Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương trình cho tương đương : 25.[r]

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Phương pháp

= 0 (0 < a 1)  {

Dạng 1: Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là: F(af(x)) = 0 Với dạng này ta đặt t =

af(x) , t > 0 và chuyển về phương trình F(t) = 0, giải tìm nghiệm dương t của phương trình,

từ đó ta tìm được x Ta thường gặp dạng: m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0.

Với bất phương trình ta cũng làm tương tự

Dạng 2: m.af(x) + n.bf(x) + p = 0, trong đó a.b = 1

Đặt t = af(x)

, t > 0 => bf(x) =

Dạng 3: m.a2f(x) + n.(a.b)f(x) + p.b2f(x) = 0

Chia hai vế phương trình cho b2f(x) và đặt t = , t > 0

Ta có phương trình: mt2 + nt + p = 0

Ví dụ 1:Giải các phương trình:

1 2.16x – 15.4x – 8 = 0 2 23x – 6.2x - + = 1

Lời giải

1 Đặt t = 4x , t > 0 ta có phương trình: 2t2 – 15t – 8 = 0

 t = 8, t = (loại)

Với t = 8  2x = 23  x = 3

Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 3

2 Đặt t = 2x , t > 0 ta có: t3 – 6t - = 1  ( ) ( )

Đặt y = t

=> ( ) ( ) ( ) ( ]

Nên ta có phương trình: y3 – 1 = 0  y = 1  t - = 1

 t2 – t – 2 = 0  t = 2  x = 1

Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 1

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

1 3.8x + 4.12x – 18x – 2.27x = 0 2

Lời giải

1 Phương trình cho  3. ( )

Đặt t = ( ) , t > 0 ta được: 3t3

+ 4t2 – t – 2 = 0  (t + 1)(3t2 + t – 2) = 0

 t =  x = 1

Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 1

2 Phương trình 

 9 - +25 = 0

Đặt t = , t > 0 Ta có phương trình: 9t2 - 34t + 25 = 0

 t = 1; t =

* Với t = 1  = 1  2x – x2

= 0  x = 0; x = 2

* Với t =  =  x2 – 2x – 2 = 0  x = 1 √

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 0; x = 2; x = 1 √

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

1

2

3 √ ( √ √ ) √ √ √

4 (9 + √ √ √ (√ √ )

Lời giải

1 Chia cả hai vế phương trình cho 22x+2 ≠ 0 ta được:





Đặt t = , t > 0 Khi đó phương trình cho viết lại:

2t2 – 9t + 4 = 0  t = 4 hoặc t =

+) TH1: t = 4   x2 – x = 2  x = -1 và x = 2

+) TH2: t =  2-1

 x2 – x = -1  vô nghiệm Vậy, phương trình có 2 nghiệm x = -1 , x = 2

Chú ý: Để ý bài toán cho không có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ chỉ là t >

0 và nếu t = vô nghiệm Nếu bài toán có chứa tham số thì điều kiện đúng của t:

x2 – x = ≥  ≥  t ≥

√

2 Phương trình cho viết lại:

(*)

Đặt : u = 2x – 1 + 1 , v = 21 – x + 1 (u, v > 1)

Phương trình (*) trở thành:

 {

 u = v = 2 hoặc u = 9; v = Với u = v = 2, ta được {

 x = 1

Với u = 9; v = , ta được {

 x = 4

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x = 1, x = 4

3 Đều kiện để phương trình có nghĩa: {

 {

√  x √ (*)

√ ( √ √ ) √ √ √

 √ ( √ √ ) √ √ √

 (√ )( √ √

 2 phương trình:

(1) √  √  x = 9

(2) √ √  √ √

 √  √  x = ± 2

Kết hợp với (*) ta có nghiệm của phương trình là:x = 9, x = 2

Lời bình:

Nếu chúng ta không có điều kiện x √ thì phương trình đã cho xuất hiện nghiệm ngoại lai x = -2

4 Nhận xét (9 + √ √ (√ √ ] √ √

√ √ √ √ √

√ √ √ √ (√ √ )(√ √ )

Đặt t = √ √ , t > 0 => √ √

Phương trình cho trở thành: t3 + 2t2 – 2  t4 + 2t3 – t – 2 = 1

 (t – 1)(t + 2)(t2

+ t + 1) = 0  t = -2 (không thỏa t >0) hoặc t = 1 Với t = 1 tức √ √ = √ √ , suy ra x = 0

Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 0

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình:

1 2

3 3. - 6 = 0 4 32x – (2x + 9).3x + 9.2x = 0

Bài 2: Giải các phương trình:

1 e2x – 3ex + 12e-x – 4 = 0 2 (2x – 2)2 = (2x + 2)(1 - √ 2

3 √ √ 4 34x + 8 – 4.32x + 5 + 27 = 0

5 53x + 9.5x + 27.(5-3x + 5-x) = 64

6

Bài 3: Giải các phương trình:

1 6x + 2x+2 = 4.3x + 22x 2 √ √

3 2.16x – 15.4x – 8 = 0 4 4cos2x + – 3 = 0

5 ( √ ( √ ) 6

Bài 4: Giải các phương trình:

1 32x – (2x + 9).3x + 9.2x = 0 2 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = 0

3 4

5

6 √ √ √ √

7 53x + 9.5x + 27(5-3x + 5-x) – 64 = 0

8 23x – 8.2-3x – 6.(2x = 1

9 23x – 6.2x

10 √

11 5.32x – 1 – 7.3x-1 + √ = 0

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

1 Phương trình cho tương đương:

(*) Đặt t = , t > 0 Khi đó, phương trình (*) trở thành : 10t2 – 99t – 10 = 0

 t = 10 thỏa mãn điều kiện t >0

Với t = 10 tức = 10  x2 = 1  x = ± 1

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x = ± 1

2 Phương trình cho tương đương : 25 (*)

Đặt t = , t > 0

Phương trình (*) trở thành: 25t2 – 34t + 9 = 0  t = 1 hoặc t =

Với t = 1 tức  2x – x2

= 0  x = 0 hoặc x = 2

Với t =

tức  2x – x2 = -2  x = 1 ± √

Vậy, phương trình cho có 4 nghiệm: x ∈ {1 - √ ;0; 2; 1 + √ }

3 Phương trình  3

Đặt t = , t ta có phương trình: t2 + 7t – 6 = 0  t = (nhận)

t = -3 (loại), với t =  =  x2 -2x -2 = 0

 x = x = 1 ± √

4 Đặt t = 3x , t > 0, phương trình đã cho trở thành:

t2 – (2x + 9).t + 9.2x = 0  (t – 9)(t – 2x) = 0, suy ra x = 0, x = 2

Bài 2:

1 Đặt t = √ ≥ 0, biến đổi phương trình về dạng: 2(t – 1)3 = 0

2 Đặt t = ex , t > 0

Phương trình cho viết lại: t2

– 3t + – 4 = 0  t3 – 3t2 – 4t + 12 = 0

 (t +2)(t – 2)(t – 3) = 0

 (1) t = -2 < 0

(2) t = 2 => ex = 2  x = ln 2

(3) t = 3 => ex = 3  x = ln 3

3 Đặt √ (t > 0) => t = 2  √ = 1  x = 3

t = 4 => √  x =

4 34x + 8 – 4.34x + 8 – 32x +5 + 27 = 0  (32x + 4)2 – 12.32x + 4 + 27 = 0

Đặt t = 32x + 4 , t > 0 Phương trình đã cho viết lại: t2 – 12t + 27 = 0

 t = 3  32x + 4 = 3  2x + 4 = 1  x =

t = 9  32x + 4 = 9  2x + 4 = 2  x = -1

Phương trình cho có hai nghiệm: x = , x = -1

6  9

 ( )

Đặt t = ( ) , t > 0

Ta có phương trình: 9t2

– 34t + 25 = 0  t = 1; t =

* t = 1  ( )  2x – x2

= 0  x = 0; x = 2

* t = ( ) ( )  x2 – 2x – 2 = 0  x = 1 ± √

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: x = 0, x = 2; x = 1 ± √

Bài 3:

1 Đặt u = 3x > 0 , v = 2x > 0

Phương trình cho trở thành: uv + 4v – 4u – v2

= 0  (u – v)(v – 4) = 0

2 Phương trình cho viết lại: √ √

Đặt u = √ , 5x – 3

3 16x = (42)x = (4x)2 Nên ta đặt : t = 4x , t > 0 => 16x = (4x)2 = t2

Phương trình trở thành: 2t2

– 15t – 8 = 0  t = 8  22x = 23  x =

4 

Đặt t = , t > 0 ta có phương trình: t2 + 4t – 12 = 0  t = 2

 = 2  2cos2x = 1  cos2x = 0  x =

5 Nhận xét: 7 + 4√ √ , (2 + √ √ = 1

Đặt t = (2+√ x , t > 0 (2 - √ x = và (7 +4√ x = t2

Khi đó phương trình cho viết lại :

t2  t3 + 2t – 3 = 0  (t – 1)(t2 + t + 3) = 0 (*)

Vì t2 + t + 3 > 0 , t ∈ R nên (*)  t = 1  (2 + √ x

= 1  x = 0

Vậy phương trình có nghiệm: x = 0

6

Đặt t = điều kiện t ≥ 1 vì x2 ≥ 0  ≥ = 1

Khi đó phương trình viết lại: t2 + (x2 – 3)t – 2x2 + 2 = 0

∆ = (x2 – 3)2 – 4(-2x2 + 2) = (x2 + 1)2 => t = 2 và t = 1 – x2

+) Với t = 2  = 2  x2 = log32  x = √ g

+) Với t = 1 – x2  1 – x2 ta có nhận xét:

{ => {

 {  x = 0 Vậy phương trình có 3 nghiệm x = √ g , x = 0

Bài 4:

1 t2 – (2x + 9)t + 9.2x = 0

Ta có: ∆ = (2x + 9)2 – 4.9.2x = (2x + 9)2

=> t = 9 và t = 2x

2  81.32x + 45.6x – 32.22x = 0

 81

3  5

Đặt t =

4 2. ( )  2 ( )

Đặt t = ( ) , t > 0 Phương trình viết lại: 2t2

– 9t + 7 =0

Đặt t = Phương trình viết lại: t2 + 4t – 2 = 0

6  √ √ √ ( √ )

 √

√ ( √

√ )

Đặt t = √

√ , t > 0 Phương trình viết lại: 8t – t2 + 9 = 0

7  53x + 9.5x +  

 ( )

 ( ) (

) Đặt t = 2x  t2 =

10  √

Đặt t = , t > 0

Phương trình viết lại: 8t = t2 + √

11  √

Đặt t = 3x

, t > 0

Phương trình viết lại: 5t2 – 7t + 3√ = 0