Chủ đề: Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

Lưu ý chung * Khi giải pt mũ bằng phương pháp đặt ẩn số phụ cần chú ý đặt điều kiện cho ẩn số phụ *Khi giải bpt mũ và bpt lôgarit cần chú ý đến cơ số và nắm chắc tính đơn điệu của hs mũ,[r]

Chủ đề 2 HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT Các kiến thức cơ bản cần nhớ Các dạng toán cần ôn tập Bài tập minh hoạ

1) Công thức lũy thừa

• Cho a>0, b>0 và m n,  Khi đó

; ;

m n m n

a a a  (a m n) a m n. ( )ab n a b n n

;

m

m n

n

a

a

a





m

  

 

  ; ;

n a

a



n a

a





   

• với a>0,

m

a a m R n N ,  *

• a f x( ) a g x( )  f x( )g x( ) (a0,a1)

• Nếu a>1 thì a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

• Nếu 0 < a < 1 thì

f x g x

a a  f x g x

2) Công thức lôgarit

 Với các điều kiện thích hợp ta có:

loga b  a  b

loga a   aloga b b

loga b  loga b loga  b 1loga b





n

a a

n

m

 log ( ) loga m n  a mloga n

loga m loga m loga n

;

log log

log

c a

c

b b

a

b

b

a

 loga f x( ) log a g x( ) f x( )g x( )

I)Giải phương trình mũ

1) Phương pháp đưa về cùng

cơ số:

f x g x

a a  f x g x

(a>0 và a≠ 1)

2) Phương pháp đặt ẩn phụ +Đặt t a x, t0.

+Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t.

+Giải phương trình tìm t, đối chiếu t với điều kiện.

+Nếu có nghiệm thỏa mãn thì thay t a x để tìm x và kết luận.

Bài 1: Giải các phương trình sau

b)

2 3x

7

7



   

x

d) 2x + 4 + 2x + 2 = 5x +1 + 3.5x

Bài giải

4



x

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -4

1

7

7



   

x

7x  x  7  x



2

 





x

x

Vậy phương trình có nghiệm x = - 1 và x = 2

1

) 2 5x x 2002.2 5x x 20010x 100 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

d) 2x + 4 + 2x + 2 = 5x +1 + 3.5x

 

 

x

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

Bài 2: Giải các phương trình sau

) 9x 10.3x 9 0

3

) 2x 2 x 2 0

e) (2 3)x (2 3)x 4

Bài giải

2

) 9x 10.3x 9 0 3 x 10.3x 9 0

Đặt t3 ,x t 0

(với a>0 và a ≠ 1)

 Nếu a>1 thì

loga f x( ) log a g x( ) f x( )g x( )

 Nếu 0<a<1 thì

loga f x( ) log a g x( ) f x( )g x( )

3) Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số

lôgarit

Vơí các điều kiện thích hợp ta có

ln ; ( )

;

 

 '

'( ) ( )ln

x

a u x a a    '

'( ).ln

x

u

(logax)' = 1 ; (lnx)' =

ln

x a

1

x

(logau(x))' = '( ) ; (lnu(x))' =

( ) ln

u x

u x a

'( ) ( )

u x

u x

(Với u = u(x) )

4) Phương trình mũ

a) Phương trình mũ cơ bản

<=> x = logam (0<a 1; m > 0)

x

* Phương pháp đưa về cùng cơ số:

(0<a 1)

f x g x

* Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Đặt t a x, t0

+ Thay vào phương trình để biến đổi phương

trình theo t

+ Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều

kiện

+ Nếu có nghiệm thỏa mãn thì thay t a x để

tìm x và kết luận

* Phương pháp lôgarit hóa: lấy lôgarit 2 vế

Lưu ý:Chọn số chia thích hợp trong pt d) thì sau khi chia ta sẽ được pt đơn giản hơn

Phương trình trở thành:

t nhan







x x

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2

2

) 25x 3.5x 10 0 5 x 3.5x 10 0

Đặt t5 ,x t0 Phương trình trở thành:

3 10 0

t nhan

t loai







5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm xlog 25

2

x

Đặt t2 ,x t0 Phương trình trở thành:







Vậy phương trình có nghiệm x = 2

2

d

Đặt 3 , 0

2

x

t  t

 

  Phương trình trở thành

5) Phương trình lôgarit

a )Phương trình lôgarit cơ bản

logax = m <=> x = am (0 < a 1, x > 0)

lôgarit

* Phương pháp đưa về cùng cơ số

  0,   0

f x g x







* Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Đặt ĐK cho ẩn x (nếu cần)

+Đặt tloga x

+Thay t vào phương trình và biến đổi

phương trình theo t

+Giải phương trình tìm t

+Thay tloga x tìm nghiệm x của pt đã

cho

+Đối chiếu x với ĐK và kết luận

c) Phương pháp mũ hóa: mũ hóa hai vế của

phương trình với cơ số hợp lí để đưa phương

trình về dạng đơn giải hơn

5) Bất phương trình mũ, bất phương

trình lôgarit

Cách giải tương tự như cách giải

phương trình mũ và lôgarit 4) Phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng

cơ số Cách 1: loga f x loga g x 

+) Đặt ĐK cho pt +)Giải pt f(x) = g(x) để tìm x +)Đối chiếu x với ĐK và kết

luận

2

3

2

2

3

 



 



1

1

x

x

 

 

 

  Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = 1

e) (2 3)x (2 3)x 4

do (2 3)(2 3) 1 nên 2 3 1



Đặt (2 3)x t , t > 0 ta có pt

1

  

  



Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = 1

Bài 3: Giải các phương trình sau

a x x x ) log5 log25 log0,2 1

3

c) log4x12 log 2 1 x  d) ln(x26x7) ln( x3)

2

) log log  6 0

2

) 3log 10log 3

) log 3x1 log 3x  3 6

h

Cách 2

( ) 0

( )









a f x a g x

f x

I

f x g x

Hoặc

( ) 0

( )









a f x a g x

g x

II

f x g x

Ta chỉ cần giải một trong hai

hệ (I) hoặc (II)

b) Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Đặt ĐK cho ẩn x (nếu

cần)

+Đặt tloga x

+Thay t vào phương trình

và biến đổi phương trình

theo t.

+Giải phương trình tìm t.

x của pt đã cho

+Đối chiếu x với ĐK và kết

luận

Lưu ý : Nếu ẩn x nằm ở cơ số

thì phải có đk 0 < x ≠ 1

Bài giải

(1)

Điều kiện: x > 0

(1)log xlog xlog x11

2

6 2

11

6

x

Vậy phương trình có nghiệm x = 64

(2)

1 ) log log log

3

Điều kiện: x > 0

 

1

(2) log x log x log  3



 

2

3 3

3

1

2 3

2

2

3

x x

  Vậy phương trình có nghiệm x3 3

c) log4x12 log 2 1 x  (3)

Điều kiện: x > 0 và x 1 (3) <=> 2  <=>

2

x

<=> x +1 2 = x2 <=> x2 - x - 12 = 0 <=>

log x12 log x

Lưu ý:Ta chọn một trong hai

biểu thức f(x) hoặc g(x) biểu

thức nào đơn giản , dễ giải bpt

hơn để ghép với pt f(x) = g(x)

và giải hệ hỗn hợp se bớt đi

được việc giải thêm một bất

phương trình

4

x

 

  

 Vậy phương trình có nghiệm x = 4

2

) ln( 6 7) ln( 3)

3

5 2

5





x

x x

x

Vậy phương trình có nghiệm x = 5

(5)

2

) log log  6 0

Điều kiện: x > 0

Đặt tlog2 x

2

t

t t

t







3 2

2 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8

(6)

2

Điều kiện x > 0

(6’) 1

2

2

(6)4log xlog x 2 4log x2log x 2 0 Đặt tlog2 x

2

1

2

 





 



t

t

1 2

1

2

t   x   x   nhan

1 2

2

Vậy phương trình có nghiệm 1 và

2

(7)

2

) 3log 10log 3

Điều kiện x > 0 Đặt tlog3x

3

3







 



t

t

3 3

1 3 3 3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và x33

(8)

) log 3x 1 log 3x 3 6

Điều kiện 3x - 1 > 0 <=> x > 0

(8) <=> log 33 x1 log [3 3 3  x1 ] 6 

<=> log 33 x1 [1 log 3  3 x1 ] 6  Đặt tlog (33 x1) ta có pt : t ( 1 + t ) = 6 <=> t2 + t - 6 = 0

<=> 

  



2 3

t t

Với t = 2 ta có log (33 x  1) 2 3x   1 9 x log 103 (nhận)

3

x    x    x    (nhận)

3

28 log 27

x

  Vậy phương trình có 2 nghiệm x = log310 và log3 28

27

x

 

5) Bất phương trình mũ, bất

phương trình lôgarit

Cách giải tương tự như cách

giải phương trình mũ và

lôgarit.

*Với các điều kiện thích hợp

lưu ý cho học sinh nhớ

a) Bất phương trình mũ

• Nếu a>1 thì

f x g x

a a  f x g x

• Nếu 0 < a < 1 thì

f x g x

a a  f x g x

b) Bất phương trình lôgarit

 Nếu a>1 thì



a f x a g x

f x g x

 Nếu 0<a<1 thì



a f x a g x

f x g x

Lưu ý:Chọn số chia thích hợp

trong pt d) thì sau khi chia ta sẽ

được pt đơn giản hơn

Bài 4: Giải các bất phương trình sau:

2

2 7 2

)

x x b

  

 

e) 5.4x2.25x 7.10x g) 3x3 x 2 8 0

Bài giải

3

1 2

   x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [ 3; 1]

2



2

2

0

7







x

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ;0  7;

(1)

2

) 4x 3.2x 2 0 2 x 3.2x 2 0

Đặt t2 ,x t0 Bất phương trình trở thành: t2  3t 2 0  1 t 2 Kết hợp điều kiện ta được

1   t 2 1 2 x   2 0 x 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0; 1)

e) 5.4x2.25x 7.10x <=> 5 4 2 7 10

Đặt t = , t > 0 ta có bpt

2

2 5

x

 

 

 

5t2 - 7t + 2 0 <=>  2 t 1

5   Kết hợp điều kiện ta được 2 t 1

5  

2 2

 

 

x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 1]

3

 

x t3 ,x t0

ta có bpt: t - + 8 > 0 <=> t9 2 +8t - 9 > 0

t

9 1

t t

  

 



Kết hợp điều kiện ta được t > 1 <=> 3x > 1 <=> x > 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0;)

Bài 5: Giải các bất phương trình sau:

3

) log (4 3) 2

0,5

2

c x  x  x d) lg(7x 1) lg(10x211x1) e) 2log3(4x-3) + 1 

3

log 2x 3 2 f) log2(x+2) +  2

2

log x5 log 8 0

Bài giải

3

) log (4 3) 2

Điều kiện 4 3 0 3

4

x   x

2 3

log (4x  3) 2 4x 3 3 4x12 x 3 Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm 3;3

4

  

2 0,5

3

x

x







  1

0,5



  

x

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S1; 2  3; 4

Lưu ý : Nếu sử dụng cách 2 thì

việc giải bpt (3) , (4) sẽ ngắn gọn

hơn

(3)

2

Cách 1(Đặt điều kiện) Điều kiện: 2

2

3 2

6 0

3

x x

x x

x

 



 

2

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm

3;5

S  Cách 2 : Ta có thể viết (3) <=> 2x + 4 x 2 - x - 6 > 0

<=> 22 4 2 6<=>

6 0





  







  



2

2

6 0

<=>

2 3

x

x x

x

  









 

 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 3;5

2

) lg(7  1) lg(10 11 1)

Cách 2:

<=> 0 < 7x + 1 10x2 -11x +1

2

<=>

2 2

0

1 7

7

x

x

 



  



<=> 1 0 hoặc

7 x

5

x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1;0 9;

    

S

Lưu ý: Trong bpt (6) ta phải viết

 2

4

log x5 log x5

Cách 1(đặt điều kiện)

1 7

1

7 10

1

x x

x x

x

  











2

lg(7 1) lg(10 11 1) 7 1 10 11 1

0

5







 



x

x

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm

    

S

e) 2log3(4x-3) + 1  (5)

3

log 2x 3 2

Điều kiện

3

2

x x

x x

x

 



 



(5) <=>  2

3

x x







8

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm S = ( ; 3]3

4 f) log2(x+2) +  2 (6)

2

log x5 log 8 0

Điều kiện 2

5

x x

 



 



Lưu ý chung

* Khi giải pt mũ bằng phương

pháp đặt ẩn số phụ cần chú ý đặt

điều kiện cho ẩn số phụ

*Khi giải bpt mũ và bpt lôgarit

cần chú ý đến cơ số và nắm chắc

tính đơn điệu của hs mũ,hs logarit

*Một số bài tập giải pt, bpt mũ và

logarit bằng phương pháp

loogarit hóa hoặc sử dụng tính

đơn điệu của h/s mũ,h/s logarit

được cho trong phần bài tập tự

luyện (có hướng dẫn hoặc đáp số)

<=>    <=>

5

x

x

 



   





2

2

5

x

x

 







   





<=>

5 3 0

x x x x x

 

  







 



   











5

x

x









Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm 5

x

x









CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính

5

1

( ) 0, 25

16

B



ĐS : a) 40 b) 609

64 Bài 2: Rút gọn các biểu thức

1











ĐS : a) 1 b) a

xy

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức

a) A31 log 4 9 b) Blog 6.log 9.log 23 8 6

c) log 482 1log 272 d)

3

ĐS : a) 6 ; b) ; c) 144 ; d) 15 2

3 Bài 4: Rút gọn các biểu thức

ĐS: a) x < 1 hoặc x > 2 ; b) 1 1 ; c) ; d)

e) 1 2  x 1 2 HD đặt t = 3x2  2x , t > 0 g) 3 < x < hoặc x > 4 HD: lô ga rít hóa cơ số 10 hai vế bpt ta được 7

2 (2x2 - 7x).log(x - 3) > 0 Lập bảng xét dấu vế trái Bài 11: Giải phương trình sau

a) 3x4x 5x b) 3x  x 4 0 c) 1 1

3

x x

   

 

 

ĐS: a) x=2 HD : Dự đoán x = 2 là nghiệm Ta CM x =2 là nghiệm duy nhất Chia hai vế của (a) cho 5x ta có pt 3 4 1 (1)

+) Với x > 2 ta có ; cộng vế với vế hai bpt bên ta

2

x

   

2

x

   

có 3 4 < vậy với mọi x > 2 Không là nghiệm của pt

   

1

    

(1) +) Với x < 2 làm tương tự ta cũng CM được mọi x < 2 Không là nghiệm của

pt (1)

a) A = 1 1 b) B =

log ( ) log ( )a ab  b ab  2 2 2

lnaloga e ln aloga e

ĐS : a) 1 ; b) 2(ln2a + 1 )

Bài 5:

a, Chứng minh 1 2 5 1 3 2 ; b)

2

1 3 2





  

 

 

c) So sánh các số log 53 và log 47 ; d) log 4 và log3 41

3 HD: a) So sánh  2và

3 2

HD: c) 5>3 => log35>log33 = 1 d) 4>1=>log34>log31 = 0

4<7 =>log74 < log77 =1 <1 =>log1 4 < log41 =0

3

1 3 => log 53 > log 47 => log 4 < log3 4 1

3 Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số

a) y = 5x2 + lnx - 7.3x ; b) y = x.ex ;

c) ylog2c xos  d) lnx2 1

y

x





ĐS: a) y' = 10x + - 7.31 x.ln3 ; b) y' = ex (x + 1)

x

c) y' = tanx ; d) y' =

ln 2

1

x x



Bài 7: Cho hàm số 1 chứng minh xy'+ 1 = ey

ln 1

y

x



 HD: y' = - 1 ; xy'+ 1 = =

1

x

1 1

x

1 ln

x

e  e

Bài 8: Giải các PT sau

Từ đó suy ra x =2 là nghiệm duy nhất b) x = 1 ; c) x < 0 (Câu b và c có thể giải bằng đồ thị) Bài 12 : Giải các PT sau

a) log ( 23 x2) 3.log 27 x b) 2 2 1

2

log xlog xlog x6 c) log4x12 log 2 1 x  d) 2

log x6.log x 7 0

log (x 1) 4.log (x  1) 5 0

g) log2(4x +15.2x +27) + 2log2 1 = 0

4.2x3 h) log 55 x4 1 x

1 log 2log 1 log 1 3log

2

x

k)log2 xlog 25 x 1 2

ĐS : a) x = 2; b) x = 8 ; c) x = 4 ; d) x = 3 , x = 17 ; e) x = 1,x =

3

31 32

 g) x = log23 HD: ĐK 4.2x - 3 > 0 ta có pt

log2(4x +15.2x +27) =  2

2

log 4.2x3

h) x =1 ; i) x = 2 k) x = 2 là nghiệm HD Làm tương tự như câu a) bài 11 Bài 13: Giải BPT sau

log (x 3x2) log ( x14)

3

log x 6x 5 2log 2x 0

c)log (2 3) 1 d)

1

x x





2

log log x 1  1

2

x x





 h) ln 3 e x22x

a, 2x2 3x  4x b,

x x

c) 7x x2 1 343 d) 2 3 5x x 1 x 2 12

e) 25x - 7.5x + 6 = 0 f) 32x+1 - 5.3x + 2 = 0

h) 27x12x2.8x 0 i) 5x 153 x 26

k) 3.16x2.81x 5.36x l) 24x 417.22x 4 1 0

m) 4 15 x 4 15x 2 n) 9x 2  1-36.3x 2  3 3 0

ĐS: a) x=0 ,x=5 ; b) x=2 ; c) ptvn ; d) x=2 ; e) x=0, x=log56 ;

f) x=0,x=log32 -1 ; h) x=0 ; i) x=1, x=3 ; k) x=0,x= ; l) x=2, x=01

2 m) x=0 ; n) x = 1, x=  2

Bài 9: Giải phương trình và bất pt sau

a)32x 5 5 b)2x 3 5x2   5x 6 c) 62x 3 2 3x 7 3 1x

ĐS: a) x = (log1 35 - 5) ; HD: lấy lôgarit cơ số 3 hai vế pt

2

b) x = 2+log52 ; x = 3 HD: lấy lôgarit cơ số 5 hai vế pt rồi biến đổi về pt

1 2log 2 (log 2) 1 log 2

c) x>4 HD: Viết 62x+3 = 22x+3.32x+3

Bài 10 : Giải các bất phương trình sau

a) 3 x2 3x 9 b) c)

2

x  x

 

 

2



d) 9x - 5.3x + 6 < 0 ; e) ; g)

2

3

x x

x x



 

ĐS: a) -14 < x -2 hoặc x > 4; b) x < 1; c) -4 x < -1;  

2 2

x

2 2  x 0 x 9 g)0 < x < hoặc x 1 ; h) hoặc x > ln2 (HD: )

Bài 14: Giải hệ phương trình sau

2 (2)

x y

x y



 

x x y

x x y









20

x y

 





x y

y x







2







ĐS:

a) 3 HD: Rút x ở pt (2) thế vào pt (1)

3

2 log 2 log 2

x y

 



  



b) 2 và HD: Đặt

log 5 log 2 log 5

x y







1 0

x y





 



2 5

x

x y

u

 









c) 2 và

18

x y





 



18 2

x y





 



3 29 2

3 29 2

x y









 



19 55 23 11

2 4

x y











 



2 4

log log





 

