Các bài toán biên đối với hàm siêu giải tích trên mặt phẳng phức

6 1.1.4 Bài toán Riemann-Hilbert đối với hàm chỉnh hình 6 1.2 Hàm siêu giải tích trên mặt phẳng phức.. 30 2 Các bài toán biên đối với hàm siêu giải tích trên mặt phẳng phức 35 2.1 Bài to

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Hà TiếnNgoạn Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầytrong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rấtnhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảngdạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên

và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập vàhoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Đỗ Thị Vui

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kếthừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biếtơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Đỗ Thị Vui

Mở đầu 1

1.1 Hàm chỉnh hình 3

1.1.1 Khái niệm hàm chỉnh hình 3

1.1.2 Các tính chất của hàm chỉnh hình 4

1.1.3 Bài toán Hilbert đối với hàm chỉnh hình 6

1.1.4 Bài toán Riemann-Hilbert đối với hàm chỉnh hình 6 1.2 Hàm siêu giải tích trên mặt phẳng phức 7

1.2.1 Số siêu phức 7

1.2.2 Hàm siêu phức 8

1.2.3 Toán tử Cauchy-Riemann mở rộng 8

1.2.4 Hàm siêu giải tích 8

1.2.5 Các tính chất của hàm siêu giải tích 9

1.2.6 Sự tồn tại nghiệm sinh của hàm siêu giải tích 9

1.2.7 Công thức tích phân Cauchy đối với hàm siêu phức 12 1.2.8 Biểu diễn hàm siêu giải tích qua các hàm giải tích 15 1.2.9 Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa 18

1.2.10 Nguyên lí cực đại đối với hàm siêu giải tích 23

1.3 Toán tử Pompieu siêu phức 25

1.4 Công thức Plemlj 30

2 Các bài toán biên đối với hàm siêu giải tích trên mặt phẳng phức 35 2.1 Bài toán Hilbert đối với hàm siêu giải tích 35

iii

2.1.1 Bài toán Hilbert (H) 352.1.2 Một số khái niệm và định lí 352.1.3 Xây dựng công thức nhân tử hóa chính tắc 372.1.4 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Hilbert 382.2 Bài toán Riemann-Hilbert đối với hàm siêu giải tích 422.2.1 Bài toán Riemann-Hilbert (RH) 422.2.2 Toán tử Schwarz 422.2.3 Xây dựng công thức nhân tử chính quy hóa 432.2.4 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Riemann-Hilbert 45

Rn không gian Euclid n-chiều

Bk(Ω) là không gian các hàm siêu phức bị chặn

và có đạo hàm liên tục đến cấp k trong Ω

Bk,α(Ω) là không gian các hàm siêu phức trong Bk(Ω)

và có đạo hàm liên tục H¨older cấp k với chỉ số α

Ck(Ω) tập các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ≤ k trong Ω

M (∗, , ∗) là hằng số chỉ phụ thuộc vào các đại lượng bên trong

dấu ngoặc đơn

1 Lí do chọn đề tài

Đối với hàm chỉnh hình một biến trên mặt phẳng phức, các bàitoán biên Hilbert và Riemann-Hilbert là các bài toán biên cổ điển và đãđược nghiên cứu kỹ càng từ lâu

Trong những năm 50-60 của Thế kỷ 20, khái niệm hàm chỉnh hìnhmột biến phức đã được mở rộng và khái quát thành hàm vectơ siêu giảitích trên mặt phẳng phức Hai bài toán biên Hilbert và Riemann-Hilbertnêu trên sau đó đã được mở rộng nghiên cứu một cách tương tự đối vớihàm vectơ siêu giải tích

Vì vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ củamình là “Các bài toán biên đối với hàm siêu giải tích trên mặtphẳng phức”

2 Mục đích nghiên cứu

Mô tả cách đặt các bài toán biên Hilbert và Riemann-Hilbert đốivới các hàm chỉnh hình và siêu giải tích trên mặt phẳng phức Phát biểu

và chứng minh các định lý về tính giải được của các bài toán này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Bài toán biên Hilbert và Riemann-Hilbert đối với hàm chỉnhhình

3.2 Bài toán biên Hilbert và Riemann-Hilbert đối với hàm vectơsiêu giải tích

1

3.3 Các tính chất của nghiệm

3.4 Các định lý về tính giải được

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các bài toán biên Hilbert và Riemann-Hilbert cổ điển đối với hàmchỉnh hình và việc mở rộng các bài toán này cho lớp hàm siêu giải tíchtrên mặt phẳng phức

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổnghợp để được một nghiên cứu tổng quan về các bài toán biên Hilbert vàRiemann-Hilbert cổ điển đối với hàm chỉnh hình và việc mở rộng các bàitoán này cho lớp hàm siêu giải tích trên mặt phẳng phức

6 Cấu trúc của luận văn

Nội dung chính của luận văn dựa trên chương 2 của tài liệu [2]

Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:

• Chương 1: Trình bày các khái niệm, tính chất, định lí là kiếnthức cơ sở

• Chương 2: Các bài toán biên đối với hàm siêu giải tích trên mặtphẳng phức

Chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót, mong quý thầy cô vàcác bạn đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chânthành cảm ơn về những ý kiến đóng góp quý báu của các quý thầy cô

và các bạn

Ω là miền tùy ý trong C còn f là ánh xạ từ Ω vào C bởi phép nghịch

3

đảo Như vậy khi z0 hữu hạn còn f (z0) = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0

(i) H(Ω) là một không gian vectơ trên C

(ii) H(Ω) là một vành

(iii) Nếu f ∈ H (Ω) và f (z) 6= 0, ∀z ∈ H (Ω) thì 1

f ∈ H (Ω) (iv) Nếu f ∈ H (Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.Chứng minh Chỉ cần chứng minh (iv) Do f chỉ nhận giá trị thực nên

Định lí 1.4 Giả sử chuỗi lũy thừa

∞

P

n=0

Cnzn có bán kính hội tụ R > 0.Khi đó tổng f (z) của nó chỉnh hình tại mọi z với |z| < R và đạo hàmphức của nó là

∞

P

n=1

nCnzn−1.Chứng minh Trước hết chứng tỏ rằng chuỗi

∞

P

n=1

nCnzn−1 cũng có bánkính hội tụ là R

n

p|n| lim

n→∞supp|Cn n|.Lấy z0 tùy ý, z0 < R Đặt

|δn(z0, ∆z)| ≤ 2n |Cn| rn−1với ε > 0 tùy ý, vì chuỗi

X

n=N

|δ (z0, ∆z)| < ε

1.1.3 Bài toán Hilbert đối với hàm chỉnh hình

Cho Ω ⊂ C là miền đơn liên bị chặn với biên γ = ∂Ω Đặt

Ω+ = Ω, Ω− = C\Ω Tìm các hàm chỉnh hình f+ và f− tương ứng trong

Ω+ và Ω− sao cho trên γ

f+(z) − H (z) f−(z) = h (z) , ∀z ∈ γ,trong đó H(z), h(z) cho trước trên γ và ∀z ∈ γ

f+(z) = lim

ζ→z ζ∈Ω +

f+(ζ) , f−(z) = lim

ζ→z ζ∈Ω−

f−(ζ)

1.1.4 Bài toán Riemann-Hilbert đối với hàm chỉnh hình

Cho Ω ⊂ C là miền đơn liên bị chặn với biên γ = ∂Ω Tìm f (z)chỉnh hình trong Ω (= Ω+) sao cho

Re (λf ) (z) = g (z) , ∀z ∈ γ,trong đó λ (z) và g(z) là hàm số cho trước trên γ

1.2 Hàm siêu giải tích trên mặt phẳng phức

1.2.1 Số siêu phức

Định nghĩa 1.1 Cho a = Pr

k=0akek, với ak ∈ C và e là ma trận vuôngcấp (r + 1) sau đây

k=1akek là phần lũy linh của a

Nhận xét 1.5 Ma trận e xác định theo công thức trên là một ma trậnlũy linh cấp r + 1 nghĩa là er+1 = 0 và tập hợp các số siêu phức là đại

 ∂

∂x − i ∂

∂y

.Toán tử D được gọi là toán tử Cauchy-Riemann suy rộng

1.2.4 Hàm siêu giải tích

Định nghĩa 1.3 Hàm siêu phức w(z) ∈ C1(Ω) là nghiệm của phươngtrình

Dw = 0gọi là hàm siêu giải tích

1.2.5 Các tính chất của hàm siêu giải tích

Giả sử u và v là các hàm siêu giải tích Khi đó

(1) Tích u.v cũng là hàm siêu giải tích

(2) Nếu u = Pr

k=0ekuk và u0 6= 0 thì u−1v cũng là siêu giải tích.Định lí 1.6 Nếu w(z) là hàm siêu giải tích và w(z) 6≡ 0 trong Ω thìcác không điểm của w(z) là cô lập

Chứng minh Giả sử w(z) = Pr

k=pekwk(z), ở đây wp(z) là thành phầnđầu tiên không đồng nhất không Do Dw = 0 nên theo (1.2) ta có

wp¯z +Pp−1

m=0qp−mwmz = 0 Do đó wp¯z = 0, bởi vì wm ≡ 0 với m ≤ p − 1.Như vậy wp là hàm giải tích trong Ω và có các không điểm cô lập(chú ý các cực cũng cô lập)

1.2.6 Sự tồn tại nghiệm sinh của hàm siêu giải tích

Cho Bk(Ω) là không gian các hàm siêu phức bị chặn và có đạo hàmliên tục đến cấp k trong Ω

Cho Bk,α(Ω) là không gian các hàm siêu phức trong Bk(Ω) và cóđạo hàm liên tục H¨older cấp k với chỉ số α

Định nghĩa 1.4 Hàm siêu phức t(z) được gọi là nghiệm sinh

(generating solution) đối với toán tử D nếu

(1) t có dạng t (z) = z +Pr

k=1ektk(z) = z + T (z) ,(2) T ∈ B1(C) , và

(3) Dt = 0 trong C

Nhận xét 1.7 Khi r = 0 thì

t(z) = z

Trước tiên ta phải định nghĩa toán tử Pompieu đối với miền Ω bịchặn

Từ (1) ở trên T = Pr

k=0ektk(z) ∈ B1,α(C) Cũng vậy, từ (1.2)

1

t (ζ) − t (z)

t (ζ) − t (z)

Chứng minh Áp dụng đồng nhất thức Green với bất kì hàm phức w tacó

∂Ω

w (dz − qd¯z)

Chú ý rằng từ Dt = t¯+ qtz = 0 ta có

dt = t¯d¯z + tzdz = tz(dz − qd¯z)

Như vậy, sử dụng đồng nhất thức D+(w1w2) = w2Dw1+ w1D+w2,

ta thu được

12iZ

∂Ω

uvdt = 1

2iZ

1.2.7 Công thức tích phân Cauchy đối với hàm siêu phứcĐịnh lí 1.9 Cho Ω, ∂Ω và t như Định lý 1.8 Cho u ∈ C1 Ω
là hàm¯siêu phức và z0 ∈ Ω Khi đó

u (z0) = 1

2πiZ

trong đó Sε(z0) = {z : |z − z0| < ε} và ε thỏa mãn Sε(z0) ⊂ Ω Chú ývới hàm siêu phức u bất kì khả nghịch ta có

u−1Du + uDu−1 = D u−1u
= D (1) = 0

Do đó

Du−1 = −u−2Du,và

D(t (z) − t (z0))−1 = −(t (z) − t (z0))−2Dt (z) = 0trong Sε(z0) Áp dụng đồng nhất thức Green ta có

Mà t (z) = z + T (z), trong đó phần lũy linh T thuộc B1,α(C) Trênbiên của Sε(z0) ta có z = z0 + εeiθ và do đó

|dt (z)| =

< ∞khi N → ∞ và z ∈ Sρ(z0), từ đó suy ra chuỗi fk(j) hội tụ tuyệt đối trong

Sρ(z0) Như vậy chuỗi w(z) hội tụ tuyệt đối trong Sρ(z0)

hội tụ đều trên các tập con compact của Sρ(z0).

)

Định lí 1.13 Cho w là hàm siêu giải tích trong Ω và Sσ(z0) ⊂ Ω Khi

z=z 0

.Chứng minh Ta có hàm giải tích siêu phức f trong Sσ(z0) thỏa mãn

w (z) = C [z0] f Mỗi thành phần của f đều có phép biểu diễn các chuỗisau:

j

f(n+j)(z)

Từ đó suy ra ∆ (z0, z0) = 0, ˙Dnw

z−z 0

= f(n)(z0) Đối với hàm siêu giải tích ta có

z=z 0

(t (z) − t (z0))+

z=z0

(t (z) − t (z0))n,

do đó

˙

Dw (z)

z=z0 = lim

z→z 0

w (z) − w (z0)

t (z) − t (z0) . (1.11)

Định lí 1.14 Cho w(z) được xác định trong một lân cận của điểm

z0 ∈ Ω Khi đó giới hạn

˙

Dw (z)

Chứng minh Giả sử giới hạn (1.11) tồn tại và kí hiệu là c Khi đó

w (z) = w (z0) + c (t (z) − t (z0)) + o (|z − z0|)

Từ đó t là khả vi, ta có

w (z) = w (z0) + ctx(z0) (x − x0) + cty (z0) (y − y0) + o (|z − z0|) ,suy ra w khả vi, wx(z0) = ctx(z0) và wy(z0) = cty (z0) Do đó

w (z) − w (z0) = c (t (z) − t (z0)) + o (|z − z0|) ,

do đó giới hạn (1.11) tồn tại

1.2.10 Nguyên lí cực đại đối với hàm siêu giải tích

Bổ đề 1.2 Cho w = C [z0] f [z0] là hàm siêu giải tích Khi đó

Định lí 1.15 Giả sử w(z) là hàm siêu giải tích trong miền Ω Khi đótrong miền con liên thông bất kì Ω0 thỏa mãn Ω0 ⊆ Ω, tồn tại một hằng

số độc lập γ của Ω0 và w sao cho

˙

Dkw (ζ)

... fj với j ≤ k

Định lí 1.11 Cho Ω miền Định lí 1.8 Khi với

z0 ∈ Ω w ∈ C1 Ω
hàm siêu giải tích Ω tồn tậphợp (r+1) hàm giải tích phức {f0[z0]... class="page_container" data-page="20">

1.2.8 Biểu diễn hàm siêu giải tích qua hàm giải tích< /p>

Định nghĩa 1.5 Cho C tốn tử tuyến tính số siêu phức

j ∂j

∂zjf...

Hệ 1.3 Cho eΩ thành phần liên thông miền Ω Cho hàmw(z) hàm siêu giải tích eΩ điểm z0 ∈ eΩ Khi tồn duynhất hàm f [z0] hàm giải tích eΩ cho w (z) = C [z0] f [z0]