Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau.. Bài 5 : Tìm các số phức thỏa điều kiện sau.[r]
Trang 1Hướng dẫn ôn thi – Đại học môn Toán Số phức
Bài 1 Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau.
1) z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2 2) z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3
3) Z = (1 – i)(2 – i)(3 + i) 4) Z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)2010
5) Z =
i
i i
i
1
2 1 2
1
1
2
) 2 3 ( 2
4
) 2 1 )(
1 (
i i
i i
2
) 1 (
) 4 ( 3
2
i
i i
z
1
iz
i z
9) z2 – 2z + 4i 10) Z = (1 – i)10 – (4 + i)(1 – 2i)
Bài 2 : Giải các phương trình sau trên tập số phức( z là ẩn)
1) (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i
2)
i
i z
i
i
2
3 1 1
2
3) z2 – 7z – 17 = 0 4) z4 – 2z2 – 63 = 0
5) (z – i)(z2 + 1)(z3 + i) = 0 6) (z2 + z)2 +4(z2 + z) – 12 = 0
7) z 2 z 2 4 i 0 8) z2 z 0
9) z2 + |z| = 0 10) z2 + |z|2 = 0
2
1 ( 3 )
2
i iz i z
2
2 3
z
Bài 3 : Tìm các số thực x, y trong mỗi trường hợp sau ( z là số phức).
1) 2(x + i) + 1 – 5yi = 3 – 8i 2) x(1 + 3i) + y(i – 2) = 5 + i
3) x(1 + 4i) + (y2 – 5)I = 3y + 3 4) x(3 + 5i)+ y(1 – 2i)2 = 9 + 14i
5) x(1 + i) + 4y – 6 – (3y + 5)I = 0 6) 2z3 – 9z2 + 14z – 5 = (2z – 1)(z2 + xz + y)
7) z4 – 4z2 – 16z – 16 =(z2 – 2z – 4)(z2 + xz – y)
8) z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + 2 =(z2 + 1)(z2 - xz – y)
9) z3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 - xz + y)
10) z3 – 2(1 + i)z2 + 4(1 + i)z – 8i = (z –ai)(z2 + bz + c) (a, b , c R)
Bài 4: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa mãn điều kiện sau.
1) |z – 1 – i| = 1 2) |z + 3i + 4| < 2
3) | z - 2z + i| = 2 4) |z + z + 3 – i| > 3
5) |z - z + 1 + i| = 2 6) 2|z – i| = |z - z + 2i|
7) |2i - 2z| = | 2z – 1| 8) |2iz – 1| = 2|z + 3|
9) |z2 - z2 | = 4 10) |z + 2| + |z – 2| = 6
11) |z + 3|2 + | z – 3|2 = 20 12) |z – 2| = x + 3
13) | z – 2| - | z + 2| = 6 14) | z + 4| = y – 5
15) (2 – z)(i + z) là 1 số thực tùy ý 16) (2 – z)(i + z) là 1 số ảo tùy ý
17) là 1 số thực ?
i
z
i
z
18) k , k là 1 số thực dương ?
i z
z
Bài 5 : Tìm các số phức thỏa điều kiện sau.
4
i
z
i
z
i
i z z
2 1
3 1
3) 1 1 và
i
z
z
1
3
i z
i z
4) 1 và
3
1
z
z
1
2
i z
i z
Ví dụ 1: Giải phương trình: z4 ( 2 i ) z2 2 i 0 (1)
Giải : Đặt t z2 , khi đó phương trình (1) trở thành
) 1 ( 2 2
2 2
0 2 ) 2 (
2
i z
i z i t
t i
t i t
Ví dụ 2: Giải phương trình : 2 z4 7 z3 9 z2 7 z 2 0 (2)
Lop12.net
Trang 2Hướng dẫn ôn thi – Đại học môn Toán Số phức
Giải : Nhận thấy z 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế phương trình choz2 ta được:
0 9
1 7
1
z
z z
z
Đặt Khi dó phương trình (2) trở thành
z
z
2 1 2 2
3 1
2 5
1 0
5 7
2 2
z z
i z
t
t t
t
Ví d ụ 3: Giải phương trình:4 z4 ( 6 10 i ) z3 ( 15 i 8 ) z2 ( 6 10 i ) z 4 0 (3)
Giải : Nhận thấy z 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế phương trình choz2 ta được :
4 2 12 ( 6 10 ) 1 15 8 0 Đặt Khi dó phương trình (3) trở thành:
z z i z
z
z z
i z
i z z z
i t
t i
t
i
t
2 1 2 2 1 2
2 5 2
3 0
15 )
10
6
(
4 2
Ví dụ 4: Giải phương trình:z4 ( 3 i ) z3 ( 4 3 i ) z2 2 ( 3 i ) z 4 0 (4)
Giải : Nhận thấy z 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế phương trình choz2ta được:
2 42 ( 3 ) 2 4 3 0 Đặt Khi dó phương trình (4) trở thành:
z z i z
z
z z
t 2
Ví dụ 5: Giải phương trình : (z4)4(z6)482 (5)
HD: Đặt 5 Khi dó phương trình (5) trở thành:
2
6
t
10 5 7 3 10
4 0
40 6
2
2 2
4
i z z z i
t
t t
t
Ví dụ 6: Giải phương trình: ( z2 1 )2 ( z 3 )2 0(6) HD: Phương trình (6) tương đương với:
i z
i z
i z
i z
i iz z
i iz
z z
i z
z i z
z i z
2 1 1 1
2 1
0 3 1
0 3 1 )
3 ( 1
) 3 ( 1 )
3 ( ) 1 (
2 2 2
2 2
2 2 2
Ví dụ 7: Giải phương trình: 16 (7) HD:Phương trình (7) tương đương :
) 1 (
1
4
4 2
z z
2 2 1
2 2 1
2 2 1
2 2 1
) 1 ( 4 ) 1 (
) 1 ( 4 ) 1 ( ) 1 ( 16
)
1
(
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 4 4
2
z z
z z
i iz z
i iz z
z z
z i z
z z
3
1 2
1 2 1
0 3 2
0 1 2
0 2 1 2
0 2 1 2
2 2 2 2
z
i z
i z z
z z
z z
i iz z
i iz z
Ví dụ 8: Giải phương trình: z ( z 2 )( z 1 )( z 3 ) 10 .HD: Ta có:z(z2)(z1)(z3)10 (z22z)(z22z3)0
Đặt t z2 2 z Khi đó phương trình (8) trở thành:
6 1
1 5
2 0
10 3
2
z
i z t
t t
t
Lop12.net