròn có chu vi 2 π

Giải

Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0 Vì I∈d nên I(−t+1;2t−3;t+3)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên

3

22))(

−

=

−

223

41

3

)211(9

)22

t

t t

−+

12

d và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x=1, y+z−4=0 Viết

phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P).

Giải

Mặt cầu có tâm I(2t+2;−t−1;−t+1)∈d

3

9))

,[)

⇔++

=

+

⇔

5390

00

90539126

3

t

t t

t t

t t

* Với t=0 Ta có I(2;−1;1),R=3 Suy ra phương trình mặt cầu

.9)1()1()2(x− 2+ y+ 2+ z− 2 =

37

;53

2 2

53

12953

14353

3753

nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuômg góc chung của (d 1 ) và (d 2 ).

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm O(0 ; 0 ; 0), A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0) và mặt

phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm O, A, B và có khỏang cách

từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng

3

5

−

• b = 0 , (S): x2 + y2 + z2 - 2x – 4z = 0

• b = 5 , (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 10y – 4z = 0

Bài 6 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),

D( 4; 1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x+ y+z−2=0 Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt

phẳngOxy Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S)

+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P) H là tâm của đường tròn ( C)

+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) (d) có vectơ chỉ phương là: n( )1;1;1

….Do H=( )d ∩(P) nên:

6

5t2

5t302t1t1t2

1

;3

5H

6

35

3136

754

29IH

R

5/ Một số bài toán tổng hợp về tìm điểm:

Bài 1. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có

)1

;3

;1(),0

;2

;1(

t y

t x

CD

13

21:

CD t t

D t

2:

31

1,

+) ABCD là hình bình hành nên AB=DC Suy ra B(3 ; 3 ; 5).

Bài 3 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A( 1 ; 2 ; − 1 ) và hai đường thẳng

,2

11

11

:

−

=

∆ x y z Xác định tọa độ các điểm M, N lần lượt thuộc các đường

thẳng ∆ 1 và ∆ 2 sao cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng ∆ 1.

Giải

Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và ∆1

* ∆1 đi qua B(1;0;1) có véctơ chỉ phương u1(1;1;−2); AB(0;−2;2)

Suy ra mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n=[AB,u1]=(2;2; 2)

* M∈∆1⇒M(1+t;t;1−2t), N∈∆2 ⇒N(s;1+2s;−2s)

Do đó MN =(s−t−1;2s−t+1;−2s+2t−1)

2

1222

12

2

1)

Bài 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình vuông MNPQ có , M(5;3;−1), P(2;3;−4) Tìm

toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng (γ):x+ y−z−6=0

PN MN

−+

−

−

++

−+

−

=++

−+

−

⇔

0)4)(

1()3()2)(

5

(

)4()3()2()1()3()

5

(

0 0

2 0 0

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

z z y

x x

z y

x z

y x

−+

−

−

=

−+

⇔

)3(0

)4)(

1()3()2)(

5(

)2(0

1

0 0

2 0 0

0

0 0

z z

y x

x

z x

0 0

0 0

x z

x y

Thay vào (3) ta được x02 −5x0+6=0

1,3

1,

3,2

0 0 0

0 0

0

z y x

z y

x

hay N N((32;;13;;−−21))

- Gọi I là tâm hình vuông ⇒ I là trung điểm MP và NQ ⇒ )

2

5

;3

;2

2()3()

1()

1

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

++

=

−+

−+

=+

−+

=++

=++

−

−+

−+

=+

−+

+

−+

=++

−

⇔

)3(5

)22()

1

(

)2()

2()3()

1(

)1()

1()

1

(

2 0 0 2 0

2 0

2

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

y x z y x

z y

x z y

x

z y

x z y x

0 0

3 x z

x y

Thay vào (3) ta được 5(3x02 −8x0+10)=(3x0+2)2

23

;3

23(

)2

;1

;1(

M M

z y

t y

t x

1

21

;

;21(),

2

;

;(,

1

21:

,

2

2 2

t y

t x

d t

;

;2

1

( t2 t1 t2 t1 t2 t1

1213

216

0.6

)//(

2 2

2 1

2

2 2

2 1

t t

t t

t t

MN

n MN MN

P MN

……

Bài 8.Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm , M(1;−1;0), đường thẳng

1

11

12

;1(),

;1

;2(]

t y

t x

d

31

21

162142

33)

8

;7

23

A

Bài 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).

+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M∈( ).P

KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn.

Bài 11 .Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng

z

t y

t x

M

+ Khoảng cách từ A đến ∆là AH =

5

6 2

, )

, (

d

+ Tam giác AEF đều

5

2 4 3

2 =

và đường thẳng ∆, nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ :

1 ( 1 2

2 2

2 y z x

z

t y

t x

2 4 2 5

2 2 1

1 5

2 4 2 5

2 2 1

z y x

z y x

6/ Một số bài toán về giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong hình học không gian 0xyz

Bài 1 Trong không gian tọa độ Oxyzcho hai điểm A(1;4;2) , B(− 1;2;4) Viết phương trình đườngthẳng ( )∆ đi qua trực tâmHcủa tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) Tìm tọa độ điểm

M trên mặt phẳng (OAB) sao cho 2 2

MA +MB = KA KMuuur uuuur− + KB KMuuur uuuur− =KA +KB + KM − KM KA KBuuuur uuur uuur+

Chọn K(0;3;3) là trung điểm AB nên MA2+MB2 =2KA2+2KM2

KA không đổi nênMA2+MB2 nhỏ nhất khi KM ngắn nhất khi đó M là hình chiếu của Ktrên mặt phẳng (OAB)

Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B

(MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB

t y

t x

IM

2 1 3

2 2 : Thay vào phương trình (P) suy ra

).

3

; 1

; 2

42

4

;2

;3(

Suy ra maxP= 21 , đạt khi t= − 1 hay M( 1 ; 3 ; − 2 ).

Bài 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm , A(5;8;−11), B(3;5;−4),C(2;1;−6) vàđường thẳng

1

11

22

1:

Suy ra min MA−MB−MC = 11 khi t =−1⇒M(−1;1;2)

Bài 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng ,

12

41

2:1

z y

81

101

Suy ra ∆1, ∆2 chéo nhau

Để độ dài MN nhỏ nhất thì MN là đường vuông góc chung của ∆1, ∆2

=+

;6

;10(

)2

;0

;0(4

20

266

0166

0

0

2

1

2 1

2 1

2

1

N

M t

t t

t

t t u

Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:







+

32

t z

t y

t x

Gọi I là giao điểm của (d) và (P) ⇒I(2t−3;t−1;t+3)

z

u

y

u1

4

;3

7M

Bài 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình

3

11

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất khi A≡I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến.

)31

;

;21

H

d

H∈ ⇒ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên AH ⊥d ⇒ AH.u=0 (u=(2;1;3)là véc

tơ chỉ phương của d) ⇒H(3;1;4)⇒ AH(−7;−1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0

Gọi K là hình chiếu của A trên d ⇒K cố định;

Gọi ( )α là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên ( )α

Trong tam giác vuông AHK ta có AH ≤ AK

Vậy AH max =AK ⇔( )α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK

Gọi ( )β là mặt phẳng qua A và vuông góc với d ⇒( )β : 2x y+ +2z− =15 0

(3;1; 4)

K

⇒ ⇒( )α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK ⇒( )α :x−4y z+ − =3 0

Bài 11 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt di động trên các tia Ox, Oy và Oz

sao cho mặt phẳng (ABC) không đi qua O và luôn đi qua điểm M(1; 2; 3) Xác định tọa độ các điểm A,

B, C để thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

Từ giả thiết ta suy ra tọa độ các điểm A, B, C định bởi: ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) A a B b C c trong đó a, b, c là

các số thực dương ⇒ phương trình mp(ABC): x y z 1

a b+ + =c

+ M(1, 2, 3) ∈ mp(ABC) nên: 1 2 3 1

a b c+ + =