Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính

Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Thị Minh Hằng

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG

Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Toán Giải tích – Khoa Toán Cơ Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội

-Người hướng dẫn khoa học :

PGS TS Hoàng Quốc Toàn, ĐHKHTN, ĐHQGHN

Phản biện :GS.TSKH Đinh Nho Hào - Viện toán học

Phản biện : PGS.TS Cung Thế Anh- Đại học Sư phạm HN

Phản biện : PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy- ĐHBK HN

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm

luận án tiến sĩ họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,

vào hồi 14h ngày 08 tháng 10 năm 2014

Có thể tìm hiểu Luận án tại :

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện ĐHQGHN

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1 Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2009) Non-existence of andmultiplicity of positive solution for quasilinear elliptic problems in boundeddomain, Acta Mathematica Vietnamica, 34(2) , pp.173-182.

2 Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2011) On existence of weaksolutions of Neumann problem for quasilinear elliptic equations involving -Laplacian in a.n unbounded domain, Bull Korean Math.Soc., 48(6), pp 1169-

1182,(Tạp chí ISI)

3 Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2012) On existence of weaksolutions of Neumann problem for a system of semilinear elliptic equation in anunbounded domain, Acta Mathematica Vietnamica, 37(1), pp.137-147.

4 Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2012) Existence of weak negative solution for a class of nonuniformly boundary value problem, Bull.

non-Korean Math.Soc., 49(4), pp 737-748,(Tạp chí ISI).

5 Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2014) On some semilinearnonuniformly elliptic problems with subcritical nonlinearity without theAmbrosetti and Rabinowitz condition, Vietnam Journal of Mathematics, 42(1),

pp.1-15

MỞ ĐẦU

Phương trình đạo hàm riêng là phương tiện nghiên cứu trong nhiềungành khoa học khác nhau, là chiếc cầu nối giữa khoa học và ứngdụng Nhiều bài toán cơ học và vật lí được mô hình hoá toán họcthông qua các phương trình đạo hàm riêng Vấn đề chủ yếu xuyênsuốt trong quá trình nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng của ngànhphương trình đạo hàm riêng là bài toán tồn tại nghiệm Cho đến đầuthế kỉ 20, nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng được hiểu theomột cách chung nhất đó là các nghiệm cổ điển, tức là nghiệm khả viđến cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm có mặt trong phương trình.Tuy nhiên, để phản ánh tương đối chính xác một quá trình vật lí hay

cơ học thì mô tả nó mà chỉ quan tâm đến nghiệm cổ điển của phươngtrình đạo hàm riêng là chưa đủ Vì vậy, để nghiên cứu phương trìnhđạo hàm riêng có ý nghĩa hơn đối với đối tượng mà nó phản ánh, thìviệc mở rộng khái niệm nghiệm của chúng là cần thiết Do đó kháiniệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng ra đời Người ta cóthể đưa ra những định nghĩa khác nhau về nghiệm yếu nhưng phảiđảm bảo sao cho vừa chặt chẽ về mặt toán học, lại vừa có ý nghĩa vậtlý

Hướng nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sử dụngphương pháp biến phân nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm yếu củacác bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptickhông tuyến tính So với nhiều phương pháp của giải tích phi tuyến

áp dụng vào phương trình đạo hàm riêng thì phương pháp biến phân

tỏ ra rất có hiệu quả Ý tưởng của phương pháp biến phân áp dụng vàophương trình đạo hàm riêng là dựa trên cơ sở lý thuyết điểm tới hạn,

mà nội dung của nó là đưa bài toán biên đang xét về việc nghiên cứumột phiếm hàm J khả vi liên tục theo một nghĩa nào đó trong khônggian Banach X thích hợp (gọi là phiếm hàm Euler-Lagrange hay là

phiếm hàm năng lượng liên kết) sao cho điểm tới hạn của phiếm hàm

J là nghiệm yếu của bài toán biên ban đầu Để tìm điểm tới hạncủa phiếm hàm J người ta thường nghĩ đến việc tìm điểm cực tiểuhoá của phiếm hàm đó Tuy nhiên việc cực tiểu hoá một phiếm hàmkhông hề đơn giản Hơn nữa lớp các phiếm hàm có thể cực tiểu hoátương đối hẹp Vì vậy trong nhiều trường hợp người ta quan tâm đếncác điểm yên ngựa (không phải điểm cực tiểu) của phiếm hàm nănglượng Cơ sở để nghiên cứu sự tồn tại điểm yên ngựa của phiếm hàm

là các bổ đề biến dạng cùng các nguyên lí biến phân và điều kiệncompact Nguyên lí biến phân nổi tiếng được biết đến khẳng định

sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm trong không gian Banach làĐịnh lí qua núi (Mountain pass Theorem) Lần đầu tiên Định lí quanúi được R.Courant chứng minh vào năm 1950 cho các phiếm hàmxác định trong không gian hữu hạn chiều Năm 1973, A.Ambrossetti

và P.Rabinowitz đã chứng minh Định lí qua núi cho phiếm hàm khả

vi liên tục Fréchet trong không gian Banach

Định lí 0.0.1 (Định lí qua núi ). Giả sử (X, ||.||) là một không gian Banach, J : X −→ R là một phiếm hàm khả vi Fréchet liên tục trên X, thoả mãn điều kiện Palais-Smale, tức là với mọi dãy {um} ⊂ X thoả

mãn |J(um)| ≤ c, ∀m và DJ(um) → 0 khi m → +∞, đều có thể trích được một dãy con hội tụ trong X Hơn nữa, phiếm hàm J thoả mãn các điều kiện sau:

Khi đó, c là một giá trị tới hạn của J, tức là tồn tại u ∈ X sao cho

c = J (u) ≥ α > 0 và DJ(u) = 0.

Lí thuyết điểm tới hạn cùng với Định lí qua núi đã góp phần quantrọng trong việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu cho một lớp khárộng các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình đạohàm riêng không tuyến tính Những cải tiến của Định lí qua núi cùngvới điều kiện Palais-Smale đã được nhiều nhà toán học lớn quan tâmnghiên cứu

Năm 1989, Dương Minh Đức đã thiết lập lại Bổ đề biến dạng vàchứng minh Định lí qua núi cho lớp phiếm hàm khả vi liên tục yếutrong không gian Banach (xem Định nghĩa 0.0.1) Kết quả này đặcbiệt hữu ích khi áp dụng để nghiên cứu các bài toán biên với phươngtrình elliptic với hệ số không trơn Thực chất Định lí qua núi dạng yếu

mà Dương Minh Đức đưa ra là thay giả thiết về tính khả vi Fréchetcủa phiếm hàm J bởi tính khả vi liên tục yếu

Định nghĩa 0.0.1 Cho J là một phiếm hàm từ không gian Banach

Y vào R Ta nói J là khả vi liên tục yếu (weakly continuouslydifferentiable) trên Y nếu và chỉ nếu ba điều kiện sau thoả mãn:

iii) Với mỗi ϕ ∈ Y , ánh xạ u 7→

Ta kí hiệu Cw1(Y ) là tập các phiếm hàm khả vi liên tục yếu trên Y

Rõ ràng C1(Y ) ⊂ Cw1(Y ), với C1(Y ) là tập các phiếm hàm khả vi liêntục Fréchet trên Y

Định lí 0.0.2 (Định lí qua núi dạng yếu). Giả sử (X, ||.||X) là một không gian Banach, J ∈ C1

w(X), J thoả mãn điều kiện Palais-Smale Hơn nữa, phiếm hàm J thoả mãn các điều kiện sau:

Đối tượng mà chúng tôi đề cập đến trong luận án là sự tồn tạinghiệm yếu của các phương trình (và hệ phương trình) elliptic dạng:

−div(a(x, ∇u)) = f (x, u), x ∈ Ω, (0.1)trong đó Ω là tập mở trong RN

Một số dạng thường gặp của phương trình dạng (0.1) là các phươngtrình:

−div(|∇u|p−2∇u) = f (x, u), x ∈ Ω (0.2)

−div(h(x)|∇u|p−2∇u) = f (x, u), x ∈ Ω (0.3)trong đó h : Ω −→ R thoả mãn một số giả thiết nhất định, 1 ≤ p <+∞ Toán tử divergent −div(a(x, ∇u)) xuất hiện trong các bài toánkhuyếch tán không tuyến tính, cổ điển nhất là mô hình toán học củahiện tượng truyền nhiệt trong vật thể, hiện tượng truyền sóng trongkhông gian, mô hình toán học của dòng chất lỏng không Newton Phương trình dạng (0.1) với f (x, u) là một hàm phi tuyến đối với u baogồm nhiều mô hình toán học trong cơ lượng tử, cơ học môi trường liêntục, lí thuyết trường, Những kết quả đạt được từ những nghiên cứu

đó vừa có ý nghĩa lí thuyết, vừa có ý nghĩa ứng dụng

Năm 2003, P.De Nápoli và M.C.Mariani đã nghiên cứu sự tồn tạinghiệm của bài toán Dirichlet cho một lớp phương trình elliptic tổngquát dạng (0.1) trong miền bị chặn Ω ⊂ RN có biên trơn, trong đóhàm a : Ω × RN −→ RN, a(x, ψ) được giả thiết là đạo hàm liên tụctheo biến ψ của một hàm khả vi liên tục A : Ω × RN −→ R, tức làa(x, ψ) = ∂A(x, ψ)

∂ψ và thoả mãn điều kiện tăng dạng:

Tiếp tục nghiên cứu của P.De Nápoli và M.C.Mariani, nhiều tác giảkhác đã mở rộng kết quả này bằng cách đặt các giả thiết khác nhaulên vế phải, hoặc khi Ω là một miền vô hạn trong RN Chú ý rằng, điềukiện (A-R) (0.5) có vai trò quan trọng không chỉ đảm bảo cho phiếmhàm J có điểm yên ngựa mà còn khẳng định rằng, mọi dãy Palais-Smale của phiếm hàm J đều bị chặn Tuy nhiên điều kiện này đã

ấn định lên hàm phi tuyến f (x, s) của nhiều phương trình những đòihỏi khá chặt chẽ làm hạn chế lớp phương trình cần quan tâm nghiêncứu.Vì vậy nhiều nhà toán học đã cố gắng thay điều kiện (0.5) bởinhững điều kiện yếu hơn trong các nghiên cứu của mình Đây cũng

là một trong những mục tiêu được đặt ra mà chúng tôi sẽ xét trongchương 2 của luận án này

Năm 2005, Dương Minh Đức và Nguyễn Thanh Vũ đã nghiên cứumột trường hợp kì dị của phương trình elliptic tổng quát dạng (0.1),trong đó giả thiết (0.4) của P.De Nápoli và M.C Mariani được thay bởigiả thiết yếu hơn sau đây

|a(x, ψ)| ≤ c(h0(x) + h1(x)|ψ|p−1) với mọi x ∈ Ω, ψ ∈ RN, (0.6)

h0 ∈ Lp−1p (Ω), h1 ∈ L1loc(Ω), h0(x) ≥ 0, h1(x) ≥ 1với mọi x ∈ Ω

Với giả thiết h1 ∈ L1

loc(Ω), phiếm hàm năng lượng liên kết với bàitoán Dirichlet đối với phương trình (0.1) có thể không xác định tạimột hàm u nào đó của không gian W01,p(Ω), vì vậy nghiệm của bàitoán nói chung chỉ có thể tồn tại trong không gian con nào đó của

W01,p(Ω) Vì lí do đó bài toán (0.1) trong trường hợp này được gọi là

"bài toán biên không đều" của phương trình elliptic Để vượt qua tìnhtrạng "không đều" này của bài toán (0.1) ta đưa vào một không gianloại Sobolev có trọng được xác định như sau:

H = {u ∈ W01,p(Ω) :

Z

Ω

h1(x)|∇u|pdx < +∞}

Khi đó H là không gian Banach với chuẩn

||u||H =



Z

và phiếm hàm J : H −→ R khả vi liên tục yếu trong H Giả thiết (0.5)đảm bảo mọi dãy Palais- Smale của phiếm hàm J bị chặn trong H

và thoả mãn điều kiện Palais-Smale Do đó nghiệm yếu của bài toánDirichlet tồn tại trong H như là điểm tới hạn của phiếm hàm J nhờđịnh lí qua núi cho phiếm hàm J khả vi liên tục yếu

Tiếp sau đó, từ những năm 2007-2008, bằng cách áp dụng cácnguyên lí biến phân I.Ekeland, nguyên lí ba điểm tới hạn, Định líqua núi, nguyên lí cực tiểu của phiếm hàm, nhóm nghiên cứu HoàngQuốc Toàn, Ngô Quốc Anh và Nguyễn Thành Chung đã nghiên cứu

sự tồn tại nghiệm yếu, tính đa nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đốivới các phương trình và hệ phương trình elliptic không đều dạng (0.1),(0.3) trong miền Ω ⊂ RN bị chặn hoặc không bị chặn và đã công bốnhiều kết quả quan trọng Các tác giả trên đã nghiên cứu bài toánbiên Dirichlet, còn trong luận án này, ở chương 1, chúng tôi nghiêncứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Neumann đối với phương trình

và hệ phương trình elliptic không đều dạng (0.3)

Các kết quả mới được trình bày trong hai chương của luận án.Chương 1 nghiên cứu bài toán biên Neumann cho các lớp phươngtrình và hệ phương trình eliptic không tuyến tính bao gồm:

Mục 1.1 xét bài toán Neumann cho phương trình elliptic không đềutựa tuyến tính loại p-Laplacian trong miền không bị chặn

là hàm thoả mãn một số điều kiện sẽ trình bày rõ ở phần sau, các hàm

h và b thoả mãn các điều kiện sau đây:

(0.8)

ở đó Ω ⊂ RN(N ≥ 3), là miền không bị chặn với biên trơn và bịchặn ∂Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω, n là vec tơ pháp tuyến ngoài đơn vị của ∂Ω,

f, g : Ω × R2 −→ R là các hàm có các tính chất sẽ trình bày cụ thể ởphần sau, các hàm hi, i = 1, 2 và a, b thoả mãn các điều kiện sau:

h) hi ∈ L1

loc(Ω), i = 1, 2, hi(x) ≥ 1 với h.k x ∈ Ω

a-b) a, b ∈ C(Ω), a(x) ≥ a0 > 0, b(x) ≥ b0 > 0 với h.k x ∈ Ω

Mục 1.3 xét bài toán biên đối với hệ phương trình tựa tuyến tính củatoán tử p-Laplacian với điều kiên biên không tuyến tính, mà có thểxem như một cách suy rộng của điều kiện biên Neumann

với Ω là miền bị chặn biên trơn trong RN(N > 2), 2 6 p, q < ∞, λ làtham số dương Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bàitoán Dirichlet đối với lớp các phương trình elliptic không đều trongmiền bị chặn mà không đòi hỏi thoả mãn điều kiện (A-R):

Mục 2.1 Giới thiệu bài toán

Mục 2.2 xét sự tồn tại nghiệm yếu không âm của bài toán Dirichletcho phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều:

h ∈ L1loc(Ω), h(x) ≥ 1 với h.k x ∈ Ω, a ∈ L∞loc(Ω), a(x) ≥ 1 với h.k x ∈

Ω, với λ là tham số dương, Ω là miền bị chặn trong RN(N ≥ 3) biêntrơn ∂Ω

Nội dung của luận án được viết dựa trên 5 bài báo đã được chínhthức công bố trong các tạp chí: Bulletin Korean of Mathematic Society(Tạp chí ISI), Acta Mathematica Vietnamica và Vietnam Journal ofMathematics Các kết quả này đã được báo cáo ở Hội nghị khoa họcKhoa Toán-Cơ-Tin học các năm 2008, 2010 và ở Semina Bộ môn Giảitích Khoa Toán- Cơ -Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đạihọc Quốc gia Hà nội

Chương 1

BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH

Chương 1 chúng tôi dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về

sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Neumann cho lớp các phươngtrình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Việc chứng minh

sự tồn tại nghiệm yếu đưa về việc chứng minh sự tồn tại điểm tới hạncủa phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết nhờ định lí qua núi Các kếtquả trình bày trong chương này đã được công bố trong các bài báo[1],[2],[3] (xem danh mục công trình liên quan đến luận án)

1.1 Bài toán Neumann cho phương trình elliptic

tựa tuyến tính với toán tử p-laplacian trong miền không bị chặn

Giả sử Ω ⊂ RN(N ≥ 3) là miền không bị chặn với biên ∂Ω đủ trơn,đóng và bị chặn, ta xét bài toán sau:

h(x)|∇u|pdx + 1

pZ

Khi h ∈ L1loc(Ω), nói chung phiếm hàm J không thuộc C1(H).Ta chứngminh được J khả vi yếu và đạo hàm Gâteaux được xác định là

Z

Ω

h(x)|∇u|p−2∇u∇v + b(x)|u|p−2uv
dx (1.2)

−Z

1.2 Bài toán Neumann cho hệ phương trình

ellip-tic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn

Giả sử Ω ⊂ RN(N ≥ 3) là miền không bị chặn với biên trơn và bịchặn ∂Ω, ta xét bài toán sau:

(1.3)

trong đó Ω = Ω ∪ ∂Ω, n là vec tơ pháp tuyến ngoài đơn vị của ∂Ω,

f, g : Ω × R2 −→ R, các hàm hi, i = 1, 2 và a, b thoả mãn các điều kiệnsau:

h) hi ∈ L1

loc(Ω), i = 1, 2, hi(x) ≥ 1 với h.k x ∈ Ω

a-b) a, b ∈ C(Ω), a(x) ≥ a0 > 0, b(x) ≥ b0 > 0với h.k x ∈ Ω

G3) Tồn tại µ > 2 sao cho

E và G là hai không gian con của H1(Ω, R2) = H1(Ω) × H1(Ω),

E và G là các không gian Hilbert với các tích vô hướng tương ứng nhưsau:

(h1(x)∇u1∇u2 + h2(x)∇v1∇v2 + a(x)u1u2 + b(x)v1v2)dx

với w1, w2 ∈ G Hơn nữa, từ điều kiện h), a-b) và Lq

(Ω, R2) = Lq(Ω) ×

Lq(Ω), các phép nhúng G ,→ E ,→ Lq(Ω, R2), 2 ≤ q ≤ 2* = 2N

N − 2, làliên tục Ta nói w = (u, v) ∈ G là nghiệm yếu của bài toán (1.3) nếu

Z

Ω

(h1(x)∇u∇ϕ1 + h2(x)∇v∇ϕ2 + a(x)uϕ1 + b(x)vϕ2)dx

−Z

Kết quả chính của mục này là định lí sau

Định lí 1.2.1. Giả sử các giả thiết h), a-b), G1)-G3) thoả mãn Bài toán (1.3) có ít nhất một nghiệm yếu không tầm thường trong G.

1.3 Sự không tồn tại và tồn tại đa nghiệm dương

của hệ (p, q)-Laplacian với điều kiện biên không tuyến tính phụ thuộc tham số

Trong mục này, chúng tôi mở rộng kết quả trong [?] cho hệ elliptic

tựa tuyến tính với điều kiện biên không tuyến tính như sau

f (x, u, v) = g(x, u, v) = 0 khi u < 0 hoặc v < 0

N3) Tồn tại các số dương δ, to, so sao cho với mọi x ∈ ∂Ω

G(x, u, v) 6 0 khi |u|p+ |v|q 6 δ, và G(x, to, so) > 0