Bài soạn phép đồng dạng

Đứng trước một bài toán hình học ta có thể đưa ra nhiều cách giải khác nhau trong đó ta có thể sử dụng phép biến hình.. Trong nhiều trường hợp giải bài toán hình học sử dụng phép biến hì

Trang 1

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, hình học là một vấn đề khó đối với học sinh Bởi hình học là môn học có tính chặt chẽ, tính logic và tính trìu tượng hóa cao Đứng trước một bài toán hình học ta có thể đưa ra nhiều cách giải khác nhau trong đó ta có thể sử dụng phép biến hình Trong nhiều trường hợp giải bài toán hình học sử dụng phép biến hình cho ta thấy bài toán đơn giản hơn, lời giải ngắn gọn hơn và cho ta cái nhìn tổng quát hơn về bài toán Vấn đề đặt ra là: Phép biến hình được ứng dụng như thế nào trong giải toán hình học phẳng ?

Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn Th.S Nguyễn Văn Vạn và

muốn trả lời cho một phần của câu hỏi trên, em đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

“ Phép biến hình đồng dạng và ứng dụng của nó trong giải toán hình học phẳng’’

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài này nhằm:

- Củng cố lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu

rõ hơn và có thể áp dụng tốt hơn phép biến hình này vào giải toán

- Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng vào giải một số lớp bài toán của hình học phẳng: bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phép đồng dạng

Trang 2

Phạm vi nghiên cứu: Phép đồng dạng và một số lớp bài toán của hình học phẳng: bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong mặt phẳng

- Nghiên cứu về ứng dụng của phép đồng dạng để giải một số lớp bài toán của hình học phẳng: bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình

5. Phương pháp nghiên cứu

Phân tích các tài liệu liên quan

Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần lời nói đầu, phần kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc luận văn gồm:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng giải một số lớp bài toán của hình học phẳng

Chương 1

Trang 3

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Định hướng mặt phẳng trong hình học sơ cấp

1.1.1 Mă ̣t phẳng đi ̣nh hướng

1.1.2 Góc định hướng giữa hai tia chung gốc

1.1.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng cắt nhau

1.1.4 Góc định hướng giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

• Định lý 1.1.1: Trong mă ̣t phẳng đi ̣nh hướng cho hai điểm phân

biê ̣t A B, Tâ ̣p hợp các điểm M trong mă ̣t phẳng thỏa mãn góc đi ̣nh hướng giữa hai đường thẳng (MA MB, ) = α α , ≠kπ là mô ̣t đường tròn

•Định lý 1.1.2: Trong mă ̣t phẳng đi ̣nh hướng cho bốn điểm phân

biê ̣t A B C D, , , Điều kiê ̣n cần và đủ để bốn điểm A B C D, , , cùng nằm trên

mô ̣t đường tròn là hai điểm bất kì trong chúng nhìn hai điểm còn la ̣i dưới những góc đi ̣nh hướng giữa hai đường thẳng bằng nhau

1.2 Đa ̣i cương về phép biến hình trong mă ̣t phẳng Mô ̣t số phép đẳng

cự đă ̣c biê ̣t

1.2.1 Phép biến hình

• Định nghĩa: Phép biến hình của mă ̣t phẳng là mô ̣t song ánh từ

mă ̣t phẳng vào chính nó

• Phép biến hình đảo ngược

• Phép biến hình tích

Trang 4

• Phép biến hình đối hợp

• Điểm bất động, hình kép, hình bất động

1.2.2 Phép biến hình afin

• Định nghĩa: Phép biến hình của mă ̣t phẳng biến đường thẳng thành

đường thẳng được go ̣i là phép biến hình afin (go ̣i tắt là phép afin)

• Tính chất

• Định lý về sự xác định phép afin

• Khái niệm hai tam giác cùng chiều, hai tam giác ngược chiều

• Phân loại

1.2.3 Phép đẳng cự

• Định nghĩa: Phép biến hình của mặt phẳng bảo tồn khoảng cách giữa

hai điểm bất kì được gọi là phép đẳng cự

• Tính chất:

• Phân loại

• Định nghĩa hai hình bằng nhau

• Định nghĩa hai hình đối xứng

1.2.4 Một số phép đẳng cự đặc biệt

1.2.4.1 Phép ti ̣nh tiến

1.2.4.2 Phép đối xứng tâm

1.2.4.3 Phép đối xứng trục

1.2.4.4 Phép quay

1.3 Phép đồng da ̣ng

1.3.1 Phép Vi ̣ tự

• Định nghĩa: Trong cho điểm O cố đi ̣nh và mô ̣t số k ≠ 0

Phép biến hình của cho tương ứng mô ̣t điểm M thành M’ sao

cho: OMuuuur' =kOMuuuur được go ̣i là phép vi ̣ tự tâm O, tỉ số k

Kí hiê ̣u: hoă ̣c

• Tính chất

• Phép vi ̣ tự trong hệ tọa độ Đề- các

1.3.2 Phép đồng da ̣ng

Trang 5

1.3.2.1 Định nghi ̃a: Phép biến hình của thỏa mãn: Với hai điểm bất kì

M, N có ảnh tương ứng M’, N’ ta luôn có: M N' ' =k MN. (k > 0 cho trước) được go ̣i là phép đồng da ̣ng tỷ số k

Kí hiê ̣u: Z k

1.3.2.2 Tính chất

1.3.2.3 Phân loại:

- Phép đồng da ̣ng xác đi ̣nh bởi hai tam giác cùng chiều được go ̣i là phép đồng da ̣ng thuâ ̣n

- Phép đồng da ̣ng xác đi ̣nh bởi hai tam giác ngược chiều được go ̣i là phép đồng da ̣ng nghi ̣ch

1.3.2.4 Nhận xét

1.3.2.5 Định nghi ̃a hai hình đồng dạng

1.3.2.6 Điểm bất động của phép đồng dạng – tâm đồng dạng

• Định lý 1.3.2.6.1: Mọi phép đồng dạng khác phép đẳng cự đều có duy

nhất mô ̣t điểm bất đô ̣ng, người ta go ̣i điểm bất đô ̣ng này là tâm của phép đồng da ̣ng (go ̣i tắt là tâm đồng da ̣ng)

• Cách xác đi ̣nh tâm đồng dạng của Z k,(k ≠ 1)

1.3.2.7 Da ̣ng chính tắc của phép đồng dạng

• Định lý 1.3.2.7.1:

Trong mă ̣t phẳng:

- Tích của mô ̣t phép vi ̣ tự tỉ số kvà mô ̣t phép dời hình là mô ̣t phép đồng da ̣ng thuâ ̣n

f dh oV =Z k (thuâ ̣n)

- Tích của mô ̣t phép vi ̣ tự tỉ số kvà mô ̣t phép phản chiếu là mô ̣t phép đồng da ̣ng nghi ̣ch

/

p c k

f oV = Z (nghi ̣ch)

Ngược la ̣i, trong mă ̣t phẳng mô ̣t phép đồng da ̣ng có thể phân tích bằng vô số cách thành tích của mô ̣t phép vi ̣ tự với mô ̣t phép dời hình hay phép phản chiếu theo thứ tự tùy ý, tùy thuô ̣c phép đồng da ̣ng là thuâ ̣n hay nghi ̣ch

• Định lý 1.3.2.7.2:

Trang 6

Trong mă ̣t phẳng:

- Mô ̣t phép đồng da ̣ng thuâ ̣n (kí hiê ̣u Z T ) không phải là đẳng cự hay

vi ̣ tự đều có thể phân tích thành tích giao hoán được của mô ̣t phép vi ̣ tự và phép quay (tâm vi ̣ tự và tâm quay trùng nhau) tức là:

( , , )

k k

T O O O O

Z =Q Vϕ o =V oQϕ =Z O k ϕ (hoă ̣c Z O( , , ϕ k) )

- Mô ̣t phép đồng da ̣ng nghi ̣ch (kí hiê ̣u Z N) có thể phân tích thành tích giao hoán được của mô ̣t phép vi ̣ tự và phép đối xứng tru ̣c (tâm vi ̣ tự nằm trên tru ̣c đối xứng) tức:

k k

N d O O d

Z =Ð Vo =V oÐ =Z O d( , , ) ϕ (hoặc Z O( , , ) ϕ d ) vớiO d∈

1.3.2.8 Nhóm các phép đồng dạng

1.3.2.9 Hình ho ̣c của nhóm các phép đồng dạng trong mặt phẳng

Chương 2

ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG

2.1 Ứng du ̣ng phép đồng da ̣ng giải bài toán chứng minh trong hình

ho ̣c phẳng

2.1.1. Bài toán chứng minh

2.1.2. Giải bài toán chứng minh nhờ phép đồng dạng

2.1.3. Ví du ̣ về bài toán chứng minh

Ví dụ 2.1.3.1 Cho hai tam giác ABC và A B C' ' ' có AB A B BC B C⊥ ' ', ⊥ ' ',

' '

CA⊥C A CMR: Hai tam giác đó đồng da ̣ng

Lời giải

Trang 7

C

B

A

C1

B1 A1

O

A' B'

C'

Go ̣i ( ) ( )O , O' lần lượt là đường tròn ngoa ̣i tiếp ∆ABC A B C, ∆ ' ' '.

Ta biết rằng: luôn tồn ta ̣i phép vi ̣ tự biến đường tròn này thành đường tròn kia Ta go ̣i V1 là phép vi ̣ tự biến ( )O' thành ( )O và

( )

1 1 1

Ta có: A B A B B C B C C A C A1 1 P ' ', 1 1 P ' ', 1 1 P ' ' kết hợp với giả thiết suy ra:

1 1 , 1 1 , 1 1

A B ⊥ AB B C ⊥ BC C A ⊥CA

Go ̣i 90o

O

Q Q= , khi đó: A B C1 , , 1 1 a A B C2 , , 2 2 ∈( )O suy ra:

2 2 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 1 1

A B ⊥ A B B C ⊥ B C C A ⊥C A

Nhâ ̣n thấy: VABC và VA B C2 2 2 cùng nô ̣i tiếp ( )O và có các ca ̣nh tương ứng song song nên chúng phải trùng nhau hoặc có các đỉnh tương ứng đối xứng nhau qua tâm O Khi đó hai tam giácABC và A B C2 2 2 bằng nhau

Go ̣i Z Q V= o 1 thì Z là phép đồng da ̣ng thuâ ̣n biến VA B C' ' ' thành

2 2 2

A B C

V trong đóVA B C2 2 2 = VABC

⇒ Hai tam giác ABC và ' ' 'A B C đồng da ̣ng với nhau

Ví du ̣ 2.1.3.2 Cho VABC có ba góc nho ̣n và các ca ̣nh của tam giác thỏa mãn điều kiê ̣n: AC<AB<BC Trên các ca ̣nh AB BC, ta lấy các điểm tương ứng K và M sao cho AK =CM =AC Go ̣i O và I lần lượt là tâm các đường tròn ngoa ̣i tiếp và nô ̣i tiếp VABC R' là bán kính đường tròn ngoa ̣i tiếp

MBK

Chứng minh rằng: R' =OI

Trang 8

Ví du ̣ 2.1.3.3 Từ các đỉnh của mô ̣t tứ giác lồi ha ̣ các đường vuông góc

xuống các đường chéo Chứng minh rằng: Tứ giác ta ̣o bởi chân các đường vuông góc đồng da ̣ng với tứ giác ban đầu

Ví du ̣ 2.1.3.4 (Đi ̣nh lý Mênêlauýt)

Cho ba điểm D E F, , theo thứ tự trên ba đường thẳng chứa ba ca ̣nh

, ,

BC CA AB của VABC Điều kiê ̣n cần và đủ để D E F, , thẳng hàng là:

(BCD CAE) (. ) (. ABF) = 1 (1)

Ví du ̣ 2.1.3.5 Chứng minh rằng: Điểm đối xứng của mô ̣t điểm M trên vòng tròn ngoa ̣i tiếp VABC qua các ca ̣nh của tam giác thẳng hàng Hơn nữa, đường thẳng đi qua các điểm trên chứa trực tâm của tam giác

2.1.4. Nhận xét chung

2.1.5. Bài tập luyện tập

Bài 2.1.5.1 Cho tứ giác lồi ABCD có diê ̣n tích S Go ̣i A B C D1 , , , 1 1 1 lần lượt là tro ̣ng tâm các tam giác BCD CDA DAB ABC, , , Tính diê ̣n tích tứ giác

1 1 1 1

A B C D

Bài 2.1.5.2 Cho tứ giác ABCD trong đó đường tròn đường kính AD tiếp xúc với BC ta ̣i M , đường tròn đường kính BC tiếp xúc AD ta ̣i N Chứng minh rằng: AB CDP .

Bài 2.1.5.3 Cho điểm A di đô ̣ng trên nửa đường tròn đường kính BC Giả sử AH ⊥BC=H ; O O, ' lần lượt là tâm đường tròn nô ̣i tiếp VABH ACH, V

Chứng minh rằng: Đường thẳng qua A và vuông góc OO' luôn đi qua

mô ̣t điểm cố đi ̣nh

Bài 2.1.5.4 (Bài toán Napoleon) Lấy các ca ̣nh của mô ̣t tam giác ABC

bất kì làm đáy, dựng ra phía ngoài tam giác ABC ba tam giác đều

Trang 9

', ', '

BCA CAB ABC Chứng minh rằng: Các tâm A B C0 , , 0 0 của ba tam giác đều vừa dựng là các đỉnh của mô ̣t tam giác đều

Bài 2.1.5.5 Trong mă ̣t phẳng cho hai tam giác đều ABC và A B C' ' cùng hướng có đỉnh C chung sao cho A B', ' không trùng với tâm O của đường tròn ( ABC) Go ̣i M và N lần lượt là trung điểm các đoa ̣n thẳng A B' và AB'

Chứng minh rằng:

a) VOB M' VOA N'

b) Hai góc · 'A OB' và ·MON có chung nhau đường phân giác.

2.2. Ứng dụng phép đồng dạng giải bài toán quỹ tích trong hình học phẳng

2.2.1.Quỹ tích và bài toán quỹ tích

2.2.2.Giải bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng:

2.2.3 Ví du ̣ về bài toán quỹ tích

Ví du ̣ 2.2.3.1 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm M

chuyển đô ̣ng trên nửa đường tròn đó Kéo dài AM về phía M và lấy điểm

N sao cho MN =MB Tìm tâ ̣p hợp điểm N

Lời giải

Xét nửa đường tròn đường kính AB như hình vẽ

Vì · 90o

AMB

=





=

 nên tam giác BMN vuông cân ta ̣i M .

2

o

MBN



⇒ 

=



Vâ ̣y phép đồng da ̣ng thuâ ̣n:

Z =Z B( , 45 , 2 : − o ) M a N

A'

N O'

O

M

Trang 10

Do M chuyển đô ̣ng trên nửa đường tròn đường kính AB nên tâ ̣p hợp những điểm N là nửa đường tròn đường kính A B' ảnh của nửa đường tròn đường kính AB (đã cho trong giả thiết) qua phép đồng da ̣ng Z trong đó

( )

'

A =Z A .

- Nếu ta vẫn xét bài toán trên nhưng thay điều kiê ̣n MN =MB bằng điều kiê ̣n MN kMB k= , ≠ 0 thì được mô ̣t lớp bài toán mới ứng với từng giá tri ̣

cu ̣ thể của k Lúc đó, góc ·MBN có số đo bằng ϕ sao cho tanϕ = k và

Để giải quyết bài toán này ta chỉ cần thay phép đồng da ̣ng nói trên bằng phép đồng da ̣ng Z' =Z B( , − ϕ , k2 + 1) (với cách chọn nửa đường tròn

đường kính AB như ví dụ trên )

Ví du ̣ 2.2.3.2 Tam giác ABC nô ̣i tiếp đường tròn ( )O cho trước có hai đỉnh A B, cố đi ̣nh

a) Tìm tâ ̣p hợp tro ̣ng tâm G của tam giác ABC

b) Từ đó suy ra quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

Lời giải

a) Ta có: G là tro ̣ng tâm của tam giác ABC

Go ̣i C0 là trung điểm của AB

O2

H Bo

O1 G

Ao

Co O

A

B C

Trang 11

0 0

1 3

⇒ uuuur= uuuur

Xét phép vi ̣ tự: 1 0

1 , 3

V = V C  ÷: C a G

Do C chuyển đô ̣ng trên đường tròn ( )O và C không trùng với A và B

nên tâ ̣p hợp các điểm G là đường tròn tâm O1 =V O1( ), bán kính 1

1 3

R = R (R

là bán kính của đường tròn ( )O )

b) Ta có kết quả: GHuuur= − 2GOuuur

Thâ ̣t vâ ̣y: go ̣i A B0 , 0 lần lượt trung điểm của BC AC,

Xét 2

1 , 2

V =V G − 

  biến VABC thành VA B C0 0 0 mà H là trực tâm ∆ABC, O là trực tâm ∆A B C0 0 0 nên V H2( ) =O

1

2

⇒ uuur= − uuur⇒ uuur= − uuur⇒uuur= uuur

Xét phép vi ̣ tự V3 =V O( ,3): Ga H

Do quỹ tích G là 1

1 , 3

  nên quỹ tích H là (O R2 , 2) , trong đó:

( )

2 3 1 2

1

3

O =V O R = × R tức R2 = R.

Từ O2 =V O3( )1 ⇒OOuuuur2 = 3OOuuuur1

C Ouuuur = C Ouuuur⇒OOuuuur= OCuuuur

2 2 0

⇒uuuur= uuuur

2

O

⇒ là điểm đối xứng với O qua C0 và qua cả AB(vì OC0 ⊥ AB C= 0) Từ đó ta kết luâ ̣n: Quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC là đường tròn (O R2 , ) đối xứng (O R, ) ngoa ̣i tiếp tam giác ABC qua ca ̣nh AB

Ví du ̣ 2.2.3.3 Cho mô ̣t đường tròn ( )O , mô ̣t đường thẳng d và mô ̣t điểm P cố đi ̣nh Với mỗi điểm M thuô ̣c đường tròn ( )O ta xác đi ̣nh điểm N

đối xứng với M qua d Go ̣i I là trung điểm của đoa ̣n thẳng PN

Trang 12

Tìm tâ ̣p hợp điểm I khi M thay đổi trên đường tròn.

Ví du ̣ 2.2.3.4 Trong mă ̣t phẳng cho tam giác ABC Mô ̣t đường tròn

( )O thay đổi luôn đi qua A, không tiếp xúc với các đường thẳng AB AC, và có tâm O chuyển đô ̣ng trên đường thẳng BC Đường tròn này cắt la ̣i các đường thẳng AB AC, lần lượt ở M và N Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMN

Ví du ̣ 2.2.3.5 Cho điểm O và vòng tròn ( )C thay đổi sao cho tiếp tuyến kẻ từ O tới ( )C là hai đường thẳng vuông góc với nhau

Tìm tâ ̣p hợp các tiếp điểm của các tiếp tuyến nói trên nếu tâm của ( )C

cha ̣y trên mô ̣t đường thẳng không đi qua O

2.2.4 Nhận xét chung

2.2.5 Bài tập luyện tập

Bài 2.2.5.1 Cho đường thẳng d và mô ̣t điểm A cố đi ̣nh không thuô ̣c d

Với mỗi điểm B d∈ ta dựng tam giác vuông cân ABC, ( µB= 90o) .

Tìm tâ ̣p hợp đỉnh C khi B thay đổi

Bài 2.2.5.2 Cho đường tròn ( )O và tam giác ABC nô ̣i tiếp trong đường tròn có ca ̣nh BC cố đi ̣nh, đỉnh A thay đổi Go ̣i G là tro ̣ng tâm tam giác

ABC, dựng hình bình hành GBCF

Tìm tâ ̣p hợp điểm F khi A biến thiên trên ( )O

Bài 2.2.5.3 Cho đường tròn (O R, ) và điểm A cố đi ̣nh thuô ̣c đường tròn Với mỗi điểm M nằm ngoài (O R, ) ta kẻ từ đó tới (O R, )tiếp tuyến MT

(T là tiếp điểm)

Tìm tâ ̣p hợp điểm M sao cho MT k MA k= , > 0 cho trước.

Bài 2.2.5.4 Cho hai đường tròn ( ) ( )O , O' cắt nhau ở A và B Mô ̣t cát tuyến thay đổi đi qua A và cắt ( )O ở M , cắt ( )O' ở N

Tìm tâ ̣p hợp trực tâm tam giác BMN

Trang 13

Bài 2.2.5.5 Trong mă ̣t phẳng cho hai đường tròn cố đi ̣nh (O R1 , 1) và

(O R2 , 2) (, R2 >R1) tiếp xúc trong với nhau ta ̣i điểm M Xét điểm A nằm trên

(O R2 , 2) sao cho ba điểm A O O, , 1 2 thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB AC, tới đường tròn (O R1 , 1) , (B C, là các tiếp điểm) Các đường thẳng MB MC, cắt

(O R2 , 2) ta ̣i giao điểm thứ hai tương ứng là E F, D là giao điểm của EF và tiếp tuyến ta ̣i A của (O R2 , 2)

Chứng minh rằng: Điểm D di đô ̣ng trên mô ̣t đường thẳng cố đi ̣nh khi

A di đô ̣ng trên đường tròn (O R2 , 2) sao cho ba điểm A O O, , 1 2 thẳng hàng

2.3 Ứng du ̣ng phép đồng da ̣ng giải bài toán dựng hình trong hình học phẳng

2.3.1 Bài toán dựng hình.

2.3.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép đồng dạng

2.3.3 Ví dụ về bài toán dựng hình

Ví dụ 2.3.3.1 Cho đường tròn ( )O và dây cung AB khác đường kính Hãy dựng một dây cung CD của đường tròn đó sao cho các bán kính OA OB,

cắt nó thành ba phần bằng nhau

Lời giải

1 Phân tích: Giả sử CD là dây đã dựng được

⇒CM =MN =ND

Xét ∆OCM và ∆ODN có:

Tiêu đề	Phép biến hình đồng dạng và ứng dụng của nó trong giải toán hình học phẳng
Tác giả	Trần Thị Luận
Người hướng dẫn	Th.S Nguyễn Văn Vạn
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Khóa luận tốt nghiệp đại học

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	1,35 MB