Bò con đi thi về khoe với mẹ :”Mẹ ơi!đề thi hôm nay có tất cả 5 câu ,trong đó có một câu khó nhất ,các bạn con không ai giải được,chỉ duy nhất mỗi một mình con giải ra thôi !”.Bò mẹ nghi[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠ I HỌ C LẦ N 1
(Thờ i gian làm bài :180 phút)
LAISAC biên soạ n
PHẦ N CHUNG CHO TẤ T CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điể m)
Cho đư ờ ng cong có hàm số y = x3- 2x2 - (m - 1)x + m (1)
1 Khả o sát sự biế n thiên và vẽ đồ thị khi m = 1
2 Trong trư ờ ng hợ p hàm số (1) đồ ng biế n trong tậ p số thự c R, tính m để diệ n tích hình phẳ ng giớ i hạ n bỡ i
đồ thị (1) và hai trụ c Ox,Oy có diệ n tích bằ ng 1 đơ n vị diệ n tích
Câu II.( 2 điể m)
Giả i các phư ơ ng trình nghiệ m thự c sau đây :
1 1−tanx.tan2x=cos3x
2 (x+3) (4−x)(12+x) =28−x
Câu III ( 2 điể m)
1 Trong mặ t phẳ ng Oxy cho elíp (E) :x2 + 4y2 = 4 Qua điể m M(1 ;2) kẽ hai đư ờ ng thẳ ng lầ n lư ợ t tiế p xúc
vớ i (E) tạ i A và B.Lậ p phư ơ ng trình đư ờ ng thẳ ng đi qua hai điể m A và B
2 Tam giác ABC là tam giác gì nế u ba góc A,B,C củ a tam giác thỏ a :
2 sin 2 cos
B
Câu IV ( 2 điể m)
1 Cho hai số thự c x ,y thay đổ i và thỏ a mãn điề u kiệ n: x.(1−y)= y 4−x2
Tìm giá trị lớ n nhấ t,giá trị nhỏ nhấ t củ a tỉ số
y
x
2.Tính tích phân : I = ∫1 + + + +
0
1
2 1) 2 2
( x x e x x dx
PHẦ N TỰ CHỌ N:Thí sinh chọ n câu V.a hoặ c câu V.b.
Câu V.a Theo chư ơ ng trình THPT không phân ban ( 2 điể m)
1 Trong không gian Oxyz cho hai đư ờ ng thẳ ng (d1) :
=
−
=
− + 0 3
0 4 2
z
y x
; (d2):
=
−
= + 0 1
0
x
z y
Lậ p phư ơ ng trình mặ t cầ u có bán kính nhỏ nhấ t tiế p xúc vớ i cả hai đư ờ ng thẳ ng trên
2 Tìm tấ t cả các số tự nhiên chẵ n có 4 chữ số , sao cho trong mỗ i số đó chữ số đứ ng sau lớ n hơ n chữ số
đứ ng liề n trư ớ c nó
Câu 5.b Theo chư ơ ng trình THPT phân ban thí điể m ( 2 điể m)
1.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đáy ABCD là hình vuông cạ nh bằ ng a ,SA vuông góc vớ i mặ t
phẳ ng(ABCD) và SA = a Tính diệ n tích củ a thiế t diệ n tạ o bỡ i hình chóp vớ i mặ t phẳ ng qua A vuông góc vớ i
cạ nh SC
2 Giả i bấ t phư ơ ng trình :log( )3 log 2
1
………Hế t………
…
HƯ Ớ NG DẪ N GIẢ I
Câu I.1.Bạ n đọ c tự giả i
2 Ta có y’ = 3x2
– 4x – m + 1
Để hàm số đồ ng biế n trong tậ p số thự c R khi và chỉ khi
3
1 0
'≥ ∀x∈R⇔m≤−
Phư ơ ng trình hoành độ giao điể m củ a đồ thị (1) vớ i trụ c Ox:
Trang 2x3 -2x2 –(m – 1)x + m =0 ⇔(x – 1)(x2 –x – m ) = 0.Điề u này chứ ng tỏ đồ thị (1) luơn cắ t trụ c hồnh tạ i điể m
cố định (1 ; 0 ) Mặ t khác vì hàm số là hàm bậ c ba cĩ hệ số cao nhấ t a = 1 > 0 lạ i đồ ng biế n trong R nên đồ thị luơn cắ t trụ c tung cĩ tung độ âm
Hay khi
3
1
−
≤
m ⇒ y = x3 -2x2 –(m – 1)x + m ≤0∀x∈[ ]0;1
Do đĩ diệ n tích hình phẳ ng giớ i hạ n bỡ i đồ thị (1) và hai trụ c tọ a độ là
2 12
1 )
1 ( 2
1
0
2
dx m x m x x
6
13
−
=
⇔m (thỏ a điề u kiệ n (2))
Câu II 1.Điề u kiệ n :
≠
≠
⇔
≠
≠
2
1 cos
0 cos 0
2 cos
0 cos
2 x
x x
x
Phư ơ ng trình tư ơ ng đư ơ ng :cos3x = cos3x.cosx.cos2x
Hoặ c :
=
=
⇔
=
−
⇔
=
4
3 cos
) ( 0 cos 0
cos 3 cos 4 0 3
x
loạ x
x x
Hoặ c:cosx.cos2x=1⇔ 2cos3x−cosx−1=0 ⇔(cosx−1)(2cos2x+2cosx+1)=0
⇔
= + +
=
−
⇔
0 ) 1 cos 2 cos
2
(
0 )
1
(cos
x
π
π
m x vn x
x
m x
2 )
( 0 1 cos 2 cos 2
2
= + +
=
Vậ y phư ơ ng trình cĩ nghiệ m là : x=±π +kπ
6 ; x 2= mπ (k,m∈Z)
2 Điề u kiệ n :−12≤ x≤4
Phư ơ ng trình tư ơ ng đư ơ ng :(x+4) 64−(x+4)2 +(x+4)− 64−(x+4)2 =32 (3)
) 4 ( 64 ) 4
2
=
=
⇔
=
−
⇔
= +
Khi t =0⇒ 64−(x+4)2 =x+4⇒x=4 2−4; x=−4 2−4 ( loạ i)
Khi t =2⇒(x+4)− 64−(x+4)2 =2⇒ 64−(x+4)2 =x+2⇒x= 31−3; x=− 31−3 (loạ i) Thử lạ i, phư ơ ng trình cĩ hai nghiệ m: x=4 2−4 ; x= 31−3
Câu III 1 Giả sử (x1 ; y1) ; (x2 ; y2) lầ n lư ợ t là tọ a độ hai tiế p điể m A và B
Do đĩ,phư ơ ng trình hai tiế p tuyế n MA và MB là :x.x1 +4y.y1 = 4 ; x.x2 +4y.y2 = 4
Mà hai tiế p tuyế n đề u đi qua điể m M( 1 ; 2) nên : x1 + 8y1 = 4 (4) ; : x2 + 8y2 = 4 (5)
Từ (4) và (5) chứ ng tỏ tọ a độ hai điể m A và B thỏ a mãn phư ơ ng trinh x + 8y = 4
Hay phư ơ ng trình đư ờ ng thẳ ng qua hai điể m A và B là x + 8y – 4 = 0
2
2 cos 1 2
2 cos 1 2 sin 2 cos
cos2 A+ 2 B= 2 C ⇔ + A+ + B = − C ⇔ A+ B+ C=
( cos( ) 1) 0 cos 0 cos( ) 0
cos 2 0 cos 2 ) cos(
) cos(
Suy ra tam giác vuơng hoặ c cân tạ i C
Câu IV: 1 Điề u kiệ n −2≤x≤2.Để tồ n tạ i giá trị lớ n nhấ t và nhỏ nhấ t củ a
y
x
thì x≠0;y≠0
4 4
) 1
y
x x
y y
Đặ t h
y
x
= (h≠0).Biể u thứ c viế t lạ i : h= x+ 4−x2 là mộ t hàm số liên tụ c trong đoạ n [−2;2]
Trang 3ta có
2 4 1
'
x
x h
−
−
= , khi h’ = 0 ⇔ x= 2 Ta tính h(−2)=−2, h(2)=2, h( 2)=2 2
Suy ra Max(h) = 2 2 khi x = 2 ;
2
1
=
y ; Min(h) = -2 khi x = - 2 ;y = 1
Vậ y giá trị lớ n nhấ t (GTLN) ,giá trị nhỏ nhấ t (GTNN) củ a
y
x
: ( )=2 2, ( )=−2
y
x GTNN y
x GTLN
1
0 1 1
0
1 2
1
0
1
∫
∫
Dùng phư ơ ng pháp từ ng phầ n ta tính tích phân ∫1 + +
0
1
2
dx
e x x
Đặ t
=
+
=
⇒
=
x v
dx e
x du dx
dv
e
)
1 2 (
Suy
ra e x x dx xe x x x x e x x 1dx
1
0 2 1
0 1 1
0
2
) 2
( )
+
1
0 1 1
0
1 2
) (
) 1 2
( x +x+ e x2+x+dx= xe x2+x+ =e
Câu Va 1 Ta xét vị trí tư ơ ng đói củ a hai đư ờ ng thẳ ng ⇒hai đư ờ ng thẳ ng chéo nhau ( tự chứ ng minh)
Theo yêu cầ u đề toán tâm I mặ t cầ u chính là trung điể m củ a đư ờ ng vuông góc chung MN củ a hai đư ờ ng thẳ ng (d1) và (d2) và bán kính
2
MN
R= (M∈(d1);N∈(d2))
Đư ờ ng thẳ ng (d1) viế t lạ i (2; 1;0)
3
2 4
−
=
⇒
=
=
−
=
a VTCP z
t y
t x
và M(4-2t ;t ;3) ∈(d1)
Đư ờ ng thẳ ng (d2) viế t lạ i (0;1; 1)
' '
1
−
=
⇒
−
=
=
=
b VTCP t
z
t y
x
,và N(1 ;t’ ;-t’)∈(d2)
Suy ra MN =(3−2t;t−t';3+t')
Để MN là đư ờ ng vuông góc chung củ a hai đư ờ ng thẳ ng (d1) và (d2) ,ta có
−
=
=
⇔
=
−
−
=
−
−
⇔
=
−
−
− +
= + +
−
−
⇔
⊥
⊥
1 '
1 0
3 ' 2
0 6 ' 5 0
' 3 ' 0
0 0 ' 4
6
t
t t
t
t t t
t t
t t t b
MN
a
MN
Từ đó suy ra phư ơ ng trình mặ t cầ u cầ n tìm là :
4
9 ) 2 ( )
2
3 (x− 2 + y2 + z− 2 =
2 Giả sử số đó là x=a1a2a3a4 Theo yêu cầ u bài toán các chữ số a1, a2, a3, a4 khác nhau từ ng đôi mộ t và khác không , và x là số chẵ n nên ta có các trư ờ ng hợ p sau :
TH1: a4 = 4 ,từ yêu cầ u đề toán ⇒ số đó là x = 1234.Do đó có mộ t cách chọ n
TH2: a4 = 6 ,từ yêu cầ u đề toán ba số hạ ng a1, , a2 , a3 chỉ đư ợ c lấ y trong tậ p {1,2,3,4,5} và các chũ số tăng dầ n nên có C35=10 số cho trư ờ ng hợ p này
TH3 : a4= 8 ,tư ơ ng tự ba số hạ ng a1, , a2 , a3 còn lạ i chỉ đư ợ c lấ y trong tậ p {1,2,3,4,5,6,7} nên có C37=35 số cho trư ờ ng hợ p này
Vậ y có 1+10 + 35 = 46 số đư ợ c chọ n theo yêu cầ u đề toán
Câu Vb.1.Bằ ng phư ơ ng pháp tọ a độ ,chọ n A(0,0,0) ,B(a ;0 ;0) ; D(0 ;a ;0) ; C(a;a ;0) ; S(0 ;0 ;a)
Giả sử mặ t phẳ ng (P) đã cho cắ t SB,SC ;SD lầ n lư ợ t tạ i E, G , F Mặ t phẳ ng (P) đi qua A và vuông góc SC nên nhậ n vectơ SC =(a;a;−a) làm VTPT ⇒phư ơ ng trình (P) là :x + y – z = 0 (6)
Trang 4Ta lậ p phư ơ ng trình đư ờ ng thẳ ng SD
−
=
=
=
t a z
t y
x 0
(7) F là giao điể m củ a SD và (P) nên nó là nghiệ m hệ phư ơ ng
trình ( 6) và (7) )
2
; 2
; 0 ( a a F
⇒ Tư ơ ng tự G là giao điể m củ a (P) và SC )
3
2
; 3
; 3 (a a a G
Do đó diệ n tích thiế t diệ n AEGF : [ ]
3 2
; )
( 2
2
a AF AG AGF
dt
2 Điề u kiệ n : x>1 , x≠ 2
Ta có log( )3 log 2
1
x
1 ) 1 ( log
Khi 1<x< 2 ta có vế trái 0
) 1 ( log
1 2 3
<
−
x và vế phả i log 0
1 2
>
x Bấ t phư ơ ng trình luôn đúng
Nên bấ t phư ơ ng trình có nghiệ m 1< x< 2
Khi x> 2 hai vế bấ t phư ơ ng trình đề u dư ơ ng ,nên bấ t phư ơ ng trình tư ơ ng đư ơ ng log2 x≤log3(x2 −1)
Đặ t t =log2 x Khi x> 2
2
1
>
⇒t vàx=2t Bấ t phư ơ ng trình viế t lạ i 1
4
1 4
3 1 4
+
⇔
−
≤
t t
t t
(8)
Đặ t
t t
t
+
=
4
1 4
3
)
( là hàm số liên tụ c trong ; )
2
1 ( +∞
+
4
1 ln 4
1 4
3 ln 4
3 )
(
'
t t
t
2
1 ( +∞
Mặ t khác ta có f(1)=1 Do đó bấ t phư ơ ng trình (8) viế t lạ i f(t)≤ f(1)⇔t ≥1⇔log2 x≥1⇔x≥2
Vậ y bấ t phư ơ ng trình đã cho có nghiệ m là 1< x< 2 hoặ c x≥2
“CHIỆ N NGỘ N NGU” VUI ( Ngẫ m nghĩ thậ t …thậ t lâu!)
Bò con đi thi về khoe vớ i mẹ :”Mẹ ơ i!đề thi hôm nay có tấ t cả 5 câu ,trong đó có mộ t câu khó nhấ t ,các bạ n con không ai giả i đư ợ c,chỉ duy nhấ t mỗ i mộ t mình con giả i ra thôi !”.Bò mẹ nghi ngờ hỏ i: “Khó như thế nào hả con?”Bò con mặ t độ n ra ,no nê mãn nguyệ n “Khó đế n nỗ i trong suố t thờ i gian làm bài con chỉ làm mỗ i câu đó thôi mẹ ạ !”
Bò mẹ rố ng lên:”Ôi! Con tôi lây bệ nh …Thành tích rồ i !”…Xỉu