tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trang 1CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất ñịnh :
1 1
1
−
≠ +
x x
dx a
1 1
2 2
∫ x2 +a dx= x x2 +a +alnx+ x2 +a +C
2 2
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f (x) liên tục trên ñoạn [ ]a; b có nguyên hàm là F (x)
Giả sử u (x) là hàm số có ñạo hàm và liên tục trên ñoạn [α , β] và có miền giá trị là [ ]a; b
1
x x
e
dx e
e
x
dx x I
1 3
ln 1
Bài làm :
a) ðặt
2 2
1
xdx xdx
dt x
1 0
t x
t x
2
1 ln 2
1 2
1 1
xdx I
b) ðặt t=e x− 1 ⇒ dt=e x dx
Trang 21 1
2
e t x
e t x
0
2
2 2
dx e I
e
e
e
e x
x
x tdt x
t e x
t x
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 : =∫
β α
nxdx mx
I sin cos
Cách làm: biến ñổi tích sang tổng
Dạng 2 : =∫
β α
dx x x
cos sin
1
1 cos 1
2 sin
2 tan
t
t x t
t x x
Dạng 4 : =∫ ++
β α
dx x d x c
x b x a
cos sin
cos sin
Cách làm :
ðặt :
x d x c
x d x c B A x d x c
x b x a
cos sin
) sin cos ( cos
sin
cos sin
+
− +
= +
+Sau ñó dùng ñồng nhất thức
β α
dx n x d x c
m x b x a
cos sin
cos sin
Cách làm :
) 1 2 2 ( 3
2 3
2 ln
1
x
dx x
I
e
Trang 3ðặt :
n x d x c
C n
x d x c
x d x c B A n x d x c
m x b x a
+ +
+ + +
− +
= + +
+ +
cos sin cos
sin
) sin cos ( cos
sin
cos sin Sau ñó dùng ñồng nhất thức
BÀI TẬP Tính tích phân :
a) =∫2 +
0
4 1
) 1 (sin
1 0
t x
t x
π
Vậy :
24
7 3
1 )
1 (sin
1 3 2
1 4 2
0 0
t x
t x
2 5
2 1
1 cos
1
0
1
0 3 5
2 2
0
5 2
dt t t dt
t xdx
0 0
t x
t x
π
Vậy :
4 15
13 3
5
1
1 1 1
tan
4
0 1
0
3 5
4 2
6 4
0
6 3
π
π π
−
= +
t t
dt t
t t t
dt t xdx I
Trang 4cos sin
π
dx x b
x a
x x
0
2
2 cos 2 cos
π
dx x
2
0
b t x
a t x
π
Nếu a ≠ b
b a a b
b a t
a b
t
dt a b
dx x b x a
x x I
1 1
2
1 cos
sin
cos sin
2 2 2
2
2
0
2 2 2
2 1
2
2
2
2 π
Nếu a = b
Vậy :
a
x a
xdx a
a
xdx x
dx x b
x a
x x I
2
1 2
cos 4
1 2
sin 2
1
cos sin cos
sin
.
cos sin
π π
0 0
t x
t x
3
2 3
1 2
3 2
cos 2
cos
t
dt t
dt dx
x
x I
π
2
3 cos
3
2 0
π
π
u t
u t
Trang 5Vậy :
2 4 2
1 2
1
cos 1 2 3
sin 2 3 2
1
2
3 2 1
u
udu t
dt I
4
1
π
dx x x
0 2
5 cos 3 sin 4
6 cos 7 sin
π
dx x x
x x
2
tan 2
dx
x dt
x t
0 0
t x
t x
π
6
1 2 1
1 5
1
1 3 1
2 4
1 2
0
2 2
2
2 1
= +
−
=
+
= + +
− + +
t
t t
t
t I
b)ðặt :
5 cos 3 sin 4 5 cos 3 sin 4
sin 3 cos 4 5
cos 3 sin
4
6 cos 7 sin
+ +
+ + +
− +
= + +
+ +
x x
C x
x
x x
B A x
x
x x
9 ln 2 5
cos 3 sin 4 ln
5 cos 3 sin 4
1 5
cos 3 sin 4
sin 3 cos 4 1 5
cos 3 sin 4
6 cos 7 sin
1 2 0
2
0 2
0
2
+ +
= + + +
+ + +
− +
= + +
+ +
π
π
π π
I x
x x
dx x
x x
x
x x
dx x x
x x
0 3
2 sin
π
x dx I
Trang 64
π
dx x
x
0 5
3 cos 2 sin
1
π
dx x x
0 6
3 cos 2 sin
1 cos sin
π
dx x x
x x
1
với ( )a,n ∈C×(N −{ }0 , 1) ta có :
Nếu n= , 1 a∈R ta có : x C
a x
x
2
β α
, , , ,
2
ac b
R c b a
β α
* Giai ñoạn 1 : α ≠ 0,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức ax2 +bx+c, sai khác một số :
+
+
= +
+
− +
+
c bx ax
dx b
a a
dx c bx ax
b ax a
dx c bx ax
b
a b ax a
I
2 2
2
2 2
2 2
2 2
β α α
α
β α
+
=
b ax t
n n
n
t
dt a
a dx c bx ax
dx I
x P I
b
a x a x
a x
Q
x
P
n n
m m
n
m
+ + +
+ + +
=
Nếu : deg( )P ≥ deg( )Q thì ta thực hiện phép chia ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
x Q
x R x A x Q
x P
n
r n
m n
n n
x m
a x
A a
x
A a
x
A a
−
=
− 1 1
i n
i
i i
m
a x
A a
x
x P
1
1
( )2 2
) )(
)(
D c
x
C b x
B a x
A c
x b x a x
Trang 7*Qt 2': ( )
n n n
n n
n m
c bx ax
B x A c
bx ax
B x A c
bx ax
B x A c
bx ax
x P
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+
= +
−
−
2 1 2
1 1
2 1 1
( ) ( ) ∑= ( ) ∑= ( + + )
+ +
−
= + +
i i n
m t
c bx ax
B x A x
A c
bx ax x
x P
A c
bx ax x
x
P t
+ +
+ +
−
= + +
1 1 2
2
c bx ax
C x B c
bx ax
C x B x
A c
bx ax x
x
P t
+ +
+ +
+ +
+ +
−
= + +
BÀI TẬP Tính các tích phân sau :
0
2 2
2
2
3x x
= + +
= + +
=
1
0 1
0 1
1 2
1 2
dx x
− +
+ +
= +
1
0
2 2
2
2 1
2 2
1 1
1 2
1 1 1
2 1
2 4
dx x
a x
dx
I0 2 2 1arctan với a> 0
x x
x x
dx x
= + +
= + +
2 2 1
1 2
1 3 1 3
3
(9 2 3)
2 3
arctan 3
1 arctan
0 = +
− +
Trang 8b) ðặt :
( ) ( ) ( ( ) (2) ( 1) )
2 2
1 2
1 2
2 4
2 2
2
+ + + +
+
= +
+ + +
= + +
−
x x
A C C B x B A x x
C Bx x
A x
= +
= +
0 2 2
0 2
4 2
0
C B A
A C
C B
B A
−
= +
2
1
2 2
2 2
1
2 4
dx x
x x
dx x
0
+ +
3
2x x
dx
x x
2
3
2 4 3
2
3x dx x
B x
A x
x
x
b)
3 1
3 2
1
2 + − = − + x+
B x
A x
− +
=
−
−
1 2 1 2
4 1
x
x x
x
x
d)
2 2
1 1 2
3 2
D x
C x
B x
A x
x x
ðẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận xét một số ñặc ñiểm sau
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …
Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng
BÀI TẬP Chứng minh rằng : ∫ ( − ) =∫ ( − )
ðặt : t= 1 −x ⇒ dt= −dx ⇒ dx= −dt
Trang 91 0
t x
t x
0
1 1
f
Bài làm :
( ) ( ) ( )1 )
a t a x
α α
α
dx x f dx a
x f
t
t x
a
t f a dt a
t f dx a
0
1 1 1
x f dx a
x f dx
a
x
f
x x
x
Trang 10= +
α α
α
0 0
1
x f dx a
x f a dx a
x f
x x
t x
π
0
sin sin
sin
( x)dx f( x)dx f
x
dx x f dx x f x
π π
π π
0 0
0 0
sin 2
sin
sin sin
2
Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau
Nếu hàm số f( )x liên tục trên [ ]a, b và f(a+b−x)= f( )x Thì ta luôn có :
∫ ( ) = + ∫ ( )
b
a
dx x f b a dx x f
x
π
0
2
Cho hàm số f( )x liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T
Chứng minh rằng : ∫+ ( ) =∫ ( )
T a
a
T
dx x f dx x f
= +
=
T a
T T
a
T a
x
f
0 0
Vậy ta cần chứng minh ∫ ( ) = ∫+ ( )
T
dx x f dx x f
0
Xét ∫a f( )x dx
0
ðặt t=x+T ⇒ dt=dx
Trang 11T t
T
dt t f dt T t
0
(ñpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số f( )x liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T, thì ta luôn
= 1
1
2 2
cos 4
9
sin
.
dx x
x x
I d) =∫ +
π
0
2 4
cos 1
sin
dx x
x x
sin
π
π
dx x x
I x f) ∫
+
= 1
1
2
2
6 1
sin
dx x
x x
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải ñặt u= lnxhay u= loga x
*ưu tiên 2 : ðặt u= ?? mà có thể hạ bậc
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
Trang 12xdx I
e v dx
e dv
dx du x
u
0 1
0
1
0 1
xdx dv
xdx du
x u
sin cos
2
2
4 sin
2 cos
.
2
0 2
0
2 2
1
0
π π
xdx x
xdx x
x x dx e x
Ta ñi tính tích phân ∫2
0 sin
π
xdx x
xdx dv
dx du x
u
cos sin
2
0 2 2
0
= +
−
= +
−
π π π
x x xdx x
x xdx x
Thế vào (1) ta ñược :
4
8
2 1
0 1
dv
dx x du x
0 1 1
1 1
x x x dx x
x xdx I
cos
π
dx x
xdx dv
dx e du e
cos sin
π
π π
π
0 0 0
1 e sinxdx e cosx e cosxdx e 1 J 1
Trang 13xdx dv
dx e du e
sin cos
Vậy : J =∫πe x xdx=e x xπ −π∫e x xdx= −I
0 0 0
sin sin
cos
.
Thế vào (1) ta ñược :
2
1 1
2 1 = + ⇒ 1 = π +
I e
dx x dv
dx du x
u
tan cos
1 2
2
2 ln 4 cos
ln 4 tan
tan cos
4 0 4
0
4 0 4
0
2
π π π
x xdx
x x dx x
x I
dv
dx x x
du x
Vậy : I ( )x dx x ( )x ( )x dx (e ) J
e e e
+ +
−
= +
=
1 1 1
3
π
π π π
dv
dx x x
du x
u sin ln 1cos ln
1 1 1
3 sin lnx dx x sin lnx cos lnx dx 0 I
I
e e e
Thế vào (1) ta ñược : ( )
2
1 1
2 3 =− + ⇒ 3 =− π +
I e
1
e
dx x x
e
dx x I
I h) ∗ =∫2 ++
0
7
cos 1
sin 1 π
dx e x
x
Tích phân hàm trị tuyệt ñối, min , max :
Trang 14Muốn tính =∫ ( )
a
dx x f
I ta ñi xét dấu f( )x trên ñoạn [ ]a, b , khử trị tuyệt ñối
Muốn tính =∫ [ ( ) ( ) ]
b
a
dx x g x f
I max , ta ñi xét dấu f( ) ( )x −g x trên ñoạn [ ]a, b
Muốn tính =∫ [ ( ) ( ) ]
b
a
dx x g x f
I min , ta ñi xét dấu f( ) ( )x −g x trên ñoạn [ ]a, b
1
2 4
2 2
1 4
1
2 2
2 2
1 2 2
0 2 2
3 3
3
2
1
3 2 1
0
3 2
− +
Trang 151 2
3
a ax
x dx ax x dx a x x
1
0
2 2 3
1 3 2 3
2
3 2 1
3 2
0
3 2
a a x
ax x
1
1 2
3
a ax
x dx ax x dx
a x x
, 1
1 2
0
3 2
1 1
0 2 2
2 ,
max
3
1
3 1
0
2 3
1 2 1
0 3
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp ñơn giản của tích phân Abel
Dạng 1: ∫R(x, ax2 +bx+c)dx ở ñây ta ñang xét dạng hữu tỷ
∆
−
= + +
a c bx ax
a
R
b ax t
2
2 2
1 ,
Trang 16a c bx ax a
R
b ax t
2
2 2
1 ,
4 0
a c bx ax a
R
b ax t
2
2 2
1 ,
β
β α
x
dt c
bx ax x
= + +
−
= + +
>
±
= + +
0
;
2 2
a t
x a c
bx ax
c bx ax x
x t c bx ax
c c xt c bx ax
b ax
=
3 2
7
4x x
dx I
2
3 7
dt x
udu u
du u I
tan 3 tan
2
cos 3
1 1 tan 3 3
1 tan 3
C x
x
x C
t
t C
+ +
+
= + +
= +
=
7 4
2 3
1 1
3
1 sin
3
1
2 2
Trang 17Tính : a) =∫ + +
1 2
x x
xdx
1 2 2
x x x
dx I
+
3 1
2 2
1
1 3 2
1
4
3 2
1
t
dt t
t x
xdx x
x
xdx
C x
x x
x
x
C t
t t
dt t
t I
+
=
+ + +
− +
= +
1 ln 2
1 1
1 ln
2
1 1 2
3 1
1 3
2
1
2 2
2 2
t t
dt x
+
+
−
= +
2 1
2
C
x C
1 1
−
= +
= + + +
1 1 6
6 1
dt t x
x
dx I
C x
x x
x
C t
t t t
+ + +
− + + +
− +
=
+ +
− +
−
=
1 1 ln 6 1
6 1
3 1
2
1 ln 6 6 3 2
6 6
3
2 3
= +
− +
= + + +
x
x dx
x dx
x
x x x
2
1 2
1 1
1 1
2 1
( )1 1
2
1 2
1
dx x
x x
t
x x
x t
2 2 2
1
2 1
1 1
=
Trang 18Vậy :
(t ) OK
dt t dx
x
x
x
x t
=
−
−
= +
1 2
t x t
x
2 2
2
2
9 2
x x x
x
C t
t
t dt
t t t
dt t
t dt
t
t t
t t
t I
−
− +
4 2
4 4
5 3
5
2 4
2
2 2 2
2
2
1
9 4
6561 9
ln 162 4
9 16
1
4
6561 ln
162 4 16
1 6561
162 16
1
81 16
1 4
9 2
9
2 9
t
t dx t
t x t
x
2 2
2
2
4 2
x x x
x
C t
t
t dt t t
t
dt t
t dt
t
t t
t t
− +
4 2
4 4
5 3
5
2 4
2
2 2 2
2 2
4
64 4
ln 36 4
4
64 ln 36 4
256 36
16 4
4
2
4
2
4 16
1 x dx x
2 1
dx x
x
I
Trang 19ðặt : x t dx costdt
2
1 sin
0 2
1
π
t x
t x
0 2
0 2
1 2
cos 1 8
1 cos
4
1
π π
2 3
t x
t x
Vậy : = ∫ − = ∫ ( − ) = ∫ −
−
−
3
2 2 3
2 2 8
3
2
1
2 1
2
dt t
t
tdt dx
x x
dx I
Bạn ñọc tự làm :
1 2
4
x
dx I
d)I =∫ +x2dx
4 1 d) ∗ =∫ −+ −−
dx x
x I
1 1
1 1
1 2 6
+ +
1 ln 1
1 ln
−
−
=
t t
Trang 202 21
+
≤∫ dx x
1 1
1 1
1
1 2 2 2
x
x x
f
x
x x
f
Ta có :
( ) ( )
1 1
f f
Vậy :
[ ]
2
1 1 5
2
2
1 1 5
2
2 , 1 2
1 1 5
2
2
1 2
2
1 2
1 2 2
1 2
≤ +
≤
⇒
≤ +
x
dx dx
x
x dx
x x
x
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
[ ]0 , 1 2
1 1 1 1 1
Chứng minh rằng :
e
dx x
x
e x
12 1
sin
3
1 2
π
<
+
∫ −
Trang 21Bài làm :
[ ]
e e x
1
1 1
sin
dx x
e
dx x
4 1
π
π
t x
t x
π
≤ +
≤∫ dx x b)
2
1 sin
x
c)
8
2 4
6
3
6
3 2
π π
0
2 1
0
.g x dx f x dx g x dx x
b x x
2)Tính thể tích :
( 1)
1 1
x
e x
Trang 22Nếu diện tích S( )x của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa ñộ , là hàm số liên tục trên ñoạn [ ]a, b thì thể tích vật thể ñược tính :
( )x dx f V
y
b x a
i i x
i i
x x
n
i f n
1
n
i f n
n
i n
4)Tính ñộ dài cung ñường cong trơn:
Nếu ñường cong trơn cho bởi phương trinh y= f( )x thì ñộ dài ñường cung nó ñược tính như sau :
( )y dx l
b
a
∫ + ′
1 với a, b là hoành ñộ các ñiểm ñầu cung
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau ñó dùng ñồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân
Hình1a hình1b
Trang 23hình1c hình1d
BÀI TẬP Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình ñường tròn có dạng :
2 2 2
2 2
x R y
R y
π
t R x
t x
π
t R x
t x
Vậy :
(dvdt)
R t
x R
dt t R
tdt R t R
S
2 2
0 2
2
0 2 2
0
2 2
2 sin 2
1 2
2 cos 1 2 cos sin
4
π
π
π π
Trang 244 2
3 4
1
1 2 2
1 2 1 2 2 1
2
2 3 2
2
1 2
−
=
− +
−
= ∫
k x
x k x
x x x x
x
x k x
k x dx
x x
k S
4 4
4
4
2 1 2
2 1 2 2 1 2
1 2
1 2
k k x x x
x x
x
k x x
k x x
Thế vào ( )* ta ñược :
16 4 6
1
4 2
1 4 4 3
1 16 4
2 2
2 2
2
+
− +
k k
k k k
≥ +
−
= +
−
Vậy : minS = 4 3 khi k = 2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :
x ay
y ax
2
a
x ay
a y x y x
n a x a
x ay
y
x
0 0
2
Với x+y+a= 0 ta ñược :
( ) ( )
l x
n a x
a
x ay
a ax x
a
x ay
a y
x
0 0
2
Ta lại có :
Trang 252 2
2
a a
x y
ax y
a
x ay
y ax
Vậy diện tích cần tính là :
(dvtt)
a a
x x a
dx a
x x a dx
a
x ax S
a
a a
2
0
3 2 3
0
2 2 1
0
2
3
1 3
−
2
0 1
0 1
y
x y
x y
=
y
y x
y x
1 2 2
2 2
b a b
y a
x
Hình vẽ tương ứng ↓↓↓
hình a hình b
hình c hình d
Trang 26Với mỗi số nguyên dương n ta ñặt :
6
5 5
5 5
3 2 1
n
n
=Tính lim
5 5
.
1
3 2
n n
0 =x0 <x1<x2 < x n−1<x n = và chiều dài phân hoạch
n x x
x x
n
i n
i
i i i
6
1 lim
S
n n l
n
Với mỗi số nguyên dương n ta ñặt :
n n n
n n
S n
+ + + +
+ +
+ +
3
1 2
1 1 1
+ +
+ +
1 3
1 1 2
1 1 1
n n
=
x x
Ta lập phân hoạch ñều trên [ ]0 , 1 với các ñiểm chia :
Trang 271
0 =x0 <x1<x2 < x n−1<x n = và chiều dài phân hoạch
n x x
1 lim
1 1
1
n
i n f
x x
n
i n
i
i i i
2 ln 1 ln 1 lim
0 1
0 0
= +
= +
S
n n l
n
