Phương pháp Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, d[r]
Trang 1Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng A.Lý thuyết chung.
1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( ra thừa số ) là: Biến đổi đa thức đó thành một tích của những
đơn thức, đa thức
2 ) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1) Đặt nhân tử chung;
2) Dùng hằng đẳng thức;
3) Nhóm nhiều hạng tứ;
4) Tách, thêm, bớt;
5 )Phối hợp nhiều phương pháp
B Nội dung
Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
I Phương pháp đặt nhân tử chung
1 Phương pháp
Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử
Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc
2.Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) –3xy + x y – 5x y2 2 2
b) 2x(y – z) + 5y(z – y)
c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y2 2
Bài Làm
a) 3xy + x y – 5x y = xy(- 3 + xy – 5x)2 2 2
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y = 10x (x + y) – 10y (x + y) = 10(x + y)(x – y ) 2 2 2 2 2 2
= 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x – y)2
3 Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 12xy – 12xy + 3x2
b) 15x – 30 y + 20z
c) x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
7
5
d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1)
Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45 3
b) 2x (x – y) + 2x (y – x ) + 2x (z – x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)3 3 3
II) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
1 Phương pháp
Trang 2Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức
đơn giản
+
Những hằng đẳng thức :
(A + B) = A + 2AB + B2 2 2
(A - B) = A - 2AB + B2 2 2
A – B = (A + B)(A – B)
(A + B) = A + 3A B + 3AB + B3 3 2 2 3
(A - B) = A - 3A B + 3AB - B3 3 2 2 3
A + B = (A + B)(A – AB + B )3 3 2 2
A - B = (A - B)(A + AB + B )3 3 2 2
(A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA2 2 2 2
A – B = (A – B)(A + An n n 1 n 2B + … + ABn 2 + B )n 1
A – B = (A +B)(Ak k 2k 1 - A2k 2B + … - B2k 1)
A2K 1 + B2K 1 = (A + B)(A – Ak 2k 1B + A2k 2B - … +B )2 k
(A + B) = A + n A B - n n n 1 A B + … + A B + nAB + B
2 1
) 1 (n
2 1
) 1 (n
(A - B) = A - n A B +n n n 1 A B - … +(-1) B
2 1
) 1 (n
2.Ví dụ
Ví Dụ 1 Phân tích đa thức tành nhân tử
a) x + 6xy + 9y2 2 4
b) a – b 4 4
c) (x – 3) - (2 – 3x)2 2
d) x – 3x + 3x - 1 3 2
Bài Làm
a) x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y )2 2 4 2 2 2 2 2
b) a – b = (a ) – (b ) = (a + b ) (a – b ) = (a + b ) (a + b) (a – b)4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
c) (x – 3) - (2 – 3x) = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x) 2 2
d) x – 3x + 3x - 1 = (x – 1)3 2 3
Ví dụ 2 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a + b + c – 3abc3 3 3
b) (a + b + c) – a – b – c3 3 3 3
Bài Làm
a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c – 3abc 3 3 3 3 3
= ( a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c ] – 3abc( a + b +c)2 2
= (a + b + c)( a + b + c – ab – bc – ca)2 2 2
b) (a + b + c) – a – b – c3 3 3 3
= (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) – a – b –c 3 3 3 3 3
= 3(a + b)(ab + bc + ac + c ) = 3(a + b)(b + c) (c + a)2
3 Bài tập tự luyện
Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 3a) (x – 15) – 162
b) 25 – (3 – x) 2
c) (7x – 4) – ( 2x + 1)2 2
d) 9(x + 1) – 12
e) 9(x + 5) – (x – 7)2 2
f) 49(y- 4) – 9(y + 2)2 2
Bài 2 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 8x + 27y3 3
b) (x + 1) + (x – 2)3 3
c) 1 – y + 6xy – 12x y + 8x3 2 2 3
d) 2004 - 16 2
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
1 Phương pháp
Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm
AÙp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán
2 Ví dụ
Ví dụ 1 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x – 3xy + x – 3y2
b) 7x – 7xy – 4x + 4y2
c) x + 6x – y + 92 2
d) x + y – z – 9t – 2xy + 6zt2 2 2 2
Bài Làm
a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)2 2
b) 7x – 7xy – 4x + 4y = (7x – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)2 2
c)x + 6x – y + 9 = (x + 6x + 9) – y = (x + 3) - y = (x + 3 + y)(x + 3 – y)2 2 2 2 2 2
d)x + y – z – 9t – 2xy + 6zt = (x – 2xy + y ) – (z – 6zt + 9t )2 2 2 2 2 2 2 2
= (x – y) – (z – 3t) = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t2 2
Ví dụ 2 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz2 2 2 2 2 2
b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz2 2 2 2 2 2
Bài Làm
a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz 2 2 2 2 2 2
= (x z + y z + 2xyz) + x y + xy + xz2 2 2 2 2 + yz 2
= z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z )2 2 2
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z )]2
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz2 2 2 2 2 2
= (x y + x z + xyz) + ( xy + y z + xyz) + (x z + yz + xyz)2 2 2 2 2 2
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
Trang 4= (xy + yz + xz)( x + y + z)
3 Bài Tập
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x + 3x – 9x – 274 2
b) x + 3x – 9x – 94 3
c) x – 3x + 3x – 1 – 8y3 2 3
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2)
b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
c) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz
d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
1 Phương pháp
Vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử
2 Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x - 45x 3
b) 3x y – 6x3 2y – 3xy – 6axy3 2 – 3a2xy + 3xy
Bài làm a) 5x – 45x = 5x(x3 2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x2y – 6x2y – 3xy – 6axy3 2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3 Bài tập
Bài tập 1 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
b) 8x (x + z) – y (z + 2x) – z (2x - y)3 3 3
c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2
Bài tập 2 Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) – x – y - z3 3 3 3
Hướng dẫn (x + y + z ) – x – y - z3 3 3 3
=[(x + y + z) – x ] – (y + z ) 3 3 3 3
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2)
= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2]
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
Trang 5= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
1 Phương pháp
Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung
2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + 8
Bài làm
Caựch 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Caựch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Caựch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Caựch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Caựch 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3 Bài tập
Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x2 + 7x +10
b) x2 – 6x + 5
c) 3x2 – 7x – 6
d) 10x2 – 29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x + 4x3 2 – 29x + 24
b) x + 6x3 2 + 11x + 6
c) x2 – 7xy + 10y
d) 4x2 – 3x – 1
VI/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Phương pháp
Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + 64 = x + 64 + 16x – 16x = (x + 8) – (4x) = (x4 4 2 2 2 2 2 2 + 4x + 8)(x – 4x + 8) 2
Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x + 4y 4 4
b) x + x + 15
Bài làm a) x + 4y = x + 4y + 4x y – 4x y = (x + 2y)4 4 4 4 2 2 2 2 2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x + x + 1 = (x + x + x ) – (x + x + x ) + (x + x + 1)5 5 4 3 4 3 2 2
= x (x + x + 1) – x (x + x + 1) + (x + x +1)3 2 2 2 2
= (x + x + 1)(x – x +1)2 3 2
Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x + x + 15 4
b) x + x + 18 7
c) x + x + 18
d) x + 48
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Trang 6a) x + 5x + 3x – 93 2
b) x + 9x + 11x – 213 2
c) x – 7x + 63
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x - 5x + 8x – 43 2
b) x – 3x + 23
c) x – 5x + 3x + 93 2
d) x + 8x + 17x + 103 2
e) x + 3x + 6x + 43 2
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x – 2x – 43
b) 2x – 12x + 7x – 23 2
c) x + x + 43 2
d) x + 3x + 3x + 23 2
e) x + 9x + 26x + 243 2
f) 2x – 3x + 3x + 13 2
g) 3x – 14x + 4x + 33 2
* Moọt soỏ phửụng phaựp khaực
VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ)
Phương pháp
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 6x – 11x + 34 2
b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –52 2
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bài Làm a) 6x – 11x + 34 2
- Đặt x2 = y
- Đa thức đã cho trở thành: 6y – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)2
- Trả lại biến cũ:
6x – 11x + 3 = (3x – 1) (2x – 3) = (4 2 2 2 x – 1)( x + 1)( x - )( x + )
b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –52 2
- Đặt x + 3x + 1 = y x – 3x – 3 = y – 42 2
- Đa thức đã cho trở thành
y(y – 4) – 5 = y – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5)2
- Trả lại biến cũ
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – 5 = (x + 3x + 1 + 1)(x + 3x + 1 – 5)2 2 2 2
= (x + 3x + 2)(x + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)2 2
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Trang 7- Đặt x + 8x + 7 = y x + 8x + 15 = y + 82 2
- Đa thức đã cho trở thành :
y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)2 2
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + 7 + 3)2 2
= (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)2 2 2
3 Bài tập
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x + x) – 2(x + x) – 152 2 2
b) (x + 3x + 1)(x + 3x + 2) – 62 2
c) (x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x2 2 2 2
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x2
d) 3x – 4x + 2x – 8x + 2x – 4x + 36 5 4 3 2
VIII/ Phương Pháp hệ số bất định
Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tương ứng của chúng phải bằng
nhau
a x + a x + + a x + a x + a = b x + b x + + b x + b x + bn n
1
n
1
n
n
1
n
1
n
a = b i = 1; ni i
2 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 Vớ duù 1: A = x + 11x + 303
Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1 Nên nếu A phân tích được thì A có dạng
A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac2 3 2
x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac3 3 2
Đồng nhất hệ số, ta có
30
11
0
ac
c
ab
b
a
Chọn a = 2 c = 15; b = -2
Vậy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x – 2x + 15)3 2
2.2 Ví dụ 2: B = x – 14x + 15x – 14x +14 3 2
Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích được thành nhân tử thì B có dạng:
B = (x + ax + b)(x + cx + d)2 2
B = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd4 3 2
Đồng nhất hệ số, ta có:
hoặc
14
15 14
1
a c
ac b d
ad bc
bd
1 13 1 1
d c b
1 1 1
a b c d
Trang 8Do vậy B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) hoặc B = (x – 13x + 1)(x – x + 1)2 2 2 2
Bài tập
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x + 4x + 5x + 23 2
b) 2x – 3x –7x + 6x + 84 3 2
c) 5x + 9x – 2x – 4x – 84 3 2
Bài 17: Tìm a, b, c
a) x – 2x + 2x – 2x + a = (x – 2x + 1)(x + bx + c)4 3 2 2 2
b) x + 3x – x – 3 = (x – 2)( x + bx + c) + a3 2 2
c) 4x + 7x + 7x – 6 = (ax + b)(x + x +1) + c3 2 2
IX/ Phương pháp xét giá trị riêng
Phương pháp: Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1: Vớ duù 1: P = (x + y + z) - x – y – z3 3 3 3
Bài Làm Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = -y thì P = 0 P (x + y)
Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên
P (x + z)
P (y + z)
P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số
Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3
Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
Ví dụ 2:
M = a(b + c)(b - c ) + b(c + a)(c - a ) + c(a + b)(a - b ) 2 2 2 2 2 2
Bài Làm Coi M là đa thức biến a
Khi a = b thì M = 0
M (a - b)
Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên :
M (b - c)
M (c - a)
M = (a - b)(b –c)(c – a)N
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a
Nhưng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:
N = (a + b + c)R (R là hằng số)
M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R
Chọn a = 0, b = 1, c = 2 R = 1
Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
Bài tập
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
X Phương pháp tìm nghiệm của đa thức
1 Phương pháp
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0
Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do
Trang 92 Ví dụ: x3 + 3x - 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra -
ac = - 4 suy ra a là ước của - 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tư không đổi
Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4 sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1)
Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1)
* Cách 1:
x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2
* Cách 2:
x3 + 3x2 – 4 = x 3– 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2
Chú ý:
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x – 1)
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1)
Ví dụ :
* Đa thức : x3 - 5x2 + 8x – 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x – 1)
*Đa thức : x3 – 5x2 + 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1 + 3
Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1)
+Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu tỷ
Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p trong đó p là ước của hạng tử không đổi,
q
q là ước dương của hạng tử cao nhất
Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – 3
Nghiệm hữu tỷ Nếu có của đa thức trên là :
(- 1); 1 ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- 3
Sau khi kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - ) hay (2x - 1) Do đó ta tìm cách tách 1
2
các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1)
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3
=x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)
=(2x – 1)(x2 – 2x + 3)
XI Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai
a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c
Nếu b2 – 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết
Nếu b2 – 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa
b) Ví dụ: 2x2 – 7x + 3 Với a =2 , b =- 7 , c = 3
Xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55
Suy ra Phân tích được thành nhân tử : 2x2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1)
Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 , x2 thì
P(x) =a( x- x1)(x - x2)
Phần 2: CAÙC BAỉI TOAÙN AÙP DUẽNG PHAÂN TÍCH ẹA THệÙC THAỉNH NHAÂN TệÛ.
I) Bài toán rút gọn biểu thức
1 Phương pháp
+Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung
+áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung
Trang 10 Học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển tư duy suy luận lôgic, sáng tạo
2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức
A =
3 4 2
1 5 7
3
2 3
2 3
x x
x
x x
x
B =
1
3 1
1 2
1
3
2
x
x x
x
x
x
Bài Làm a) A =
3 3 2
2
1 4
4 3 3
2 2 3
2 2 3
x x x x x
x x x x x
A =
) 1 ( 3 ) 1 ( ) 1 (
2
) 1 ( ) 1 ( 4 ) 1 (
3
2
2
x x
x x
x
x x
x x
x
A =
) 1 )(
3 2 )(
1 (
) 1 3 )(
1 )(
1 ( ) 3 2
)(
1
(
) 1 4 3 )(
1
(
2
2
x x x
x x
x x
x x
x x x
A =
3 2
1 3 ) 3 2 ( )
1
(
) 1 3 ( )
1
(
2
2
x
x x
x
x x
b) MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
B =
) 1 )(
1 (
) 3 ( ) 1 )(
1 2 ( ) 1 )(
3
(
x x
x x
x x
x
B =
) 1 )(
1 (
3 1
2 3
2
x x
x x x x
x
( 1)( 1)
x
3 Bài tập
Bài 19 Rút gọn biểu thức
A = 2( )2 2(2 3) 22( )
bc b ac ab
b a c a c b c
b
a
B =
9 33 19
3
45 12 7
2
2 3
2
3
x x
x
x x
x
) ( ) ( )
(
3
x z z y y
x
xyz z
y x
) ( ) ( )
(
3
x z z y y
x
xyz z
y x
Bài 20 Rút gọn biểu thức
A =
) (
1 )
(
1 )
(
1 )
(
1
x y y y x x y x y y
x
B =
) )(
(
1 )
)(
(
1 )
)(
(
1
b c a c c c b a b b c a
b
a
Bài 21 Cho x 2 - 4x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức A = 2
2
x
x
II) Bài toán giải phương trình bậc cao.
Phương pháp: áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về phương trình tích