một số lớp hàm dạng đặc biệt và các bất đẳng thức liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐỖ THỊ HUỆ MỘT SỐ LỚP HÀM DẠNG ĐẶC BIỆT VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014... Một số các bất đẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ THỊ HUỆ

MỘT SỐ LỚP HÀM DẠNG ĐẶC BIỆT

VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ THỊ HUỆ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS: HOÀNG VĂN HÙNG

Thái Nguyên - Năm 2014

Mục lục

1.1 HÀM LỒI 5

1.1.1 Định nghĩa 5

1.1.2 Tính chất của hàm lồi và hàm lõm 6

1.2 BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 9

1.2.1 Định lý (J.Jensen) 9

1.2.2 Bổ đề 10

1.2.3 Định lý (J.Jensen) 11

1.3 MỘT SỐ HỆ QUẢ CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 13 1.3.1 Định lý: 13

1.3.2 Định lý: 13

1.3.3 Ví dụ áp dụng: 13

1.3.4 Bất đẳng thức Nesbitt suy rộng 18

1.3.5 Bất đẳng thức Cauchy 19

1.3.6 Bất đẳng thức Holder 19

1.3.7 Bất đẳng thức Holder dạng tích phân 20

1.3.8 Hệ quả: 21

1.3.9 Bất đẳng thức Cauchy dạng tích phân 22

1.4 BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA 22

1.4.1 So sánh hai dãy giảm 22

1.4.2 Bất đẳng thức Karamata 22

1.4.3 Một số áp dụng của bất đẳng thức Karamata 24

2 HÀM LỒI NHIỀU BIẾN VÀ CÁC HÀM NỬA CỘNG TÍNH,THUẦN

2.1 TẬP LỒI VÀ NÓN LỒI TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ

-HÀM LỒI NHIỀU BIẾN 29

2.1.1 Định nghĩa 29

2.1.2 Hàm lồi n biến 30

2.2 CÁC HÀM NỬA CỘNG TÍNH VÀ CÁC HÀM THUẦN NHẤT DƯƠNG 30

2.2.1 Định nghĩa 30

2.2.2 Mệnh đề: 31

2.2.3 Mệnh đề: 31

2.2.4 Mệnh đề: 33

2.2.5 Mệnh đề [N.H Bingham and A.J Ostaszewski] 33

2.2.6 Định lý [Janus Matkowski] 34

2.2.7 Hệ quả 35

2.3 TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI NHIỀU BIẾN 36

2.3.1 Mệnh đề 36

2.3.2 Mệnh đề: 36

2.3.3 Mệnh đề: 37

2.3.4 Định lý: 37

2.3.5 Hệ quả: 38

2.4 MỘT SỐ ÁP DỤNG VÀO LÝ THUYẾT CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 39

2.4.1 Chứng minh khác của bất đẳng thức Minkowski 39

2.4.2 Chứng minh khác của bất đẳng thức Minkowski ngược ( trường hợp 0 < p < 1) 40

2.4.3 Chứng minh khác của bất đẳng thức Holder 41

2.4.4 Hàm dưới cộng tính thuần nhất bậc k 42

2.4.5 Định lý: 45

2.4.6 Định lý: 45

LỜI NÓI ĐẦU

Một số bất đẳng thức nổi tiếng như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thứcJensen, bất đẳng thức Karamata, liên quan đến các hàm lồi và các hàmlõm Một số các bất đẳng thức nổi tiếng khác như bất đẳng thức Mincowski,Holder, liên quan đến các hàm nửa cộng tính và thuần nhất dương Điềunày chứng tỏ nhiều bất đẳng thức quan trọng là hệ quả của các tính chấthàm số thuộc một lớp đặc biệt nào đó Do đó nghiên cứu các tính chất củacác hàm số có tính chất đặc biệt giúp phát hiện các bất đẳng thức mới và đôikhi là các cách chứng minh mới, đơn giản hơn các chứng minh đã biết Bảnluận văn “Một số lớp hàm dạng đặc biệt và các bất đẳng thức liênquan” gồm Lời nói đầu, hai chương, phần kết luận và Tài liệu tham khảo.Chương 1 HÀM LỒI VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN

Chương này trình bày định nghĩa hàm lồi, hàm lõm, các tính chất quantrọng của hàm lồi, hàm lõm và cách chứng minh của một loạt các bất đẳngthức nổi tiếng dựa trên tính chất của các hàm này: bất đẳng thức Cauchy, bấtđẳng thức Jensen(dạng dãy và dạng tích phân), bất đẳng thức Holder(dạngdãy và dạng tích phân), bất đẳng thức Karamata, và các hệ quả Tác giảcũng trình bày chứng minh một loạt các bất đẳng thức khó trong chươngtrình toán sơ cấp dựa trên các bất đẳng thức nổi tiếng vừa kể trên Một sốtrong các bất đẳng thức này, theo ý kiến chủ quan của tác giả, chỉ có thểchứng minh dựa trên lý thuyết hàm lồi (ví dụ bất đẳng thức Jensen dạngtích phân và một số các bất đẳng thức trong tam giác của mục 1.3.3)

Chương 2 HÀM LỒI NHIỀU BIẾN VÀ CÁC HÀM NỬA CỘNG TÍNH,THUẦN NHẤT DƯƠNG

Chương này xét các hàm lồi nhiều biến, các hàm nửa cộng tính, các hàm

thuần nhất dương và các bất đẳng thức liên quan Tư liệu của chương nàyđược tuyển chọn từ các tài liệu [N.H Bingham and A.J Ostaszewski], [JanusMatkowski], [H.V.Hùng và L.M.Tiến] Các hàm dưới cộng tính và thuần nhấtdương trên một nón lồi K với đỉnh tại không trong không gian Rn là một lớpcon của lớp các hàm lồi trên K và có nhiều tính chất khá đặc sắc Tác giảtrình bày một loạt các tính chất của hàm lồi nhiều biến, các hàm nửa cộngtính, thuần nhất dương, chứng minh một tổng quát hóa của một kết quảcủa Janus Matkowski trong bài báo [Janus Matkowski] Dựa trên sự tổngquát hóa này tác giả đã đưa ra chứng minh ngắn của các bất đẳng thứcMincowski ( thuận và nghịch) trong trường hợp tổng quát và bất đẳng thứcHolder Trong chương này tác giả cũng chứng minh một số khẳng định mô

tả đặc trưng của các hàm dưới cộng tính và k – thuần nhất trên một nón lồi

K trong không gian véc tơ thực V và cho áp dụng của các khẳng định nàydưới dạng một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ( mệnh đề 2.4.4).Cuối cùng tác giả trình bày một mở rộng của một kết quả trong [H.V.Hùng

và L.M.Tiến] (định lý 2.4.6) và cho 3 ví dụ minh họa Bản luận văn này đượchoàn thành dưới sự hướng dẫn của T.S Hoàng Văn Hùng, Viện Khoa học

Cơ bản - Đại học Hàng Hải Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành tới thày hướng dẫn về các ý tưởng của bản luận văn cũng như sự tậntụy trong công việc hướng dẫn Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thày

cô trong khoa Toán –Tin, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạocác điều kiện thuận lợi để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Người viết

Đỗ Thị Huệ

f (λz + (1 − λ)t) ≥ λf (z) + (1 − λ)f (t) (1.2)

Nếu trong (1.1) và (1.2) khi z, t phân biệt ta có dấu bất đẳng thức thực sựthì hàm f(x) gọi là lồi chặt ( tương ứng: lõm chặt) trên (a;b) Tính lồi, lõmcủa hàm f(x) trên một khoảng đóng hoặc nửa đóng được định nghĩa tương tự

1.1.2 Tính chất của hàm lồi và hàm lõm

Tính chất 1 Nếu f(x) lồi trên khoảng (a;b) thì với 3 số thực phân biệt

x, z, t thuộc khoảng (a;b) thoả mãn t < z ta luôn có:

Bây giờ giả sử a < x < t < z < b

Áp dụng điều vừa chứng minh ta có:

Vậy tính chất 1 được chứng minh hoàn toàn

Nhận xét : Nếu f(x) là lồi chặt thì trong bất đẳng thức (1.3) dấu “ ≤” đượcthay bằng dấu “<” vì theo cách đặt ta có 0 < λ < 1

Tính chất 2 Hàm f(x) lồi trên khoảng (a;b) liên tục và có đạo hàm mộtphía tại mọi điểm x thuộc khoảng (a;b), đồng thời f−0 (x) ≤ f+0 (x) với mọi

x∈ (a;b) Nếu f(x) xác định trên khoảng đóng [a;b], lồi trên khoảng mở (a;b),liên tục phải tại a, liên tục trái tại b thì f(x) lồi trên khoảng đóng [a;b]

(Các ký hiệu f−0 (x), f+0 (x)tương ứng chỉ đạo hàm trái và đạo hàm phải củahàm f tại x)

Chứng minh Giả sử x là số tuỳ ý thuộc khoảng (a;b) và t < x < z Theotính chất 1 ta có:

z − x không giảm theo z trên (x; b) và bị chặn dưới bởi

vế trái của (1.3) Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn:

t − x là hàm không giảm theo t trên (a;x) và bị

chặn trên bởi vế phải của (1.8), do đó tồn tại giới hạn:

Vậy phần đầu của tính chất 2 được chứng minh Bây giờ giả sử f(x) lồi trênkhoảng mở (a;b) và z = a, t∈ (a; b) Khi đó với z’ tùy ý ∈ (a; b) và λ ∈ (0; 1)

Vậy bất đẳng thức (1.1) trong định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn khi z = a,

t ∈ (a; b) Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh được bất đẳng thức(1.1) được thỏa mãn khi z ∈ (a; b), t = b hoặc z =a, t = b Vậy f(x) lồi trênkhoảng đóng [a;b]

Tính chất 3 Nếu f(x) có đạo hàm và f ’(x) không giảm trên (a;b) thìf(x) lồi trên (a;b) Nếu f(x) có đạo hàm cấp hai f ”(x) ≥ 0 trên (a;b) thì f(x)lồi trên (a;b) Nếu f ’(x) không tăng trên (a;b) thì f(x) lõm trên (a;b) Nếuf(x) có đạo hàm cấp hai f ”(x) ≤ 0 trên (a;b) thì f(x) lõm trên (a;b)

Chứng minh

Vì điều kiện f ”(x) ≥ 0 kéo theo f ’(x) không giảm trên (a;b) nên chỉ cầnchứng minh khẳng định thứ nhất Giả sử t < z là hai số thực tuỳ ý thuộckhoảng (a;b) và 0 < λ < 1 Đặt : x = λz + (1 − λ)t → t < x < z

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm f trên các khoảng (t;x) và (x;z) ta được:

Vậy f lồi trên khoảng (a;b) Nếu f ’(x) không tăng hoặc f ”(x) ≤ 0 trên (a;b)thì - f ’(x) không giảm ( tương ứng - f ”(x) ≥ 0) trên (a;b) nên theo chứngminh trên– f(x) là lồi, do đó f(x) lõm trên (a;b).

Tính chất 4 Nếu g là hàm lồi trên (a;b) và f là hàm lồi không giảm trênkhoảng (A;B) chứa tập giá trị g((a;b)) thì hàm hợp f(g(x)) lồi trên (a;b).Nếu g là hàm lõm trên (a;b) và f là hàm lõm không giảm trên khoảng (A;B)chứa tập giá trị g((a;b)) thì hàm hợp f(g(x)) lõm trên (a;b)

Nhận xét: Khẳng định của định lý 1.2.1 rõ ràng vẫn đúng nếu một vài

λi = 0

1.2.2 Bổ đề

Giả sử h(x),g(x) là các hàm liên tục trên khoảng đóng [α;β] và

P: α = x0 < x1 < < xn = β là một phân hoạch tuỳ ý của khoảng [α;β],

δ(P ) = max1≤i≤n(xi− xi−1) là độ mịn của phân hoạch P

Khi đó với cách chọn tuỳ ý các điểm si, ti ∈ [xi−1; xi] ( i = 1 n) ta có:

Giả sử ε > 0 tuỳ ý, tồn tạiδ1 = δ1(ε) > 0 sao cho khi δ(P ) ≤ δ1 có bất đẳngthức:

< ε

2 (1.11)

Vì g(x) liên tục trên [α; β] nên tồn tại số M>0 sao cho

max {|g(x)| : x ∈ [α; β]} ≤ M

Hàm h(x) liên tục trên [α;β] nên h(x) liên tục đều trên khoảng đóng này,

do đó tồn tại số δ2 = δ2(ε) > 0 sao cho khi s, t ∈ [α;β], |s − t| ≤ δ2 →

|h(s) − h(t)| < ε

2M (β − α) Đặt δ = min(δ1, δ2) > 0, khi δ(P ) ≤ δ ta có

(1.11) và đánh giá:

... data-page="15">

1.3 MỘT SỐ HỆ QUẢ CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN

Để tiện áp dụng định lý 1.3.2 bất đẳng thức ta xem

α, β, γ số đo radian góc A,B,C tam giác ABC, hiểnnhiên bất đẳng thức đưa đại... = Tn Nhưng từ bất đẳng thức cuối ta suy rabất đẳng thức (1.34) Nếu f hàm lõm –f hàm lồi, từ bất đẳngthức (1.34) ta suy bất đẳng thức (1.35)