d- Viết phương trình tiếp tuyến với C tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.. e- Viết phương trình tiếp tuyến với C tại biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y .[r]
Trang 1Quang Thiện
BÀI TẬP: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN
1 Cho hàm số 3 1 cú đồ thị CMR
1
x y
x
hàm số đồng biến trờn khoảng xỏc định
2 Tỡm cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
2
2
y x x
3 Cho hàm số y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 Tìm m
để hàm số luôn đồng biến
4 Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2 Tìm m để
hàm số luôn đồng biến.
5 Chửựng minh raống vụựi x > 0, ta coự: 3 sin
6
x
6 Cho haứm soỏ f x 2sin x tan x 3 x
a CMR haứm soỏ ủoàng bieỏn treõn 0;
2
2
x x x x
II CỰC TRỊ
Cõu1: Chứng minh hàm số
luụn cú cực trị với mọi
3 2
1
3
y x mx m x
giỏ trị của tham số m
Cõu 2: Xỏc định tham số m để hàm số
đạt cực đại tại điểm
y x mx m x
.
2
x
Cõu 3: Cho hàm số 2 2 4, m là tham số
2
y
x
, cú đồ thị là Cm
Xỏc định m để hàm số cú cực đại và cực tiểu
Cõu 4: Tỡm a để hàm số đạt cực tiểu
2 2 2
y
x a
khi x=2
Cõu 5: Tỡm m để hàm số
cú một cực đại tại
y mx m x m
1
2
x
Cõu 6: Tỡm m để hàm số sau đõy đạt cực trị
1) y x 3 2 x2 2 mx 3 2) 2 1 2 3)
1
y
x
2 2
2
y
x
Cõu 7: Tớnh giỏ trị cực trị của hàm số
2
3
x x y
x
Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Cõu 8: Tớnh giỏ trị cực trị của hàm số
.Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm
3 2 2 1
cực trị
Cõu 9: Tỡm m để hàm số y m 2 x3 3 x2 mx 5
cú cực đại, cực tiểu
III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT
1 Tỡm GTNN, GTLN của hàm số: yx2 4x2
2 Tỡm GTLN, GTNN của hàm số y 3 x 10 x2
3 Tỡm GTLN, GTNN của hàm số y x4x
4 Tỡm GTLN và GTNN của hàm số f x x4 2 x2 1 trờn đoạn 0; 2
5 Tỡm GTLN và GTNN của hàm số f x x 2 osx c
trờn đoạn 0;
2
6 Tỡm GTLN, GTNN của hàm số: f x x 9 trờn
x
đoạn 2; 4
7 Tỡm GTLN và GTNN của hàm số 1 4
2
x
trờn đoạn 1; 2
8 Tỡm GTLN và GTNN của hàm số
trờn đoạn
2 3 6 2 1
f x x x 1;1
9 Tỡm GTLN và GTNN của hàm số 2 1 trờn
3
x
f x
x
đoạn 0; 2
Bài tập
Bài 1:Tỡm GTLN –GTNN của hàm số sau : a)y 2x 3 3x2 36x 10 trờn -5;4
b)y x4 2x2 5 trờn ;
2 2
Trang 2Quang Thiện
c) y=(1+sinx)cosx trên đoạn 0;2
IV TIỆM CẬN
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số
sau:
2
x
y
x
2 2
3 4
y x
V.KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ:
Bài 1: Khảo sát và vẽ các đồ thị sau:
1) y = 4x3 – 2x2 – 3x + 1; 2) y = x3 – 3x2 – 4x + 12;
3) y = x3 – 3x2 + 6x – 8;5) y = x3 -4x + 3
;6) y = x3 + 6x2 +9x - 4 7) y = -x3 – 3x2 + 4
8) y = -2x3 + 3x2 - 4 ; 9) y = x3 - 3x2 +5x -2
10) y = - + 2x2 – 3x -1 ;11) y = 4x3 – 3x ;12) y = x3 -3x
3
3
x
13) y = x3 – 3x2 + 2x ; 14) y = - 2x2 + 1 ; 15) y = x3 _ 1
16) y =- x3 – 2x2 17) y =-x3 + 3x2 + 9x -1;
18) y =- x3 – 2x2 + x
19) y = x3 – 4x2 + 4x ; 20) y = - x1 2 – 2x2 – 3x + 1;
3
21) y = x3 – 3x2 + 2x 22) y = x3 – 3x2 + 3x + 1 ;
23) y = x3 – 6x2 +9x – 1 24) y = - x3 – 3x2 – 4
25) y = x3 – 7x + 6 ; 26) y = x3 + 1
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau.
1) y = x4 – 2x2 + 1 ; 2) y = - x4 – 2x2 ; 3) y = x4 – 3x2 + 2
4) y = x4 – 4x2 + 3 ;5) y = x4 – 5x2 + 4 ; 6) y = x4 – 4x2
7) y = -x4 + 2 ; 8) y = -x4 + 3 ; 9) y = x4 – 2x2
Bài 3: Khảo sát và vẽ các đồ thị sau:
1) y = 1 ; 2) y = ; 3) y = ;
1
x
x
3 3
x x
6
x x
4) y = 2 3 5) y = ; 6) y = ,
3
x
x
2
x x
x x
7) y = 5 2 ; 9) y = ; 10) y = ,
x
x
2 2
x x
5 3
x x
11) y = 2 6,12) y = 13) y = ,
3
x
x
5
x x
1
x x
14) y = 5 ,15) y = ,16) y =
2
x
x
3 1
x x
7
x x
Bài 4: Cho hàm số y x 3 3 x 2 ( ) C
1/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2/Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
2; 4
o
3/Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng y 24 x 2008 ( ) d
4/Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng: 1
2008 ( ') 3
5/Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung
6/Biện luận số nghiệm của phương trình:
theo m
3 3 6 3 0
x x m 7/Biện luận số nghiệm của phương trình:
theo m
3
| x 3 x 2 | m
Bài 5: Cho hàm số 1 4 2 5
y x x C
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết pt tt với đồ thị (C) tại điểm 2;5
2
3 Biện luận số nghiệm của pt:
4 2
m
Bài 6:1 Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số
3 3 2
y x x
2 Dựa vào đồ thị C , biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 3 x2 m 0
Bài 7: Cho hàm số y 2 x3 3 x2 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
3 2
2 x 3 x 1 m
Bài 8: Cho hàm số y x 4 2 x2 1, gọi đồ thị của hàm
số là C 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm cực đại của C
Bài 9: Cho hàm số y x 3 3 mx2 4 m3 cĩ đồ thị Cm ,
m là tham số
1 Khảo sát và vẽ đồ C1 của hàm số khi m=1
Trang 3Quang Thiện
2 Viết PTTT của đồ thị C1 tại điểm cĩ hồnh độ x1
Bài 10: 1 Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số
3 6 2 9
y x x x
2 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị
C
3 Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng
đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai
2
y x m m
điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị C
Bài 11: (ĐH -KA –2002) ( C )
3 3 2 3(1 2) 3 2
y x mx m x m m
a-khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) khi m =1
b- Tìm k để pt : x3 3 x2 k3 0 Có 3
nghiệm phân biệt
Bài 12: Cho hs : ( C ) y x3 3 x 2
a-Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C )
b Viết PTTT ( C) qua A ( -2;0)
c Biện luận SNPT : x3- 3x+3 + 2m=0
Bài 13: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1 Tại điểm có hoành độ bằng 2
2 Tại điểm có tung độ bằng 3
3 Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007
4 Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y =
10 x
24
1
Bài 14: Cho hs : ( C ) 2 4
1
x y x
a-KS-( C ) b-CMR: đthẳng y
=2x+m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A;B với
mọi m Xác định m để AB ngắn nhất
Bài 15: - Cho hs : ( C ) 2
1
x y x
a-KSHS b-Tìm m đth y= mx+m+3
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao
điểm của đồ thị hàm số với trục tung
d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao
điểm của đồ thị hàm số với trục hoành
e- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng 1 2007
4
y x
Bài 16: Cho HS ( C ) y = x3 - 6x2 +9x-1
a- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên
b- (d) qua A(2;1) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 17: Cho hàm số y x 4 2 x2 1, gọi đồ thị là (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C)
Bài 18: Cho hàm số 2 1( )
1
x
x
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt song song với đường thẳng y = 4x -2
c Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất
Bài 19: Cho hàm số y x 3 3 ( ) x C
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b Tìm k để đường thẳng y kx 2 k tiếp xúc với (C)
Bài 20: (ĐH – KB – 2008) Cho hàm số
3 2
4 6 1 ( )
y x x C
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b Viết pttt biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; -9) Bài 21: Cho hàm số ( ) Khảo sát và vẽ đồ
1
x
x
thị hàm số (C)
I)BÀI TẬP NÂNG CAO a) Bài tốn tiếp tuyến
1) Tìm tiếp tuyến của đồ thị x 2x x biết
3
1
tiếp tuyến song song với đường thẳng
3
8 x
2)Tìm các tiếp tuyến của đồ thị y= -x3+3x-2 kẻ từ điểm A(2;4)
3)Tìm những điểm trên trục hồnh kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y=x3-3x-2
4)Tìm những điểm trên đường thẳng y=-1 kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y=x3-3x2+3
5)Tìm những điểm trên đường thẳng y=1 kẻ được đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y=3x-4x3
6)Tìm những điểm trên đường thẳng y=x-3 kẻ được 2 tiếp tuyến vuơng gĩc đến đồ thị y=-2x3+x-3
7)Tìm những điểm trên đường thẳng y=-1 kẻ được 2 tiếp tuyến vuơng gĩc đến đồ thị y=4x3-3x
8)Tìm các tiếp tuyến của đồ thị y=2x 1 cĩ khoảng
x 1
cách đến I(-1;2) lớn nhất
b) Bài tốn cực trị
1) Tìm m để hàm số y=(m-1)x3-3(m+2)x2+3(m-3)x+2m-1
cĩ cực trị Hãy chỉ rõ những giá trị m mà hàm số cĩ cực đại và cực tiểu
2) Tìm a,b,c để hàm số y=x3+ax2+bx+c đạt cực trị tại x=0
và x=2 đồng thời điểm uốn cĩ tung độ bằng 1
3)Tính khoảng cách hai điểm cực trị của đồ thị hàm số sau đây theo m: y=x3-3(2m+1)x2+9(m2+m+1)x+m
Trang 4Quang Thiện
5) Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị y=x3-3mx2
-3x+2m thẳng hàng với điểm C(1;-3)
6) Tìm m để hình chiếu vuông góc của hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số y= -x3+3mx2+3x-2m lên đường
thẳng y= x+3 trùng nhau
4
1
7) Tìm k để tồn tại m sao cho đường thẳng nối 2 điểm cực trị
của đồ thị hàm số
y= x3-3mx2-3x+2m song song với đường thẳng y=kx
8)Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=(m2
-9)x3-3x2+3(m2+2m-3)x-m nằm về hai phía của trục tung
9) Tìm m để 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y=(m2-4)x3
-3(m+2)x2-12mx+2m nằm về hai phía đường thẳng x=1
10) Tìm m để 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y=(m-1)x3
-3(m+2)x2+3(m-3)x-m nằm bên phải của trục tung
11) Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị y=x3-3x2+m2-3m
nằm hai phía trục hoành
12) Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị hàm số
tại 2 điểm có khoảng cách ngắn nhất
1
x
1
x
y
12) Tìm điểm M(C): có tọa độ x,y nguyên
1 x 2
1 x y
II)BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1:Cho hàm số x có đồ thị ( C)
y
x 1
1)Khảo sát hàm số
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) tiệm
cận xiên và các đường thẳng x=2,x=4
3) Viết PTTT của (C) qua giao điểm hai tiệm cận
2
y
x m
thị (Cm) (m 0)
1)Khảo sát hàm số khi m= -1 (C-1)
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C-1) tiếp tuyến
của (C-1) tại
A(-1;0) và trục tung
3)Cmr (Cm ) luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định
song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
.Lập phương trình của đường thẳng d
Bài 3 : Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị (C )
1) Khảo sát hàm số
2) Cho( D) là đường thẳng qua điểm uốn của ( C)
với hệ số góc k Biện luận theo k vị trí tương đối
của (D) và (C)
3) Biện luận theo m số nghiệm dương của phương
trình x3 3x m 1 0
Bài 4 : Cho hàm số y x 4 mx2 (m 1) có đồ thị
(Cm)
1) Khảo sát hàm số khi m=-2 (C-2)
2)CMR khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 2 điểm
M(-1;0), N(1;0) Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M, N vuông
góc với nhau
3)Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C-2) và trục
hoành Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (H) quay
quanh trục hoành
Bài 5 : Cho hàm số y x 3 kx (k 1) 1)Khảo sát hàm số khi k=-3
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C-3) và trục hoành
Bài 6 (Tnpt00-01) Cho hàm số 1 3 (C)
4
1)Khảo sát hàm số
2)Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ x 2 3 Viết phương trình đường thẳng d qua M và là tiếp tuyến của (C)
3)Tính diện tích hình giới hạn bởi (C), và tiếp tuyến của
nó tại M
Bài 7 (Tnpt01-02) Cho hàm số y=-x 4 +2x 2 +3 (C) 1/ Khảo sát hàm số: 2/ Định m để phương trình x 4 -2x 2 +m=0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 8 (Tnpt03-04): Cho hàm số 1 3 2
3
1/ Khảo sát hàm số
2/ Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua A(3;0) 3/ Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), y=0, x=0, x=3 quay quanh trục Ox
Bài 9 (Tnpt04-05) Cho hàm số 2x 1 có đồ thị (C)
y
x 1
1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị ( C)
3) Viết pttt của đồ thị ( C) biết tiếp tuyến đi qua A(-1;3) Bài 10(Tnpt05-06)
1)Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
3
y x 6x 9x 2)Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C)
3)Với giá trị nào của m , đường thẳng y=x+m2 –m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)
Bài 11(ĐHA-02) Cho hàm số y=-x 3 +3mx 2 +3(1-m 2 )x+m 3
-m 2 (1)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2 Tìm k để phương trình -x3+3x2+k3-3k2=0 có 3 nghiệm phân biệt
3 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số (1)
Bài 12(ĐHB-02) Cho hàm số y=mx 4 +(m 2 -9)x 2 +10 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1
2 Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị
2
(2m 1)x m y
x 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số khi m=-1
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ
Trang 5Quang Thiện
3 Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc đường
thẳng y=x
Bài 14(ĐHB-04) Cho 1 3 2 (1) cĩ đồ thị
3
là (C) a Khảo sát hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (C) tại điểm uốn
và chứng minh rằng (D) là tiếp tuyến của (C) cĩ hệ số
gĩc bé nhất
Bài 15(ĐHD-05) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số
(m là tham số )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=2
2) Gọi M là điểm thuộc (Cm)cĩ hồnh độ bằng -1 tìm m
để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường
thẳng 5x-y=0
Bài 16(ĐHA-06)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Tìm m để p.trình sau cĩ 6 nghiệm phân biệt
2 x 9x 12 x m
Bài 17(ĐHD-06) Cho hàm số y x 3 3x 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
2) Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và cĩ hệ số gĩc
là m tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3
điểm phân biệt
PHẦN 2: HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ
HÀM SỐ LOGARIT
Bài 1: LUỸ THỪA
Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức
Bài 1: Tính a) A =
1
3 5 : 2 : 16 : (5 2 3
b)
1 1 2 4 2 5 3 2 3
Bài 2: a) Cho a = (2 3) 1 và b = (2 3) 1
Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1
b) cho a = 4 10 2 5 và b =
Tính A= a + b
Bài 3: Tính
a) A = 5 2 2 23 b) B =
c) C =
3 2 3 23
3 2 3
3
3 9 27 3
Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức
Bài 4: Giản ước biểu thức sau
a) A = (a5)4 b) B = 81a b4 2 với b 0
c) C = ( a3 25)3 5 (a > 0)
2
2
xy
e ) F = 2 với x = và a > 0 , b >
2
1
a x
1 2
0 f) G = a x a x Với x = và a > 0 , b > 0
2 1
ab
b
2
1 4 4
3 1
4 2
1
1
a a
3 a b a b 3
a ab
k)
2
3 3
3 3
2 2 2
x x y y
x xy
Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức
Bài 5 chứng minh : x2 x 1 x2 x 1 2
với 1 x 2
Bài 6 chứng minh :
2 4 2 2 2 4 ( 2 2 3)
a a b b a b a b
Bài 7: chứng minh:
2
1
2
1 1
2 2
ax
x a
x a
với 0 < a < x
Bài 8 chứng minh:
1
1
Với x > 0 , y > 0, x y , x - y
Bài 9: Chứng minh rằng 39 80 3 9 80 3
Bài 3: LOGARIT
Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit Bài 10 Tính logarit của một số
A = log24 B= log1/44 C = log5 1 D = log279
25
4
1 3
5 2
4 log
2 8
Trang 6Quang Thiện
3
27
3 3
log
3
3 16 log (2 2)
0,5
1
a
a a
Bài 11 : Tính luỹ thừa của logarit của một số
A = 4log 3 2 B = 27log 3 9 C = log 3 2 D =
9
3 2
2log 5 3 2
log 10
2
8 21 log 70 2 23 4log 3 8 9log 2 3log 5 3 3
I = log 1 J =
(2 ) a a 27log 2 3log 5 3 3
Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức
Bài 12: Rút gọn biểu thức
A = log 8log 813 4 B = 1 5
3
log 25log 9
C = 3 D =
1
5 log 6log 9log 23 8 6
E = log 2.log 3.log 4.log 5.log 73 4 5 6 8 F = 2
4
log 30 log 30
G = 5 H =
625
log 3
log 24 log 192
3
Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit
Bai 13: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có
nghĩa)
1 log
ax
a
bx
x
b)
loga loga loga n 2loga
n n
c) cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy
Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2
d) cho 0 < a 1, x > 0
Chứng minh: log ax 2
2
1
Từ đó giải phương trình log3x.log9x = 2
e) cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab chứng minh:
1
a b
Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số
Bài 14: tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y = log2 3 b) y = log3(2 – x)2 c) y =
1 log 1
x x
d) y = log3|x – 2|e)y = f) y =
5
x x
2
log
1
x
x
1
2
1 log x1
i) y= lg( x2 +3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 15: tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3x e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex)g) y = cos( ex22 1x ) h) y = 44x – 1,i) y = 32x + 5 e-x + 1 j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x
3x
k) y = 2 1
4x
x
Bài 16 Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx b) y = x2lnx - 2 c) ln( )
2
1
x x
d) y = log3(x2- 1) e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3)
Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ Dạng 1 Đưa về cùng cơ số
Bài 17 : Giải ác phương trình sau
a) 2x 4 3 4 b) 2x2 6x 52 16 2 c) 32x 3 9x2 3x 5
d) 2x2 x 8 41 3 xe) 52x + 1 – 3 52x -1 = 110 f)
) 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x – 2,
4
g) (1,25)1 – x = (0,64)2(1 x)
Dạng 2 đặt ẩn phụ
Bài 18 : Giải các phương trình
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0 c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d)
1
e) 5 x 53 x 20 f) 4 15 x 4 15x 2
g) 5 2 6 x 5 2 6 x 10
2 1 )3 x 9.3x 6 0
i) 7x 2.71 x 9 0(TN – 2007)j) 22x 2 9.2x 2 0
Dạng 3 Logarit hóạ
Bài 19 Giải các phương trình
a) 2x - 2 = 3, b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = 5x2 7x 12
d)2x 2 5x2 5x 6,e)5 8 1 500f) 52x + 1- 7x + 1 =52x + 7x
x
x x
Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu
Bài 20: giải các phương trình
a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x
Vấn đề 2: Phương trình logarit Dạng 1 Đưa về cùng cơ số
Bài 21: giải các phương trình
Trang 7Quang Thiện
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46
b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = 5
d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
e) log3x = log9(4x + 5) + ½
f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)
h) log3 x 2 log3 x 2 log 53
Dạng 2 đặt ẩn phụ
Bài 22: giải phương trình
a) 1 2 1 b) logx2 + log2x = 5/2
4 lnx2 lnx
c) logx + 17 + log9x7 = 0 d) log2x + 10log2 x 6 9
e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
g) 2
log x 3log x log x 2
h) lg 16 l g 64 3x2 o 2x
Dạng 3 mũ hóa
Bài 23: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x),b) log3(3x – 8) = 2 – x
Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ
Bài 24: Giải các bất phương trình
2 5 1
9 3
x
6 2
9x 3x
d) 4x2 x 6 1 e) f) 52x + 2 > 3 5x
2
4 15 4
3 4 1
2
x x
x
Bài 25: Giải các bất phương trình
a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c)
1 1 1 2
4x 2x 3
d) 5.4x+2.25x ≤ 7.10x e) 2 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15
f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Bài 26: Giải các bất phương trình
a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ 3 ,c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)
Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
Bài 27: Giải các bất phương trình
a) log4(x + 7) > log4(1 – x)
b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3, f) log2x(x2 -5x + 6) < 1
g) 1
3
2
x
x
Bài 28: Giải các bất phương trình
a) log22 + log2x ≤ 0 b) log1/3x > logx3 – 5/2
c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 d) 1 1 1
1 logxlogx
2
1
x
f) log (34 1).log (1 3 1) 3
x
Bài 29 Giải các bất phương trình
a) log3(x + 2) ≥ 2 – x b) log5(2x + 1) < 5 – 2x C) log2( 5 – x) > x + 1 d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau 1/ 25x1 125 2/
3 log x log 3 x 1 0
3/ 1 1
log x3 log x 2 0
2(log ) x 5log 9 x 3 0
5/ lg2x 3lg x lg x2 4
7/ 32(x log 2) 3 2 3x log 2 3 8/ 2 5x 2 x 2 2 53x 3x 9/ 6.2x 2x 1
Bài2 : Giải các phương trình sau :
1/ 9x +x 2 1 10.3x +x 2 2 1 0
2/ 4log 9x 6.2log 9x 2log 27 3 0 3/ 4log 3x 5.2log 3x 2log 9 3 0 Bài 3: Giải các phương trình sau : 1/ 2 3 2
0,125.4
8
x x
2/ log3x log9 x log27x 11 3/ 3 5 4/
2
x
2 5 1
4
x
x
5/ 92 10 42 6/
x
x
100
x
x
7/ 8x 18x 2.27x 8/ 5.25x 3.10x 2.4x 9/ 6.9x 13.6x 6.4x 0 10/ 9.41x 5.61x 4.91x Bài 4: Giải các phương trình sau :
1/ log 64 log 16 32x x2 2/ 2
4
4lo x - log x +2=02
2
DẠNG 3 : Bất phương trình mũ cơ bản :
2
4 15 13 4 3
x x x
2 7 12
5x x 1
2
16
x
x
4x 1 2x 2 3
3 x 4.3x 27 0
Trang 8Quang Thiện
6/ 52x 1 26.5x 5 0
7/ log (26 3 ) 2 , 26 35 x x 0
8/ log (13 4 ) 2 , 13 43 x x0
9/ log3x log9x log27 x 11
2(log ) x 5log 9 x 3 0
Bài 2 : Giải các bất phương trình :
1/ 32x 2 4.3x 2 27 0
3
3/ / 2 5x2 x2 2 53x 3x 4/ 25x 1 125 5/
4 1
4 x 3
PHẦN 3: NGUYÊN HÀM
I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1 f(x) = x2 – 3x + 2 f(x) =
x
1
2
4 3 2
x
x
3 f(x) = 21 4 f(x) =
x
x
2
2
2 1) (
x
x
5 f(x) = x 3 x 4 x 6 f(x) =
3
2 1
x
x
7 f(x) = 8 f(x) =
x
x 1)2
3
1
x
x
9 f(x) = 10 f(x) = tan2x
2 sin
11 f(x) = cos2x 12 f(x) = (tanx – cotx)2
13 f(x) = 14 f(x) =
x
2 cos
sin
1
x x
x
2
2 cos sin
2 cos
15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x
17 f(x) = ex(ex – 1) 18 f(x) = ex(2 + )
cos2 x
ex
19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
3 f’(x) = 4 x x và f(4) = 0
4 f’(x) = x - 12 2 và f(1) = 2
x
5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
6 f’(x) = ax + 2 , f'(1)0, f(1)4, f(1)2
x b
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
1 (5x dx1) 2 (32x)5 3
dx
dx x
5 2
4 2x dx15 (2x2 1)7xdx 6 (x3 5)4x2dx
7 x2 1 xdx 8 9
x
x
5
x
x
3
2 2 5 3
10 dx 11
x
x
ln3 x e x2 1dx
12 sin4 x cos xdx 13 14
x
x
5
cos
sin
cotgxdx
15 sindx x 16 cosdx x 17 tgxdx
18 dx 19 20
x
e x
x
e
dx e
x
e tgx
2
cos
21 cos3xsin2 xdx 22 x x1.dx
23 e x 1 24
dx
dx x
x3 2 1
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
1 x sin xdx 2 x cos xdx 3 (x2 5)sinxdx
4(x2 2x3)cosxdx5 6
xsin2xdx xcos2xdx
7 x.e x dx 8 lnxdx 9 x ln xdx
10 ln2 x dx 11 dx
x
x
2
cos
16 e x.cosxdx 18 x3e x2dx
20 2x xdx 21 x lg xdx 22 2xln(1 dx x)
23 dx 24
x
x
2
) 1 ln(
x2cos2xdx
TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
0 ( x x 1) dx
2 1
1 1
e
x x
3
1 2
x dx
1 1
x dx
3
(2sinx 3cosx x dx)
0 ( ex x dx )
1 3 0 ( x x x dx )
1 ( x 1)( x x 1) dx
3
1
x
0 ( ex x 1) dx
1 ( x x x x dx )
1 ( x 1)( x x 1) dx
Trang 9Quang Thiện
3
3
1
x 1 dx
x 1
x 2
1
1
2 1 ) 2
( x x dx
0
3
2 2
2
2
) 3 ( x dx x
4
3
2 4 )
x x
2
1
3 2 1 1
20 2 21 22
1
3
2 2
dx x
x
x
e
e
x dx
1
1 16
1
.dx x
x
x x
e
2
1
7 5
2
dx x x
8
1 33 2
1 4
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1 2 3 2 2
3
sin xcos xdx
3
sin xcos xdx
3 2 3
0
sin
1 3
x dx cosx
0
tgxdx
4 4 5
6
cot gxdx
0
1 4sin xcosxdx
6 1 2 7
0
1
x x dx
0 1
x x dx
8 9
1
3 2
0
1
x x dx
x dx
x
10 11
1
0
1
x x dx
1
1
1 dx
x x
12 14
1
2
0
1
1 x dx
0
1
1 dx
x
16 17
2
sin
4
x
e cosxdx
4
sin
cosx
18 1 2 19
2
0
x
e xdx
3
sin xcos xdx
20 2 sin 21
4
x
e cosxdx
4
sin
cosx
1 2 0
x
e xdx
3
sin xcos xdx
2
2 3
3
sin xcos xdx
0
sin
1 3
x dx cosx
26 27
4
0
tgxdx
6
cot gxdx
0
1 4sin xcosxdx
0
1
x x dx
32 1 2 35
3
x dx
x
1
1 ln
dx x
3
1
sin(ln )
e
x dx x
1
1 3ln ln
e
x x dx x
38 2ln 1 39
1
ee x
dx x
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
11 1
x dx x
1
0 2 1
x dx
x
0
1
x x dx
44 1 45
0
1
x x
0
1
x x
1
1
x dx x
1
1 ln
dx x
47 48
1
sin(ln )
e
x dx x
1
1 3ln ln
e
x x dx x
49 2ln 1 50
1
ee x
dx x
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
0 x x dx
53 2 4 54
4
0 x dx
4
0 1
dx x
Trang 10Quang Thiện
0
1
3 2
1 0
dx
e x
59 60
1
3 0
x dx (2x 1)
0
x dx 2x 1
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
1 ln3 2
3
1e x dx
1 e x xdx
3 1 4
ln( 1)
1
ln
e
5 6
3 3 1
ln
e
x dx x
1
ln
e
7 8
1
2 0
ln( 1)
1 ln
e
x xdx
2
0
( x c osx)sinx dx
1
1 ( ) ln
e
x
2
2
1
ln( x x dx )
4
tan
2
0
cos
0
x
xe dx
Tính các tích phân sau
0
3
e dx
x x
2 0
cos ) 1 (
xdx
0
3 sin ) 2 (
xdx x
0
2
sin
.
xdx
1
ln e x x dx
1
2) ln 1
(
7) 3 8)
1
.
ln
.
4 x x dx 1
0
2).
3 ln(
x
1
2 1 ) .
( x ex dx
0
cos x dx x
12)
2
0
2 cos
dx
x
0
2 2 ) sin (
dx x x x
2
2
0
x cos xdx
0
e sin xdx
2
0
sin xdx
1
x ln xdx
19) 2 20)
0 xsin x cos xdx
0
x(2 cos x 1)dx
2 2 1
ln(1 x)dx x
0 (x 1) e dx
e
2 1
(x ln x) dx
0
cosx.ln(1 cosx)dx
1
ln
e
e
x dx
x
0
xtg xdx
0
2
) 2
0
3 )sin cos (
xdx x
0
) 1 ln(
) 7 2
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1 5 2
3
2 3 2
1 2
dx x x
x
a
dx b x a
( 1
3 3
2 1
2
dx x x
x
x x
0
2 3
3 2
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
0
2 cos sin
2
0
3
2 cos sin
xdx x
0
2
2 sin cos cos ) sin
2 (
dx x x
x x
3 sin 1
dx
x 2
0 sin
1 x dx
2
0
Cosx
dx
2 sin x
0
2
3 cos 1 sin
dx x x
15.4 16
0 2
3 cos sin
dx x
x
0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
dx x x
17.2 18
0
2cos
xdx
0
1 2 2 sin
dx e
x x
0
2 cos ) 1 2 (
2 sin 2 sin 7 2