Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x 0 = m cắt các ñường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích bằng diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến ñó với hai trục toạ ñ[r]
Trang 1Nguy n Văn Xá − THPT Yên Phong s 2 − B c Ninh 11
1 KH O SÁT HS VÀ M T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài 1 Cho hàm s 1 4 2 5
1 Kh o sát và v ñ th (C) c a hàm s
2 G i d là ti p tuy n c a (C) tai ñi m M có xM =a Tìm a ñ d c t tr l i (C) hai ñi m phân bi t P, Q khác M Tìm qu tích trung ñi m K c a ño n PQ
Bài 2 Cho hàm s y=x3−2x2+mx+ −m 1
1 Kh o sát và v ñ th (C) c a hàm s khi m = 1
2 Vi t phương trình ti p tuy n c a (C) bi t ti p tuy n song song v i ñư ng th ng y= +x 1 T ñó
bi n lu n theo k s nghi m và xét d u các nghi m c a phương trình x3−2x2− =k 0
3 Tìm m ñ hàm s ñã cho ñ ng bi n trên kho ng 1
0; 3
Bài 3 Cho hàm s 2x 1
x 2
+
= +
1 Kh o sát và v ñ th c a hàm s
2 Ch ng minh d: y = − x + m luôn c t (C) t i hai ñi m phân bi t A, B Tìm m ñ ñ dài AB nh nh t
3 Tìm a ñ phương trình 2sin x 1
a sin x + =2 + có hai nghi m phân bi t trên ño n [ ]0;π
Bài 4 Cho hàm s y=x3−3(m 1)x+ 2+2(m2 +4m 1)x+ −4(m 1)m.+
1 Kh o sát và v ñ th c a hàm s khi m = 0
2 Ch ng minh r ng khi m thay ñ i thì ñ th hàm s luôn ñi qua m t ñi m c ñ nh
3 Tìm m ñ ñ th hàm s c t Ox t i ba ñi m phân bi t có hoành ñ l n hơn 1
4 Tìm m ñ hàm s có c c ñ i, c c ti u Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ñ
th hàm s
Bài 5 Cho hàm s (m 1)x m
+ +
=
+
1 Khi m = 1: Kh o sát và v ñ th (C) c a hàm s ; tìm trên (C) nh ng ñi m có t ng kho ng cách ñ n hai ñư ng ti m c n nh nh t
2 Tìm m ñ ti p tuy n c a ñ th hàm s t i ñi m có hoành ñ x0 =m c t các ñư ng ti m c n t o thành tam giác có di n tích b ng di n tích tam giác t o b i ti p tuy n ñó v i hai tr!c to ñ
Bài 6 Cho hàm s y= − +x4 2(m 1)x+ 2−2m 1.−
1 Kh o sát và v ñ th (C) c a hàm s khi m = 0 Tính di n tích tam giác có ba ñ"nh là ba ñi m c c
tr c a (C)
2 Tìm m ñ ñ th hàm s c t Ox t i 4 ñi m phân bi t l p thành c p s c ng
3 Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trên kho ng ( )1; 2
Bài 7 Cho hàm s y=4x3−3x 1.+
1 Kh o sát và v ñ th (C) c a hàm s Bi n lu n theo k s nghi m c a PT 4x3−3x+2k=0
2 ði m A∈(C), xA =1.ðư ng th ng d ñi qua A và có h s góc m Tìm m ñ d c t (C) t i 3 ñi m phân bi t A, M, N
3 ði m P∈(C)tho mãn A M P M
− − Tìm qu tích ñi m P khi m thay ñ i
Trang 22 PHƯƠNG TRÌNH - H PT - B T PT Bài 8 Gi i phương trình
1) x x 12 3x 12 2) 4x 1 3x 2 3) 3(2 x 2) 2x x 6
5
+
Bài 9 Gi i b t phương trình 62 6
1 x x log x log x
x
− − +
−
Bài 10 Gi i h phương trình
2
x 1 7 y 4
xy 10 20 x
1 x y 19x
1) 2) 3)
y 1 7 x 4
Bài 11 Tìm m ñ t ng bình phương t t c các nghi m c a phương trình sau l n hơn 1
2
2 log (2x − +x 2m−4m )+log (x +mx−2m )=0
Bài 12 Gi i các phương trình, b t phương trình, h phương trình sau
1) x −3x+ +2 x −4x+ ≥3 2 x −5x+4 2) x −2x + ≥ −1 1 x
x 3) 2x 1− =x 16− 2x 1 4)x+ + +x 12 x 1+ =36 5) log (5x −8x+ >3) 2
2
4
ln(1 x) ln(1+y) = x y
x 3y 2 log 3
+ ≥ −
= +
Bài 13 Tìm m ñ phương trình x+ =3 m 1 x+ 2 có nghi m
Bài 14 Tìm m ñ b t phương trình m.4x +(m 1).2− x 2+ + − >m 1 0 nghi m ñúng v i m i x
3 LƯ NG GIÁC Bài 15 Cho
1 cos B 2a c
,
− ch ng minh r ng tam giác ABC là tam giác cân
Bài 16 Gi i phương trình lư#ng giác
4x
1) cos cos x 2) tan 2x.tan 3x.tan 5x tan 2x tan 3x tan 5x
Bài 17 Gi i phương trình lư#ng giác
2
sin co s
+
Bài 18 Gi i phương trình lư#ng giác
2
2 2
1)5sin x 2 3(1 sin x) tan x 2)(2 cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x s inx
3) cos 3x.cos 2x cos x 0 4)1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0
5)1 cos x cos 2x cos 3x 6)cos x sin x cos(x ) sin(3x
3
2 x
7) sin x(1 tan x tan ) 4 c otx 8)sin x 3 cos x sin x(cos x 3 sin x cos x)
2 9)2sin 2x sin 7x 1 s inx 10)(1 sin 2x) cos 2x (1 cos 2x) sin 2x 1 2sin 2x cos 2x
=
Trang 3Nguy n Văn Xá − THPT Yên Phong s 2 − B c Ninh 13
2
11)(sin x cos x) 3 cos 2x 2 12)2sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2 cos 2x
1 2(cos x sin x) sin 2x
2
3
2
4 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - NG D NG Bài 19 Tính
ln 2
3
1 cos x
π
−
−
Bài 20 Tuỳ theo tham s m, tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng y=x2 +x; y=3x−m;
x=0; x=1
Bài 21 Ch ng minh r ng v i m i n∈ ta có * 1 3 5 2n 1 2n
+
Bài 22 Tính
3
lnxdx tan xdx 1) 2) 3) x ln xdx 4) (x 2)e dx
cos2x x
π
−
Bài 23 Tính
1) 2) 3) 4)
e +2e− −3 + − (1−x) +
Bài 24 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i hai ñ th y= +(e 1)x; y= +(1 e )x.x
Bài 25 Tính tích phân
1
0
J=∫x x+m dx, v i m là tham s
5 HÌNH H C KHÔNG GIAN T NG H P Bài 26 Cho hình chóp t giác ñ%u S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD c nh a G i M, N l&n lư#t là
trung ñi m c a SB, SC Bi t r ng (SBC)⊥(AMND)
1 Tính di n tích t giác AMND
2 Tính th tích kh i chóp S.ABCD
3 Tính th tích kh i ña di n NMABCD
Bài 27 Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ có M, N, P l&n lư#t là trung ñi m c a AB, DD’, B’C’
Ch ng minh MN//(BDC’) và tính góc gi a hai ñư ng th ng MN, A’P
Bài 28 Cho hình lăng tr! ñ ng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, BC = b,
AA’ = c (c2 > a2 + b2) M't ph ng (P) qua A và vuông góc v i CA’ Xác ñ nh thi t di n c a lăng tr!
c t b i (P) và tính di n tích c a thi t di n ñó
Bài 29 Cho ABC∆ vuông cân có c nh huy%n BC = a Trên ñư ng th ng vuông góc v i (ABC) t i A
ta l y ñi m S sao cho góc gi a hai m't ph ng (ABC), (SBC) là 600 Tính SA
Bài 30 Cho hình chóp tam giác ñ%u S.ABC có c nh ñáy b ng a, g i M, N l&n lư#t là trung ñi m c a
SB, SC, và (SBC)⊥(AMN) Tính di n tích AMN.∆
Bài 31 Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh a, có I, J l&n lư#t là trung ñi m c a CD, A’D’
1 Ch ng minh B'I⊥C 'J
N
Trang 42 Trên các c nh AB, B’C’, CC’, D’A’ l&n lư#t l y các ñi m M, N, P, Q sao cho MB =xAB, B' N =xB'C ', CP =yCC ', D 'Q =yD 'A '. Tìm m i liên h gi a x và y ñ MN⊥PQ
Bài 32 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC=AB=AC=a, BC=a 2 Tính góc gi a hai ñư ng th ng AB, SC, và tính th tích kh i chóp S.ABC
6 PHƯƠNG PHÁP TO ð TRONG M T PH NG
(Các bài toán ph n này ñ u xét trong m t ph ng to ñ Oxy)
Bài 33 Cho hai ñư ng tròn (C ) x1 2+y2−(m+6)x+2my 5+ =0, (C ) x2 2 +y2−12x−6y+44=0
1 Khi m = 0: vi t phương trình ti p tuy n chung c a (C1) và (C2)
2 Tìm qu tích tâm c a ñư ng tròn (C1)
Bài 34 Cho hai ñi m A, B di ñ ng trên (P)y=x2 sao cho AB = 2 Gi s( xA < xB
1 Tìm qu tích trung ñi m c a ño n AB
2 Xác ñ nh A, B ñ di n tích hình ph ng gi i h n b i (P) và ñư ng th ng AB ñ t giá tr l n nh t
Bài 35 Cho A là giao c a hai ñư ng th ng x 2 t x 11 4t '
th ng ∆ qua M(5; 0), c t d, d’ l&n lư#t t i B, C sao cho di n tích∆ABM b ng 2 l&n di n tích ACM.∆
Bài 36 Cho elip (E) có hai tiêu ñi m và hai ñ"nh trên tr!c Oy cùng n m trên m t ñư ng tròn B n ñ"nh
c a (E) là b n ñ"nh m t t giác có di n tích 2 2 Vi t phương trình chính t c c a (E) G i M là ñi m
di ñ ng trên (E), F1 và F2 là hai tiêu ñi m c a (E) Tìm qu tích tr ng tâm c a tam giác MF1F2
Bài 37 Vi t phương trình ñư ng th ng d ñi qua O(0; 0) sao cho kho ng cách t A(−3; 5) t i d b ng 3
l&n kho ng cách t B(1; 1) t i d
Bài 38 ðư ng th ng d1 ñi qua A(1; 4) và c t d2: 2x + y − 1 = 0 t i B có xB = 1
4
− Vi t phương trình
ñư ng tròn ñi qua O(0; 0) và ti p xúc v i d1, d2
Bài 39 Cho ∆ABC có ñ"nh A(2; 1), ñư ng cao BH: x − 3y − 7 = 0, ñư ng trung tuy n CM:
x+ + =y 1 0 Tìm to ñ ñ"nh B, C
Bài 40 Tìm m ñ ∆: y=2x−m c t
64 + 9 = t i hai ñi m phân bi t A, B Tìm qu tích trung
ñi m I c a ño n AB
7 PHƯƠNG PHÁP TO ð TRONG KHÔNG GIAN
(Các bài toán ph n này ñ u xét trong không gian to ñ Oxyz)
Bài 41 Cho A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), (P): x + y + z − 2 = 0 Vi t phương trình m't c&u ñi qua
A, B, C và có tâm thu c (P)
Bài 42 Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ñi qua A(−4; −2; 4), vuông góc và c t
d : y 1 t
z 1 4t
= − +
= −
= − +
Bài 43 Cho hình chóp t giác S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi, AC c t BD t i g c to ñ O Bi t
A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ) G i M là trung ñi m c a c nh SC
1 Tính góc và kho ng cách gi a hai ñư ng th ng SA, BM
2 G i N =SD∩(ABM) Tính th tích kh i chóp S.ABMN
Bài 44 Cho A(−1; 2; 4), B(−2; 3; 5) Tìm ñi m M trên d :x 2 y 1 z 5
− = + = +
− ñ MA + MB nh
nh t
Trang 5Nguy n Văn Xá − THPT Yên Phong s 2 − B c Ninh 15
Bài 45 Cho A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4), :x 1 y 2 z
−
1 Vi t phương trình ñư ng th ng d ñi qua tr ng tâm G c a OAB∆ và vuông góc v i (OAB)
2 Tìm ñi m M thu c ∆ ñ MA2 + MB2 nh nh t
Bài 46 Cho A(1; 7; 1), B(5; 5; −3) Tìm ñi m M thu c m't ph ng (P): x + 2y − 2z + 1 = 0 sao cho
MA2 + MB2 nh nh t
Bài 47 Cho A(1; −1; 0), B(1; 0; 1) Tìm ñi m M thu c
d : y 1 t
= − +
= +
= −
ñ di n tích MAB∆ nh nh t
Bài 48 Cho hai ñư ng th ng 1 2
x 1 2t
z 1 t
= − −
= +
1 Xét v trí tương ñ i c a d1 và d2
2 Tìm hai ñi m M, N l&n lư#t thu c d1 và d2 sao cho MN//(P): x − y + z = 0 và MN = 2
Bài 49 Cho hình lăng tr! ñ ng ABC.A’B’C’ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2 ; 0), A’(0; 0; 2)
1 Ch ng minh A’C vuông góc v i BC’, và vi t phương trình m't ph ng (ABC’)
2 Vi t phương trình hình chi u vuông góc c a B’C’ trên (ABC’)
Bài 50 Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua M(3; 2; 1), vuông góc v i d :1 x 1 y 2 z
− = + =
và
c t 2
x t
d : y 2t 1
=
= +
= − +
Bài 51 Vi t phương trình m't c&u tâm M(1; 2; 3) và c t (P): 2x + 2y + z + 4 = 0 theo ñư ng tròn có
bán kính là 3 Tính di n tích và th tích kh i c&u tương ng
8 T H P - XÁC SU T - TH NG KÊ Bài 52 Tìm s h ng c a x5y3z6t6 trong khai tri n (x + y + z + t)20
Bài 53 Tính t ng 1 C2 1n +2 C2 2n +3 C2 2n + + n C (n2 nn ∈ *)
Bài 54 M t h p có 10 viên bi, g m 5 bi xanh, 3 bi ñ , 2 bi vàng
1 L y ng)u nhiên 5 viên bi t h p ñã cho Tính xác su t ñ 5 bi l y ra có ñ c ba lo i xanh, ñ , vàng
2 L y ng)u nhiên 6 viên bi t h p ñã cho Tính xác su t ñ 6 bi l y ra có ñ c ba lo i xanh, ñ , vàng
Bài 55 Cho khai tri n
n
bi t C3n =5C1n và s h ng th tư trong khai tri n trên b ng 20n Tìm x và n
Bài 56 Tìm n bi t C0n +2C1n +4C2n + + 2 Cn nn =243
Bài 57 T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th l p ñư#c bao nhiêu s nguyên dương có 6 ch s phân bi t
và ch s 2 ñ ng c nh ch s 3?
Bài 58 Tính t ng
+
+
N
Trang 6Bài 59 Tìm s h ng có h s l n nh t trong khai tri n (1 + 2x)n = a0 + a1x + … + anxn bi t r ng
Bài 60a C&n l p m t ñ% thi g m 7 câu ñư#c l y ng)u nhiên t m t ngân hàng g m 60 câu (trong ñó có
20 câu d*, 20 câu trung bình, 20 câu khó) Tính xác su t ñ ñ% thi ñư#c l p tho mãn c ba yêu c&u: s câu không ít hơn 2, s câu trung bình không ít hơn 1, s câu khó không ít hơn 1
9 S PH C Bài 61 Gi i phương trình trên t p s ph c z5−z4+z3−z2+ − =z 1 0
Bài 62 Tìm s ph c z th a mãn
1) |z| = 2 5, ph&n o c a z b ng hai l&n ph&n th c c a nó
2) z− + =(2 i) 10 và z z = 25
3) z2 = 3 – 4i
Bài 63 Tìm các s th c x, y bi t 2x − y +2i = 3y+ − − 1 (x 2)i.
Bài 64 Tìm t p h#p các ñi m trên m't ph ng Oxy bi u di*n s ph c z th a mãn
1) |z + 2i| ≤ 1 2) |z| = |2z – 4i| 3) |z + i| = |z –2|
10 B T ð NG TH C - GTLN, NN Bài 65 Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s f (x)= 2cos2x+4s inx trên ño n 0;
2
π
Bài 66 Cho x2 + = +x y 12 và y≤0, tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a A=xy+ +x 2y 17.+
Bài 67
1 Cho a, b, c dương Ch ng minh r ng
ab bc ca
2 Cho a, b, c dương, và a + b + c = 2abc Tìm giá tr l n nh t c a
Bài 68 Ch ng minh r ng n u x > 0 thì (x + 1)2
+ + ≥ 16
Bài 69 Cho 3 s dương a, b, c Ch ng minh r ng: + + + + + + + + ≥
Bài 70 Cho ba s dương a, b, c tho a2 + b2 + c2 = 1 Ch ng minh: + + ≥
Bài 71 Cho ∆ABC có 3 c nh là a, b, c và p là n(a chu vi Ch ng minh r ng
Bài 72 Cho 3 s x, y, z > 0 Ch ng minh r ng: + + ≤ + +
Bài 73 Cho a ≥ 1, b ≥ 1 Ch ng minh r ng: − + − ≤
Bài 74 Cho a > 0, b > 0, a + b = c
1 Ch ng minh r ng n u m > 1 thì am + bm < cm
2 Ch ng minh r ng n u 0 < m < 1 thì am + bm > cm
*
d
Bài 60b L y tuỳ ý m t s nguyên dương có 6 ch s Tính xác su t ñ s l y ra là s có m t 3
s 1, 2 ch s 2, và 1 ch s 3
ch
Trang 7Nguy n Văn Xá − THPT Yên Phong s 2 − B c Ninh 17
11 GI I H N VÀ LIÊN T C Bài 75 Cho hàm s
2x khi x 0
sin khi x 0 2
=
<
1 Ch ng minh f(x) liên t!c t i x0 = 0
2 Ch ng minh t i x0 = 0 hàm s không có ñ o hàm, nhưng f(x) ñ t c c ñ i t i ñi m ñó
Bài 76 Tìm gi i h n
3
4
Bài 77 Tìm a b ñ hàm s
2
ax b khi x 1
f (x)
1 lnx khi x 1
=
có ñ o hàm t i x = 1 Khi ñó hãy vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th hàm s t i ñi m có hoành ñ x = 1
12 BÀI TOÁN T NG H P Bài 78 Ch ng minh r ng phương trình 3x5 − 15x − 13 = 0 có nghi m duy nh t x0 Và ch ng minh
r ng 9 260 0
x 2
3 < <
Bài 79 Cho hai hàm s
1 Ch ng minh r ng f(x) là hàm ch-n, g(x) là hàm l (trên )
2 Tìm giá tr nh nh t c a f(x) trên
3
a
(x 1)
1
0
f '(0) = −22; f (x)dx∫ =5
Bài 81 Tìm ba s th c x, y, z sao cho ba s x, 1 z, y 1− − theo th t l p thành c p s c ng, và ba s
2 2
− − + + − theo th t l p thành c p s nhân
Bài 82 Ch ng minh r ng phương trình xx 1+ =(x 1)+ xcó m t nghi m dương duy nh t
Bài 83 Tìm m ñ phương trình m( 1 x+ 2 − 1 x− 2 + =2) 2 1 x− 4 + 1 x+ 2 − 1 x− 2 có nghi m
Bài 84
1 So sánh hai s 20092010 và 20102009
2 So sánh hai s 20092009 và 20102010
R R
Năm tháng s trôi qua m t cách vô v ñ i v i nh ng ai nhìn tương lai qua m t c p kính vi n
v ng c a nhà thông thái và ch bi t hái hoa c a hi n t i, nhưng ai bi t s d ng th i gian gi ng như m t cái cây c m i năm cao thêm m t ng n, thì h s có h nh phúc!