VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. Tìm nguyên hàm Fx của fx, rồi sử dụng trực tiếp định ngh[r]
Trang 1Trang 84
CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II TÍCH PHÂN
1 Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là b ( )
a
f x dx
b a
f x dx F b F a
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
f x dx f t dt f u du F b F a
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì
diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường
a
Sf x dx
2 Tính chất của tích phân
0
f x dx
f x dx f x dx
kf x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x dx f x dx f x dx
Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì b ( ) 0
a
f x dx
Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì b ( ) b ( )
f x dx g x dx
3 Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
( )
( ) '( ) u b ( )
b
f u x u x dx f u du
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì:
a
udv uv vdu
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
Trang 2– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b dễ tính
a
vdu
hơn b
a
udv
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
b a
f x dx F b F a
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1
1
1 3
x
2 1 2
1
dx x x
1 x dx2
x
1 2 2
2
dx x
2 1
e
x x
1
( x1)(x x1)dx
1
(x x x x dx)
1
4
x
1
2
x
2
1
x
1
1 4
3
x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1
1
x dx
2
dx
x 2 x2
1
(x x x x dx)
2
1xdx dx
x
1
x
Bài 3. Tính các tích phân sau:
0
) 6 2
3
(2sinx3cosx x dx )
0
sin3x cos2x dx
0
tan
cos
x dx x
4
3tan x dx
6
(2 cot x5)dx
Trang 3Trang 86
01 sin
dx
x
2 0
1 cos
1 cosx dx
x
0
sin cosx xdx
6
(tanx cot )x dx
2
2
4
4
x dx x
0
cos x dx
Bài 4. Tính các tích phân sau:
0
dx
1
ln
4 2
x x
e
1
x
x e dx
e
x
x x
e dx
0 e xsinxdx
4 1
x
e dx x
1 ln
x
x
0
1
1e x dx
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử ta cần tính b ( ) .
a
g x dx
Nếu viết được g(x) dưới dạng: g x( ) f u x u x ( ) '( ) thì ( )
( )
( ) u b ( )
b
g x dx f u du
Dạng 2: Giả sử ta cần tính f x dx( ) .
Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), = x(b)
f x dx f x t x t dt g t dt
g t( ) f x t x t( ) '( )
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa Cách đổi biến
hoặc x a cos ,t 0 t
hoặc x a cot ,t 0 t
x a
a
t
a
t
Trang 4Bài 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
0
19
) 1
0
3 2
3
) 1
x
1 0 2
5
1dx
x x
0
1
x x dx
0
1
dx
3
3 5 1
2
dx x
x
0 1
x x
e dx e
ln3
3
x x
e dx
e
ln 2
x
x x
1
ln ln 3 1
2 sin
dx x x
x
2 0
2
3
sin 1
sin cos
dx x
x x
0
2
sin 2
2 sin
dx x x
x
Bài 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
1
dx
1
2
4 x
dx x
1
2
x
0
x
dx
0
2
dx
0
2
x xdx
2
dx
1 3
dx x
x
1
dx
2
3
2
dx
x x
2 2 2
2
x
0
2
x x x dx
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
( )
b
x a
P x e dx
a
a
a
P x l xdx
Bài 1. Tính các tích phân sau:
0
2
sin
xdx
0
2 )cos sin
(
xdx x
0
2cos xdx x
2
4
0
cos
0
2
) 2 (x e x dx
Trang 5Trang 88
0
dx x x
e
1
2
ln(x x dx
0
3 sin5
xdx
e x
2 0 cos sin2
xdx
e x
e xdx
1
3
ln
e
1
2
e
dx x
x
ln
dx x e
0 1
3 2
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
0
2 dx
0
0
3
1
2
0
2x 4dx
1
x x dx
0
2
x
1 1
4 x dx
Bài 2. Tính các tích phân sau:
0
2 cos
0
1 sin 2 x dx
2
sin x dx
2 0
1 cos xdx
0
6
tan xcot x2dx
3
3 2
cosx cosx cos xdx
2 0
1 sin xdx
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1
3
x
x
dx
0
x
dx
0 2
3
1
2x x
dx x
1
0
3
2
x
3 2
9
2
1 x
dx x
1
2(1 x)
x dx
2 x (x 1)
1 0
11 4
x x
dx
0
1 1
x
Trang 6k) 0 3 2 2 l) m)
1
2
0(3 1)
x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
0
x
0 2
2 1
2 3
dx x
x
0
2
2 3
4
9 4 2
dx x
x x x
0
1 (x2) (x3) dx
0
1 1
x
01 x dx x
1
1
x x
1
1
2( 1)
x
0
1
1
1
x
0
2
x
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
0
x
3
1dx
x x
x
dx
dx
x x
4
1dx
x x
dx
x x
0
2
3 4
dx x x
7
1
dx x
2
dx
x x
0 1
x
2
2
0
1
x
2 3 2
dx
x x
dx
x x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
0
1
1
1 1
dx x
1
2008
0
10
0
1 x dx
2
dx
dx
x
x dx
x x
2
2
2 3
dx x
2 2 2
2
x dx x
5
1
12x4x 8dx
Trang 7Trang 90
Bài 3. Tính các tích phân sau:
0
cos
7 cos2
xdx x
2
2 0
sinx cosxcos xdx
2
2 0
cos
2 cos
xdx x
0
1 cos xsin cosx xdx
2 0
sin 2 sin
1 3cos
x
3 0
cos
2 cos2
xdx x
2 0
cos
1 cos
xdx x
3
2 4
tan cos 1 cos
0
sin 2 sin
1 3cos
x
Bài 4. Tính các tích phân sau:
dx
e
x x
e dx
e
1
1 3ln ln
e
x x dx x
ln2
ln
1
x x
e dx
e
x
0
x
e e
0
1
x
e dx
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
0
cos 2
sin
xdx
0
tan
01 3cos sin
dx x x
0
3
sin
0
2
0
23 cos x
0
sin xcos xdx
2 0
3
sin
xdx
0
sin xcos xdx
0
(sin xcos )x dx
3 2 0
cos cos x dx1
x
cos 2 sin
dx x
x x
0
tan xdx
3 4 4
tan xdx
3
3 4
sin cos
dx
0
sin
1 cosx dx
x
3 2 0
cos
1 cosx dx
x
/3 4
dx
Trang 8Bài 2. Tính các tích phân sau:
0
5
cos
1
xdx x
6
cos sin
2 cos 2 sin 1
dx x x
x x
dx x x
x
4
2
cos 1 cos tan
0
cos2 (sinx xcos )x dx
0
sin cos ) (tan
dx x e
0
3
sin 1
0
sin ln(cos )x x dx
0
sin (tan 1) cos
3
1 sin x 9cos x dx
Bài 3. Tính các tích phân sau:
3
1
sinx dx
2
0 2 cos
dx x
2 0
1
2 sin x dx
0
cos
1 cosx dx
x
2 0
cos
2 cosx dx
x
2 0
sin
2 sinx dx x
0
1 sinxcosx1dx
2
2
sin 2 cos 3
4
4
dx
0
(1 sin )cos
(1 sin )(2 cos )
3
4sin cos( )
4
dx
3
6sin sin( )
6
dx
Bài 4. Tính các tích phân sau:
0
cos ) 1 2
(
xdx
01 cos2
x
xdx
3 0 2
cos
dx x x
0
sin xdx
2 2 0
cos
0
sin 2 x e x dx
1
cos(ln )x dx
6
ln(sin )
x
0
(2x1)cos xdx
0
sin
x
2 0
tan
2 0
sin cos
0
sin cos
x
4 0
ln(1 tan ) x dx
4 0 4
cos
x dx
Trang 9Trang 92
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
x
e
dx
e
2 ln
0
1 4
e
3
e
x
x
ln8
3 ln
2
1e dx
0 1
1
dx e
e x x
1
1
1ex dx
x x
e
x x
e
1
ln
x x
e
0
1 1
e
Bài 2. Tính các tích phân sau:
0
sin
xdx
e x
2 0
2 dx
xe x
1 0
dx
xe x
0
cos ) cos (
xdx x
0
1
ln x dx
1
1 ln
e
x dx x
2
ln ln(ln )
e
e
x
e
dx x x
x
x
1
2
ln 1 ln
2
ln(ln )
e e
x dx x
1
ln xdx
x
6
ln(sin ) cos x dx x
1 0
1
x
VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì a ( ) 0
a
f x dx
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì
0
a
f x dx f x dx
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
0
0
a
Bước 2: Tính tích phân 0 ( ) bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x.
a
Trang 10– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K I = J + K = 0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K I = J + K = 2K
Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
(với R + và a > 0)
0
1
x
f x dx f x dx a
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
0
0
0
0
Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0; thì
2
Để chứng minh tính chất này ta đặt:
2
t x
Dạng 4 Nếu f(x) liên tục và f a b x( ) f x( ) hoặc f a b x( ) f x( )
thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b = thì đặt t = – x
nếu a + b = 2 thì đặt t = 2 – x
Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x), tức là:
1 2
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra ( ) 1 ( ) ( ) là nguyên hàm của f(x).
2
F x A x B x C
Bài 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):
4
1 cos
x
2
2 2
cos ln(x x 1 x dx)
1 2 1 2
1 cos ln
1
x
x
2 1
x dx
1
sin 1
x
2
sin
1 cosx dx
x
2
2 2
4 sin
xdx x
2
cos
4 sin
x
Bài 2. Tính các tích phân sau (dạng 2):
12x x dx1
1
1
1 2x dx x
1( x 1)( 1)
dx
Trang 11Trang 94
3x 1xdx
3 3
2
2 1
1
dx
x x
1
2
1(4x 1)( 1)
dx x
2
sin sin3 cos5
e
4
4
6x 1
2
2
sin
1 2x
Bài 3. Tính các tích phân sau (dạng 3):
0
cos
n
7 2
0
sin
2 0
sin
0
sin
4 2
0
cos
0
sin
Bài 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):
0
.sin
4 cos
x
2 0
cos
4 sin
x
0
1 sin ln
1 cosx dx
x
0
ln(1 tan ) x dx
2
3 0
.cos
0
.sin
x
0
sin
2 cos
x
2 0
sin
1 cos
x
0
sin 4 ln(1 tan )x x dx
2 0
sin
9 4 cos
x
4 0
sin cos
Bài 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):
0
sin
sin cos
2 0
cos sin cos
2 0
sin sin cos
0
cos
sin cos
x dx
4 2
0
sin
4 2
0
cos
0
sin
6 2
0
cos
2
2
0
2sin sin 2x xdx
0
2 cos sin 2x xdx
1 1
x
e e
1
x
Trang 12n) 1 o)
1
x
e e
1
x
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
Giả sử cần tính tích phân n b ( , ) (n N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta
a
I f x n dx
thường gặp một số yêu cầu sau:
Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I n theo các I n-k (1 k n).
Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
Tính một giá trị cụ thể nào đó.
0
n
I
Bài 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
0
sinn
n
1
sin sin
n
0
cosn
n
1
cos cos
n
0
tann
n
tann xtann x tan x 1 tann x
0
cos
n n
I x x dx
cos
n
u x
Đặt
2
0
sin
n n
J x x dx
sin
n
u x
0
n x
n
dv e dx
1
ln
e
n n
I x dx u dv dxlnn x
0
n
sin
n
0(1 )
I
x
0(1 )
x
2
u x
x
x
Trang 13Trang 96
0
n n
I x x dx u x dv n1 x dx.
0 cos
x
1
x
1 cosn
t
x