* Bài tập đơn giản vận dụng công thức cộng vận tốc trong chuyển động thẳng đều có phương vuông góc Câu 2: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa độ vuông góc Ox, Oy và qua O cùng một [r]
Trang 1PHẦN MỞ ĐẦU: Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Trong cơ học lớp 10 có đề cập đến tính tương đối của chuyển động: thể hiện ở tính tương đối của quỹ đạo vận tốc và gia tốc Đây là một trong những phần khó mà học sinh thường mắc sai lầm khi giải bài tập Để giúp học sinh hiểu sâu hơn, có kỹ năng tốt hơn khi giải các bài tập về tính tương
đối của chuyển động Tôi đưa ra một số bài tập có vận dụng công thức cộng vận tốc, khảo sát chuyển động của vật trong hệ quy chiếu có gia tốc và hệ quy chiếu đứng yên
- Phần công thức cộng vận tốc: Các bài tập đưa ra theo độ khú tăng dần Cỏc bài tập về chuyển động thẳng cùng phương và khác phương, chuyển
động tròn đều, chuyển động thẳng và chuyển động tròn đều, Chuyển động trũn đều và chuyển động trũn đều
- Phần thứ 2 chủ yếu là các bài toán trong hệ quy chiếu gắn với thang máy
và mặt phẳng nghiêng chuyển động có gia tốc, phần này chỉ dừng lại ở việc tính gia tốc của vật
- Cỏc bài tập ở phần này chủ yếu dành cho học sinh khụng chuyờn lớp 10 nõng cao
Trang 2PHẦN NỘI DUNG
I – CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC
Vận dụng công thức : V13 V12 V23
* Bài tập đơn giản vận dụng công thức cộng vận tốc trong chuyển động
thẳng cùng phương
Câu 1: Trên một đường thẳng có ba người chuyển động, một người đi xe
máy, một người đi xe đạp và một người đi bộ giữa hai người kia Ở thời
điểm ban đầu, khoảng cách giữa người đi bộ và người đi xe đạp nhỏ hơn
khoảng cách giữa người đi bộ và người đi xe máy hai lần Người đi xe máy
và người đi xe đạp đi lại gặp nhau với vận tốc lần lượt là 60km/h và 20km/h
Biết rằng cả ba người gặp nhau tại cùng một thời điểm Xác định vận tốc và
hướng chuyển động của người đi bộ
Giải:
- Gọi vị trí người đi xe máy, người đi bộ
Và người đi xe đạplúc ban đầu lần lượt là A,
B và C
S là chiều dài quảng đường AC Vậy AB = 2S/3,
BC = S/3
- Chọn trục tọa độ trùng với đường thẳng chuyển động,
chiều dương là chiều chuyển động của người đi xe máy Mốc thời gian là lúc
bắt đầu chuyển động: v 1 = 60km/h, v 3 = - 20km/h
- Người đi bộ đi với vận tốc v 2 Vận tốc của người đi xe máy đối với người đi
bộ là v 12
Ta có: v1v12v2 v12 v1 v2 => v 12 = v 1 – v 2 (đk: v 12 >0 (1): để người đi
xe máy gặp người đi bộ)
- Vận tốc của người đi bộ đối với người đi xe đạp là v 23
Ta có: v2 v23v3 v23 v2 v3 => v 23 = v 2 – v 3 (đk : v 23 >0 (2): để người
đi bộ gặp người đi xe đạp).
- Kể từ lúc xuất phát, thời gian người đi xe máy gặp người đi bộ và người đi
bộ gặp người đi xe đạp lần lượt là:
+ t 1 = AB/v 12 = 2S/3(v 1 – v 2 )
+ t 2 = BC/v 23 = S/3(v 2 – v 3 )
Vì ba người gặp nhau cùng lúc nên: t 1 = t 2 2S/3(v 1 – v 2 ) = S/3(v 2 – v 3 )
2( v 2 – v 3 ) = v 1 – v 2 v 2 = (v 1 + 2v 3 )/3 = (60 – 2.20)/3 6,67 (km/h)
- Vậy vận tốc của người đi bộ là 6,67 km/h theo hướng từ B đến C
x
C B
A
Trang 3* Bài tập đơn giản vận dụng công thức cộng vận tốc trong chuyển động
thẳng đều có phương vuông góc
Câu 2: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa độ vuông góc Ox, Oy và
qua O cùng một lúc Vật thứ nhất chuyển động trên trục Ox theo chiều
dương với gia tốc 1m/s2 và vận tốc khi qua O là 6m/s Vật thứ hai chuyển
động chậm dần đều theo chiều âm trên trục Oy với gia tốc 2m/s2 và vận tốc
khi qua O là 8m/s Xác định vận tốc nhỏ nhất của vật thứ nhất đối với vật
thứ hai trong khoảng thời gian từ lúc qua O cho đến khi vật thứ hai dừng lại
Giải:
Chọn mốc thời gian lúc 2 vật qua O
- Phương trình vận tốc của vật thứ nhất trên trục Ox:
v 1 = v 01 + a 1 t = 6 + t
- Phường trình vận tốc của vật thứ hai trên trục Oy:
v 2 = v 02 + a 2 t = - 8 + 2t
- Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v 2 = 0 => t = 4s
- Vận tốc của vật thứ nhất đối với vật thứ hai là:
Do vuông góc với .
2 1
=> v 12 = 2 =
2
2
v ( 6 t) 2 ( 8 2t) 2
=> v 12 = 5t2 t20 100.
Biểu thức trong căn của v 12 đạt giá trị nhỏ nhất khi
t = 2 (s) < 4 (s)
5
.
2
)
20
(
Vậy v 12 có giá trị nhỏ nhất khi t = 2s.
=> (v 12 ) min = 5 2 2 20 2 100 8,94 (m/s)
Khi đó v 1 = 8m/s, (v1 ,v12 ) với Cos = v 1 /v 12 = 8/8,94 0,895
=> = 26,5 0
- Vậy v 12 đạt giá trị nhỏ nhất là 8,94m/s tại thời điểm t = 2s và hợp với Ox
góc 26,5 0
* Bài tập về chuyển động thẳng đều và ném xiên vận dụng công thức
cộng vận tốc trên một phương
Câu 3: Tại điểm O phóng một vật nhỏ với vật tốc ban đầu v01( Hướng đến
điểm M ) nghiêng một góc = 45 0 so với phương nằm ngang Đồng thời tại
điểm M cách O một khoảng l = 20m theo đường nằm ngang một vật nhỏ
khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng OM theo chiều từ O đến M
với vận tốc v2 = 7,1m/s Sau một lúc hai vật va chạm vào nhau tại một điểm
trên đường thẳng OM Cho gia tốc rơi tự do g = 10m/s2 Xác định v01
O y
x
1
v
2
v
12
v
Trang 4- Chọn trục tọa độ như hình vẽ:
Mốc thời gian là lúc các vật bắt đầu chuyển động.
- Vận tốc của vật 1 trên trục Ox là:
- Vận tốc của vật 1 đối với vật 2 trên trục Ox là:
=> v 12x = v 1x – v 2
2 1
v
= v 01 cos - v 2 : Điều kiện để vật 1 va chạm với vật
2 là v 12x > 0 v 01 cos - v 2 > 0 => cos 0 (1)
2
2
2
v
- Khoảng thời gian từ lúc hai vật chuyển động đến lúc va chạm là:
t = = (2)
x
v
OM
l
- Phương trình tọa độ của vật 1 trên trục Oy là:
y = (v 01 sin )t – gt 2 /2.
- Thời gian vật 1 ném xiên từ O đến khi chạm với vật 2 ( trên trục Ox ) thỏa mãn phương trình y = 0 (v 01 sin )t – gt 2 /2 = 0 => t = (3)
g
v sin
2 01
( t = 0 loại )
- Từ (2) và (3) suy ra: = Thay số vào ta có:
2
v
l
v sin
2 01
102
2 2 1
,
7
2
2
01
v v
2 7 , 1 2 01 200 0
v
2
82 , 900 2
1
,
7
) / ( 20 2
82 , 900 2
1 , 7
s m
mản (1)).Vậy v 0 1 = 20(m/s).
* Các bài tập chuyển động thẳng đều khác phương
Câu 4: Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 = 54km/h Một hành khách cách ô tô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô
tô Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ nhất là bao nhiêu để đón được ô tô?
Giải:
- Gọi ô tô là vật 1, hành khách là 2, mặt đất là vật 3
O
x M
y
01
v
2
v
A
23
v
21
13
v
cos
01
v x
Trang 5véc tơ vận tốc v21 của người ấy đối với ô tô
phải luôn hướng về phía ô tô và tại thời điểm
ban đầu véc tơ v21 hướng từ A đến B
- Theo công thức cộng vận tốc:
23
12
v v23 v13v12 v13v21
- Xét hai tam giác ∆AMN và ∆ABC,
có chung góc A và MN//AE//BC => góc AMN bằng góc ABC
Vậy ∆AMN đồng dạng với ∆ABC => hay
AC
AN BC
AC
AN
BC AE
AC
v BC
v13 23
=> v 23 = 13 . 1
BC
.v AC v BC
AC (v13 v1 )
- Trong tam giác ABC luôn có Vậy v 23 =
sin sin
BC
sin
sin
BC
AC
1 sin
sin
v
=> v 23 nhỏ nhất khi sin = 1, tức là = 90 0 => (v 23 ) min = sin v 1 = v1 =
a d
) / ( 8
,
10
54
400
80
h km
- Vậy, người đó phải chạy với vận tốc 10,8km/h theo hướng vuông góc với
AB về phía đường.
Câu 5: Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l Chúng chuyển động
cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn lần lượt là v1, v2 Tàu A chuyển động theo hướng AC tạo với AB góc (hình vẽ).
a Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A Sau bao lâu kể
từ lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau?
b Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với ) thì các độ lớn vận v1
tốc v1, v2 phải thỏa mản điều kiện gì?
Giải:
a Tàu B chuyển động với vận tốc hợp với v2 BA góc
- Hai tàu gặp nhau tại M Ta có AM = v 1. t, BM = v 2. t
- Trong tam giác ABM:
+
sin
sin
BM
sin sin
2
v
sin = (1)
2
1
v v
- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với BA một góc thỏa mản (1)
- Cos = cos[180 0 – ( )] = - cos( ) = sin sin cos cos
A
M
B H
1
v
1
v
2
v
21
v
Trang 6- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là v21 Tại thời điểm ban đầu v21 cùng phương chiều với BA Theo công thức cộng vận tốc:
=>
1 2 13 23
1
2 2
2
v
=> (sin cos ) 2 (sin 2 cos 2 ) 2 1 2(sin sin cos cos )
1 2
2 2
2
2
v
1
2 2 1
2 2
1
2 2 1
2
2
1
.
1
.
1
cos v v ( theo (1) )
=> v 21 = v1 cos v2cos
Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là:
t =
1
l v
AB
b Để 2 tàu gặp nhau ở H thì
90 0 90 0 sin sin( 90 0 ) cos
Theo (1) ta có:
1
2 2
cos
v
v v
Câu 6: Hai chiếc tàu chuyển động với cùng vận tốc đều v, hướng đến
O theo các quỹ đạo là những đường thẳng hợp với nhau góc = 60 0 Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa các tàu Cho biết ban đầu chúng cách O những khoảng l1 = 20km và l2 = 30km
Giải:
- Chọn các truc tọa độ Ox 1 , Ox 2 như hình vẽ.
- Mốc thời gian là lúc các tàu ở M 01 , M 02
( OM 01 = l 1 , OM 02 = l 2 )
- Phương trình chuyển động của các tàu là:
+ Tàu thứ nhất trên trục tọa độ Ox 1 :
x 1 = OM1= x 01 + v 1 t = - l 1 + vt
+ Tàu thứ hai trên trục tọa độ Ox 2 :
x 2 = OM2= x 02 + v 2 t = - l 2 + vt
- Khoảng cách giữa hai tàu là M 1 M 2 ta có:
=>(M 1 M 2 ) 2 =OM 1 2 + OM 2 2 – 2OM 1 OM 2 cos( )
1 2
2
- Đặt M 1 M 2 2 = f(vt) = (vt – l 1 ) 2 + (vt – l 2 ) 2 – 2(vtl1)(vtl2) cos( OM1,OM2 )
1 Xét vt l 1 hoặc vt l 2 : (D 1 ) (1)
O
M01
M02
M1
M2
x1 x2
Trang 7- Khi vt l 1 thì x 1 0 và x 2 < 0 => M 1 nằm giữa M 01 và O, M 2 nằm giữa
M 02 và O
=> ( OM1,OM2) =
- Khi vt l 2 thì x 1 > 0 và x 2 0 => ( OM1,OM2) =
- Vậy khi vt thỏa mản (D 1 ) thì:
f(vt) = (vt – l 1 ) 2 + (vt – l 2 ) 2 – 2(vt – l 1 )(vt – l 2 )cos
= 2(1-cos )(vt) 2 – 2(l 1 +l 2 )(1- cos )vt + l 1 2 – 2l 1 l 2 cos + l 2 2
+ Nếu xét t 0 thì f(vt) đạt giá trị nhỏ nhất tại vt = - không
2
' l1 l2 a
thỏa mản (1).
+ f(vt) là tam thức bặc hai có hệ số a > 0 Vậy trên (D 1 ) thì f(vt) đạt giá trị nhỏ nhất tại vt = l 1 hoặc vt = l 2
+ f(l 1 ) = (l 1 – l 2 ) 2 (2)
+ f(l 2 ) = (l 1 – l 2 ) 2 (3)
2 Xét khi l 1 < vt < l 2 : (D 2 ) (4) Khi đó x 1 > 0 và x 2 < 0 tức là M 1 nằm ngoài OM 01 , M 2 nằm trên đoạn OM 02 => ( OM1,OM2) = 180 0 -
=> f(vt) = (vt – l 1 ) 2 + (vt – l 2 ) 2 – 2(vt – l 1 )(l 2 – vt )cos(180 0 - )
= (vt – l 1 ) 2 + (vt – l 2 ) 2 - 2(vt – l 1 )(vt – l 2 )cos
= 2(1-cos )(vt) 2 – 2(l 1 +l 2 )(1- cos )vt + l 1 – 2l 1 l 2 cos + l 2
+ f(vt) đạt giá trị nhỏ nhất tại vt = - ' l1 2l2 (D 2 )
a
b
+ Vậy f(vt) min = f( ) =
2
2
l
cos 2
2
2 2
2 1 1 2 1 2 2 2 1 2
1
2
l l l l l l l
l l l
l
l
= 2 (5)
1
( 2
cos 1
l
l
- Do 1 So sánh các trường hợp (2), (3), (5)
2
cos
1
=> (M 1 M 2 ) 2
min = f(vt) min = 2
1
( 2
cos 1
l
l
=> (M 1 M 2 ) min = 8 , 7 ( )
2 2
1 1 20 30 2
cos 1 1
* Các bài toán về chuyển động tròn
Câu 7: Hai chất điểm chuyển động tròn đều đồng tâm, đồng phẳng,
cùng chiều Với bán kính và tốc độ góc lần lượt là R1, R2 và , 1 2 Cho R1
> R2,,1 2.Chọn mốc thời gian là lúc các chất điểm và tâm thẳng hàng
Trang 8Viết biểu thức vận tốc của chất điểm thứ nhất đối với chất điểm thứ hai theo thời gian t Từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của vận tốc này
Giải.
Sau khoảng thời gian t
Bán kính nối chất điểm
thứ nhất và tâm quét một
góc 1 1t Bán kính
nối chất điểm thứ hai và
tâm quét một góc
Vì
t
2
M1OM2 = M1OM01 –
M2OM02 = 12
= (12)t
Do v1 vuông góc với OM1
Và v2 vuông g óc với OM2
Vậy (v1 ,v2 ) (OM1,OM2) M1OM2=(12)t
Vận tốc của chất điểm thứ nhất đối với chất điểm thứ hai là:
23
12
v v1 v12 v2 v12 v1 v2
) , cos(
2
2
2
1
2
v v v v2 2v1v2cos( 1 2)t
2
2 1
2
t R
R R
R
v ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2cos( 1 2)
2 2
2 1 1
2
t R
R R
R
v ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2cos( 1 2)
2 2
2 1 1
Vậy v12 đạt giá trị nhỏ nhất khi cos(1 2)t 1
=> (v12)min = 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2
2 1
( R R R R R R
v12 đạt giá trị lớn nhất khi cos(12)t 1
2 2
2 1
( R R R R R R
Câu 8: Chất điểm chuyển động theo đường tròn bán kính R với vận tốc góc
trên mặt bàn phẳng (P) Mặt bàn chuyển động tịnh tiến thẳng đều với vận
O
M02
M01
M2
M1
2
v
2
v
12
v
1
v
Trang 9tốc v0 đối với mặt đất chọn mốc thời gian là lúc véc tơ vận tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu gắn với (P) vuông góc với v0
Xác định vận tốc của chất điểm đối với mặt đất tại thời điểm t =
4
Giải:
- Do véc tơ vận tốc trong chuyển động tròn đều có phương tiếp tuyến
với đường tròn quỹ đạo Vậy tại thời điểm ban đầu chất điểm ở A
Sau thời điểm t chất điểm ở B, bán kính quỹ đạo quét được góc
4 4
4 2
) , ( 0
v v
- Vận tốc chất điểm đối với mặt đất:
=>
0
0
2
=
2
2
2 0 2
= 2 0
0 2
Câu 9: Coi quỹ đạo chuyển động của Mặt Trăng quay quanh Trái Đất
và Trái Đất quay quanh Mặt Trời cùng thuộc một mặt phẳng và cùng là chuyển động tròn đều Các chuyển động quay này là cùng chiều và có chu
kỳ quay lần lượt là TM =27,3 ngày và TĐ= 365 ngày Khoảng cách giữa Mặt Trăng và Trái Đất là RM=3,83.105km và giửa Trái Đất và Mặt Trời là
RĐ=149,6.106 km.Chọn mốc thời gian là lúc Mặt Trời, Trái Đất,
Mặt Trăng thẳng hàng và Trái Đất nằm giữa ( lúcTrăng tròn)
1 Tính khoảng thời gian giữa hai lần trăng tròn liên tiếp
2 Coi Trái Đất, Mặt Trăng là các chất điểm.Viết biểu thức tính vận tốc của Mặt Trăng đối với Mặt Trời Từ đó suy ra vận tốc nhỏ nhất, tìm vận tốc này
Giải:
T1
1
D2
D
v
D
v
T
v
TM
v
T2
S
0
v
0
v
B
v v13
O A
Trang 101 Xét trong khoảng thời gian ngắn t , Trái Đất quay quanh mặt trời góc ,Mặt Trăng quay quanh Trái Đất góc T 1 D 2 T 2 = Do T M < T D =>
1
>
2
* Xét chuyển động quay của Mặt Trăng trong hệ quy chiếu gắn với Trái Đất
và Mặt Trời (đoạn DS xem là đứng yên ) Trong khoảng thời gian t trong
hệ quy chiếu này Mặt Trăng quay được góc là Từ hình vẽ => =
-
1
2
- Tốc độ quay là: =>
t t
D M D
T
T
1 1 1 2
2
Vậy chu kỳ quay của Mặt Trăng trong hệ quy chiếu DS là:
( ngày).
5 , 29 3 , 27 365
365 3 , 27 D
M
D
M
T
T
T
T
T
=> Khoảng thời gian giữa hai lần Trăng tròn liên tiếp là 29,5 ngày
2 Gọi vận tốc của Mặt Trăng quay quanh Trái Đất và vận tốc của Trái Đất quay quanh Mặt Trời là v T và v D Sau khoảng thời gian t thì ( , v T v D ) =
= (Do vuông góc với D 2 T 2 , v uông góc với SD 2 )
- Vận tốc của Mặt Trăng quanh Mặt Trời ở thời điểm t là: v TM v T v D
=> v TM2 v T2 v D2 2v T v Dcos v T2 v D2 2v T v Dcos t
T
R T
R T
R T
R
cos 2
2 2 2
2
D
2 D
2
=> t Vận tốc v TM đạt giá trị nhỏ nhất khi
T T
T
R R T
R T
R v
D M
D M D
D M
M TM
2 2
2
.
1
2
cos t
T
=>(v TM ) min =
D
2 2
2 2
2
T
R T
R T
T
R R T
R T
M
M D
M
D M D
D M
Thay số: T M = 27,3 ngày = 655,2 giờ, T D = 365 ngày = 8760 giờ
(v TM ) min = 2 5 6 10 , 354 10 4(km/h)
8760
10 6 , 149 2
, 655
10 84 ,
Câu 10: Tàu sân bay chuyển động trên đại dương về hướng Đông với
vận tốc v1 Gió thổi về hướng Bắc với vận tốc v2 Khi hạ cánh, máy bay tiến gần đến con tàu với vận tốc v3 theo hướng thẳng đứng Hãy xác định giá trị vận tốc của máy bay đối với không khí chuyển động?