4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM : ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số fx liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó 5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số[r]
Trang 1CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM 1.ĐỊNH NGHĨA:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x (a;b),ta có: F’(x) = f(x)
*Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F’(a+)=f(a) và F’(b-)=f(b)
2.ĐỊNH LÍ:
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên (a;b)
Ta viết : f x dx F x( ) ( ) C f(x)= F’(x)
3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM :
a) ' b) ,(a 0)
f x dx f x
af x dx a f x dx( ) ( )
c) [f(x)+g(x)]dx= f(x)dx+ g(x)dx
d) f(t)dt= F(t) + C f(u)du= F(u) +C
4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM :
ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó 5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp
1. dx= x+C
2 x dx x 11+C
3 dx x = ln x +C
4 exdx= ex+ C
5 axdx = lna x a +C , (0 < a 1)
6 cosx dx= sinx +C
7 sinxdx = -cosx +C
8 2 = tgx +C
cos
dx
x
9 2 =-cotgx+C
sin
dx
x
tg
x
tg x
12 tgxdx= -lncos x +C
13 cotgxdx= lnsin x +C
1. du= u+C
2 u du u 11+C
3 du u = lnu +C
4 eudu= eu+ C
5 audu = lna u a +C , (0 < a 1)
6 cosudu= sinu +C
7 sinudu = -cosu +C
8 2 = tgu +C cos
du u
9 2 =-cotgu+C sin
du u
tg
u
tg u
12 tgudu= -lncos u +C
13 cotgudu= lnsin u +C
Trang 214 2 2 1 ln +C
2
2dx 2 ln x x a
2
x
x a dx x a
+C
2
ln 2
a
17
2dx 2 arcsinx C
a
18 2dx 2 1arctg x C
2
x
a x dx a x
2
arcsin 2
C a
2
2du 2 lnu u a
2
u
u a du u a
+C
2
ln 2
a
17
2 2 arcsin
C a
18 2du 2 1arctg u C
2
u
a u du a u
2
arcsin 2
C a
Chứng minh một số công thức cơ bản :
tg
x
tg x
Chứng minh :
10 Ta có :
sin 2sin cos 2sin cos 2cos 2sin
x
ln cos ln sin ln
2
2sin( ) cos( )
2
x a x a
x a x a x a a x a x a a x a x a
C
Trang 315 2 2 +C
2dx 2 ln x x a
Ta đặt :
2 2
2
2 2
2
x
x a dx x a
2
a
x x a
Ta đặt:
xdx du
x a
dv dx
v x
2
ln
ln
dx
x a
VẤN ĐỀ 1 :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
DẠNG 1 :
I=x ax b dx a ;( 0)
2
,( 0)
x dx
ax b
Trang 4*Sử dụng đồng nhất thức :x=1ax 1(ax b) b
Hoặc :
VD1 :Tính I= 2002
1
x x dx
Cách 1 :Sử dụng cách đồng nhất thức :x=1-(1-x)
Cách 2 :Đổi biến số :
Đặt t=1-x
1
(1 )
x t dx dt
I t t dt t dt t dt
VD2 :Tính J= 2005
1
x x dx
Tương tự :
VD3 : Tính K= 2
4 3
dx
x x
HD :
Ta có :
2
Cách 2 :
Ta có :
2 2
ln
VD4 : Tính J =
1 3
xdx x
HD :
Trang 5Sử dụng đồng nhất thức : x=
1 3 1
1 3 1
x x
x
3 (1 3 ) (1 3 )
(1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 )
(1 3 ) (1 3 )
VD 5 :Tính K= 2
2
dx
x x
HD :
Sử dụng đồng nhất thức :
2
ln
x
VD 6 : Tính H = 4 2
dx
x x
HD :
Sử dụng đồng nhất thức :
H
( đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk )
VD 7 : Tính A=
3 10
( 1)
x dx
x
HD :
Cách 1 :Sử dụng đồng nhất thức :x3= ((x-1)+1)3=(x-1)3-3(x-1)2+3(x-1)-1
3
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
x
A
C
Cách 2 : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt
6 (x 1) 7 (x 1) 8 (x 1) 9 (x 1) C
Trang 6VD8 : Tính B=
2 39
1
x dx x
HD :
Cách 1 :Sử dụng đông nhất thức : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1
2 2
x
2
C
Cách 2 :
Đặt : t= 1-x
2
1
2
t dt
C
VD 9 :Tính C = 5dx 3
x x
HD :
Cách 1 :Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2
3 2
2
1
x x
x
VD 10 : Tính D= 7dx 5
x x
HD :
Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2
5 2
2
1
x x
x
VD 11 : Tính E =
2001 1002
2 1
x
dx
x
HD :
Ta phân tích :
Trang 7
1000
x
Đặt : t=
2
2 1
x
x
2 2
2
1
x
x
VẤN ĐỀ 2 :NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1 :
sin( )sin( )
dx I
Cách giải :
Bước 1 :Đồng nhất thức :
sin ( ) ( )
x a x b
a b
Bước 2 :Biến đổi đưa về kết quả
°Lưu ý :Dạng
1 cos( ) cos( )
Trang 8Ta sử dụng :
sin ( ) ( )
x a x b
a b
1 sin( ) cos( )
Ta sử dụng :
cos ( ) ( )
x a x b
a b
VD 1 : Tính
sin cos( )
4
dx I
HD :
Cách 1 : Ta có
cos
4
2 cos
sin( )
2 sin
x x
x
cos( )
Cách 2 : Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có :
2
(cot 1)
sin (cos sin ) sin (cot 1) cot 1
DẠNG 2 :
sin sin
dx
I
Cách giải :-Sử dụng công thức :sinx +sin = 2sin cos
x x
-Đưa về dạng 1 để giải
°Lưu ý :Dạng
1
;( 1) sin
dx
x m
Làm tương tự
VD 1 : Tính
2sin 1
dx A
x
HD :
Trang 9Ta có : 1 1 1 1
2sin 1 2(sin ) 2(sin sin ) 4sin cos )
Sử dụng đồng nhất thức :
6
cos
6
C
VD 2 : Tính K=
2cos 1
dx
x
HD :
Ta có :
2cos 1 2(cos ) 2(cos cos ) 4(cos cos )
Do :
3
sin
3
x
x
3 sin
3
6
x
x
DẠNG 3 :
Trang 10( )
I tgxtg x dx
K tg x cotg x dx
H cotg x cotg x dx
Cách giải :
Ta biến đổi :
sin sin( ) cos cos( ) sin sin( )
tgxtg x
Đưa về dạng 1 để giải
4
I tgxtg x
HD :
Cách 1 :
Ta có :
sin sin( ) cos cos( ) sin sin( ) cos( )
1
2 cos cos( )
4
tgxtg x
x x
Khi đó xét :
cos cos( )
4
dx
K
Sử dụng đồng nhất thức :
sin
4
sin
4
1
4 cos cos( )
4
cos
2 ln
cos( )
4
x
x
Cách 2 :
Trang 11cos (cos sin ) cos (1 ) cos cos( )
4 (1 )
1
2 ln 1
K
x x
d tgx
tgx C tgx
DẠNG 4 :
I=
sin cos
dx
a x b x
Cách giải :
Sử dụng công thức : asinx +bcosx= 2 2 sin( ) 2 2 2sin( ) cos( )
a b x a b
( ( ))
2
x
d tg
Cách 2 : Ta có
ln cos( ) 1 2
I
x
C x
a b
Cách 3 : Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt :t= tgx/2
3 sin cos
dx I
HD :
Ta có : 3 sin cos 2sin( ) 4sin 6 cos 6
2
6
2
ln
x
d tg
x dx
DẠNG 5 :
sin cos sin cos
Cách giải :
Sử dụng đồng nhất thức :a1sinx+b1cosx= A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx+b2sinx)
Trang 12Để ý :a2sinx+b2cosx= 2 2
a b x
Kết hợp dạng 3-4 để giải
2 3 sin 2 cos 2
x
HD:
Biến đổi:
2
2 3 sin 2 cos 2 1 3 sin 2 (1 cos 2 ) 3sin 2 3 sin cos cos
8cos
3 sin cos
x
Phân tích :
8cosx A ( 3 sinxcos )x B( 3 cosxsin ) (x A 3B)sinx(A B 3) cosx
Đồng nhất đẳng thức :
2
2 3
3 8
A
B
A B
2
3 sin cos
VD 2: Tính sin
1 sin 2
x
x
HD:
Ta có:
1 sin 2 sin cos
Đồng nhất thức :sinx= A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx)= (A-B)sinx+(A+B)cosx
1
2
A
A B
A B
B
sin (sin cos ) (cos sin )
2(sin cos ) 2
2 (sin cos ) 2
Trang 131 4 1 1 1 ln 1 1
4
d x
x
x
DẠNG 6 :
I= sin cos
dx
a x b x
HD :
TH1 : c a2b2
Ta biến đổi :
2
x
x d
TH2 : c a2 b2
Ta biến đổi :
2
x
x d
TH3 : c2 a2b2
Ta thực hiện phép đặt :
2
x
t tg
2
Sau đó thực hiện tính nguyên hàm bằng các biểu thức đại số
2sin cos 1
dx I
HD :
Ta thấy : c2 a2b2(vì : 12 2212)
Đặt :
2
x
t tg
2
Trang 14 2 2
2
x tg
x
VD 2 : Tính
dx K
HD :
Ta thấy : c a2b2 (vì : 2 1212 )
Ta biến đổi :
2
2 8 4
2 8
x
x d
VD3 : Tính
dx K
HD :Tương tự VD2
DẠNG 7 :
sin cos
sin cos
dx
Cách giải :
Biến đổi :a1sinx+b1cosx+c1= A(a2sinx+b2cosx+c2)+B(a2cosx-b2sinx)+c Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải
VD 1: Tính 5sin
2sin cos 1
x
HD:
Ta phân tích :5sinx= A(2sinx-cosx+1)+B(2cosx+sinx)+C
=(2A+B)sinx+(2B-A)cosx+A+C
2 2sin cos 1 2sin cos 1 2sin cos 1
(2sin cos 1)
2 ln 2sin cos 1 2
I dx
Tính :
2sin cos 1
dx K
Trang 15Đặt :
2
x
t tg
2
2 2
2
x tg
x
Vậy :
2
2 ln 2sin cos 1 ln
2 2
x tg
x tg
DẠNG 8 :
I=
sin sin cos cos
sin cos
dx
HD :
Biến đổi :a1sin2x+b1cosxsinx+c1cos2x= (Asinx+Bcosx)(a2sinx+b2cosx)+c(sin2x+cos2x) Đưa về dạng quen thuộc để giải
VD 1:Tính
2
4sin 1
3 sin cos
x
HD:
Ta phân tích :4sin2x+1= 5sin2x+cos2x=
( sin cos )( 3 sin cos ) (sin cos )
( 3 )sin ( 3)sin cos ( ) cos
Trang 162
3 sin cos
3 cos sin
*
2
3 sin cos
6 2 1
2
x
dx
x
d tg dx
6 ln
2
x
6
3 cos sin ln
2
x
VD2 : Tính I=
2
cos sin 3 cos
x dx
HD :
Ta phân tích :cos2x= (Asinx+Bcosx)(sinx+ 3cosx)+C(sin2x+cos2x)= = ( 3B+C)cos2x+(B+ 3A)sinxcosx+(A+C)sin2x
1 4
3
4
4
A
B C
A C
C
2
x
dx
Tính :
sin 3 cos
dx K
Trang 171 1
ln
3
x
x
DẠNG 9 :
sin sin cos cos
dx
a x b x x c x
Cách giải :
Biến đổi :
dx
x atg x btgx c
Đặt : t=tgx 12
cos
x
2
dt
I
at bt c
Dạng quen thuộc giải được
3sin 2sin cos cos
dx
HD :
Ta có : 3sin2x-2sinxcosx-cos2x = cos2x(3tg2x-2tgx-1)
dx I
x tg x tgx
Đặt :t=tgx 12
cos
x
2
1
3
Ta phân tích :
1 ( ) ( 1)
t
Vậy : 1ln 3 3
tgx
tgx
DẠNG 10 :
sin cos
x x
Trang 18Cách giải :
Để ý rằng :
1
a b
TH 1 : 1
ln sin cos
TH2 : 1
VD 1 :Tính sin cos2 2
2sin cos
HD :
2
2sin cos
ln 2sin cos
VD 2 :Tính sin cos2 2
2sin 3cos
HD :
2
2
2sin 3cos
DẠNG 11 :
SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC NHAU RỒI MỚI ĐỔI BIẾN SỐ
VD 1 :Tính sin 3 sin 4
cot 2
tgx g x
Trang 19HD :
Ta biến đổi :
sin cos 2 sin 2 sin cos 2 cos cos 1 cot 2
cos sin 2 sin 2 cos sin 2 cos sin 2
tgx g x
sin 4 sin 3 sin 2 cos cos 7 sin 2
tgx g x
sin 2 cos sin 2 cos 7 sin 3 sin sin 9 sin 5
sin 3 sin sin 9 sin 5 cos 3 cos cos 9 cos 5
VD2 : Tính cos sin cos
2 sin
x
HD :
Ta biến đổi : cos sin cos =
2 sin
x
cos (1 sin )2 sinx x dx
x
Đặt : t=sinx dt= cosxdx
ln 2 sin ln sin 2
sin cos
dx A
HD :
Ta biến đổi : 3 =
sin cos
dx A
dx tgx x
Đặt : t= tgx 12
cos
x
2
VD3 :Tính
dx B
tg x x
HD :
Ta biến đổi :
dx B
tg x x
dx
x tg x
Đặt : t= tgx 12
cos
x
3
4
3
4
dt
t