Cơ sở lý luận - Nhiệm vụ nhận thức của học sinh với một khối lợng kiến thức mới và nhiều đòi hỏi các em phải tập trung t duy cao trong bài học.. Với vốn kinh nghiệm giải bài tập còn ít,
Trang 1bài toán cực trị trong vật lý
A Đặt vấn đề
I Lý do chọn đề tài
1 Cơ sở lý luận
- Nhiệm vụ nhận thức của học sinh với một khối lợng kiến thức mới và nhiều đòi hỏi các em phải tập trung t duy cao trong bài học Với vốn kinh nghiệm giải bài tập còn ít, khả năng nhận thức của học sinh không đều, một số học sinh còn máy móc dập khuôn những lời giải có sẵn cha phát huy tối đa năng lực giải bài tập của mình
- Bên cạnh việc phải đổi mới phơng pháp dạy học phù hợp với chơng trình và kiến thức sách giáo khoa mới hịên nay thì chúng ta cũng nên chú ý đến
kĩ năng giải các bài tập của học sinh Cần cho học sinh thấy đợc cái hay trong các bài toán vật lý
2 Cơ sở thực tế
- Bằng thực tế giảng dạy, bồi dỡng HSG qua một số năm Tôi nhận thấy “ bài toán cực trị trong vật lý” là một trong những bài toán mà các em học sinh rất hay bắt gặp trong các đề thi HSG cấp huyện, cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 chuyên Khi gặp bài toán này thực tế cho thấy nhiều học sinh còn gặp khó khăn vì nó là một trong những bài toán khó, để giải đợc bài toán này không những học sinh phải nắm tốt các kiến thức vật lý mà bên cạnh đó các em còn phải có một kiến thức toán tơng đối tốt
- Mặc dù đây là một dạng toán khó nhng rất ít các cuốn sách tham khảo viết về dạng toán này, có chăng chỉ đề cập đến một vài bài trong một số đề thi chứ không phân thành dạng cụ thể
- Trên cơ sở đó Tôi đã mạnh dạn quyết định lựa chọn đề tài này
II Mục đích.
- Giúp các em học sinh khi gặp các bài toán thuộc loại này có thể đa ra
đợc hớng đi để giải quyết một cách nhanh chóng bài toán
- Là một tài liệu mà các đồng nghiệp có thể tham khảo trong quá trình ôn thi học sinh giỏi cũng nh ôn thi vào lớp 10
B Giải quyết vấn đề
I Phơng pháp nghiên cứu.
- Thông qua thực tế giảng dạy, điều tra, trắc nghiệm, thực nghiệm, khảo sát, phân tích so sánh, tổng hợp…
- Qua trao đổi, giao lu, học hỏi các kinh nghiệm của đồng nghiệm, đồng thời tự học, tự nâng cao, tự bồi dỡng
- Dự giờ rút kinh nghiệm
- Trao đổi trực tiếp với các đối tợng học sinh ngoài giờ lên lớp
Trang 2II Tiến trình
1 Các kiến thức cần thiết.
1.1 Bất đẳng thức Côsi.
Bất đẳng thức Côsi cho hai số
Cho hai số dơng bất kỳ a và b ta luôn có:
a+b≥ 2 ab
Bất đẳng thức này dùng để tìm giá trị nhỏ nhất của một tổng hai số khi tích của chúng là một số không đổi
Dấu “=” xẩy ra ⇔a=b
Bất đẳng thức Côsi cho 3 số
Cho 3 số dơng a, b, c ta luôn có:
a+b+c≥ 3 abc
Dấu “=” xẩy ra ⇔a=b=c
Một số dạng khác của bất đẳng thức Côsi
Dạng 1:
2 2
2 2
2
2 4
2
+
≤
⇒
≥ + +
⇒
≥
a
Bất đẳng thức này dùng để tìm giá trị lớn nhất của tích hai số khi tổng của chúng là một số không đổi
Dạng 2: a2 +b2 ≥ 2ab⇒ 2(a2 +b2)≥ 2ab+a2 +b2 ⇒ (a+b) 2 ≤ 2(a2 +b2)
1.2 Điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
Phơng trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ( Hoặc ∆ , ≥ 0)
1.3 Các công thức của phần vật lý lớp 8, 9.
2 Một số l u ý trong quá trình t duy tìm lời giải.
Bài toán: Cho một đại lợng vật lý a nào đó biến đổi Tìm giá trị cụ thể của a để
đại lợng vật lý b (a và b có mối liên hệ với nhau) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất?
H ớng chung để giải B1: Xác định (lựa chọn) một đại lợng vật lý nào đó có mặt trong bài toán làm ẩn nếu đề bài cha nói rõ Với bài toán ta đặt ra ở đây ta chọn a làm ẩn
B2: Dựa vào đề bài tìm mối quan hệ giữa a và b dới dạng:
b = f(a)
Trong đó a là ẩn, b là hàm của a
Trang 3a m
B3: Dựa vào kiến thức toán (bất đẳng thức Côsi, điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai, ) để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của b.…
3 Một số bài toán cụ thể.
Bài toán 1: Cho điện trở AB có RAB = 27Ω,
trên AB ngời ta mắc thêm 2 con chạy M và N
Nối điện trở AB vào mạch điện theo sơ đồ nh
hình vẽ Hiệu điện thế giữa hai đầu mạch không đổi và bằng 9V Khi M và N dịch chuyển trên AB thì với những giá trị nào của các điện trở RAM, RMN, RNB để cờng độ dòng điện qua nguồn đạt cực tiểu?
Định hớng tìm lời giải:
+ Chọn đại lợng làm ẩn số: ta nhận thấy khi M, N di chuyển thì RAM, RMN, RNB thay đổi theo do đó ta chọn RAM, RMN, RNB làm ẩn
+ Biểu diễn cờng độ dòng điện mạch chính I theo RAM, RMN, RNB
I = f(RAM, RMN, RNB)
Lời giải chi tiết
Mạch điện đợc vẽ lại nh hình vẽ
Đặt: RAM = x, RMN = y, RNB = z
Theo bài ra ta có: x + y + z = 27 (*)
Điện trở tơng đơng của đoạn mạch
R x y z
td
1 1 1 1
+ +
=
Cờng độ dòng điện mạch chính
= R = x + y + z
U I
td
1 1 1 9
Đến đây ta xét bài toán: Cho x, y, z > 0 thoả mãn điều kiện x + y + z = 27 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: I = x+ y + z
1 1 1 9
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng 1x;1y;1z ta có:
1 z
y
x 9 3
z
y
x
3 3
1 1 1
+ +
=
≥
≥ + +
xyz z
y x
⇒ 9
3
9 1 1
1 ≥
z y x
⇒I ≥ 3(1)
Vậy Imin = 3A
R
AM
RMN
R
NB
A N
M B
Trang 4Dấu “=” xảy ra x y z
z y x
z y x
=
=
⇔
=
=
=
=
Từ (*) và (2*) ta có x = y = z = 9Ω
Vậy để cờng độ dòng điện qua nguồn đạt giá trị nhỏ nhất là 3A thì ta phải di chuyển M và N sao cho RAM = RMN = RNB = 9Ω
Bài toán 2:
Từ hai bến A và B trên cùng một bờ sông có hai ca nô cùng khởi hành Khi nớc chảy do sức đẩy của động cơ, chiếc ca nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ A đến B với vận tốc 24km/h, còn chiếc ca nô từ B chạy vuông góc với bờ có vận tốc là 18 km/h Quãng đờng AB dài 1km Hỏi khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nớc chảy từ A
đến B với vận tốc 6 km/h Biết rằng sức đẩy của các động cơ không thay đổi
Định hớng tìm lời giải:
+ Khoảng cách giữa hai xe trong quá trình chuyển động thay đổi theo thời gian nên ta có thể chọn thời gian làm ẩn
+ Lựa chọn giải bài toán trong hệ quy chiếu nào (chọn hệ quy chiếu) + Gọi khoảng cách gữa hai xe trong quá trình chuyển động là CD Biểu diễn độ dài đoạn CD theo t (Tìm mối quan hệ giữa CD với t)
Bài giải chi tiết
Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với bờ sông.
Vận tốc của mỗi canô đối với bờ sông
v AO =v A+v O = 24 + 6 = 30(km/h)
v BO = v O2 +v B2 = 18 2 + 6 2 = 6 10(km/h)
10
3 10 6
18 =
=
=
BO
B v
v Sinα
10
1 10 6
6 =
=
=
BO
O v
v Cosα
10 6 6
Độ dài quãng đờng hai ca nô đi
đợc trong thời gian t
Ta có: AC=v AO.t= 30 t
A
vB vBO
vovA B vo
A
vBO C
D
H B
Trang 5
t t
t BH
CB CH
t t
Sin BD DH
t t
Cos BD BH
t AC
AB CB
t t
v
BD BO
24 1 6 30 1
18 10
3 10 6
6 10
1 10 6
30 1
10 6
−
= +
−
= +
=
=
=
=
=
=
−
=
−
=
=
=
α α
áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông CHD ta có:
CD2 = CH2 + HD2
CD2 = ( ) ( )2 2
18 24
1 − t + t
CD2 = 900t2 – 48t + 1
y = 900t2 – 48t + 1 (1)
(Trong đó CD2 = y)
Đến đây ta gặp bài toán: Tìm t dơng để y đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có thể trình bày theo hai hớng
Hớng thứ nhất: Dựa vào điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai
Ta có: ( 1 ) ⇔ 900t 2 48t + 1 - y = 0 (2)
Phơng trình (2) có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ 0
( ) ( )
( )CD km y
y
y
6 , 0 36
, 0
36 , 0
0 1
900 24
min min
2
=
⇒
=
⇒
≥
⇔
≥
−
−
⇔
Hớng thứ hai: Biến đổi VP(1) về dạng A2 + B
30
24 30
24 30
24 30 2 30
2 2
−
+
−
y
( )CD km y
y
t y
6 , 0 36
, 0
36 , 0 25 9
25
9 5
4 30
min min
2
=
⇒
=
⇒
=
≥
⇒
+
=
Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với mặt nớc.
Độ dài quãng đờng mà hai canô đi đợc sau thời gian t lần lợt là:
AA’ = v1t = 24t
BB’ = v2t = 18t
áp dụng định lý Pitago
Trong tam giác vuông A’BB’ ta có:
A’B’2 = A’B2 + BB’2
A’B’2 = ( AB – AA’ )2 + BB’2
B’
’
B
vA
vB
Trang 6A’B’2 = ( 1- 24t )2 + (18t )2
y = 900t2 – 48t + 1 (1)
Ngoài hai cách chọn hệ quy chiếu trên ta có thể giải bài toán mà hệ quy
chiếu gắn với một trong hai canô.
Chọn ca nô đi từ A làm mốc khi đó
Dòng nớc chuyển động ngợc lại so với ca nô đi từ A với vận tốc v1
Vận tốc của ca nô B so với ca nô A là:
v21 = v v2 30(km/h)
1
2
t BB
S2 = ' = 30
⇒
v
v
BB' 18
21
1 =
= α
t v
v BB BB
21
1 =
=
áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB’ ta có:
AB’2 = AH2 + HB’2
AB’2 = ( 1-24t )2 + ( 18t )2
y = 900t2 – 48t + 1 (1)
Bài toán 3: Cho mạch điện nh hình vẽ
Biết hiệu điện thế giữa hai đầu mạch không đổi là U = 12V, R = 4Ω Phải điều chỉnh biến trở có điện trở Rb có giá trị là bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên Rb lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó?
Định hớng tìm lời giải
+ Do khi điều chỉnh biến trở thì điện trở của biến trở thay đổi kéo theo công suất tiêu thụ trên nó cũng thay đổi nên ta chọn Rb làm ẩn
+ Biểu diễn Pb theo Rb
Lời giải chi tiết
Công suất tiêu thụ trên biến trở
Ta có: P b =I b2 R b =I2 R b
2
4
144
b
b b
b o b
R
R R
R R
U P
+
=
+
=
(4 )2
144
x
x
P b
+
= (Với Rb = x)
Đến đây ta gặp bài toán: Cho biểu thức (4 x)2
144.x b
P
+
= (với x > 0) Tìm x để Pb
đạt giá trị lớn nhất?
α
A
B ’
’
B
v1
v2
v21 H
Rb R
U
Trang 7áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng 4 và x ta đợc:
( ) ( )
W P
P
x
x x
x
x x
x x
b
b
9 9
9 4
144 4
144
4 4
4 2 4
max
2 2
=
⇒
≤
⇒
=
≤ +
⇒
≥
+
≥
+
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 4 hay Rb = 4Ω
Vậy để công suất tiêu thụ trên biến trở đạt giá trị lớn nhất là 9W thì ta phải
điều chỉnh biến trở sao cho điện trở của biển trở tham gia vào mạch điện là Rb =
4Ω
Bài toán 4: Cho mạch điện nh hình vẽ
Biết Ro = 6Ω, hiệu điện thế giữa hai
đầu mạch không thay đổi và bằng 30V,
biến trở có điện trở lớn nhất là R Vôn kế
có điện trở rất lớn và ampekế có điện trở
không đáng kể Khi di chuyển con chạy C
của biến trở R ta thấy có một vị trí mà tại
đó ampekế chỉ giá trị nhỏ nhất bằng 1A và
khi đó vôn kế chỉ 12V Hãy xác định các
giá trị của R1 và R
Định hớng tìm lời giải:
+ Bài toán dờng nh có hai ẩn (R1 và R) nhng thực tế nó còn xuất hiện thêm một ẩn nữa là x (với x là điện trở đoạn MC của biến trở) Nh vậy ta phải thành lập đợc 3 phơng trình đại số nói lên mối quan hệ giữa 3 ẩn trên
+ Ta thấy trong 3 ẩn trên chỉ có x thay đổi còn R1, R không đổi
+ Tìm mối quan hệ giữa x và số chỉ của ampekế
Lời giải chi tiết
Đặt RMC = x (Với0 ≤ x≤R)
Điện trở tơng đơng của đoạn mạch
1 1 2
1
R x
R R x R x R
x R R x
xR
+
+ +
+ +
−
= +
− + +
=
Cờng độ dòng điện mạch chính
( )
( 6) 1( 6)
2
1 + +
+ +
−
+
=
R R x R x
R x U I
A
C
R
R1
V
Trang 8Số chỉ của ampekế
. 2 ( 6) 1( 6)
1 1
1
+ +
+ +
−
= +
=
R R x R x
UR I
R x
R
I A
( 6) ( 6)
30
1 2
1
+ + + +
−
=
R R x R x
R
I A
( 6 ) ( 6)
30
1
1 + +
− +
=
R R x R x
R
I A
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng x và (R + 6 + x)
Ta có:
2
2
6 )
6
≤
−
R
x
( ) ( ) ( ) ( )
( 6) 4 ( 6)
120
6 4
6
4 30 6
6 30
6 4
6 6
) 6 (
4
6 )
6 (
1 2 1
1 2 1 1
1
1
2 1
2
+ +
+
≥
⇒
+ +
+
≥ + +
− +
⇒
+ +
+
≤ + +
− +
⇒
+
≤
− +
⇒
R R R
R I
R R R
R R
R x R
x
R
R R
R R
R x R
x
R x R
x
A
Dấu “=” xảy ra ⇔x = R + 6 – x
2
6
+
=
⇒x R (1) Khi đó IAmin = ( 6) 4 ( 6)
120
1
R
R
= 1 (2)
Theo bài ra ta có: = = =12Ω
1
12
A
V I
U x
Từ (1) ⇒R=2x− 6 = 18 Ω
Thay R = 18Ω vào (2) ta đợc:
( ) ( )
Ω
=
⇒
= + +
+
24
1 6 18 4 6
18
120
1
1 2 1
R
R R
Bài toán 5: Một vật sáng nhỏ AB đặt trên trục chính, vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ có tiêu cự 20cm Dịch chuyển AB dọc theo trục chính Hỏi khi khoảng cách giữa AB và ảnh thật của nó là cực tiểu thì ảnh đó lớn gấp bao nhiêu lànn vật?
Trang 9Lời giải
Đặt OA = d; OA’ = d’
Khoảng cách giữa AB và ảnh A’B’ là L = OA + OA’ = d + d’ hay d’ = L – d
Ta có ABO ∼ A’B’O ( g.g )
' ' ' '
d
d OA
OA B
A
Ta lại có OIF’ ∼ A’B’F’ ( g.g )
' ' ' ''
F A
OF B
A
OI =
⇒
Mà: AB = OI
Do đó: ' ' ' '' ' ' '
OF OA
OF F
A
OF B
A
AB
−
=
=
⇒ A AB'B' = d'−f f (2)
Từ (1) và (2) ta có:
f d f d d
f d
f d
d
' '
' '
) ( − =
⇒
−
=
Với d’ = L – d ⇒d(L−d − f) = (L−d)f
⇒d2 −L.d + f.L= 0 (*)
Phơng trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0
Hay: L2 − 4 f.L≥ 0
0 ) 4
0
4 ≥
−
⇒L f ( Do L > 0 )
f
L 4≥
⇒
Vậy Lmin = 4f khi đó phơng trình (*) có nghiệm kép
Do đó ta có: d L 2f d 4f 2f 2f
2
⇒
=
=
Thay d = 2f và d’ = 2f vào (1) ta có:
' '
1 2
2
' ' '
B A AB
f
f d
d B
A
AB
=
⇒
=
=
=
Vậy khi khoảng cách giữa AB và ảnh thật A’B’ của nó là cực tiểu thì ảnh A’B’ có chiều cao bằng vật AB
A
B
I
F’
F
B’
Trang 10C Kết thúc vấn đề
1 Hiện nay qua 5 năm thay sách giáo khoa mới với một chơng trình kiến thức rộng mở, đối với chơng trình vật lý 8, 9 đã có nhiều học sinh có những lời giải hay độc đáo và chính xác Đây cũng là bớc phát triển mới trong
t duy của học sinh
2 Tuy nhiên vẫn còn nhiều học sinh cha tìm ra đợc các cách giải cho một bài toán vật lý, chính vì vậy các thầy cô giáo là những ngời tổ chức điều khiển, lựa chọn phơng pháp vào một lời giải hay, đảm bảo độ chính xác cao, trình bầy khoa học, phù hợp với những đối tợng học sinh
3 Trên đây là một số kinh nghiệm của Tôi trong dạy ôn HSG về chuyên đề “bài toán cực trị trong vật lý” Dù đã rất cố gắng đa ra đợc một số hớng để giải bài toán loại này nhng do tuổi nghề còn trẻ mà kiến thức thì rất rộng lớn nên đề tài này chắc chắn là còn có hạn chế do đó rất mong đợc sự
đóng góp ý kiến của các đồng chí, đồng nghiệp và bạn bè để tôi có đợc nhiều kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy
Yên Nhân ngày tháng năm 2009
Ngời thực hiện
Hoàng Quốc Tuấn
