Bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác (LV thạc sĩ)

Bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác

TRẦN HUY THỤY

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN

ĐẾN NHIỀU TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TRẦN HUY THỤY

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN

ĐẾN NHIỀU TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Mục lục

Danh mục ký hiệu iii

Chương 1 Bất đẳng thức đối với hai tam giác liên quan 4

1.1 Kiến thức bổ trợ 4

1.1.1 Các bất đẳng thức cơ bản 4

1.1.2 Các đại lượng và định lý thông dụng trong tam giác 6

1.2 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe 12

1.2.1 Giới thiệu về Daniel Pedoe 12

1.2.2 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe 12

1.2.3 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe mở rộng 14

1.3 Tam giác trực tâm 21

1.3.1 Mô tả bài toán 21

1.3.2 Các kết quả chính 21

1.4 Tam giác trung tuyến 24

1.4.1 Mô tả bài toán 24

1.4.2 Các kết quả chính 24

1.5 Các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin 28

1.5.1 Bất đẳng thức giữa các cạnh và các góc của các tam giác 28 1.5.2 Một số hệ quả 29

Chương 2 Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác 36 2.1 Dãy các tam giác 36

2.1.1 Phát biểu bài toán 36

2.1.2 Các kết quả chính 37

2.2 Bất đẳng thức Oppenheim đối với nhiều tam giác 38

2.2.1 Giới thiệu 38

2.2.2 Các kết quả chính 39

2.3 Bất đẳng thức giữa một tam giác với nhiều tam giác liên quan 41 2.3.1 Bất đẳng thức diện tích cho hai tam giác có quan hệ với nhau 41

2.3.2 Bất đẳng thức diện tích cho n tam giác 43

2.3.3 Bất đẳng thức cho các góc của dãy n tam giác 44

2.3.4 Bất đẳng thức bao gồm bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp 44

2.3.5 Bất đẳng thức bao gồm nửa chu vi và bán kính đường tròn ngoại tiếp 45

2.3.6 Bất đẳng thức bao gồm diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp 46

2.3.7 Các trường hợp đặc biệt 46

Tài liệu tham khảo 50

Danh mục ký hiệu

a, b, c Độ dài các cạnh BC, CA, AB

ma, mb, mc Độ dài các trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c

wa, wb, wc Độ dài các phân giác ứng với các cạnh a, b, c

ha, hb, hc Độ dài các đường cao ứng với các cạnh a, b, c

r, R Bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

ra, rb, rc Bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với các cạnh a, b, c

P a2 Tổng a2 + b2 + c2

P(a2a02) Tổng a2a02+ b2b02+ c2c02

P cot A Tổng cot A + cot B + cot C

{E} "Đẳng thức xảy nếu và chỉ nếu tam giác ABC là tam

giác đều"

{Sn} "Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n tam giác là đồng dạng".

Mở đầu

Bất đẳng thức liên quan đến hai hay nhiều tam giác, hoặc một dãy các tamgiác cho biết mối quan hệ mật thiết nào đó giữa các đại lượng của các tam giác.Các bất đẳng thức này thuộc loại khó và có số lượng rất khiêm tốn so với cácbất đẳng thức trong một tam giác

Cho tam giác ABC, với a, b, c là các cạnh, s, R, r và ∆ lần lượt là nửa chu

vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, và diện tích

w a , w b , w c lần lượt là các phân giác trong của các góc, và h a , h b , h c lần lượt là cácchiều cao Tương tự, đối với tam giác A0B0C0, độ dài các cạnh và các đại lượngkhác được ký hiệu là a0, b0, c0,

Đã có một thời gian dài các học giả nghiên cứu về bất đẳng thức giữa haitam giác Hai trong những bất đẳng thức nổi tiếng đó là bất đẳng thức củaNeuberg–Pedoe [5]

a02(b2+ c2− a2) + b02(c2+ a2− b2) + c02(a2+ b2− c2) ≥ 16∆∆0

và bất đẳng thức Klamkin [2]

a02+ b02+ c02≥ (−1)n+1(2a0b0cos nC + 2b0c0cos nA + 2c0a0cos nB).

Gần đây, các học giả Trung Quốc đã tìm thêm một số bất đẳng thức mới liênquan hai tam giác (xem [5]) Chẳng hạn như, Zhang và Gao đã chứng minh bấtđẳng thức như sau đây

a2a02+ b2b02+ c2c02≥ 16∆∆0,

a0(b + c − a) + b0(c + a − b) + c0(a + b − c) ≥√48∆∆0.

Mục đích của đề tài luận văn là tìm hiểu và học tập về các bất đẳng thức liênquan đến nhiều tam giác, từ đó hình thành một số chuyên đề phục vụ cho côngtác giảng dạy và bồi dưỡng Toán cho các học sinh ở bậc THPT Trong luận vănnày, tên gọi của các chương, các mục và các tiểu mục là do chúng tôi tự đặt ra

để cho phù hợp với nội dung tương ứng

Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo

Chương 1: Bất đẳng thức đối với hai tam giác trình bày các bất đẳng thứcđối với hai tam giác có liên quan đặc biệt nào đó (tam giác Trực tâm, tam giácTrung tuyến), các bất đẳng thức liên quan đến các đại lượng độ dài, diện tích vàcác góc của hai tam giác bất kỳ (các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin,Pedoe, )

Chương 2: Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác trình bày cácbất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác Các vấn đề được trình bày trongchương này có thể tóm lược như sau

Trước hết là các bất đẳng thức liên quan đến dãy các tam giác Bắt đầu vớitam giác ABC, chúng ta liên tục xây dựng dãy các tam giác (A n B n C n )n∈N, với

A 0 B 0 C 0 = ABC và số đo góc và độ đo cạnh được định nghĩa một cách đệ quybởi

Sau cùng, xét các bất đẳng thức giữa tam giác ABC và n tam giác A i B i C i

liên quan với nhau theo hệ thức

ơn sâu sắc nhất đến Thầy

Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Ban Giám hiệu, PhòngĐào tạo, Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên,các thầy, các cô giảng dạy lớp cao học toán K8YB đã trang bị kiến thức, tạođiều kiện thuận lợi trong suốt quá trình em học tập tại Trường cũng như quátrình làm luận văn

Em xin cảm ơn các thầy, cô trong Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trườngTrung học Phổ thông trường THPT Mù Cang Chải, Yên Bái nơi mà em đangcông tác đã luôn tạo điều kiện giúp đỡ và động viên Xin cảm ơn bạn bè và cáchọc viên trong lớp cao học toán K8YB đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ

em trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Sự quan tâm, động viên và khích lệ của gia đình cũng là nguồn động viên lớn

để em hoàn thành khóa luận này

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Tác giả

Trần Huy Thụy

Chương 1

Bất đẳng thức đối với hai tam giác liên quan

Chương này trình bày một số kiến thức bổ trợ về bất đẳng thức của dãy số

và về tam giác, các bất đẳng thức đối với hai tam giác có liên quan đặc biệtnào đó (tam giác trực tâm, tam giác trung tuyến), các bất đẳng thức liên quanđến các đại lượng độ dài, diện tích và các góc của hai tam giác bất kỳ (Các bấtđẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin, Pedoe, Nội dung cơ bản của Chươngnày được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [3-5]

1.1 Kiến thức bổ trợ

1.1.1 Các bất đẳng thức cơ bản

Các bất đẳng thức đại số được ứng dụng rất sâu rộng trong chứng minh bấtđẳng thức hình học Trong luận văn này xin trình bày lại một số bất đẳng thứcđại số cơ bản nhất đó là bất đẳng thứcAM −GM (Arithmetic Mean - GeometricMean), bất đẳng thức Cauchy - Schawrz, bất đẳng thức Chebyshev

Định lý 1.1 (Bất đẳng thứcAM −GM).Vớinsố thực không âm bất kìa 1 , a 2 , , a n,

Hệ quả 1.1 (Bất đẳng thức GM − HM).Với mọi bộ số dương ta đều có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n

Hệ quả 1.2 Với mọi bộ số dương a 1 , a 2 , , a n ta đều có

1 n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n

Hệ quả 1.3 Với mọi bộ số không âm a 1 , a 2 , , a n và m = 1, 2, ta đều có

1.1.2 Các đại lượng và định lý thông dụng trong tam giác

Trong phần này ta luôn giả sử tam giác ABC có:

• BC = a, CA = b, AB = c;

• ∆ là diện tích tam giác;

• s là nửa chu vi tam giác;

• m a , mb, m c , w a , wb, w c , h a , hb, h c lần lượt là độ dài các trung tuyến, các phângiác và các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c;

• r, R, r a , r b , r c lần lượt là các bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đườngtròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn bàng tiếp với các cạnh a, b, c củatam giác ABC

• P

a = a + b + c

Định lý 1.6 (Định lý hàm số sin) Trong mọi tam giác ABC có hệ thức

a sin A =

b sin B =

a sin A = 2R.

Định lý 1.7 (Định lý hàm số cosin) Trong mọi tam giác ABC có hệ thức

ABC được tính theo các công thức

= sr

= (s − a)r a = (s − b)r b = (s − c)r c

=ps(s − a)(s − b)(s − c) (Công thức Heron).

Định lý 1.12 (Bán kính đường tròn nội tiếp) Trong tam giác ABC ta có

B C

I O P

D

L

M A

Như vậy Định lý được chứng minh 

Hệ quả 1.4 Trong một tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp không bé hơnđường kính của đường tròn nội tiếp

Chứng minh Từ Định lý 1.14 và vì d ≥ 0 nên ta có

R2≥ 2Rr ⇔ R ≥ 2r.



Định lý 1.15 (Bất đẳng thức Weizenbock, 1885-1955, Thụy Sĩ) Giả sử a,b,c

là độ dài ba cạnh còn ∆ là diện tích của một tam giác thì

a2+ b2+ c2 ≥ 4√3∆. (1.5)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Chứng minh • Cách 1 Theo công thức Heron, ta có

2 sinA= 2(b2+ c2) − 4bc cos(A − π3)

≥ 2(b2+ c2) − 4bc = 2(b − c)2≥ 0.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = c và A = π

3 , tức tam giác ABC đều 

Định lý 1.16 (Định lý Weizenbock mở rộng) Cho x,y,z là các số thực thỏamãn các điều kiện x + y, y + z, z + x, xy + yz + zx ≥ 0 Đặt a,b,c là độ dài 3 cạnh

và ∆ là diện tích tam giác ABC Khi đó

xa2+ yb2+ zc2≥ 4√xy + yz + zx∆. (1.6)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

⇔ xa2+ yb2+ z(a2+ b2− 2ab cos C) ≥√xy + yz + zx2ab sin C

⇔ (x + z)a2+ (y + z)b2≥ 2ab[√xy + yz + zx sin C + z cos C]

1.2.1 Giới thiệu về Daniel Pedoe

Daniel Pedoe là giáo sư Toán học ở trường Đại học của Minnesota Được sinh

ra, lớn lên và học tập ở Anh Ông nhận được bằng Tiến sĩ ở Đại học Cambridgenăm 1937 và có một năm là thành viên của Viện nghiên cứu cao cấp Princeton.Năm 1947 ông nhận được học bổng Leverhulme, và trở lại Cambridge để làmviệc với William Hodge về vấn đề "Phương pháp đại số hình học" (CambridgeUniversity Press) Ba công trình của nội dung được đánh giá cao này đã đượcdịch sang tiếng Nga, và hai tập đầu tiên đã được tái phát hành bởi Đại họcCambridge Pedoe đã được phong học hàm Giáo sư ở Sudan và Singapore Ôngtrở thành công dân Hoa Kỳ vào năm 1962 Ông là tác giả của nhiều cuốn sáchtoán học, tất cả đều thể hiện sự quan tâm sâu sắc của ông trong hình học Ông

đã có một món quà cho triển lãm được thể hiện bởi sự thành công của "Nghệthuật dịu dàng của Toán học" (The Gentle Art of Mathematics), xuất bản bởiPenguin Books, và các học bổng của giải thưởng Lester R Ford cho triển lãmcủa Hiệp hội toán học của Mỹ

1.2.2 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe

Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe được phát biểu bởi Định lý sau:

Định lý 1.17 Ký hiệu a i , b i , c i , ∆ i tương ứng là độ dài các cạnh và diện tíchcủa tam giác A i B i C i , i = 1, 2. Khi đó có bất đẳng thức

c21U − b

2 1

c21V

ta có

U V + V W + W U = −a

2 1

c 2 1

1 c 2 1

V2

= −a

2 1

c 2 1

V

2

− 16∆

2 1

4a 2

1 c 2 1

hơn, với vế lớn hơn chúng tôi có một biểu thức đối xứng liên quan giữa sáu cạnhcủa hai tam giác, và ở vế nhỏ hơn chúng tôi có một biểu thức đối xứng liên quantới các thành phần của chúng.

Ký hiệu và các bổ đề cơ bản

Cho tam giác ABC và tam giác A0B0C0 là hai tam giác giác bất kì a, b, c làcác cạnh của tam giác ABC tương ứng đối diện với các góc A, B, C. Diện tíchtam giác ABC kí hiệu là ∆ Tương tự như vậy, các kí hiệu a0, b0, c0, A0, B0, C0 và

∆0 được kí hiệu cho tam giác A0B0C0

cot A = cot A + cot B + cot C,

Trong suốt mục này, chúng ta sẽ kí hiệu hai biểu thức sau

trong R3 Chúng ta có tích vô hướng của hai véc tơ − →u và − →v thỏa mãn

tan A = tan A + tan B + tan C

= tan A + tan B − tan(A + B) (vì C = 1800− (A + B))

= tan A + tan B − tanA + tan B

B

b

Hình 1.2:

Biểu thức trung gian cho bất đẳng thức của Pedoe

Ta đã biết Định lý của Pedoe phát biểu như sau: Cho hai tam giác ∆ABC và

∆A0B0C0 bất kì, khi đó D ≥ 16∆∆0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC ∼

∆A0B0C0. Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một biểu diễn trung gian giữaD và 16∆∆0

Tiếp theo ta thấy rõ ràng (1) suy ra (2) Bởi Bổ đề 1.3, nên (2) suy ra (3).Cuối cùng, vì (3) suy ra cả (2) và E = 16∆∆0 nên ta có (3) suy ra (1) Do đóchứng minh được hoàn thành Nhận xét 1.1 Như ví dụ minh họa dưới đây, hiệu giữa Dvà 16∆∆0 có thể khálớn khi so với hiệu giữa E và 16∆∆0

Ví dụ 1.1 Cho tam giác ABC có a = 3, b = 4, c = 5 và cho tam giác A0B0C0 có

a0 = 6, b0 = 7, c0= 8. Khi đó D = 2034 > E = 1974 > 16∆∆0= 1952.

1.3 Tam giác trực tâm

1.3.1 Mô tả bài toán

Trong mục này chúng tôi trình bày việc xây dựng một tam giác mới (tamgiác trực tâm) từ một tam giác đã cho

Chúng ta sử dụng các khái niệm chuẩn của tam giác Cho tam giác ∆ABC,với a, b, c là các cạnh, s, R, r và ∆ lần lượt là nửa chu vi, bán kính đường trònngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, và diện tích Chúng tôi bắt đầu bằngphép dựng hình đơn giản Cho H là trực tâm của tam giác ABC Dựng đườngtròn tâm H, bán kính R0 = √

2Rr, cắt các nửa đường thẳng HA, HB, HC lầnlượt tại các điểm A0, B0, C0. Chúng ta quy ước gọi tam giác A’B’C’ là tam giáctrực tâm của tam giác ABC (Hình 1.3)

Nếu tam giác ABC vuông ở A, với chiều cao AD (D trên BC), ta chọn A0

trên AD sao cho A nằm giữa D và A0 Ta có các đẳng thức và bất đẳng thứcgiữa tam giác ABC và tam giác trực tâm của nó phát biểu bởi các mệnh đề sau

Hình 1.3: Tam giác trực tâm A 0 B 0 C 0

p

b(c + a − b).pc(a + b − c).

r

s(s − a) bc

=ps(s − a)(s − b)(s − c) = ∆



= sin A0+ sin B0+ sin C0.

e) Ta có

R0= a0+ b0+ c02(sin A 0 + sin B 0 + sin C 0 )

≤ 2(sinA + sin B + sin C)a + b + c = R.

1.4 Tam giác trung tuyến

1.4.1 Mô tả bài toán

Trong mục này, chúng tôi trình bày lại mở rộng kết quả sau của Zivanovic.Giả sử P là một điểm bất kỳ bên trong hoặc trên một tam giác đều ABC vànếu A0, B0, C0 ký hiệu là các điểm đối xứng với P qua các cạnh BC, CA, AB, ∆

và ∆0 ký hiệu cho các diện tích tam giác ABC và A0B0C0, chúng ta gọi tam giác

A0B0C0 là tam giác trung tuyến của điểm P đối với tam giác ABC, khi đó ta có:

∆0≤ ∆. (1.12)Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếuP là trọng tâm của tam giác ABC. Một chứngminh trực tiếp dưới đây bởi việc thay tam giác đều ABC là một tam giác bất

kỳ Tỉ số của các diện tích và tỉ số của các độ dài của các cạnh là được bảo toàn,kết quả là tương đương với bất đẳng thức của Zivanovic (Hình 1.4)

Hình 1.4: Tam giác A 0 B 0 C 0 là tam giác trung tuyến của điểm P đối với tam giác ABC

đẳng hơn bởi chúng minh gợi ý mở rộng của bất đẳng thức đã biết

x + y + z

3 ≥nxy + yz + zx3 o

1 2

= max {sin2A, sin2B, sin2C }.

Với trường hợp khi một góc của tam giác ABC là một góc vuông, điểm cực đại

P tìm thấy bên phần trong cạnh huyền, tức là, nếu

ab +

qr

bc +

rp ca

12

(1.14)trong đó,a, b, c là các cạnh của một tam giác không nhọn p, q, r ≥ 0 và dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi

p a(b 2 + c 2 − a 2 ) =

q b(c 2 + a 2 − b 2 ) =

r c(a 2 + b 2 − c 2 )

Để thành lập (1.14) (mà cũng suy ra (1.12)) trong dạng cơ sở, cho

p = a(b2+ c2− a2)u, q = b(c2+ a2− b2)v, r = c(a2+ b2− c2)w.

Khi đó (1.14) được chỉ ra vì nó có thể viết lại như sau

(b2+ c2− a2)(c2+ a2− b2)(8∆2− a2b2)(u − v)2+ (c2+ a2− b2)(a2+ b2− c2)(8∆2− b2c2)(v − w)2+ (a2+ b2− c2)(b2+ c2− a2)(8∆2− c2a2)(w − u)2 ≥ 0



x2+ xy + y2

1 2

≤

√ 3

1.5.1 Bất đẳng thức giữa các cạnh và các góc của các tam giác

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày một bất đẳng thức tổng quát về mốiquan hệ giữa các cạnh của một tam giác với các góc của một tam giác khác

Trường hợp cụ thể với n = 1 và n = 2 sẽ được đề cập đến trong các mục tiếptheo.

sin B0sin nB =

sin C0sin nC. (1.18)

Trường hợp n = 1 bất đẳng thức (1.16) có thể được viết lại một cách tươngđương dưới dạng

sin A + sin B + sin C ≥ 4 sin A sin B sin C

= sin 2A + sin 2B + sin 2C {E},[[3], tr 18].