Chuyên đề khảo sát hàm số: Hướng dẫn và đáp án

Tiếp tuyến của C tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M.. Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M..[r]

Chuyên đề khảo sát hàm số: Hớng dẫn và đáp án

Baứi 1:

1) Khaỷo saựt haứm soỏ:  



1 1

x y

x (C) TXẹ: D = R \ (1)

2

2

( 1)

y

x



 Haứm soỏ giaỷm treõn tửứng khoaỷng xaực ủũnh

TCẹ: x = 1 vỡ

1  

lim

TCN: y = 1 vỡ xlimy 1

BBT:

ẹoà thũ:

2) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) ủi qua ủieồm P(3, 1):

ẹửụứng thaỳng (d) qua P coự heọ soỏ goực k:y = k( x-3) + 1

(d) tieỏp xuực (C)





 



 2

x+1 = k(x-3) + 1 (1) x-1

-2 = k (2) (x-1)

coự nghieọm

Thay (2) vaứo (1) :

1 -2(x-3) 12

1 (x-1)

x

x  x2  1 2(x 3) (x1)2  4x  8 x 2

Thay vaứo (2)   2k Vaọy phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn ủi qua P laứ: y= -2x + 7

3)M x y0( , ) ( )0 0  C Tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi M caột 2 ủửụứng tieọm caọn taùo thaứnh moọt tam giaực coự dieọn tớch khoõng phuù thuoọc M

Phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi M: y f x x x '( )(0  0)y0

2 0

)

1 ( 1) ( 1)

-3 ( ( -1)

x

Giao ủieồm vụựi tieọm caọn ủửựng x =1        

Giao ủieồm vụựi tieọm caọn ngang y = 1   1 5 0 2 5 0 2,1

Giao ủieồm hai ủửụứng tieọm caọn: I(1, 1)



0

x

S



x

x Vaọy: SIABkhoõng phuù thuoọc vaứo vũ trớ ủieồm M

A

B M

y

C©u 2: (2 điểm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 2

1

x y x





 TXĐ: D=R\{1}

3

2

1

y

x



 Hàm số giảm trên từng khoảng xác định

TCD: x=1 vì lim

1

y

x    TCN: y=1 vì lim y 1

BBT:

Đồ thị:

2) Xác định a để từ A(0,a) kẻ được 2 tiếp tuyến đến

(C)

sao cho 2 tiếp điểm đến nằm về 2 phía của 0x

Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C 0 2

0

x y x



 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:

'( )(0 0) 0

2

0

x



Tiếp tuyến qua A(0,a) 02 4 0 2

2 ( 0 1)

a

x

 



2 ( 1)a x0 2(a 2)x0 a 2 0

       (1) (vì x0 =1 không là nghiệm)

Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là: , 1 0 1

2 0

a

 

    

 Khi đó (1) có 2 nghiệm là

0

x , x1

 Tung độ tiếp điểm 0 0 2

1 0

x y x





 và 1 1 2

1 1

x y x





 Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía

Ox

 

y y

a

   



Tóm lại: 2,2 1

3

a

  







 



2 3

a 

  và a 1 ĐS: 2 , 1

3

a  a

C©u 3: (2 điểm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 2 2 1

1

y

x

 



 TXĐ: D = R\{-1}

2

( 1)

y

x





 ' 0 0

2

x y

x





     Tiệm cận đứng: x= -1 vì lim

1

y

Ta có: 2 1 2

1

y x

x

 Tiệm cận xiên: y = 2x - 1 vì lim 2 0

1

x

x   

BBT

Đồ thị:

Cho x = 1 suy ra y = 2

2) Gọi M  (C) có XM = m Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách

từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m

Ta có: XM = m 2 1 2

1

y M m

m



Tiệm cận đứng : x + 1 = 0 (D1)

Suy ra d1(M, D1) 1 1

1

m

m



  

Tiệm cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2) d2(M,D2) =

2

2

1

m

m

 Suy ra d d = 2 2 (không phụ thuộc m)

C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số: 2 2 2

1

y

x

 



 1) Tìm m để diện tích tam giác tạo bởi TCX và 2 trục tọa độ bằng 4

Ta có: 2 2

1

m

y x m

x



Với m 0 thì TCX: y = 2x + m + 2 vì lim 0

1

m x

x   

Giao điểm TCX và Ox: y = 0 









 









2

2 2

m x

Giao điểm TXC và oy: x     0 y m 2 B m(0,  2)

6

m m

m





       ( thỏa điều kiện 0

2) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = -3: 2 2 3 2 (C)

1

y

x



TXĐ: D = R\ {1}

0 )

1

(

5 4

2









x

x

x

y x1

 Suy ra hàm số tăng trên từng khoảng xác định

TCĐ: x = 1 vì lim

1y

TCX: y = 2x - 1 (theo câu 1)

BBT:

Đồ thị: x   0 y 2,x   2 y 0

C©u 5: (2 điểm) Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9 (Cm)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 0 y = x4 – 10x2 + 9

TXD: D = R

y  x  x x x  ' 0 0

5

x y

x





  

 



2

'' 12 20 '' 0

y  x  y    x  y   điểm uốn 5 44; 5 44;

BBT:

Đồ thị:

0

y

x x

    



      



2) Chứng minh rằng với  m 0, (Cm) luôn luôn cắt Ox

tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm (-3,3)

và 2 điểm nằm ngoài (-3,3)

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox

4 ( 2 10) 2 9 0

x  m  x   (1) Đặt t x t 2( 0) 

Phương trình trở thành: t2 (m2 10) 9 0t  (2)

Ta có:





































m m

S

P

m m

, 0 10

0 9

, 0 36 ) 10 (

2

2 2

 0 < t1 < t2  (1) có 4 nghiệm phân biệt x2  x1 x1x2

Đặt f(t) =t2 (m2 10) 9t Ta có: af(9)=81 9  m2 90 9    9m2   0, m 0

0 t1 9 t2

   

2 9 ( 3;3)

2 9 2 ( 3;3)

2

x x

             



Vậy (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm  ( 3,3)và 2 điểm   ( 3,3)

C©u 6: (2 điểm) Cho hàm số y f x ( )x3 (m3)x2 3x4 (m là tham số) 1) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị này

Ta có: y' 3  x2 2(m 3)x 3; ' 0y   3x2 2(m 3)x  3 0 (1)

Hàm số có CĐ, CT  (1) có 2 nghiệm phân biệt

Chia f(x) cho f’(x) ta được : '( ) 1 1( 3) 2( 2 6 ) 1 5

y f x  x m  m  m x m

Vậy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: 2( 2 6 ) 1 5

y  m  m x m 2) Tìm m để f x( ) 3  x với mọi x 1 Ta có:

4

f x  x x   x  m x        x m x  x

min ( )

1

x

 

 với g x( ) x 3 42

x

  

Ta có: g x'( ) 1 83 x338 , x 1 ; '( ) 0g x x 2



+) BBT: min ( ) 0

1g x

x

 Vậy: m 0

C©u 7: (2 điểm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 2 6 9 ( )

2

x



 

 TXĐ: D = R\ {2}

2 4 3

( 2)

y

x



  ' 0 1

3

x y

x





    TCĐ: x = 2 vì lim

2

x  ; Ta có: 4 1

2

y x

x

   

 

TCX: y = - x + 4 vì lim 1 0

2

x

x   

BBT:

Đồ thị:

Cho x = 0 9

2

y

 

b) Tìm M Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C)

song song với đường thẳng y= 3

4

 x có dạng

Gọi M(0, b)  Oy, tiếp tiếp qua M song song

đường thẳng 3

4

y  x có dạng: (D): 3

4

y  x b

(D) tiếp xúc (C)

(1)

(2)

( 2)

x

x

 





 

   

  



co ùnghiệm

(2)  x2 4 0  x  x 0  x 4 Thay vào (1): 0 9; 4 5

x  b x  b

Vậy : 1(0; ),9 2(0; )5

C©u 8: (2 điểm)

a) Khảo sát (1) y 2x3 3(2m 1)x2 6 (m m 1)x 1 (1) khi m= 1:

m y x  x  x TXĐ: D= R

1 6 2

' 6 18 12 ; ' 0



điểm uốn I

BBT:

Đồ thị:

b) Chứng minh rằng m hàm số (1) luôn đạt cực trị

tại x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m

Ta có:

2 3(2 1) 6 ( 1) 1

' 6 6(2 1) 6 ( 1); ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*)

2

(2 1) 4 ( 1) 1 0

      

 (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2  Hàm số luôn đạt cực trị tại x x1, 2

Ta có:

x  m   m x  m   m x x  m  m (hằng số)

Vậy:x2x1 không phụ thuộc m

Bµi 9: (2 điểm)

a) Khảo sát hàm số: y x 2 5x4

Tập xác định: D = R

y’= 2x – 5

BBT:

Đồ thị:

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol:

2

( ) :P1 y x 5x6 và ( ) :P2 y x2 5x11

- Gọi   : y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2)

-   tiếp xúc với (P1) và (P2)

2 5 6

2 5 11

    



 

    



co ùnghiệm kép

co ùnghiệm kép

2 (5 ) 6 0

2 (5 ) 11 0

2

1

2

     



 

     





 

co ùnghiệm kép

co ùnghiệm kép

Vậy phương trình tiếp tuyến chung là: y = 3x – 10 hay y = - 3x + 5

C©u 10: (2 điểm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y x 3  3 ( )x2 C

TXĐ: D = R

2

y  x  x x x ' 0 0

2

x y

x





    

'' 6 6

y  x y'' 0  x   1 y 2  Điểm uốn I(-1, 2)

+) BBT:

Đồ thị:

Cho x = -3, y = 0

x = 1, y = 4

b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Gọi M(a,0) Ox  , đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là:

y = k( x - a)

(d) tiếp xúc (C) 3 2 ( ) (1)

2



 

  



3

co ùnghiệm

Thay (2) vào (1):

0

2 3( 1) 6 0

2 3( 1) 6 0 (3)

x





       



2

2 Với x = 0  k = 0  1 tiếp tuyến là y = 0

+) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

 (3) có 2 nghiệm phân biệt x x 1 2, 0 và k k  1 2 1

0 0

2

(3 1 6 )(31 2 6 )2 1 9( 1 2) 18 1 2 1( 2) 36 1 2 1

1 3

3

2

x + x =1 2

2

a a

      





và a 0

và a 0 -27a

1 27

a





 + 1 = 0

Vậy chỉ có 1 điểm ( 1 ,0)

27

M Ox thoả điều kiện bài toán

C©u 11: (2 điểm) Cho hàm số: y3x44 1 m x 36mx2 1 m (Cm)

1) Khảo sát hàm số khi m= -1: y 3x4 6x2 2 TXĐ: D = R

 

' 12 12 12 1

y  x  x x x  ' 0 0

1

x y

x





    

2

3

điểm uốn

BBT:

Đồ thị:

Cho y=2 3 4 6 2 0 0

2

x

x





 



2) Tìm giá trị m < 0 để (Cm) và( ) :  y 1 có ba giao điểm phân biệt

Ta có: y3x44 1 m x 36mx2 1 m;

4 2 3 1

    



      



x -  -1 0 1

+ 

y’ - 0 + 0 - 0 +

y +  2 +

CĐ

-1 -1

(Cm) Và   cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu đường thẳng :y=1 đi qua điểm cực trị của (Cm)



    

loại loại

0 ( )

1 ( )

1 5 ( ) 2

2

m m m m





 



  









loại loại loại nhận vì m < 0

ĐS: 1 5

2

m 

C©u 12: (2 điểm) Cho y x 33x2m2x2m (Cm)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C1 khi m = 1 y x 33x23x2 ( )C1 TXĐ: D = R

2

y  x  x  x  suy ra hàm số luôn tăng trên R

y   x  y  x ; y'' 0    x 1   y 1 điểm uốn I(-1, 1)

 BBT:

 Đồ thị:

Cho x = 0, y = 2

x = -2, y = 0

' 0

y I   tiếp tuyến tại I song song Ox

2) Tìm m để ( )C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C m và Ox

2 (1) 2

0 (2)

x

 



 

  



( )C m cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ âm  (2) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2

0

0

m

m S



ĐS: 0 1

4

m

 

C©u 13: (2 ®iĨm) Choy x mx 3 27x3 (1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 5 y x 3 5x27x3

TXĐ : y’= 3x2 +10x + 7

1 0

   





    



 điểm uốn

5 16,

3 27

BBT :

Đồ thị:

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu

Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu

Ta có :

3 2 7 3; ' 3 2 2 7

y x mx   x y  x  mx y' 0 3x22mx 7 0(*)

Hàm số có cực đại và cực tiểu  (*)có hai nghiệm phân biệt

2

        m 21 v m  21

Chia y cho y’ ta được : '( ) 1 2(21 2) 27 7

Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:

2

2(21 ) 27 7

C©u 14: (2 điểm) y x 42x2

1a) Khảo sát và vẽ:

TXĐ:

3

' 4 4

y  x  x ' 0 0 1 ; '' 12 2 4; " 0 1 5

9 3

y      x x y  x  y    x   y

=> Điểm uốn 1 1 ; 5 , 2 1 ; 5

I    I    

BBT:

Đồ thị:

+) 1b Biện luận số nghiệm:

Ta có :x4  2x2  m 0  x4  2x2 m

Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận :

m< -1: vô nghiệm ; m= -1: 2 nghiệm

-1< m < 0: 4 nghiệm ; m= 0: 3 nghiệm ; m> 0: 2 nghiệm

C©u 15: (2 điểm)

a.Khảo sát hàm số : 2 4 8

2

 





y

x (C) TXĐ:D R \{ 2} 

2

2

4

'

( 2)







y

x ' 0 0

4





    x

y

x

 Tiệm cận đứng: x = -2 vì

2

4 lim

2

  



 Chia tử cho mẫu: 2 4

2

  



y x

x

 Tiệm cận xiên: y= x + 2 vì lim 4 0

2

 



 BBT:

 Đồ thị:

b.Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số : 1 2 4 8

2





y

x ( )C1

Ta có :

1

nếu x > -2 -y nếu x < -2

y

y  



Do đó đồ thị( )C1 suy từ (C) như sau:

- Nếu x > -2 thì ( ) ( )C1  C

- Nếu x< -2 thì lấy phần đối xứng của (C) qua Ox ta được ( )C1

c Xác định tập hợp những điểm mà không có đồ thị nào trong họ ( )C m ï đi qua:

2 4 2 8

2

  





y

0

( , ) ( ),

2



x vô nghiệm với mọi m x0  2 hoặc 2 2

0( 0 2) 0 4 0 8

m y x x x vô nghiệm theo m













2

0 0

0 2

0 0

0

x +4x +8

y < (nếu x >-2)

x +2

x +4x +8

y > (nếu x <-2)

x +2

M miền (I) giới hạn bởi (C) với x > -2

M miền (III) giới hạn bởi (C) với x< -2





  



Vậy những điểm M thoả điều kiện bài toán là những điểm thuộc mặt phẳng toạ độ

Oxy, không nằm trên miền (I), miền (III) và không nằm trên (C)

(C)

(C1) (I)

X Y

(III) -4

O

4 2 (C1)

-2 -4

C©u 16:

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:y  (x 1) (2 x   4) x3 6x29x4

 TXĐ: D = R

 



         



          

' 3 12 9 ' 0

3 '' 6 12 " 0 2 2

x

x

Điểm uốn :( -2, -2)

 BBT:

 Đồ thị :

2) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của

phương trình : (x1) (2 x 4) (m1) (2 m4)

  (x 1) (2 x   4) (m 1) (2 m4)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C)

và đường thẳng (d) có phương trình : y  (m 1) (2 m4)

- Số giao điểm là số nghiệm của phương trình

 Biện luận:

 (m 1) (2 m   4) 4 m m( 3)2  0 m 0: 1 nghiệm

 (m 1) (2 m       4) 4 m 0 m 3: 2 nghiệm

   4 (m 1) (2 m     4) 0 4 m 0: 3 nghiệm

 (m 1) (2 m       4) 0 m 1 m 4: 2 nghiệm

 (m 1) (2 m    4) 0 m 4:1 nghiệm

C©u 17: ( 3 điểm) Cho:y ( 1)(x x mx m2  ) (1)

1) Khảo sát hàm số (1) tương ứng với m= -2:

y x x  x y x  x  Tập xác định : D = R

2

' 3 6 3 ( 2)

y x x x x ' 0 0

2





   x

y

x

'' 6   6

y x y" 0     x 1 y 0

 Điểm uốn : I(1, 0)

BBT:

Đồ thị:

Điểm đặc biệt :

2) Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc trục hoành

Xác định toạ độ tiếp điểm

Ta có :y x 3 (m1)x m2 (1)

Đồ thị (1) tiếp xúc trục hoành x +(m-1)x -m=0 (2)32 2

  0

3

x

x







  



Thay vào (2) :

2

2( 1) 8 ( 1) 4( 1) 0

4( 1) 27 0 4 12 15 4 0

4

2

m

m

m

  









  

 Hoành độ tiếp điểm là :

1

2

m  x m   x m   x

Vậy đồ thị (C) tiếp xúc Ox khi: m= 0, m= 4, 1

2

m  

Toạ độ tiếp điểm tương ứng là: (0, 0), (-2, 0), (1, 0)

C©u 18: ( 3 điểm)

1) Khảo sát hàm số:  



1 1

x y

x (C) TXĐ: D = R \ (1)

2

2

( 1)

y

x



 Hàm số giảm trên từng khoảng xác định

TCĐ: x = 1 vì

1  

lim

x y TCN: y = 1 vì xlimy 1

BBT:

Đồ thị:

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):

Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k: y = k( x-3) + 1

(d) tiếp xúc (C)





 



 2

x+1 = k(x-3) + 1 (1) x-1

-2 = k (2) (x-1)

có nghiệm

Thay (2) vào (1) :   

1 -2(x-3) 12

1 (x-1)

x x

x2  1 2(x  3) (x 1)2 4x  8 x 2

A

B M

y

Thay vào (2)   2k

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7

3)M x y0( , ) ( )0 0  C Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc M

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y f x x x '( )(0  0)y0

2 0

)

1 ( 1) ( 1)

-3 (

( -1)

x

Giao điểm với tiệm cận đứng x =1        

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1   1 5 02 5 0 2,1

Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1)

Ta có :







0

0 0

5 2

1 5 . 1 25 hằng số

x x

x

S

Vậy: SIABkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M

C©u ( 2 điểm) Cho y f x ( ) m3 x32(m1)x

a) Khảo sát hàm số khi m= 1: 1 34

3

 TXĐ: D = R

2

y x   





 2 ;

x

Điểm uốn O(0, 0)

BBT:

Đồ thị:

Cho x    164 y 3

   164

3

b)Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại,

cực tiểu sao cho:

(y CĐ y CT) 9(4m 4)

Ta có:y m3 x32(m1)x y mx '  2 2( m  1)

+

16 3

x y’

y

+ +

+ 16

3

  2  

Hàm số có cực đại và cực tiểu  (1) có 2 nghiệm phân biệt



 2(m 1) 0     m 1 m 0

m

Khi đó (1) có 2 nghiệm x x x x1 2, ( 1 2)  yCĐ  f x ( )1 và yCT  f x ( )2

Để tìmyCĐ vàyCT ta chia f(x) cho f’(x) thì được:  

  

f x f x

1 2

1 2

4 ( 1) 3

4 ( 1) 3

( ) ( )

CĐ

CT

y f x (Vì f'(x ) 0, '( ) 0)1  f x2 

Theo giả thiết: (  )2 2(4 4)3

9

2

16( 1) ( ) 264( 1) ( ) 8( 1) ( Vì m+1 0 )

S 4 8(m+1) 0 (vì S = 0 , P = )

m

m = 1 ( Vì m+1 0 )

P

m

So với điều kiện m< -1 m > 0  nhận giá trị m = 1 ĐS: m = 1

C©u 20: ( 2 điểm)

1) Khảo sát hàm số:  



1 1

y x

x (C) Tập xác định: D R \ 1 

 ' 1 1 2 2 22

( 1) ( 1)

y



  ' 0 0

2

x y

x





   

 Tiệm cận đứng: x = 1 vì   

1

lim

x

 Tiệm cận xiên: y = x vì  



1

1

 BBT:

 Đồ thị:

2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A(0, 3)

- Đường thẳng (D) qua A và có hệ số góc k: y = kx +3

(D) tiếp xúc (C)   





 

1 kx + 3 (1) 1

1

1 k (2) ( 1)

x x

x

có nghiệm

- Thay (2) vào (1) :

X O

Y

2 -1 1 3