55 2.3 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều có tham số... Hướng nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sử dụng
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN
Hà Nội- 2014
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới Các kếtquả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳcông trình nào khác
Nghiên cứu sinh
Trịnh Thị Minh Hằng
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự động viên, khích lệ và hướng dẫn tận tìnhcủa PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Nhân dịp này, nghiên cứu sinh xin được gửi tớiThầy lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất
Nghiên cứu sinh xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy phản biện:GS.TSKH Đinh Nho Hào, PGS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Nguyễn ThiệuHuy cùng các Thầy trong Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp ĐHQG đã bỏ côngsức đọc bản thảo và cho nghiên cứu sinh nhiều ý kiến chỉnh sửa quý báu để cóthể hoàn thành tốt hơn bản luận án này
Nghiên cứu sinh xin được bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ -Tin học, Phòng Sau đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để nghiên cứu sinh có thể hoàn thànhluận án của mình
Nghiên cứu sinh cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong KhoaToán-Cơ-Tin học, các thành viên của Seminar Bộ môn Giải tích Khoa Toán- CơTin học cùng các bạn đồng nghiệp tại bộ môn Toán học trường Đại học Xây dựng
Hà nội về sự động viên khích lệ cũng như những trao đổi hữu ích trong suốt quátrình học tập và công tác
Cuối cùng, tôi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân và gia đìnhtôi, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này
Nghiên cứu sinh
Trịnh Thị Minh Hằng
Trang 5Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Danh mục kí hiệu, định nghĩa và định lí cơ sở 3
Mở đầu 7
1 BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH 17 1.1 Bài toán Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với toán tử p-laplacian trong miền không bị chặn 18
1.2 Bài toán Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn 33
1.3 Sự không tồn tại và tồn tại đa nghiệm dương của hệ (p, q)-Laplacian với điều kiện biên không tuyến tính phụ thuộc tham số 43
2 BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH KHÔNG ĐỀU, KHÔNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ 53 2.1 Giới thiệu bài toán 53
2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu không âm của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều 55
2.3 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều có tham số 68
Trang 7DANH MỤC KÍ HIỆU, ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÍ CỞ SỞ
1 Các kí hiệu
Ω ⊂ RN là một tập đo được trong RN, Ω’ ⊂⊂ Ω là một tập compact chứa trong
Ωvà u : Ω −→ R là một hàm đo được Lebesgue
L∞(Ω) = {u : Ω −→ R bị chặn trên Ω} với chuẩn
||u||L ∞ =ess sup
x∈Ω
|u(x)|
Lploc(Ω) = {u : Ω −→ R sao cho ∀Ω’ ⊂⊂ Ω, ta có u ∈ Lp(Ω’)}
C0∞(Ω)là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω
Hm,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω) : Dαu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ m}với chuẩn
||u||H m,p = X
|α|≤m
||Dαu||L p
H0m,p(Ω) là bao đóng của không gian C0∞(Ω)trong Hm,p(Ω).Nếu Ω là một miền
bị chặn thì có thể trang bị một chuẩn tương đương là
Z
Ω
u(x)v(x)dx
...
Hướng nghiên cứu luận án sử dụng phương phápbiến phân nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên đốivới phương trình hệ phương trình elliptic khơng tuyến tính So với nhiềuphương pháp giải tích... lí cực tiểucủa phiếm hàm, nhóm nghiên cứu Hồng Quốc Tồn, Ngơ Quốc Anh NguyễnThành Chung nghiên cứu tồn nghiệm yếu, tính đa nghiệm yếu củabài tốn Dirichlet phương trình hệ phương trình elliptic. .. nhiềuphương pháp giải tích phi tuyến áp dụng vào phương trình đạo hàm riêngthì phương pháp biến phân tỏ có hiệu Ý tưởng phương phápbiến phân áp dụng vào phương trình đạo hàm riêng dựa sở lý thuyếtđiểm