Bất đẳng thức liên quan đến mũ và logarit (phần 1)

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT 1.[r]

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT

1 Sử dụng tính đồng biến , nghịch biến của hàm số mũ và logarit

Ví dụ 1 : So sánh : 2 ,33 2

Giải :

Ta có 3 6 3 4   9 8 23 (2 )3 3=> 3 2 2 3

Ví dụ 2 : So sánh : log 3 4 , log 10 11

Giải :

Ta có log34= log916> log911=

11

1 log 9

Mà log1110>log119>0=> 10

log 11 log 9 log 10

Nên log34> log1011

Ví dụ 3: So sánh : log 3 16, log 16 729

Giải : Ta có log316.log16729=log3729=6

Mặt khác

5

3 3 3  243 256 16

=>Suy ra 6

log 3 log 16

Khi đó : log 163  6, log 72916  6 => log316> log16729

Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : 3(a.2 a +b.2 b +c.2 c ) (a+b+c)( 2 a +2 b +2 c ), a,b,c

Giải :

Ta có hàm số y=2x đồng biến trên R

Khi đó : (2a-2b)(a-b) 0=> a.2 a+b.2b a.2b+b.2a , a,b

(2b-2c)(b-c) 0=> b.2 b+c.2c b.2c+c.2b , b,c

(2c-2a)(c-a) 0=> c.2 c+a.2a c.2a+a.2c , c,a

 2(a.2a+b.2b+c.2c ) (a.2 b+b.2a)+ (b.2c+c.2b)+ (c.2a+a.2c)

 3(a.2a+b.2b+c.2c ) (a.2 b+b.2a)+ (b.2c+c.2b)+ (c.2a+a.2c)+ (a.2a+b.2b+c.2c)

 3(a.2a+b.2b+c.2c ) (a+b+c)(2 a+2b+2c) (đpcm)

Ví dụ 5 : Chứng ming rằng : 3 , a,b,c>0

a b c

a b c

a b c abc

 

Giải : Hàm số y=lnx đồng biến trên (0,+oo)

Ta có (lna-lnb)(a-b) 0=> a.lna+b.lnb a.lnb+b.lna , a,b>0  

(lnb-lnc)(b-c) 0=> b.lnb+c.lnc b.lnc+c.lnb , b,c>0  

(lnc-lna)(c-a) 0=> c.lnc+a.lna c.lna+a.lnc , c,a>0  

 2(a.lna+b.lnb+c.lnc ) (a.lnb+b.lna)+ (b.lnc+c.lnb)+ (c.lna+a.lnc)

 3(a.lna+b.lnb+c.lnc ) (a+b+c)(lna+lnb+lnc)

 3lnaabbcclnabca+b+c

a b c

a b c

a b c abc

 



Ví dụ 6 : Chứng minh rằng : log (1 4 ) log (24  a  9 a9 )a , với mọi a>0

Giải :

1 4

1 log (1 4 ) log (1 4 )

log a 4







log (1 4 ) log a4 log a9

a



Nên log (1 4 )4 log (1 4 ) log 9 (1 4 ) log (99 9 9 9 )

4

a

(đpcm)

log (1 4 ) log (9a a 2 )a

Ví dụ 7 : Chứng minh rằng : loga bloga c (b c ),a b c, , ;1 a b c, 0

Giải :

a b c a b c

Đặt : A=logab => b=Aa>A>1

Lop12.net

Ta có 1 1

=>  A A

a c a   c b c

=> A> loga c (b c )

=> loga bloga c (b c ),a b c, , ;1 a b c, 0 (đpcm)

4

Giải :

Đặt A= logb+ca => (b+c)A = a>

1 2

2 2

Mà 1<b+c<4 nên (b+c)A<4A=22A=> 22A> => 2A> => A>

1 2

2

1 4

 logb+ca >1

4 Tương tự : logc+ab >1, logb+ac >

4

1 4

4

Ví dụ 9 : Chứng minh rằng : log ( 1) log ( 1) log ( 1) 6 , , , 1,1

  Giải :

x x    x x x 

  Khi đó :

2(log log log ) log ( ) log ( ) log ( ), , , ,1

  Mặt khác : logab,logbc,logca>0 => loga blogb clogc a3 log log log3 a b b c c a 3

=> log ( 1) log ( 1) log ( 1) 6 , , , 1,1 (đpcm)

  Dầu bằng xảy ra  a=b=c=1/2

Lop12.net