Bài 1 Tính các nguyên hàm sau: 1)
2 1
x
I x dx
Gi i
1)
2 1
x
+) Cách 1:
1
2
3
dx
x
2)
2016
2
x
Bài 2 Tính các nguyên hàm sau: 1) I1 sin (1 cos 3x xsin )x dx 2) 2
I x dx
Gi i
1)
2)
Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
1) 3
I xdx 2) I2 (cos 2x2sin )(cos 22 x 3x2sin )x dx
1
x
2
1 cos 6
1 sin 3 1 2sin 3 sin 3 1 2sin 3
2
x
NGUYÊN HÀM – CÁC PH NG PHÁP TÌM
ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Nguyên hàm – các ph ng pháp tính nguyên hàm thu c khóa
h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m
v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này
Trang 21) 3 2
tan
cos
x
x
2 2
2)
Bài 4. Tính các nguyên hàm sau:
1) 1 ln(ln )
ln
x
x x
x
Gi i
1)
2 1
2
ln
Suy ra
Bài 5. Tính các nguyên hàm sau:
1) 1
1 sin
dx I
x
2) 2
1 cos
dx I
x
3) 3 sin4 sin
2
x
4) 4
dx I
sin sin
6
dx I
6 (1 2sin )(sin cos )
Gi i
Trang 31) 1 2
cot
x d
( ho c bi n đ i
2
1 sin
x x
)
2) 2
2 tan
x d
x
3
2
I
cot
x d
C
5)
2
2
I
3 cot
3 cot
x
6) I6 (1 2sin 2x)(sin6xcos6x dx)
Ta có:
2
1 2sin cos 2
3 sin cos (sin cos ) 3sin cos (sin cos ) 1 sin 2
4
6
Bài 6. Tính các nguyên hàm sau:
2)
sin 3 sin tan 2 cot
x
x
Gi i
Trang 4+) Ta có 2 2 2
x
Nh n xét: Vi c tách đ c x 7 3(x 2) (2x1) ta đã tr i qua công đo n làm ra nháp nh sau :
Ta bi u di n x 7 a x( 2) b(2x 1) x 7 (a2 )b x2ab Khi đó 2 1 3
Các b n s tìm hi u k l p nguyên hàm h u t trong ph n tích phân s đ c đ c p ph n sau
2)
sin 3 sin tan 2 cot
x
x
3
x
x
x
x x
Bài 7 Tính các h nguyên hàm sau: 1) 2
3 1
I x x dx 2)
2
1
x x
Gi i:
3
3
2
2)
2
1
x x
2 1 (2 1) ln 1 1 1ln(2 1)
x
x x
Trang 5Bài 8 Tìm a đ hàm s ( ) 2 3
2
ax a
F x
x
6 ( )
f x
x
Gi i:
2 2
x
+) F x( ) là m t nguyên hàm c a f x( ) khi :
2
2 2 3 6 2 2 3 0 1
3
a
a
V y v i a ho c 1 a thì 3 F x( ) là m t nguyên hàm c a f x( )
Bài 9. Tìm m n p, , sao cho F x( )(mx2nxp) 2x1 là m t nguyên hàm c a hàm s
2
( )
f x
x
1
; 2
Gi i:
2
x
ta có: F x'( )
2
x
+) F x( ) là m t nguyên hàm c a f x( ) khi : F x'( ) f x( ) v i 1;
2
1
; 2
Bài 10 Tìm m t nguyên hàm F x( ) c a hàm s f x( ) th a mãn đi u ki n cho tr c:
1) f x( )8x33x22x5 và F(1)2 2) f x( )x e x21 và (0) 3
2
e
3) ( )
1
x
f x
x
và F(0)2 4) ( ) 2
f x e e v i F(2)2e
Gi i:
1) Ta có: F x( )(8x33x22x5)dx2x4x3x25x C
i u ki n F(1) 2 2 1 1 5 C 2 C 5
V y F x( )2x4 x3 x2 5x5
2) Ta có:
2
1
x
F C C e V y
2 1
( )
2
x
e
2
3 2
ax a x
Trang 6
3
i u ki n F(0)2 2 2 2 10
4) Ta có:
2
e
e
( ) m sin
Nguyên hàm F x( ) c a f x( ) th a mãn F(0) 1 và
F
Xác đ nh m Khi đó hãy tìm F x( )
Gi i:
4 1 1sin 2
m
+) V i
m
4
m và ( ) 3 1 1sin 2 1
Bài 12 Cho hàm s
2 2
( )
sin 2
f x
x
Tìm nguyên hàm F x( ) c a hàm s f x( ) bi t 0
6
F
;
1
F
và F 3 1
Gi i:
+) Ta có:
( )
+) i u ki n
tan cot
0
6
2
a
F
C
b
Trang 7V y
sao cho đ th c t t i m t đi m thu c Oy
Gi i:
+) Ta có:
+) Giao đi m c a và tr c là đi m nên
+) V y
( ) tan cot
3 ( ) 2sin 5
5
f x x x
( )
F x f x( )
F x x x dx x x x x C
( )
5
A
F C C
F x x x x x
Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng
Trang 85 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c
H c m i lúc, m i n i
Ti t ki m th i gian đi l i
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12) T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng