Bài toán đối ngẫu

Trang 1

4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỐI

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

CHƯƠNG 2

Mục đích và ý nghĩa Với bài toán QHTT, bài toán gốc, ký hiệu là P (Primal), chúng ta có thể thiết lập bài toán QHTT khác, bài toán đ ái ngẫu, ký hiệu là D (Dual), sao cho từ lời giải của bài toán này ta có thể thu thập được thông tin về lời giải của bài toán kia Để có thông tin cần thiết về bài toán gốc, có thể nghiên cứu trên bài toán đ ái ngẫu của nó Hơn nữa, khi phân tích đ àng thời cả hai bài toán gốc và đ ái ngẫu, chúng ta có thể rút ra các kết luận có giá trị về mặt toán học lẫn về mặt ý nghĩa kinh tế.

THÀNH LẬP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Xét bài toán QHTT (P) dư ùi dạng chính tắc

Với x = (x 1 , x 2 , , x n ) n , b = (b 1 , b 2 , , b m ) m

Giả sử bài toán (P) có P.A.T.U là x opt và gọi x 0 là

một P.A của bài toán (P), ta có c t x opt c t x 0

Gọi x = (x 1 , x 2 , , x n ) n , với x 0 sao cho

Ax b 0 Bài toán tương đương:

0

t P

x

0

m

Gọi g(y) là hàm mục tiêu của bài toán (II), ta có g(y) = min{c t x + y t (b Ax)}, với x 0.

c t x + y t (b Ax), với x 0.

Nếu x là P.A của bài toán (I) thì b Ax = 0 và g(y) c t x Vậy g(y) là một cận dư ùi bất kỳ của hàm mục tiêu.

Ta tìm cận dư ùi lớn nhất Max{g(y)}, thật vậy g(y) = min{c t x + y t (b Ax)}, với x 0.

= min{c t x + y t b y t Ax}, với x 0.

= min{y t b + (c t y t A)x}, với x 0.

= y t b + min{ (c t y t A)x}, với x 0.

Xét

Vậy ta được

g(y) = y t b Suy ra bài toán đ ái ngẫu có dạng

Hay bài toán tương đương

t t

t

x 0

min c

t t

t

y A x

0

t t m

Ví dụ 2.1.

Bài toán đ ái ngẫu của bài toán QHTT sau đây là bài toán

0 1, 5

j

1

2 3

3

1 2

6

D

y

Trang 2

VD2.2 VD2.3 VD2.4 VD2.5 VD2.6 VD2.7

Ẩn thứ i Ẩn thứ j

Ràng buộc thứ j Ràng buộc thứ i

Hàm mục tiêu Hàm mục tiêu

Bài toán đ ái ngẫu (D) Bài toán gốc (P)

1

1,

n

ij j i j

1

n

P j j

j

1

, 1,

m

ij i j i

0, 1,

j

không ràng buộc

0, 1,

i

không ràng buộc

1

m

D i i

Ví dụ 2.2 Viết bài toán đ ái ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đ ái ngẫu của bài toán QHTT Các cặp đ ái ngẫu

0 1, 2

j

f x x x x x

( ) 3 4 max

0, 0

D

Bài toán đ ái ngẫu

Ví dụ 2.3 Viết bài toán đ ái ngẫu và chỉ ra các

cặp ràng buộc đ ái ngẫu của bài toán QHTT

Các cặp đ ái ngẫu

( ) 2 8 max

0 1, 2

j

f x x x x

( ) 28 10 15 min

0, 0

D

Ví dụ 2.4 Viết bài toán đ ái ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đ ái ngẫu của bài toán QHTT Bài toán đ ái ngẫu

1 2 3

( ) 4 3 8 m in

0 1, 3

j

x x x

Các ràng buộc đ ái ngẫu

1 2

0; 1, 2

D

j

y y

Ví dụ 2.5 Viết bài toán đ ái ngẫu và chỉ ra các

cặp ràng buộc đ ái ngẫu của bài toán QHTT

1 2

0; 1, 2

j

f x x x

x x

Ràng buộc đ ái ngẫu

1 2 3

D

j

y y y

ĐỊNH LÝ 1.

Nếu một trong hai bài toán đ ái ngẫu nhau có P.A.T.Ư thì bài toán kia cũng có P.A.T.Ư và giá trị hàm mục tiêu của chúng bằng nhau.

HỆ QUẢ 1.

Điều kiện cần và đ û đ å cho các bài toán đ ái ngẫu nhau có phương án tối ưu là mỗi bài toán có ít nhất một phương án.

HỆ QUẢ 2.

Điều kiện cần và đ û đ å cho các bài toán đ ái ngẫu nhau không có P.A.T.Ư là một bài toán có P.A còn bài toán kia không có P.A.

CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU

Trang 3

ĐỊNH LÝ 2.(ĐỊNH LÝ Đ Ä LỆCH BÙ YẾU)

Điều kiện cần và đ û đ å cặp bài toán đ ái ngẫu

nhau có P.A.T.Ư là trong cặp ràng buộc đ ái

ngẫu, nếu ràng buộc này xảy ra với dấu bất

đ úng thứ ngặt (> hoặc <) thì ràng buộc kia

xảy ra với dấu đ úng thứ

Nghĩa là, với X opt = (x 1 opt , x 2 opt , ., x n opt ), Y opt =

(y 1 opt , y 2 opt , , y m opt ) lần lư ït là P.A.T.Ư của bài

toán gốc và bài toán đ ái ngẫu, ta có

Nếu x j opt > 0 thì

Nếu thì y i opt = 0

1

m opt

ij i j i

a y c

, 1

n opt

ij j i j

ĐỊNH LÝ 3.(ĐỊNH LÝ ĐỘ LỆCH BÙ MẠNH) Nếu cặp bài toán đ ái ngẫu nhau nhau có P.A.T.Ư thì tồn tại một cặp phương án sao cho trong các cặp đ ái ngẫu, nếu ràng buộc này xảy ra với dấu

đ úng thứ thì ràng buộc kia xảy ra với dấu bất

đ úng thức ngặt.

Nghĩa là, với X opt = (x 1 opt , x 2 opt , ., x n opt ), Y opt = (y 1 opt , y 2 opt , ., y m opt ) lần lư ït là P.A.T.Ư của bài toán gốc và bài toán đ ái ngẫu, ta có

Nếu x j opt = 0 thì tồn tại Nếu thì tồn tại y i opt 0 (> hoặc <).

1

m opt

ij i j i

1

n opt

ij j i j

a x b

Ví dụ 2.6 Cho bài toán QHTT

có P.A.T.Ư của bài toán đ ái ngẫu là y opt = (2, 3)

và f(y opt ) = 19 Hãy tìm P.A.T.Ư của bài toán trên.

1 2 3

( ) 4 3 8 min

0, 1,3

j

x x x

ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU

1 2

D

y y

Các cặp ràng buộc đ ái ngẫu

Thay y opt = (2, 3) vào các ràng buộc Từ (1): y 1 = 2 < 4 x 1 = 0 (định lý 2).

Thay x 1 = 0 vào hpt của bài toán gốc

Vậy, P.A.T.Ư của bài toán gốc là x opt = (0,1,2) và

f(x opt )= f D (y opt ) = 19.

2 3

0

x

3

2 3

2

x

Có P.A.T.Ư là x opt = (0,14, 6, 5) và f(x opt ) = 54 Hãy

tìm P.A.T.Ư của bài toán đ ái ngẫu.

1 2 3 4

0 1, 4

j

1

( ) 5 0 1 6 2 3 m i n

2

0 ; 0

D

y

Các cặp ràng buộc đ ái ngẫu

x 1 0 và 5y 1 3y 2 + 4y 3 2 (1)

x 4 0 và 6y 1 + 2y 2 + y 3 4 (4) -3x 1 + x 3 + 2x 4 16 và y 2 0 (5) 4x 1 + 3x 3 + x 4 23 và y 3 0 (6)

Thay x opt = (0, 14, 6, 5) vào các ràng buộc Từ (2): x 2 = 14 > 0 y 1 = 2.

Từ (3): x 3 = 6 > 0 y 1 + y 2 + 3y 3 = 1

Từ (4): x 4 = 5 > 0 6y 1 + 2y 2 + y 3 = 4

Giải hệ phương trình trên, ta có y 1 = 2; y 2 = -23/5;

y 3 = 6/5 Vậy, P.A.T.Ư của bài toán đ ái ngẫu là

y opt = (2, -23/5, 6/5) vàf D (y opt ) = 54.

Trang 4

Xét các vectơ sau X = (3, 0, 11, 0), Y = (2, 1, 8, 0),

Z = (-4, 2, 0, 10) và T = (1, 2, 1, 2) Vectơ nào là

P.A.T.Ư của bài toán?

Cách giải.

1 Kiểm tra các vectơ có phải là P.A hay không?

2 Viết bài toán đ ái ngẫu,

3 Kiểm tra các P.A có phải là P.A.T.Ư.?

1 2 3

3

0 1, 4

j

1 Kiểm tra trực tiếp, ta thấy X, Y, và T là P.A của bài toán Vì Z không thỏa mãn các ràng buộc nên Z không là P.A của bài toán.

2 Bài toán đ ái ngẫu

Ta có 7 cặp ràng buộc đ ái ngẫu

1 2 3

3

1 0

D

y

x 1 0 và y 1 + y 2 3y 3 -1 (1)

x 2 0 và 3y 1 + y 2 2 (2)

x 3 0 và y 3 1 (3)

x 4 0 và y 1 + y 3 0 (4)

x 1 + 3x 2 x 4 5 và y 1 0 (5)

x 1 + x 2 3 và y 2 0 (6)

-3x 1 + x 3 + x 4 2 và y 3 0 (7)

3 Kiểm tra X, Y, T là P.A.T.Ư

Giả sử X = (3, 0, 11, 0) là P.A.T.Ư của bài toán.

Từ (1): x 1 = 3 > 0 y 1 + y 2 3y 3 = -1

Từ (3): x 3 =11 > 0 y 3 = 1

Từ (5): 3 + 0 + 0 + 0 = 3 < 5 y 1 = 0

Giải hệ phương trình, ta được X * = (0, 2, 1).

Dễ dàng kiểm tra vectơ X * = (0, 2, 1) thỏa các ràng buộc của bài toán đ ái ngẫu.

Hơn nữa, f D (X *)= f(X)= 8 nên X là P.A.T.Ư của bài toán gốc.

Do Y = (2, 1, 8, 0) là P.A của bài toán gốc và

f(X) = f(Y)= 8 nên Y cũng là P.A.T.Ư.

Với T = (1, 2, 1, 2), ta cóf(T)= 4 f max = 8

Vậy T không phải là P.A.T.Ư mà T chỉ là phương án của bài toán.

Ví dụ 2.9 Giải bài toán QHTT

1 2 3

j

x x x

1 2 3 1 2 3

D

j

y y y

Ví dụ 2.10

Đưa bài toán về dạng chính tắc bằng cách thêm 3 ẩn phụ y 4 0, y 5 0, y 6 0

Ta thấy bài toán cũng có dạng chuẩn.

Sử dụng thuật giải đơn hình

D

j

Trang 5

HỆ SỐ

ẨN C.B

P.A

1

4

y

5

y

6

y

0 0 0

10 8 19

2 1 1

3 0

0 1

1

2

5

0 0

0

0 1

1 1

y

5

y

6

y

6 0 0

Bài toán có P.A.T.Ư y opt =(4, 0, 2) và f(y opt )= 34 P.A.T.Ư của bài toán gốc là

HỆ SỐ

ẨN C.B

P.A

1

y

3

y

6

y

6 5 0

GHI CHÚ

1 4 4

2 5 5

3 6 6

opt

7 7

3 3 1

3 3 2

3

0 0

0 0 0

opt

x

Cách 2: dùng định lý đ ái ngẫu

x 1 0 và 2y 1 + 3y 2 + y 3 10 (1)

x 3 0 và y 1 + 2y 2 + 5y 3 19 (3)

2x 1 + x 2 + x 3 6 và y 1 0 (4)

x 1 + 2x 2 + 5x 3 5 và y 3 0 (6)

Ta có P.A.T.Ư của bài toán đ ái ngẫu y opt = (4,0,2)

Từ (3): 4 +2 0 + 5 2 = 14 < 19 x 3 = 0.

Từ (4): y 1 = 4 > 0 2x 1 + x 2 + x 3 = 6

Từ (6): y 3 = 2 > 0 x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 5

Giải hệ phương trình, ta có PA.T.Ư của bài toán

gốc làx opt = (7/3, 4/3, 0) và f(x opt ) = 34.

GHI CHÚ Chúng ta cũng có thể sử dụng quy tắc sau đây đ å tìm P.A.T.Ư của bài toán đ ái ngẫu:

Với các ẩn cơ bản x j (j = 1, 2, , m) trong P.A.C.B

đ àu tiên lập thành ma trận đơn vị cấp m tương ứng với các j trong bảng cuối cùng.

Trong Ví dụ 2.9, ẩn cơ bản đ àu tiên của bài toán

đ ái ngẫu là y 4 , y 5 và y 6 thì P.A.T.Ư của bài toán gốc (đ ái ngẫu của bài toán đ ái ngẫu) là

X opt = (7/3, 4/3, 0) và f(X opt ) = 34.

1 1 1

2 2 2

opt

y

Do Lemke G.E đ à xuất năm 1954 Đây là thuật

giải đơn hình được áp dụng vào bài toán đ ái

ngẫu nhưng đ å tìm P.A.T.Ư cho bài toán gốc.

Thuật giải đơn hình đ ái ngẫu xuất phát từ một

phương án giả thỏa các ràng buộc chính của

bài toán (nghiệm đ ùng Ax = b) nhưng không

thoả điều kiện ràng buộc về dấu (x 0), nghĩa là

bảng đơn hình đ àu tiên không có phần tử d ơng

trong dòng mục tiêu (dòng cuối) nhưng lại có

phần tử âm trong cột phương án.

Thuật giải này thư øng được áp dụng khi chư

biết P.A.C.B nào của bài toán gốc nhưng lại có

sẵn một P.A.C.B của bài toán đ ái ngẫu.

THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU

Đúng

Sai Đúng Sai

Đúng

XÁC ĐỊNH PHƯƠNG ÁN MỚI Aån ra :

Aån vào :

P.A.T.Ư KẾT THÚC

BÀI TOÁN KHÔNG CÓ P.A.T.Ư

0

b

0

ij

j j a

ij

a

Sai

ĐƠN HÌNH

Trang 6

Ví dụ 2.10 Giải bài toán QHTT trong Ví dụ 2.9

bằng thuật giải đơn hình đ ái ngẫu.

Đưa bài toán về dạng chính tắc, rồi sau đ ù

nhân (1) cho các ràng buộc đ úng thức, ta có

bài toán dạng chính tắc như sau

Xuất phát từ phương án giả X = (0,0,0,6,2,5)

Ta có bảng đơn hình đ ái ngẫu như sau

( ) 10 8 19 min

0, 1, 6

j

0 0

5

14

3 0 30 f(x)

1 0

½ 9/2

3/2 0

2

x 6 0

0 1

3/2

½ 3/2 0 7

x 5 0

0 0

½

½ 1 3

x 1 10

0 0 0

19

8

10 0 f(x)

1 0 0

5

2

1

5

x 6 0

0 1 0

2 0

3

2

x 5 0

0 0 1

1

2

6

x 4 0

x 6

x 5

x 4

x 3

x 2

x 1

0 0 0 19 8 10 P.A Ẩn C.B

Hệ số

Vậy, P.A.T.Ư của bài toán là x opt = (7/3, 4/3, 0)

và f(x opt ) = 34.

2 0

4

23 0 0 34 f(x)

2/3 0 1/3

3 1 0 4/3

x 3 8

1 1

2 4 0 0 5

x 5 0

1/3 0

2/3 2 0 1 7/3

x 1 10

x 6

x 5

x 4

x 3

x 2

x 1

0 0 0 19 8 10 P.A Ẩn C.B

Hệ

số

GHI CHÚ Đối với thuật giải đơn hình đ ái ngẫu,

đ å tìm P.A.T.Ư của bài toán đ ái ngẫu Y opt , ta có biểu thức sau

Trong Ví dụ 2.10, ẩn cơ bản đ àu tiên của bài toán đ ái ngẫu là x 4 , x 5 và x 6 thì

P.A.T.Ư của bài toán đ ái ngẫu là Y opt = (4, 0, 2) và

f * (Y opt ) = 34.

1 1 1

2 2 2

opt

y

1 4 4

2 5 5

3 6 6

opt

1 2 3

( 4) 0 4

0 0 0 ( 2) 0 2

y y y

Ví dụ 2.11.

Dùng thuật giải đơn hình đ ái ngẫu đ å giải bài

toán quy hoạch tuyến tính sau đây

Xuất phát từ phương án giả X = (0, 0, 0, 6, 2, 5)

Ta có bảng đơn hình đ ái ngẫu

0, 1, 7

j

0 0

5 0

2

4 0 0 f(x)

1 0 4 0 1 1 0 6

x 7 0

0 1

1 0 2 0 0 2

x 6 0

0 0

1 1 1 4 0

4

x 4

1

0 0

2 0 0

2 1

2

x 1 2

x 7

x 6

x 5

x 4

x 3

x 2

x 1

0 0 2

1 1

4 2 P.A Ẩn C.B

Hệ số

0 0 0

5

7

24 0 20 f(x)

1 0 0 4 5 17 0

10

x 7 0

0 1 0

1 1

4 0 6

x 6 0

0 0 1

1

4 0 4

x 5

1

0 0 0

2

10 1 6

x 1 2

Do a 4j 0,

j = 1, , 7 nên bài toán trên không có P.A.T.Ư.

Trang 7

1 TÌM PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU MỚI KHI CÓ

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG THUẬT

3 Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI TOÁN QUY

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU TRONG BÀI TOÁN QHTT

Ví dụ 2.12.

a) Dùng thuật giải đơn hình đ ái ngẫu đ å giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây

b) Nếu thêm một ràng buộc nữa x 1 + x 2 + x 3 60 vào bài toán trên, tìm phương án tối ưu của bài toán mới.

j

Đưa bài toán về dạng chính tắc, rồi sau đ ù

nhân (1) cho các ràng buộc đ úng thức, ta có

bài toán dạng chính tắc như sau

a) Xuất phát từ phương án giả X = (0, 0, 0, 160,

140 Ta có bảng đơn hình đ ái ngẫu

0, 1,5

j

MỘT SỐ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU

0

3

4 0

6 480 f(x)

1

½

2 0

½

60

x 5 0

0

¼

½ 1

¾ 40

x 2 12

2

2 0 0

7 600 f(x)

½

¼ 1 0

¼ 30

x 3 10

¼

3/8 0 1 7/8 25

x 2 12 P.A.T.Ư là x opt = (0, 25, 30) và f(x opt ) = 600.

0 0

10

12

15 0 f(x)

1 0

3

2

1

140

x 5 0

0 1

2

4

3

160

x 4 0

x 5

x 4

x 3

x 2

x 1

0 0 10 12 15 P.A Ẩn C.B

Hệ Số

b) Do x opt = (0, 25, 30) không thỏa ràng buộc x 1

+ x 2 + x 3 60 nên x opt không phải là phương án

của bài toán mới Để xử lý ràng buộc mới này,

ta đưa ràng buộc bất đ úng thức về ràng buộc

đ úng thức bằng cách thêm ẩn phụ x 6 0, ta

được x 1 x 2 x 3 + x 6 = 60

Sử dụng bảng cuối cùng trong câu a) và đưa

ràng buộc mới x 1 x 2 x 3 + x 6 = 60 vào bảng

trên Lưu ý ẩn x 6 là ẩn cơ bản trong bài toán

mới, còn x 4 và x 5 là ẩn cơ bản trong bài toán cũ

nên trong ma trận hệ số của bài toán mới ta

cộng dòng 1 và dòng 2 vào dòng 3 đ å vectơ

cột ứng với x 4 và x 5 là các vectơ đơn vị.

0

2

2 0 0

7 600 f(x)

1

¼

1/8 0 0

3/8

5

x 6 0

0

½

¼ 1 0

¼ 30

x 3 10

0

¼

3/8 0 1 7/8 25

x 2 12

0

2

2 0 0

7 600 f(x)

1 0 0

1

60

x 6 0

0

½

¼ 1 0

¼ 30

x 3 10

0

¼

3/8 0 1 7/8 25

x 2 12

x 6

x 5

x 4

x 3

x 2

x 1

0 0 0 10 12 15 P.A Ẩn C.B

Hệ số

Trang 8

MỘT SỐ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU

P.A.T.Ư là x /

opt = (0, 20, 40) và f(x /

opt ) = 640.

8 0

1 0 0

4 640 f(x)

4 1

½ 0 0 3/2 20

x 5 0

2 0

½ 1 0

½ 40

x 3 10

1 0

½ 0 1

½ 20

x 2 12

x 6

x 5

x 4

x 3

x 2

x 1

0 0 0 10 12 15 P.A

Ẩn C.B

Hệ

số Tìm nghiệm không âm của hệ phương trình

tuyến tính AX = b, X 0 (1), trong đ ù A là ma trận m n, b m có thể quy về giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán (2) luôn luôn có P.A.T.Ư vì (0,b) là một P.A và hàm mục tiêu bị chặn [f(x) 0] Giả sử P.A.T.Ư của bài toán trên là (x opt , x g

opt ), nếu x g

opt = 0, j thì x opt là nghiệm của bài toán (1) Ngư ïc lại nếu tồn tại x g

j 0 thì bài toán (1) vô nghiệm.

TÌM NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1

min

2

m g j j g g

Ví dụ 2.1.Tìm nghiệm không âm của hệ phương

trình tuyến tính

Ta có thể quy bài toán trên về bài toán QHTT

Giải bài toán trên, ta được P.A.T là (x opt , x g

opt )

= (3, 1, 2, 0, 0, 0) Vậy nghiệm không âm của hệ

phương trình tuyến tính trên là x = (3, 1, 2).

TÌM NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

4 5 6

( )

0, 1, 6

j

Xét bài toán gốc là bài toán khẩu phần thức ăn

c n

c j

c 2

c 1 Giá một đơn

vị thức ăn

b m

a mn

a mj

a m2

a m1 m

b i

a in

a ij

a i2

a i1 i

b 2

a 2n

a 2j

a 22

a 21 2

b 1

a 1n

a 1j

a 12

a 11 1

n

j

2 1

Mứ dinh dưỡng tối thiểu

Thức ăn Chất dinh

d ỡng (%)

Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Gọi x j (j = 1, 2, , n) là số đơn vị thức ăn trong

mỗi bửa, ta có mô hình bài toán QHTT như sau

Chất dinh dưỡng thay thế: nhà sản xuất thuốc

bổ tương ứng với các chất dinh dưỡng trên.

min

0, 1,

n n

j

1 1 2 2

max

0, 1,

i

Gọi y i là giá bán một viên thuốc bổ có chứ chất dinh dưỡng i (i = 1, 2, , m)

Ngư øi chăn nuôi sẽ phải lựa chọn:

Mua thuốc bổ, nếu a 1j y 1 + a 2j y 2 + + a nj y n < c j

Vì giá thuốc bổ rẻ hơn và lúc này x j = 0 (định lý

đ ä lệch bù yếu).

Mua thức ăn, theo định lý đ ä lệch bù yếu, nếu y i > 0 thì a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i ,

Nghĩa là, nếu giá một viên thuốc bổ khá cao thì ngư øi chăn nuôi sẽ mua các loại thức ăn sao cho thoả nhu cầu tối thiểu của chất dinh dưỡng Vậy, khi phân tích cặp bài toán đ ái ngẫu nhau chính là phân tích tính T.Ư của từng bài toán.

Trang 9

LẬP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU [1] Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu của các bài toán quy

hoạch tuyến tính sau đây

a)

8 4

10 b)

[2] Chứng minh bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây trùng với bài toán đối ngẫu của

nó (Bài toán tự đối ngẫu).

1 1 1

SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU [3] Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

4 , 1 0

3 4

3 2

5

1 3

max 4

2 ) (

4 3 2

4 2

1

4 3 2 1

j x

x x x

x x

x

x x x x x f

j

a) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên

b) Giải bài toán gốc, suy ra lời giải của bài toán đối ngẫu

Đs:

)

b

Trang 10

24 2

9 6

6 3

12 2

3 2

min 6

27 12 ) (

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2 1

3 , 1

xj

x x

x

x x

x

x x

x

x x x x f

b) Giải bài toán đối ngẫu, suy ra

Đs

lời giải của bài toán gốc

:

54

D opt

[5]

)

54

opt

b

f x

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

4

j

ng án cực biên, suy biến hay không suy biến)

Đs

b) Phân tích tính chất (phươ của vectơ X = (0, 1, 0, 2, 0)

g án tối ưu của bài toán đối ngẫu.

: b) X = (0, 1, 0, 2, 0) không là P.A.C.B.

X là P.A.T.Ư

3

y y

[6] Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

0 0 2

j

Trong các vectơ trên, vectơ nào là phương án tối ư

Đs

Cho các vectơ:

X = (-1, 2, 3, 4); Y = (0,2,1,3); Z = (0, 0, 0, 8), T = (14, 0, 0, 1); S = (18, 2, 0, 0)

u của bài toán? Hãy giải thích.

: X, Y k hông phải là phương án.

Tiêu đề	Bài Toán Đối Ngẫu
Người hướng dẫn	Ths. Nguyễn Công Trớ
Trường học	Trường Đại Học Kinh Tế Quốc Dân
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Bài Tập
Năm xuất bản	2001
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	611,09 KB