Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước: Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận c[r]
Trang 1I Tìm một chữ số tận cùng
Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số
tận cùng vẫn không thay đổi
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không
thay đổi
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận
cùng là 1
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận
cùng là 6
e) Tích của một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 với bất kì số tự nhiên lẻ nào cũng cho ta số
có chữ số tận cùng là 5.
Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận
cùng vẫn không thay đổi
Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng
là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có
chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay
đổi chữ số tận cùng
Bài 1: Tìm +,- / 01& cùng +3% các / a) 799 b) 141414 c) 4567
Giải: a) $<=+ ,>0? ta tìm / @< +3% phép chia 99 cho 4: 99E 1 = (9 E 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia
,>0 cho 4 99 = 4k + 1 (k N) 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có +,- / 01& cùng là 1 799 có +,- / 01& cùng là 7
b) MQ 0,RS 1414 = 4k (k N) 141414 = 144k có +,- / 01& cùng là 6
c) Ta có 567E 1 4 5 67 = 4k + 1 (k N) 4567 = 44k + 1 = 44k.4 44k có +,- / 01& cùng là 6
nên 4567 có +,- / 01& cùng là 4
Bài 2: Tìm +,- / 01& cùng +3% các /
a) 71993 b) 21000 c) 31993 d) 4161 e) 2 4 g) 99 h) 1981945 i) 321930
Bài 3: ,Y&' minh $Z&' a) 8102E 2102 10 b) 175 + 244 E 1321 10 c) 4343E 1717 10
Bài 4: Tìm các ./ 0[ nhiên n \] n10 + 1 10
Bài 5: Có 0^& 0_C hay không / 0[ nhiên n \] n2 + n + 2 chia ,>0 cho 5?
Bài 6: Tìm +,- / 01& cùng +3% C = 1.3.5.7… 99
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận
cùng của từng lũy thừa trong tổng
Bài 2: Tìm +,- / 01& cùng +3% 0b&' S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009
Giải: $<=+ ,>0 ta có &,1& xét: dC OeS 0,f% trong S \gh có / *e khi chia cho 4 thì @< 1 (các OeS
0,f% \gh có @_&' n4(n E 2) + 1, n {2, 3, …, 2004})
Theo tính +,R0 2, *dC OeS 0,f% trong S và các +m / 0<m&' Y&' \gh có +,- / 01& cùng 'C/&'
nhau, 8Z&' +,- / 01& cùng +3% 0b&'
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009
1S +,- / 01& cùng +3% 0b&' S là 9
Bài 3: Tìm +,- / 01& cùng +3% 0b&' T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011
Giải: $<=+ ,>0 ta có &,1& xét: dC OeS 0,f% trong T \gh có / *e khi chia cho 4 thì @< 3 (các OeS
0,f% \gh có @_&' n4(n E 2) + 3, n 0,hn+ {2, 3, …, 2004})
Theo tính +,R0 3 thì 23 có +,- / 01& cùng là 8 ; 37 có +,- / 01& cùng là 7 ; 411 có +,- / 01&
cùng là 4 ; … ,< l1S? 0b&' T có +,- / 01& cùng 8Z&' +,- / 01& cùng +3% 0b&' (8 + 7 + 4 + 5 + 6
+ 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 +
3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019 1S +,- / 01& cùng +3% 0b&' T là 9
Bài 4: ^& 0_C hay không / 0[ nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia ,>0 cho 19952000
Trang 2Giải: 19952000 01& cùng 8pC +,- / 5 nên chia ,>0 cho 5 Vì l1S? ta \q0 lR& \g là OCrh n2 + n + 1 có
chia ,>0 cho 5 không? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích +3% hai / 0[ nhiên liên 0C>A nên +,- / 01&
cùng +3% n2 + n +,s có 0,] là 0; 2; 6 n2 + n + 1 +,s có 0,] 01& cùng là 1; 3; 7 n2 + n + 1 không
chia ,>0 cho 5
1S không 0^& 0_C / 0[ nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia ,>0 cho 19952000
t @u&' tính +,R0 “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”,
ta có 0,] 'CvC \<w+ Bài sau:
Bài 5: ,Y&' minh $Z&' các 0b&' sau không 0,] là / chính A,<m&'
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996kGl=C k +,x&5
b) N = 20042004k + 2003
t @u&' tính +,R0 “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”
Bài 6: Cho p là ./ nguyên 0/ O=& ,m& 5 ,Y&' minh $Z&' p8n +3.p4nE 4 chia ,>0 cho 5
Bài 7: Tìm ./ @< +3% các phép chia:
a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho 5
b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 5
Bài 8: Tìm +,- / 01& cùng +3% X, Y:
X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010
Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016
Bài 9: ,Y&' minh $Z&' +,- / 01& cùng +3% hai 0b&' sau 'C/&' nhau:
U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013
V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015
Bài 10: ,Y&' minh $Z&' không 0^& 0_C các / 0[ nhiên x, y, z 0,{% mãn:
19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004
II Tìm hai chữ số tận cùng
Nhận xét: >h x N và x = 100k + y, trong \N k; y N thì hai +,- / 01& cùng +3% x +e&' chính
là hai +,- / 01& cùng +3% y
C]& nhiên là y } x ,< l1S? \] \m& 'Cv& lCr+ tìm hai +,- / 01& cùng +3% / 0[ nhiên x thì thay
vào \N ta \C tìm hai +,- / 01& cùng +3% / 0[ nhiên y G&,{ ,m&5L
Rõ ràng / y càng &,{ thì lCr+ tìm các +,- / 01& cùng +3% y càng \m& 'Cv& ,m&L
f &,1& xét trên, ta \g chR0 A,<m&' pháp tìm hai +,- / 01& cùng +3% / 0[ nhiên x = am&,< sau:
Trường hợp 1: >h a +,x& thì x = am 2 m dC n là / 0[ nhiên sao cho an E 1 25
C>0 m = pn + q (p ; q N), trong \N q là / &,{ &,R0 \] aq 4 ta có:
x = am = aq(apnE 1) + aq
Vì an E 1 25 a pnE 1 25 q0 khác, do (4, 25) = 1 nên a q(apnE 1) 100
1S hai +,- / 01& cùng +3% am +e&' chính là hai +,- / 01& cùng +3% aq C>A theo, ta tìm hai +,-
./ 01& cùng +3% aq
Trường hợp 2: >h a O , 'dC n là / 0[ nhiên sao cho an E 1 100
C>0 m = un + v (u ; v N, 0 } v < n) ta có: x = am = av(aunE 1) + av Vì anE 1 100 a unE 1 100
1S hai +,- / 01& cùng +3% am+e&' chính là hai +,- / 01& cùng +3% av C>A theo, ta tìm hai +,-
./ 01& cùng +3% av
Trong +v hai 0$<&' ,wA trên, chìa khóa \] 'CvC \<w+ Bài là chúng ta A,vC tìm \<w+ / 0[ nhiên n
>h n càng &,{ thì q và v càng &,{ nên @Q dàng tìm hai +,- / 01& cùng +3% aq và av
Bài 11: Tìm hai +,- / 01& cùng +3% các / a) a2003 b) 799
Giải: a) Do 22003 là / +,x&? theo 0$<&' ,wA 1, ta tìm / 0[ nhiên n &,{ &,R0 sao cho 2nE 1 25
Ta có 210 = 1024 210 + 1 = 1025 25 2 20E 1 = (210 + 1)(210E 1) 25 2 3(220 E 1) 100
q0 khác: 22003 = 23(22000E 1) + 23 = 23((220)100E 1) + 23 = 100k + 8 (k N)
1S hai +,- / 01& cùng +3% 22003 là 08
b) Do 799 là / O? theo 0$<&' ,wA 2, ta tìm / 0[ nhiên n bé &,R0 sao cho 7nE 1 100
Ta có 74 = 2401 => 74 E 1 100 q0 khác: 9 9E 1 4 => 9 9 = 4k + 1 (k N)
Bài 12: Tìm / @< +3% phép chia 3517 cho 25
Trang 3Giải: $<=+ ,>0 ta tìm hai +,- / 01& cùng +3% 3517 Do / này O nên theo 0$<&' ,wA 2, ta A,vC tìm
./ 0[ nhiên n &,{ &,R0 sao cho 3nE 1 100
Ta có 310 = 95 = 59049 310 + 1 50 3 20E 1 = (310 + 1) (310E 1) 100
q0 khác: 516E 1 4 5(5 16E 1) 20 5 17 = 5(516E 1) + 5 = 20k + 5 3517 = 320k + 5 = 35(320k
E 1) + 35 = 35(320kE 1) + 243, có hai +,- / 01& cùng là 43
1S / @< +3% phép chia 3517 cho 25 là 18
Trong 0$<&' ,wA / \| cho chia ,>0 cho 4 thì ta có 0,] tìm theo cách gián 0C>AL
$<=+ tiên, ta tìm / @< +3% phép chia / \N cho 25, 0f \N suy ra các K,v &&' +3% hai +,- / 01&
cùng h/C cùng, @[% vào 'Cv 0,C>0 chia ,>0 cho 4 \] +,d& giá 0$ \&'L
Các thí @u trên cho 0,RS $Z&'? &>h a = 2 ,Dq+ a = 3 thì n = 20 ; &>h a = 7 thì n = 4
n0 câu ,{C \q0 ra là: >h a 8R0 kì thì n &,{ &,R0 là bao nhiêu ? Ta có tính +,R0 sau \S
Tính chất 4: >h a N và (a, 5) = 1 thì a 20E 1 25
Bài 13: Tìm hai +,- / 01& cùng +3% các 0b&'
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003
Giải: a) MQ 0,RS? &>h a +,x& thì a2 chia ,>0 cho 4 ; &>h a O thì a100 E 1 chia ,>0 cho 4 ; &>h a chia ,>0
cho 5 thì a2 chia ,>0 cho 25
q0 khác, 0f tính +,R0 4 ta suy ra l=C *dC a N và (a, 5) = 1 ta có a 100 E 1 25
1S l=C *dC a N ta có a2(a100E 1) 100
Do \N S1 = 12002 + 22(22000E 1) + + 20042(20042000E 1) + 22 + 32 + + 20042
Vì 0,> hai +,- / 01& cùng +3% 0b&' S1+e&' chính là hai +,- / 01& cùng +3% 0b&' 12 + 22 + 32 +
+ 20042 áp @u&' công 0,Y+ 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
12 + 22 + + 20042 = 2005 4009 334 = 2684707030, 01& cùng là 30
1S hai +,- / 01& cùng +3% 0b&' S1 là 30
b) Hoàn toàn 0<m&' 0[ &,< câu a, S2 = 12003 + 23(22000E 1) + + 20043(20042000 E 1) + 23 + 33 +
20043 Vì 0,>? hai +,- / 01& cùng +3% 0b&' S2 +e&' chính là hai +,- / 01& cùng +3% 13 + 23 + 33 +
+ 20043 Áp @u&' công 0,Y+
2
2
13 + 23 + + 20043 = (2005 1002) 2 = 4036121180100, 01& cùng là 00
1S hai +,- / 01& cùng +3% 0b&' S2 là 00
Tính chất 5: / 0[ nhiên A không A,vC là / chính A,<m&' &>h
+ A có +,- / 01& cùng là 2, 3, 7, 8 ;
+ A có +,- / 01& cùng là 6 mà +,- / hàng +,u+ là +,- / +,x& ;
+ A có +,- / hàng \m& l khác 6 mà +,- / hàng +,u+ là O ;
+ A có +,- / hàng \m& l là 5 mà +,- / hàng +,u+ khác 2 ;
+ A có hai +,- / 01& cùng là OL
Bài 14: Cho n N và n E 1 không chia ,>0 cho 4 CMR: 7n + 2 không 0,] là / chính A,<m&'L
Giải: Do n E 1 không chia ,>0 cho 4 nên n = 4k + r (r {0, 2, 3}) Ta có 74 E 1 = 2400 100 Ta
lC>0 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k E 1) + 7r + 2 1S hai +,- / 01& cùng +3% 7n + 2 +e&' chính là hai
+,- / 01& cùng +3% 7r + 2 (r = 0, 2, 3) nên +,s có 0,] là 03, 51, 45 Theo tính +,R0 5 thì rõ ràng 7n +
2 không 0,] là / chính A,<m&' khi n không chia ,>0 cho 4
III Tìm ba chữ số tận cùng
Nhận xét: <m&' 0[ &,< 0$<&' ,wA tìm hai +,- / 01& cùng, lCr+ tìm ba +,- / 01& cùng +3% / 0[
nhiên x chính là lCr+ tìm / @< +3% phép chia x cho 1000
>h x = 1000k + y, trong \N k ; y N thì ba +,- / 01& cùng +3% x +e&' chính là ba +,- / 01&
cùng +3% y (y } x)
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta \g chR0 A,<m&' pháp tìm ba +,- / 01& cùng +3% / 0[
nhiên x = am &,< sau:
Trường hợp 1: >h a +,x& thì x = am chia ,>0 cho 2m dC n là / 0[ nhiên sao cho an E 1 chia ,>0
cho 125
Trang 4C>0 m = pn + q (p ; q N), trong \N q là / &,{ &,R0 \] aq chia ,>0 cho 8 ta có:
x = am = aq(apnE 1) + aq
Vì anE 1 chia ,>0 cho 125 => apnE 1 chia ,>0 cho 125 q0 khác, do (8, 125) = 1 nên aq(apnE 1)
chia ,>0 cho 1000
1S ba +,- / 01& cùng +3% am+e&' chính là ba +,- / 01& cùng +3% aq C>A theo, ta tìm ba +,-
./ 01& cùng +3% aq
Trường hợp 2: >h a O , 'dC n là / 0[ nhiên sao cho anE 1 chia ,>0 cho 1000
C>0 m = un + v (u ; v N, 0 } v < n) ta có: x = am = av(aunE 1) + av
Vì an E 1 chia ,>0 cho 1000 => aun E 1 chia ,>0 cho 1000
1S ba +,- / 01& cùng +3% am+e&' chính là ba +,- / 01& cùng +3% av C>A theo, ta tìm ba +,-
./ 01& cùng +3% av Tính +,R0 sau \<w+ suy ra 0f tính +,R0 4
Tính chất 6: >h a N và (a, 5) = 1 thì a100E 1 chia ,>0 cho 125
Chứng minh: Do a20E 1 25 nên a 20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng / @< là 1
a20 + a40 + a60 + a80 + 1 5 1S a100E 1 = (a20E 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) 125
Bài 15: Tìm ba +,- / 01& cùng +3% 123101
Giải: Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 123100 E 1 125 (1)
q0 khác: 123100 E 1 = (12325 E 1)(12325 + 1)(12350 + 1) 123100 E 1 8 (2)
Vì (8, 125) = 1, 0f (1) và (2) suy ra: 123100E 1 1000
123101 = 123(123100E 1) + 123 = 1000k + 123 (k N) 1S 123101 có ba +,- / 01& cùng là 123
Bài 12: Tìm ba +,- / 01& cùng +3% 3399 98
Giải: Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100E 1 chi ,>0 cho 125 (1)
<m&' 0[ bài 11, ta có 9100 E 1 chia ,>0 cho 8 (2)
Vì (8, 125) = 1, 0f (1) và (2) suy ra: 9100 E 1 chia ,>0 cho 1000 3399 98 = 9199 9 = 9100p + 99 =
999(9100p E 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q N)
1S ba +,- / 01& cùng +3% 3399 98+e&' chính là ba +,- / 01& cùng +3% 999 _C vì 9100E 1 chia
,>0 cho 1000 ba +,- / 01& cùng +3% 9100 là 001 mà 999 = 9100: 9 ba +,- / 01& cùng +3% 999 là
889 G@Q KC]* tra +,- / 01& cùng +3% 999 là 9, sau \N @[% vào phép nhân ???9 9 001\] xác
\&, ??9889) 1S ba +,- / 01& cùng +3% 3399 98 là 889
>h / \| cho chia ,>0 cho 8 thì ta +e&' có 0,] tìm ba +,- / 01& cùng *n0 cách gián 0C>A theo
các 8<=+ Tìm @< +3% phép chia / \N cho 125, 0f \N suy ra các K,v &&' +3% ba +,- / 01& cùng,
+h/C cùng KC]* tra \Cgh KCr& chia ,>0 cho 8 \] +,d& giá 0$ \&'L
Bài 16: Tìm ba +,- / 01& cùng +3% 2004200
Giải: do (2004, 5) = 1 (tính chất 6) 2004100 chia cho 125 @< 1 2004200 = (2004100)2 chia cho
125 @< 1 2004200 +,s có 0,] 01& cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200 8 nên
+,s có 0,] 01& cùng là 376
Bài tập vận dụng:
Bài 17: ,Y&' minh 1n + 2n + 3n + 4n chia ,>0 cho 5 khi và +,s khi n không chia ,>0 cho 4
Bài 18: ,Y&' minh 920002003, 720002003 có +,- / 01& cùng 'C/&' nhau
Bài 19: Tìm hai +,- / 01& cùng +3%
a) 3999 b) 111213
Bài 20: Tìm hai +,- / 01& cùng +3%
S = 23 + 223 + + 240023
Bài 21: Tìm ba +,- / 01& cùng +3%
S = 12004 + 22004 + + 20032004
Bài 22: Cho (a, 10) = 1 ,Y&' minh $Z&' ba +,- / 01& cùng +3% a101+e&' 8Z&' ba +,- / 01& cùng
+3% a
Bài 23: Cho A là *n0 / +,x& không chia ,>0 cho 10 Hãy tìm ba +,- / 01& cùng +3% A200
Bài 24: Tìm ba +,- / 01& cùng +3% /
199319941995 2000
Bài 25: Tìm sáu +,- / 01& cùng +3% 521
... 01& +3% C = 1.3.5.7… 99Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận
cùng lũy thừa tổng
Bài 2: Tìm +,- / 01& +3% 0b&'' S =...
III Tìm ba chữ số tận
Nhận xét: <m&'' 0[ &,< 0$<&'' ,wA tìm hai +,- / 01& cùng, lCr+ tìm ba +,- / 01& +3% / 0[
nhiên x lCr+ tìm / @<...
b) N = 20042004k + 2003
t @u&'' tính +,R0 “một số nguyên tố lớn tận chữ số ; ; ; 9”
Bài 6: Cho p ./ nguyên 0/ O=& ,m& ,Y&'' minh