Kế hoạch Bồi giỏi Ngữ văn 8

Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung A.. Vị trí tương đối.[r]

Đường tròn

Lo ại 1 Phương trình đường tròn

A Tóm tắt lý thuyết

* Phương trình chính tắc: Phương trình   2 2 2

x a   y  b  R (R  0)

là phương trình chính tắc đường tròn tâm I a;b , bán kính R

* Phương trình tổng quát: Phương trình x 2  y 2  2ax 2by    ( c 0 a 2  b 2   c 0) là phương trình tổng quát của đường tròn tâm I a;b , bán kính R  a 2  b 2  c

* Chú ý (điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn  C có tâm

I, bán kính R và đường thẳng  Khi đó:

 C tiếp xúc với   R  d I, 

B Một số ví dụ

Ví d ụ 1 Lập phương trình đường tròn  C tâm I 1; 2   trong các trường hợp sau

1)  C có bán kính bằng 5

2)  C đi qua điểm A 2;7

3)  C tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y 12 0    

Giải

1)  C có tâm I 1; 2  , bán kính bằng 5      2 2

C : x 1   y  2  25

2) Gọi R là bán kính của  C A  C  2 2 2 2

R  IA  3  9  90

Vậy     2 2

C : x 1   y  2  90

3) Gọi R là bán kính của  C  C tiếp xúc với     3.1 2.   2 12 19

R d I,   



Vậy     2 2 361

13

C : x 1   y  2 

Ví d ụ 2 Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1  , C 3; 3  

Giải

Gọi  C là đường tròn đi qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1  , C 3; 3  

I a;b  là tâm của  C  2 2

IA IB

IB IC

 









a 2 b a 3 b 1

      







 a b 3

b 2

 



  



 a 1

b 2





  



 I 1; 2  

R là bán kính của  C  R 2  IA 2  5 Vậy     2 2

C : x 1   y  2  5

Ví d ụ 3 Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A 1;4 , B 1;6 và có tâm thuộc

đường thẳng : x 2y 4 0    

Giải

Giả sử  C là đường tròn cần lập phương trình và  C có tâm I, bán kính R

Cách 1: I    tọa độ I có dạng I  2a 4;a

Ta có IA 2a 3; a 4     

IA  2a  3  a 4   5a  20a  25

IB 2a 5; a 6   



 IB 2 2a 5   2  a 6  2  5a 2  32a  61

Từ A, B  C  IA 2  IB 2 (cùng bằng R 2)

 5a 2  20a  25  5a 2  32a  61

 a  3

 I 2;3

Lại có R 2  IA 2  3 2  1 2  10 Vậy     2 2

C : x  2  y  3  10

Cách 2: Gọi M là trung điểm của AB  IM  AB (bán kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)

Ta có M là trung điểm của AB  M 0;5 , AB  2;2

M A I

IM M 0;5

IM AB 2;2 1; 1





  

qua

 IM : x y  5 0  IM : x y 5 0   

I  IM    I : x y 5 0

x 2y 4 0

  



   

  I 2;3

R  IA  3  1  10 Vậy     2 2

C : x  2  y  3  10

Ví d ụ 4 Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A 2;9 , B 3;10 và tiếp xúc với

đường thẳng : 3x 2y 2 0    

Giải

Giả sử  C là đường tròn cần lập phương trình và  C có tâm I a;b , bán kính R

Ta có IA  2 a;9 b   

IA  a  2  b 9  ,

IB    3 a;10 b 



IB  a  3  b 10  ,

13

d I,  

Từ IA 2  IB 2 (cùng bằng R 2)    2  2  2 2

a  2  b  9  a  3  b 10 

 b  5a 12   1

Lại có IA 2  d 2 I,  (cũng cùng bằng R 2)    2 2 3a 2b 22

13

Thay  1 vào  2 ta thu được

 2   2 3a 2 5a 12  2 2

13

a  2  5a  3  13 a  2

 a 2  2a   3 0

 a 1

a 3

 



 



+) Thay a   1 vào  1 ta có b  7  I 1;7 R 2  IA 2  3 2  2 2  13 Vậy trong trường

hợp này  C có phương trình   2 2

x 1   y  7  13

+) Thay a  3 vào  1 ta có b  27  I 3;27  R 2  IA 2  1 2  18 2  325 Vậy trong trường hợp này  C có phương trình   2 2

x  3  y  27  325 Tóm lại     2 2

C : x 1   y  7  13 hoặc     2 2

C : x  3  y  27  325

C Bài tập

Bài 1 Lập phương trình đường tròn  C biết

1)  C có tâm I 1;3 , bán kính R  4

2)  C có tâm I 2;3 , A 1; 2    C

3)  C đi qua các điểm A 1;2 , B  2; 3 và tâm I thuộc đường thẳng d : x 3y 1 0   

4)  C đi qua các điểm A 1;4 , B 4;0 và C  2; 2

5)  C Có đường kính là đoạn thẳng AB với A 3;4 , B 2;7 

6)  C có tâm I 1;2 , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x 4y 1 0   

7)  C có tâm I 2;3 , cắt đường thẳng d : 3x 4y 1 0    theo một dây cung có độ dài bằng 2 8)  C đi qua A 2; 1   và tiếp xúc với các trục tọa độ

9)  C là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y x 2   ,

y   và y 8 x x 2  

10)  C nội tiếp tam giác  OAB với A 4;0 , B 0;3 

Bài 2 [ĐHA07] Cho tam giác ABC có A 0;2 , B  2; 2 và C 4; 2   Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

Bài 3 Cho  ABC có AB : x y 2 0    , AC : 2x 6y 3 0    và M 1;1 là trung điểm cạnh

BC Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp  ABC

Bài 4 [ĐHB09Chuẩn] Cho    2 2 4

5

C : x  2  y  và hai đường thẳng  1 :x – y  , 0

2 :x – 7y 0

  Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn  C' biết  C' tiếp xúc

với các đường thẳng  , 1  và tâm 2 K thuộc (C)

Bài 5 [ĐHB05] Cho hai điểm A 2;0  và B 6;4  Viết phương trình đường tròn  C tiếp xúc

với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của  C đến điểm B bằng 5

Bài 6 Cho A 3;1 , B 0;7 , C 5;2 

1) Chứng minh rằng  ABC vuông và tính diện tích tam giác

2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp  ABC Chứng minh rằng khi đó trọng tâm

G của  MBC chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó

Bài 7 [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng d : 3x 1   y 0 và d : 3x 2   y 0 Gọi  T là đường tròn tiếp xúc với d 1 tại A, cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông

tại B Viết phương trình của  T , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

Bài 8 [ĐHD09NC] Cho    2 2

C : x 1   y  G 1 ọi I là tâm của  C Tìm tọa độ điểm M

thuộc  C sao cho IMO   30 o

D Đáp số

Bài 2 x 2  y 2     x y 2 0

8

x  y   x 3y   0

Bài 4      8 2 2 8

4

C' : x   y  

Bài 5     2 2

C : x  2  y  7  49 hoặc     2 2

C : x  2  y 1   1

2

3 1

2

2 3

T : x       y   1

M   ;   

 

Lo ại 2 Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn

A Tóm tắt lý thuyết

* V ị trí tương đối giữa điểm và đường tròn: Xét đường tròn  C có tâm I, bán kính R và điểm M Đặt d  IM Ta có

+) M nằm ngoài  C  d  R +) M  C  d  R

+) M nằm trong  C  d  R

* V ị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn  C có tâm I, bán kính

R và đường thẳng  Đặt d  d I,  Ta có

+)  không có điểm chung với  C  d  R +)  tiếp xúc với  C ( là tiếp tuyến của  C )  d  R +)  cắt  C tại 2 điểm phân biệt  d  R

* Chú ý: Xét đường tròn  C và điểm M Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa M và

 C với số tiếp tuyến qua M của  C :

+) M nằm ngoài  C : qua M tồn tại hai tiếp tuyến của  C +) M  C : qua M tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của  C Tiếp tuyến này nhận M làm tiếp điểm

+) M nằm trong  C : qua M không tồn tại tiếp tuyến của  C

B Một số ví dụ

Ví d ụ 1 Cho đường tròn     2 2

C : x 1   y  2  16 và điểm A 1;6 Chứng minh A nằm ngoài  C và viết phương trình các tiếp tuyến qua A 1;6 của  C

Giải

Ta có  C là đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R  4

 

IA  2;4



 IA  4 16   2 5  R  qua A có hai tiếp tuyến của  C

 là đường thẳng qua A  phương trình  có dạng:

: a x 1 b y 6 0

      : ax by a 6b 0      ( a 2  b 2  0)

Có   a 2b a 6b 2 a 2b

    là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi

 

d I,   R  2 a 2b

2 2

a b

4



   a 2 4ab 4b 2

2 2

a b

4

   3a 2  4ab  0  4b

3

a 0 a







 



+) a  0   : b y  6 0  : y 6 0    ( a  0  b  0)

+) Từ 4b

3

a   , cho b   3  a  4  : 4x 3y 22 0    

Vậy : y 6 0    hoặc : 4x 3y 22 0    

Ví d ụ 2 Cho  C : x 2  y 2  2x 6y    Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết: 9 0

1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 0  

2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x 4y 0  

3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x y 0   góc 45 

Giải

Ta có     2 2

C : x 1   y  3  1   C có tâm I 1;3 , bán kính R  1 Gọi  là tiếp tuyến

cần tìm

1)    phương trình d  có dạng : x y c 0    

d I,   

   Do đó:  là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi

 

d I,   R  c 2





 c   2 2

  



  



 c 2 2 2

c 2 2 2

  



 



 : x y 2 2 2 0

: x y 2 2 2 0



Vậy  : x    y 2 2 2  0 hoặc  : x    y 2 2 2  0

2)   d  phương trình  có dạng : 4x 3y c 0    

Ta có   4 9 c c 13

   Do đó:  là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi

 

d I,   R  c 13





 c 13   5

 c 13 5

c 13 5

 



   



 c 8

c 18

 



  



 : 4x 3y 8 0

: 4x 3y 18 0

   



   

Vậy : 4x 3y 8 0     hoặc : 4x 3y 18 0    

3) Xét đường thẳng  nhận n a;b  

(a 2  b 2  0) là một véc-tơ pháp tuyến Ta có

 ,d 45   cos ,d cos 45 



2a b 2 2 2 2

5 a b









 

2

5 a b

3a  8ab  3b  0  1

* Thay b  0 vào  1  a  0 (loại)

* b  0: chia cả hai vế  1 cho b 2, đặt a

b

t  ta được 3t 2    8t 3 0

3

t 3 t







 



+) t  3  a

b   3 a  3b Cho b  1  a  3  Phương trình  có dạng

: 3x y c 0    

d I,   

Do đó:  là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi

 

d I,   R  c 6

10 1





 c   6 10

 c 6 10

  



  



   



  



 : x 3y 6 10 0

: x 3y 6 10 0



3

t    a 1

b    3 b   3a Cho a  1  b   3  Phương trình  có dạng

: x 3y c 0    

d I,   

Do đó:  là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi

 

d I,   R  c 8

10 1





 c 8   10

 c 8 10

  



  



 c 8 10

  



 



 : x 3y 8 10 0

: x 3y 8 10 0



Vậy  : 3x    y 6 10  0, hoặc  : 3x    y 6 10  0,

hoặc  : x  3y   8 10  0, hoặc x  3y   8 10  0

Ví d ụ 3 Cho A 0; 3   và đường tròn  C : x 2  y 2  6x 6y    Lập PTĐT qua 7 0 A, cắt

 C theo một dây cung có độ dài bằng 10

Giải

Ta có     2 2

C : x  3  y  3  25   C có tâm I 3;3, bán kính R  5

Δ

E M

A

 là đường thẳng qua A

 phương trình  có dạng:

: ax b y 3 0

   

hay : ax by 3b 0     ( a 2  b 2  0)

Giả sử  cắt  C tại M, N Lấy I là trung điểm của MN  IE   (bán kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)

d I,   IE  IM  ME  25      

Lại có   3a 3b 3b 3 a 2b

Từ  1 ,  2 suy ra 3 a 2b 3 10

2

2 2

a b



   a 2 4ab 4b 2 5

a b

   3a 2  8ab  3b 2  0  3

* Thay b  0 vào  3  a  0 (loại)

* b  0: chia cả hai vế  3 cho b 2, đặt a

b

t  ta được 3t 2  8t   3 0

 t 1 3

t 3

 



  



3

t   a 1

b   3 b  3a Cho a  1  b  3  : x 3y 9 0    

+) t   3  a

b    3 a   3b Cho b   1  a  3  : 3x y 3 0    

Vậy : x 3y 9 0     hoặc : 3x y 3 0    

Ví d ụ 4 [ĐHA09NC] Cho  C : x 2  y 2  4x 4y    6 0 và đường thẳng

: x my 2m 3 0

     , với m là tham số thực Gọi I là tâm của đường tròn  C TÌm m để

 cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Ví d ụ 5 [ĐHD11NC] Cho A 1;0  và đường tròn  C : x 2  y 2  2x 4y    Viết PTĐT 5 0 

cắt  C tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A

Giải

Ta có     2 2

C : x 1   y  2  10   C có tâm I 1; 2  , bán kính R  10

(C)

Δ

A

I









cuøng baèng

 IA là đường trung trực của MN

   IA 0;2  

 phương trình  có dạng y  m Trước hết ta tìm điều kiện để  cắt  C tại hai điểm phân biệt  1 Xét hệ

 







Thay  3 vào  2 ta có x 2  m 2  2x  4m   5 0

 x 2  2x  m 2  4m   5 0  4 (   ' m 2  4m  6)

Do đó:  1   4 có hai nghiệm phân biệt    ' 0  2

m  4m   6 0  5

Gọi x 1, x 2 là các nghiệm của  4  1 2

2

1 2





M x ;m

N x ;m





1 2

AM 1 x ; m

AN 1 x ; m









AM.AN  1 x  1 x    m  m  x x  x  x   1 m

 

 7

Thay  6 vào  7 ta có AM.AN   m 2  4m 5    2 m 2  2m 2  4m 6 

Do đó

 AMN vuông tại A

 AM.AN 0   

 2m 2  4m   6 0

 m 1

m 3





  

 (thỏa mãn  5 )

 : y 1

: y 3

 



  

 (thỏa mãn  5 )

Vậy : y 1   hoặc : y    3

Ví d ụ 6 [ĐH11A11Chuẩn] Cho đường thẳng  : x    và đường tròn y 2 0

 C : x 2  y 2  4x 2y   Gọi 0 I là tâm của  C , M là một điểm thuộc  Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến  C (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ của điểm M biết

tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

Giải

x

B

I

M

Ta có     2 2

C : x  2  y 1   5   C có tâm I 2;1 , bán

kính R  5 Đặt x  MA  MB Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn thì MAI    MBI  90  Do đó

S MAIB  2S MAI  MA.IA  x 5

Từ giả thiết suy ra: x 5 10  x 2 5  

MI  IA  MA  25  1

M    tọa độ M có dạng

M m; m   2

 IM m 2; m 3     

MI  m  2  m  3  2m  2m 13   2

Từ  1 và  2 suy ra: 2m 2  2m 13   25  m 2    m 6 0  m 2

m 3





  

M 2; 4

M 3;1





Vậy M 2; 4   hoặc M 3;1

Ví d ụ 7 [ĐHD07] Cho     2 2

C : x 1   y  2  và d : 3x 4y m 0 9    Tìm m để trên d

có duy nhất một điểm P sao cho từ P kẻ được đúng hai tiếp tuyến PA, PB tới  C (A, B là các tiếp điểm) sao cho  PAB đều

Giải

Ta thấy  C có tâm là I 1; 2  , bán kính R  3

(C')

(C)

d

60 o

30 o

B

A

I

P

Theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ

một điểm nằm ngoài đường tròn tới đường tròn thì PAB là tam giác cân tại P

Ta có  PAB đều  APB   60 

  API  30 

  AIP  60 

 IP  2AI  2R  6

  P thuộc đường tròn  C' có tâm I, bán kính R '  6 Như vậy P   d  C' Do đó

điểm P tồn tại duy nhất

 d tiếp xúc với  C'

 d I,d  R '

 3 8 m

 



 11 m   30

 11 m 30

11 m 30

 



   



 m 19

m 41





  

Vậy m  19 hoặc m   41

C Bài tập

Bài 1 Xét vị trí tương đối giữa điểm M và đường tròn (C)

1) M 1;2 ,  C : x 2  y 2  2x 4y    , 4 0

2) M 0; 1  ,  C : x 2  y 2  2x 4y    , 4 0

3) M 1;2 ,  C : x 2  y 2  2x 4y   20  0

Bài 2 Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng  và đường tròn (C)

1) : 3x 4y 5 0     ,  C : x 2  y 2  4x 6y 12    0

2) : 3x 4y 23 0     ,  C : x 2  y 2  4x 6y 12    0

3) : 3x 4y 20 0     ,   2 2

C : x  y  4x 6y 12    0 Bài 3 Cho (C) : x 2  y 2  2x 8y    Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết: 8 0

1) Tiếp tuyến đi quaA 4;0 

2) Tiếp tuyến đi qua A  4; 6

Bài 4 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và đi qua điểm  0;1 Tìm quỹ tích tâm đường tròn đó

D Đáp số

Bài 3 1) 3x 4y 12 0    2) 3x 4y 12 0    , x   4 0

Bài 4  P : x 2  2y 1   0

15

m 