Tìm các giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm.. Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của ·BAC là AD.. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ t
Trang 1ĐỀ THI HSG LỚP 9 (THAM KHẢO)
MƠN: TỐN THỜI GIAN: 150 PHÚT GVBM: Huỳnh Thị Mai Phương
Bài 1: (5 điểm)
Cho a≥0;b≥1 Chứng minh a b+ + ≥1 2( a+ b−1).Đẳng thức xảy ra khi nào?
Tìm giá trị của x để biểu thức : A = 2 22 5
x x
+ + có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Bài 2 : (5 điểm)
Cho hệ phương trình :
= +
=
− +
−
2 1 1
y x
m x
y y
x
1 Giải hệ phương trình khi m= 2
2 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
Bài 3 (5 điểm) Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của ·BAC là AD Biết AD = 6 ; AC
= 9 với ·BAC = 68 o Tính độ dài AD
Bài 4 (5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB Vẽ đường tròn (M; MH) Kẻ các tiếp tuyến
AC, BD với đường tròn tâm M(C và D là các tiếp điểm khác H)
a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn thi : TỐN ; LỚP 9 Bài 1:
Câu a:(3,0 điểm)
a b+ + ≥ a+ b−
⇔ − + − − ≥ với b≥1;a≥0; ( điều này luôn đúng) (1,5đ)
Dấu bằng xảy ra ⇔ 1 0 1
2
1 1 0
b b
− − = =
Câu b:(2,0 điểm)
A = 2 2 21 4 1 24
x
x+ + = + x
A có giá trị lớn nhất ⇔ 24
2x +1lớn nhất ⇔2x2 +1 nhỏ nhất (0,5đ) mà 2x2 +1 nhỏ nhất = 1 khi x=0 ( 0,5đ) Vậy khi x =0 thì A có giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là A =1 + 4/1=5 (0,5đ)
Bài 2 :( 5 điểm )
1 Khi m = 2, ta có hệ
= +
=
− +
−
2
2 1 1
y x x
y y
x
Hệ này có nghĩa khi : x>1 : y>0 (0,5đ)
Đặt − 1 = t 〉 0
y
x
(3) (0,5đ)
Ta có : ( )1 ⇔ +1= 2 ⇔t2 − 2t+ 1 = 0 ⇔( )t− 12 = 0
t
⇔t=1 (thoả) (0,75đ)
( )3 ⇔ −1 = 1 ⇔ −1= 1 ⇔x− 1 =y⇔x−y= 1
y
x y
x
(0, 5đ)
Giải hệ phương trình
−
=
+
=
⇔
= +
=
−
2
1
22
1 2 2
1
y
x y
x
y x
( thoả)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là :
−
=
+
=
2
1 2 2
1 2
y
x
(0,5đ)
2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được
− − với x>1 ; y>0 (1đ )
(1) (2) (1đ)
Trang 3A
C
M
D
1
− +
−
x
y y
x
(0,5đ) Nên m < 2 hệ phương trình đã cho vô nghiệm ( 0,5đ)
Bài 3: (Vẽ hình đúng đạt 0,5đ)
Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC lần lượt là : S1, S2, S
Ta cĩ : S1 = 1
2AB.AD.sinA1 ( 0,75đ)
S2 = 1
2AD.AC.sinA2 ( 0,75đ)
S = 1
2AB.AC.sinA ( 0,75đ)
Vì : S = S1 + S2
Nên : 1
2AB.AD.sinA1 +
1
2AD.AC.sinA2 =
1
AB.sinA +AC.sinA 6.sin 34 9.sin 34
o
Bài 5 : (5 điểm)
Hình vẽ đúng(0,5 điểm)
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :
0
0 180 90
2 ˆ 2 ) ˆ ˆ
( 2 ˆ ˆ
ˆ 2 ˆ
ˆ 2 ˆ
=
=
= +
= +
⇒
=
=
B M A A M H B M H C
M H D M H
A M H C M
H
B M H D M
H
(1,5 điểm)
Hình thang ABDC có O là trung điểm của AB, M là trung điểm của CD nên OM là đường trung bình, suy ra OM // AC, mà AC ⊥CD nên OM ⊥CD
Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) (0,5 điểm)
b) AC + BD = AH + BH = AB không đổi (1 điểm)
OM là đường trung bình của hình thang ACDB nên OM // BD,
suy ra OM ⊥CD (1 điểm)
MOI
∆ vuông tại M, MH ⊥OI ⇒ OH.OI = OM2 không đổi (vì OM bằng bán kính của đường tròn tâm O)
2 1
K H
B
A
