Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bđt Cauchy rồi tìm cực trị của nó.. Biện pháp 1 : Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của[r]
Trang 1Phần 1:
CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ:
Một số dạng toán thường gặp:
▼ Dạng 1: đưa về dạng bình phương
I Phương pháp giảỉ:
Đưa về dạng
A 2≥0, hoặc A 2 + c≥ c (vớI c là hằng số) dấu bằng xảy ra khi A=0
II Một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất của P = x(1 − x)
Lời giải:
1
P= x − x = − +x x = − x− + ≤
Đẳng thức xảy ra khi 1
2
x = và 1
4
x =
Do đó giá trị lớn nhất của P là 1
4 đạt khi 1
4
x =
Ví dụ 2:
Tìm giá trị của x để biểu thức 2 1
x − x+ có giá trị lớn nhất
Lời giải:
Ta có:
2
2
3
Do đó, khi x = 2 thì bỉêu thức 2 1
x − x+ có giá trị lớn nhất là
1 3
V í d ụ 3:
VớI x,y không âm; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải:
Đặt x =a, y =b vớI a b ≥, 0 ta có:
Trang 2( )
2
2 2
1
2
Vì ( )2
a b− − ≥ và
2
1
2
1
2
a =
2003
1 2
2
b =
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 2003 khi 3
2
x = và 1
2
y = hay 9
4
x = và 1
4
y =
III Bài tập tự giải:
1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2
P= − x −y − xy+ x
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) 2 2
3) Cho hai số x,y thoả mãn đẳng thức: 2 2
2
1
4
x
Xác định x,y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất
4) Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: A = (x– 2y + 1) 2 + (2x + ay +5) 2
Hướng dẫn giảI và đáp số:
1)Max P = 3 khi (x,y) = (1, -2)
f x y = x− −y + y + ≥
4xy+ 4x vào 2 vế
Kết quả: xy đạt GTNN là 1
2
2
x = ± y = ±1
4) A ≥0 khi a ≠ -4, 9
5
A = khi a = -4
Trang 3▼ Dạng 2: sử dụng miền giá trị của hàm số
I Phương pháp giảỉ:
Cho y = f(x) xác định trên D
( )
0
y ∈ f D ⇔phương trình y0 = f x( )có nghiệm ⇔ ≤a y0 ≤b
Khi đó min y = a, max y = b
II Một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm Max và Min của: 2
1
x y x
= +
Lời giải:
Tập xác định D = R ⇒ y0là một giá trị của hàm số
⇔phương trình 0 2
1
x y x
= + có 1 nghiệm x ∈ R
⇔phương trình 2
x y +y =x có nghiệm x ∈ R
⇔phương trình 2
x y − +x y = có nghiệm x ∈ R
⇔ ∆ ≥ 0
1 4 − y ≥ 0
4
y ≤
− ≤ ≤
Vậy Min y = 1
2
− , Max y =1
2
Ví dụ 2:
Xác đinh các tham số a, b sao cho hàm số ax2
1
b y
x
+
= + đạt giá trị lớn nhất bằng
4, giá trị nhỏ nhất bằng –1
Lời giải:
Tập xác định D = R
0
y là một giá trị của hàm số ⇔phương trình 0 ax+b2
1
y x
= + có nghiệm x ∈ R
⇔phương trình 2
y x − +y − =b có nghiệm x ∈ R (1)
• Nếu y =0 0 thì (1) ⇔ ax = -b có nghiệm
a = b = 0
⇔
a ≠ 0
• Nếu y ≠0 0 thì (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥0
a − y −b y ≥
Trang 4⇔ − 4y0 + 4by0+a ≥ 0 Theo đề y0 đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là –1 nên phương
trình− 4y02+ 4by0 +a2 phảI có nghiệm là –1 và 4 (do -1.4 = -4 < 0)
2
4 4
a
−
Theo định lý Viet ta có : ⇔
3
Vậy vớI a = 4, b = 3 hoặc a = -4, b = 3 thì min y = -1, max y = 4
Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
3 4
2
12 ( ) 36
x x a y
x
−
= +
Lời giải: Hàm số đã cho xác định khi x x a( − )≥0
Đặt 12 (2 )
36
x x a
z
x
−
= + (1) thì y=4 z3 , z ≥0
0
z là một giá trị của hàm số (1) ⇔ phương trình 0 12 (2 )
36
x x a z
x
−
= + có nghiệm hay phương trình 2
(12 −z x) − 12ax 36 − z = 0có nghiệm (2)
• z0 =12 : (2) ⇔ax = -36 có nghiệm khi a ≠0
• z ≠0 12 : (2) có nghiệm ⇔ 2
36a 36 (12z z ) 0
0
Vì z ≥0 0nên 2
0
0 ≤z ≤ + 6 a + 36
y= + a +
III Bài tập tự giải:
1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
y
=
2) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 4 1 1
y
=
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2 1
( )
x
= + + , x > 0
Hướng dẫn giảI và đáp số:
Trang 51) Max y = +3 2 2, Min y = −3 2 2
2) Đk: − ≤ ≤ 3 x 1
Đặt 3 2. 2 2
1
t x
t
+ =
+ ;
2
2
1
1
t x
t
− + =
+ vớI t = tg [ ]0;1
2
ϕ∈
Ta cĩ
2
2
y
t
= −
7
y = khi x = -3; min 7
9
y = khi x = 1
0 < x ≤ y0 (1) 2
0
1
x
= + + ⇔
2y x −y x+ = 1 0 (2)
Điều kiện để (2) cĩ nghiệm là y ≥0 2
Áp dụng Vi-et ta chứng minh được x1 <x2 < y0
Vậy min f(x) = 2 vớI x >0
▼ Dang 3: Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc
► Bất đẳng thức Cauchy
I Kiến thức cần nắm:
• Cho hai số a, b ≥ 0, ta có:
ab b
a
≥
+
2
Dấu “ =” xảy ra khi ⇔ a = b
• Cho n số a1, a2, … , an ≥ 0, ta cĩ:
n
n
n
a a
a
2 1 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = … = an
II Một số bài tập ví dụ:
◦ Biện pháp 1: Áp dụng bất đẳng thức trực tiếp
Ví dụ 1:
Cho x > 0 ; y > 0 thoả mãn điều kiện
2
1 1 1
= +
y
x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y
Lời giải:
3)Tìm nghiệm của hệ
Trang 6Vì x > 0 ; y > 0 nên
x
1
> 0 ;
y
1 > 0 ; x > 0 ; y > 0, theo bđt Cauchy có:
+
≤
y x y
x
1 1 2
1
1
1
4
1
1
≥
=>
xy
Vận dụng bđt Cauchy với hai số dương x và y ta được
A = x + y ≥ 2 x y ≥2 4 = 4 ( Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 4)
Vậy min A = 4 ( khi và chỉ khi x = y = 4)
Nhận xét: không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bđt Cauchy đối với các số trong đề bài Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bđt Cauchy rồi tìm cực trị của nó
Biện pháp 1 : Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = 3x− 5 + 7 − 3x.
Lời giải:
3
7 3
5
≤
≤ x
A2 = (3x – 5) + (7- 3x) + 2 (3x−5).(7−3x)
A2 ≤ 2 + ( 3x – 5 + 7 – 3x) = 4 ( dấu “=” xảy ra ⇔ 3x – 5 = 7 – 3x ⇔ x = 2) Vậy max A2 = 4 => max A = 2 ( khi và chỉ khi x = 2)
Nhận xét: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức Hai biểu thức
lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của căn thức Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức Cauchy
◦ Biện pháp 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0
Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
x
x
5
9
−
Lời giải:
ĐKXĐ : x ≥ 9
Trang 7A =
x
x
5
9
−
=
30
1 10
3
9 9
5
3 3
9 2
1
5
3 3
9
=
+
−
=
≤
−
x
x x
x x
x
(dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 3 18
3
9
=
⇔
=
−
x
x
)
Vậy max A =
30
1 ( khi và chỉ khi x = 18)
Nhận xét: Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành 3
3
9
−
x
và khi vân
dụng bđt Cauchy, tích 3
3
9
−
x
được làm trội trở thành tổng x x
3
1 3 3
9
= +
−
có dạng kx có thể rút gọn cho x ở mẫu, kết quả là một hằng số Con số 3 tìm được bằng cách lấy căn bậc hai của 9, số 9có trong bài
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số
1 Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau
Ví dụ 4 :
Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3 3 16
4
x
x + Lời giải:
3 3
3
16 4 16 16
x x x x x
x x x
A ≥ 4.2 = 8 ( dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi = 163 ⇔ x =2
x x
Vậy min A = 8 ( khi và chỉ khi x = 2)
Nhận xét: Hai số dương 3x và
x
3
16
có tích không phải là một hằng số.Muốn khử được x 3 thì phải có x 3 = x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x = x + x + x rồi dùng bđt Cauchy với 4 số dương
2 Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của hạng tử khác có trong biểu thức đã cho ( có thể sai khác một hằng số)
Ví dụ 5:
Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2.
2
9
x x
x +
−
Trang 8Lời giải:
2
9
+
− +
x x
x
2
9
−
≥
x
x x
x
( dấu “=” xảy ra
2
1 2
2
9
=
⇔
−
=
−
x
x x
x
)
Vậy min A = 7 ( khi và chỉ khi
2
1
=
◦ Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Ví dụ 6:
Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2
2
y x
z x z
y z
y
x
+
+ +
+
+
Lời giải:
Áp dụng bđt Cauchy đối với hai số dương
z y
x
+
2
và
4
z
y +
ta được:
x x z y z y
x z
y
z
y
+
≥
+
+
2 2
Tương tự:
z y
x
y
x
z
y x
z
x
z
y
≥
+
+
+
≥
+
+
+
4
4
2
2
y x
z x z
y z
y
x
+ +
≥ + + +
+
+ +
+
2 2
2
2+ =
+
− +
+
≥ x y z x y z (dấu “=” xảy ra
3
2
=
=
=
III Bài tập tự giải:
1) Cho x + y = 15, tìm gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = x−4+ y−3
2) Cho x, y, z ≥ 0 thoả mãn điều kiện x + y + z = a
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + xz
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 + y2 + z2
Trang 93) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện x + y + z ≥ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
x
z z
y y
x
+ + 4) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
) 1 )(
1 )(
1 (
) 1 )(
1 )(
1 (
c b a
c b a
−
−
−
+ + +
5) Cho x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1 và x > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x2y3
6) Tìm giá trị nhỏ nhất của A xy yz zx
= + + với x, y, z là các số dương và: a) x+ + = y z 1 b) x2 + y2 +z2 = 1
7) Tìm giá trị lớn nhất của 3 13 3 13 3 13
A
các số dương và abc = 1
8)Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
A= + + +x y z xy+ yz+zx biết rằng x2 +y2 +z2 = 3 9) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =3x+ 3y với x + y = 4
10) Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x4 − 4x+ 1
Hướng dẫn giải và đáp số:
1
ĐKXĐ : x ≥ 4, y ≥ 3
B ≥ 8 ⇒ min B = 8( khi và chỉ khi x = 4, y = 11 hoặc x = 12, y = 3) max B2 =
16 nên max B = 4 ( khi và chỉ khi x = 8, y = 7)
2
a xy + yz + xz ≤ x2 + y2 + z2 (áp dụng bđt Cauchy cho 2 số, rồi cộng lại theo vế)
Suy ra: 3(xy + yz + xz) ≤ ( x + y + z )2
Hay 3A ≤ a2
b B = x2 + y2 + z2 = ( x + y + z )2 – 2( x + y + z )
B = a2 – 2A
B min ⇔ A max
3
2 2 2
y
x z x
z y z
y x x
z z
y y
x
+ +
+ + +
Áp dụng bđt Cauchy cho 4 số dương:
4
44
2 2 2
x yz
z y x x z
z
y x
z
y
x
y
x
=
≥ + +
+
Còn lại: tương tự
Cộng vế với vế lại, ta được P2 ≥ 4(x + y + z) – (x + y + z) = 3(x + y + z)
Trang 10P2 ≥ 3.12 = 36
Min P = 6.( khi và chỉ khi x = y = z = 4)
4
a + b + c = 1 ⇒ 1 – a = b + c > 0 Tương tự 1 – b > 0, 1 – c > 0
Có: 1 + a = 1 + (1 – b – c) = (1 – b) + (1 – c) ≥ 2 (1−b)(1−c)
Suy ra (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ ( ) (2 ) (2 )2
1 1
1
A ≥ 8
Vậy min A = 8
5 Nếu y ≤ 0 thì B ≤ 0
Nếu y > 0 thì
1 = x + y =
3125
108 108
5 3 3 3 2 2
3 2 5
3 2
≤
⇒
≥ + + +
x
hay B ≤
3125
108
Suy ra max B =
3125
108
6
Theo bất đẳng thức Cô-si
y
z + x ≥ z x = tương tự yz zx 2z
x + y ≥ ; zx xy 2x
y + z ≥
Suy ra 2A ≥ 2(x+y+z) = 2 ; min A = 1 với 1
3
x= = = y z
b) Ta có
2
x y y z z x A
Hãy chứng tỏ A ≥ 2 3
Min A = 3 với x = y = z = 3
3
7
Dễ chứng minh 3 3 ( )
a +b ≥ab a+b với a > 0, b > 0 Do đó:
( )
a +b + ≥ab a+b +abc=ab a+ +b c
1
a b c A
ab a b c bc a b c ca a b c abc a b c
+ +
= ⇔ = = =
8
◦ Tìm giá trị lớn nhất:
Áp dụng bất đẳng thức ( )2 ( 2 2 2)
3
x+ +y z ≤ x +y +z ,ta được ( )2
9
x+ +y z ≤ nên
Trang 11x+ + ≤ (1) y z 3
xy+ yz+zx≤x + y +z mà 2 2 2
3
x +y +z ≤ nên
xy+yz+zx≤ (2) 3
Từ (1) và (2) suy ra A ≤ Ta có max6 A= ⇔ = = = 6 x y z 1
◦ Tìm giá trị nhỏ nhất : Đặt x + y + z = m thì
Do đó
2
3 2
m
2
3 2
m
( )2 2
2.
A
3
A
+ + =
= − ⇔
, chẳng hạn x = -1, y = -1, z = 1
9
4
3x 3y 2 3 3x y 2 3x y 2 3
10
Ta có x≤ x (xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi x ≥ ) nên 0 −4x≥ −4 x. Do đó
4
Áp dụng bất đẳng thức côsi với bốn số không âm
x + + + ≥ x = x ⇒x − x + ≥ −
4
minA= − ⇔ 2 x = và 1 x≥ ⇔ = 0 x 1
► Bất đẳng thức Bunhiacopski:
I Kiến thức cần nắm:
• Cho a, b, c, d tuỳ ý, ta có
(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2
Dấu bằng xảy ra khi: ad = bc
• Cho a1, … , an và b1, … , bn tuỳ ý, ta có:
(a12 + … + an2)(b12 + … + bn2) ≥ ( a1b1 + … + anbn)2
Dấu bằng xảy ra khi:
n
n
b
a b
a
=
=
1 1
II Một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất của : P = 3 x−1+4 5−x
Lời giải:
ĐKXĐ: 1≤ x ≤ 5
Áp dụng bđt Bunhiacopski có:
Trang 12P2 ≤ ( 32 + 42)(x – 1 + 5 – x) = 100
Suy ra max P = 10 khi − = − ⇔
4
5 3
x
x =
25
61
Ví dụ 2:
Cho a, b, c > 0 Tìm min P =
b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+ +
3 4
5
Lời giải:
P =
(5 4 3) ( ) 5 4 3 ( 5 4 3 ) 3
3 4
4
5
5
+ +
−
+
+ +
+ + + +
= + +
− + + + + +
+
+
c c
a
b c
b
a
= [ ( ) ( ) ( ) ]. 5 4 3 ( 5 4 3 )
2
1
+ +
−
+
+ +
+ + +
+ + + +
b a c a c b a c c b b
a
≥ ( 5 4 3) (5 4 3)
2
+ +
− +
Vậy min P = ( 5 4 3) (5 4 3)
2
+ +
− +
3 4
5
b a c a c
b+ = + = +
Tổng quát:
Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
2 2
2
2
1
z y x xz
yz xy z
b a
c y c a
b
x
c
b
a
+ +
− + +
≥ +
+ +
+
(cộng vào vế trái (x 2 + y 2 +z 2 ) rồi trừ đi (x 2 + y 2 +z 2 ), sau đĩ áp dụng bđt
Bunhicopski)
Ví dụ 3:
Cho a, b, c > 0 Tìm min P =
a c
b c
b
b c b a
c a
+
+ +
+ + +
Lời giải:
+ +
+
+ +
+
+
a c
b c
b
a c b
a
c
a
+
+ + +
+
+ + +
+
+ +
a c
a c b c
b
a c b b
a
c b
a
P = (3 2 3 ) 1 1 2 − 10
+
+ +
+ + +
+
a c c b b a c b
a
P = [ ( ) ( ) (2 ) ]. 1 1 2 − 10 ≥(1 + 1 + 2 2)2 − 10 = 6
+
+ +
+ + +
+ + +
+
a c c b b a c a c b b
a
Vậy min P = 6 khi và chỉ khi (a + b)2 = (b + c)2 = (c + a)2 hay a = b = c
Cơ sở:
Trang 13Chọn α,β,γ sao cho:
) 3 2 3 ( ) ( 4 ) ( 3 )
(
Từ đó suy ra α =β = 2 ,γ = 6 ,m= 2
III Bài tập tự giải:
1 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a) P =
a c
b a c b
b a b a
c b
+
+ + +
+ + +
3
b) Q =
a c
b a c b
b a b a
c b
+
+ + +
+ + +
c) R =
c b a
c c
b a
b c
b a
c a
3
8 2
4 2
3
+ +
− + +
+ + +
+
2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A=x2 + y2
biết rằng 2( 2 2 ) ( 2 )2
x x + y − + y − =
3 Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A
+ + + với a, b, c là các số dương và a + b + c =6
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1
2
A
x x
− với 0 < x < 2
5 Cho a, b, c > 0 và abc = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của
A
Hướng dẫn giả và đáp số:
1 Câu a và câu b làm tương tự ví dụ 3
Câu c không thể làm như ví dụ 3 được, ta làm như sau:
Đặt a + 2b + c = x
a + b + 2c = y
a + b + 3c = z
từ đó suy ra c = z – y; b = x + y – 2y; a = 5y – x – 3z
khi đó R =
z
y y
z y
x x
y z
y z y
y z x x
x
8 8 4 4 1 2 8 8 8 4 4 2
+
−
− + +
−
=
− +
− + +
−
Rồi áp dụng bđt ta tìm được min R
2
Từ giả thiết suy ra
( 2 2)2 ( 2 2) 2
x +y − x + y + = −x ≤
3
Trang 14Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacópki cho 3 cặp số
Ta có
2
2
2
2
⇒ + + + + + + + ≥ + +
+ +
Suy ra min A = 3
4
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
( 2 2)( 2 2) ( )2
Ta có:
( )
2
2
A
−
2 ( )2
⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − (chú ý x > 0)
2
5
Đặt a 1,b 1,c 1
thì , , 0
1
x y z xyz
>
Khi đó
A
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, biến đổi tương đương ta được:
2
2
A
Mặt khác theo BDT côsi ta có: x+ + ≥y z 33 xyz =3
Vậy
Trang 15
3 min
2
1
xyz
⇔ = = = ⇔ = =
► Bất đẳng thức Bernoulli
I Kiến thức cần nắm
)
0
,
1
(
1
>
≥
+
−
≥
x
x x
α
α
α
α
(1) Dấu “ =” xảy ra khi x =1
II Một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho x, y > 0 sao cho x + y = 1 Tim giá trị nhỏ nhất :
a P = x2 + y2
b Q = x5 + y5
Lời giải:
a
Áp dụng bđt Bernoulli ta có:
(2x)2 ≥ 1 – 2 + 2(2x)
(2y)2 ≥ 1 – 2 + 2(2y)
Cộng vế theo vế:
4P ≥ -2 + 4(x + y) = 2
P ≥
2
1
Vậy min P =
2
1 khi và chỉ khi x = y =
2
1
b
Áp dụng bđt Bernoulli ta có:
(2x)5 ≥ 1 – 5 + 5(2x)
(2y)5 ≥ 1 – 5 + 5(2y)
Cộng vế theo vế ta có:
32Q ≥ -8 + 10(x + y) = 2
Q ≥
16
1
Vậy min Q =
16
1 Khi và chỉ x = y =
2
1
Tổng quát:
S = x m + y m , m ≥ 1 với x + y = 1
Trang 16* Theo (1), với mọiα ≥β > 0, ta có:
x x
β
α β
α
β
α
+
−
Đặt t= xβ ⇔tβ =x
1
(1’) ⇔
Dấu “=” xảy ra khi t = 1
Ví dụ 2:
Cho x, y > 0, sao cho x3 + y3 = 1 Tìm min P = 3
10 3 10
y
x +
Lởi giải:
Theo (2), ta có:
9
10 9
2 2
2 9
10 9
10
1
2
2 9
10 9
10
1
2
3 3 3
10
3
3 3 3
10
3
3 3 3
10
3
= + +
−
≥
⇒
+
−
≥
+
−
≥
y x P
y y
x x
Vậy P ≥
9 2
1
Hay min P =
9 2
1 khi và chỉ khi x = y =
3 2 1
* Từ (2) thay t bởi
0
t
t
, ta được:
Dấu “=” xảy ra khi t = t0 với t0 là điểm đạt giá trị nhỏ nhất
Bài toán:
Cho a.xβ +b.yβ = 1 (α ≥β;a,b,c,d > 0
) Tìm min P = c.xα +d.yα
β α
β
α β
α
t
β β α α
α
β
α β
α
t t t
t 1 0 + 0− .
−