bài toán đối ngẫu

tài liệu tham khảo rất hay

2.1 Dinh nghĩa bài toán đối ngẫu

2.1.1 Định nghĩa

Xét bài toán quy hoạch tuyên tính gốc (P)

ƒ =cx +c,x*,+ +c x — min(max) lax+a„x,+ +ax <Sb;iel(D ax.+a„x,+ +a x >b;iecl (2) ax.+d„xX,+ +a x =b;iel (3)

P)‹ x,>0;7cJ,(4)

x, ER je J; (6)

Bài toán sau đây được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán

(P), ta gọi là bài toán (Q)

g=by,+b,y,+ +b,y, — max(min)

AY, +a, y,+ 44,,Y,, 2 Cj;J€ J, (5')

| 7

VD21: Viét bai toan d6i ngau (Q) biét

f =2x, —x, +3x,+%x,-2x,—> min

(x, +x,+2x,—x,+x, <12

2X, —X,+3x,+2x, 2-5

—X,+3x, —2x,-x, =6 (P)5 3x, +2x, -x,+x, 23

X,,X; 2 0

Xx, <0 (Xy,X, EIR

Giải: Bài toán đối ngẫu của bài toán (P) là bài toán sau:

ø =l2y¡ 5y; +6y; + 3y, —> max

2.1.2 Cách thành lập bài toán đôi ngẫu

VD22: Viết bài toán đôi ngẫu (Q) biết

Giải: Bài toán đôi ngẫu của bài toán (P) là bài toán sau:

ƒ =4y, + /y; +6y, + 3y, —> maX

Lưu ý: Ta có đôi ngâu của bài toán đôi ngâu chính là bài

toán gốc ban đâu

| 7

ey rn ir

2.2 Môi liên hệ øiữa bài toán øôc và bài toán

đôi ngẫu

Ta xét bài toán quy hoạch tuyên tính sốc dang tim min

2.2.1 Dinh lý 1 (Đổi ngẫu yêu)

Cho +, y theo thứ tự là phương án của bài toán gốc và đôi

ngau ta co f(x) = g(y)

Lưu ý: Từ định lý nêu ta có phương án của bài toán gốc va

d6i ngau theo thir tu la x, y ma f(x) = g(y) thi x, y lần lượt là

phương án tôi ưu của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu

2.2.2 Định lý 2 (Đổi ngẫu mạnh)

Nêu một trong hai bài toán có phương án tôi ưu thì bài

toán đôi ngẫu của nó cũng có phương án tôi ưu và giá trị tôi ưu của các hàm mục tiêu của chúng là băng nhau,

2.2.3 Dinh ly 3 (Dinh lý tôn tại)

Mot cap bai toan va bai toan đôi ngẫu của nó chỉ có thê

xảy ra một trong 3 khả năng loại trừ sau:

— Cả hai bài toán đêu không có phương án

— Cả hai bài toán đêu có phương án, khi đó cả hai cùng

có phương án tối ưu và giá trị tôi ưu của hai hàm mục

tiêu là băng nhau

— Một bài toán có phương án còn bài toán kia không có phương án, khi đó bài toán có phương án sẽ không có phương án tôi ưu và hàm mục tiêu không bị chặn trong

2.2.4 Dinh ly 4 (Dé léch bù)

Một cặp phương án x, y của bài toán gốc và đôi ngẫu là

phương án tôi ưu khi và chỉ khi chúng nghiệm đúng hệ

vn sau

Luu y: b;— 2a;x; la do lech o rang budc thu 7 o bai toan gc

Và €; — Sa, ;;y, là độ lệch ở ràng buộc thứ 7 ở bài toán đôi ngẫu

2.3 Giải bài toán đôi ngẫu

Gia:

Ta có bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho:

g = 6y, + 8y, > max

l-y,=0 hay y,=1

Suy ra phương án tôi ưu của bài toán đôi ngẫu là

y* =(1l, 3/2) và ø„„„=6.l + 8.(—3/2) = —6 = lie

VD24: Cho bài toán gốc

ƒ=XịT Xa? *⁄; T X¿+ X;—> mịn

- 3X, +X, +X; = |

SX, +X +X, +X, = 3 2X, + 5X, +X, +X5=8

~ x, 20, J=1,2,3,4,5

có phương án tối ưu là x* = (0, 1, 0, 2, 3) và giá trị tôi ưu

là ƒ,„„ = 6 Tìm phương án tôi ưu của bài toán đối ngẫu

8 =ÿy¡ T 3y, + 8y; > max

2.3.2 Dùng bảng đơn hình của bài toán gốc

VD25: Giải bài toán gốc

fHXxX,- 2x, + 2X; > mịn Xi+Xs + 4x,= 6

2X +X, 4+ 5x,= 8

x, 20, j=1,2,3,4 Suy ra phương án tối ưu của bài toán đôi ngẫu

CHảI:

Phương án cực biên ban đầu x0 = (6, 0, 8, 0)

Xy 0 3/2 1/4 | 1/4 0 l 6 X; 2 1/2 -5/4 | 3/4 l QO | [2/3]

x, | 0 | 43 |(2⁄3)| 0 |-13| 1 |ÐỊ

x | 2 | 23 |-53 | 1 | 4⁄34 | 0

~ x; 20, J=1,2,3,4,5

Suy ra phương án tôi ưu của bài toán đôi ngâầu

Giai:

Phuong an cuc bién ban đầu x0 = (0, 0, 1, 3, 8)

Lap bang don hinh

Phuong an toi uu x* = (0, 1, 0, 2, 3), f., = 6

Biên cơ sở ở bước lặp đâu tiên là x,, x,va x, suy ra phuong

án tôi ưu của bài toán đôi ngâu cho bởi:

y, =A, +¢;=-6+1=-5 [Y=Arte,=0+1=l

Ya=As+c¿=Ú+l=l

*Ouy tac: Néu co so ban dau la ma tran don vi thi dé tim lời giai cua bai toan doi ngau, ta chon ra tu bang don hinh cuoi cùng các ước lượng A, của các biên cơ so x, 6 bang don

hình đâu tiên rồi cộng thêm hệ sô c, tương ứng

j 21

2.4 Phuong phap don hinh doi ngau

Phương pháp đơn hình đôi ngẫu thường áp dụng cho các bài

toán có săn ma trận đơn vị nhưng có hệ số b,< 0 Xuất phát

từ một “giả phương án” nghĩa là vectơ thoả mãn các điêu

kiện nhưng không thoả mãn ràng buộc về dâu

— Tìm một “giả phương án”

— Lap bang don hình đối ngẫu Nếu các phân tử trong cột giả phương án đêu không âm thì ta có phương án tôi ưu

- Dòng quay z là dòng có chứa phân tử âm nhỏ nhất

trong cột giá phương án

- Cột quay là cột s tương ứng với tỷ sô nhỏ nhất trong

các tỷ số A,/z„„ VỚI z„ < 0

VD27: Dùng phương pháp đơn hình đối ngẫu, giải bài toán

ƒ=x¡+† 2Xx;¿+ 3x: + 4x, min

X, +X + xX,+ 4x, 2 6 4x; + xa+ x⁄› + x¿>9 xz>0,7=1,2,3,4

Gia phuong an (0, 0, 0, 0, —6, —9)

Lap bang don hinh d6i ngau:

VD28: Dùng phương pháp đơn hình đối ngẫu, giải bài toán

ƒ= l5x¡+ l2x;+ lÚx:› > mịn 3x, + 4x, + 2x, 2 160

x, | 12 25 7/8 0 -3/8 4 x; | 10 30 -1/4 l 1/4 | -1/2

Phương án tôi ưu x* = (0, 25, 30, 0,0, 0)

= fix*) = 600 Giá trị tôi ưu ƒ

m in