CHUYEN DE TIM GIA TRI NHO NHAT, LON NHAT CUA MOT BIEU ...

CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨCA. Kiến thức Định nghĩa.[r]

CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

CỦA MỘT BIỂU THỨC

A Kiến thức

Định nghĩa

1 Cho biểu thức f(x,y…)

Ta nói M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y…),ký hiệu maxf = M, nếu hai điều kiện sau thỏa mãn :

- Với mọi x,y,…để f(x,y…) xác định thì f(x,y…)  M ( M là hằng số)

- Tồn tại x y0 ; ; 0 sao cho f x y( , ) 0 0 M

2 Cho biểu thức f(x,y…)

Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y…),ký hiệu minf = M, nếu hai điều kiện sau thỏa mãn :

- Với mọi x,y,…để f(x,y…) xác định thì f(x,y…)  m ( m là hằng số)

- Tồn tại x y0 ; ; 0 sao cho f x y( , ) 0 0 m

B.Bài tập

Dạng I.

I.1 Biểu thức dạng f(x) = a x. 2b x c  ( a,b,c là hằng số, a 0 )

PP : Ta biến đổi Dựa vào lũy thừa bậc chẵn

a, Tìm GTLN

Biến đổi hàm số y = f(x) =  

2 ( ) n



y M

  Do đó ymax M  g x( ) 0 

b Tìm GTNN

Biến đổi hàm số y = f(x) =  

2 ( ) k

m h x k Z



y m

  Do đó ymin m h x( ) 0 

c, Tam Thức bậc hai

2

4a

Nếu a> 0, GTNN của f(x) là

 2 4a 

4a

2a

b

và khơng cĩ GTLN Nếu a < 0, GTLN của f(x) là

 2 4a 

4a

2a

b

và khơng cĩ GTNN

Ví dụ 1a Tìm GTNN của tam thức f(x) =5x2 2x 1 

b.Tìm GTLN của tam thức f(x) =  3x2 x 2

Giải

a/ Ta cĩ: f(x) = 5x2 - 2x + 1 = 5

2 2

1 5

2

x x

Vì với mọi x, xR thì

2 1 0 5

x

  nên ta cĩ:

2

1 4 4

5 5 5

f x  x   

  với mọi x, xR

Vậy f(x) cĩ giá trị nhỏ nhất là

4

5 khi

2 1 5

x



  = 0 => x =

1 5

Kl: f(x) đạt GTNN là

4

5 khi x =

1 5

b/ f(x) = - 3x 2 + x – 2

2

2

2

1

3

3

x x

x x

x

Vì

2

1

6

x



  0 với mọi x, xR nên

2

3

x

     

 f(x) 

23 12

 với mọi x, xR Vậy f(x)

23 12



khi

2

         

f(x) cĩ giá trị nhỏ nhất là

23 12

 khi

1 6

x 

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a/ P x( ) 3  x2 x 7 b/ Q(x) = 5x2 - 3x – 3

Bài 2: Tìm GTLN của:

a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – 8

Bài 3: Tìm GTLN của

a/ P(x) = 3x25 3 x2 b/ Q(x) = x – x2

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a/ P x( ) 3  x2 x 7 b/ Q(x) = 5x2 - 3x – 3

Bài 2: Tìm GTLN của:

a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – 8

Bài 3: Tìm GTLN của

a/ P(x) = 3x25 3 x2 b/ Q(x) = x – x2

I.2 Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta cĩ thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Ví dụ 2 : Tìm GTNN của A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7)

Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)

Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36

minA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = 6

Ví dụ 3: Với giá trị nào của biến x thì biểu thức P(x)= (x – 1)(x + 2 )(x + 3)( x + 6)

cĩ GTNN? Tìm GTNN đĩ

Giải P(x) = (x – 1)(x + 2 )(x + 3)( x + 6)

= (x – 1)( x + 6) (x + 2)(x + 3)

=x2  5x 6 x2  5x 6

Ta có hai cách giải quyết

Cách 1:

Ta có P(x) x25x 6  x25x6 

    x2  5x2 36

Vì x2 + 5x 0, với mọi x, xR nên P(x)  -36

P(x) đạt GTNN là – 36 với x2 + 5x = 0  x = 0 hoặc x = - 5

Cách 2:

Xét biểu thưc đối của P(x) là – P(x) :

P(x) = -x2  5x 6 x2  5x 6

Nếu đặt X = x2 5x 6; Y =  x2 5x 6

Thì ta có X + Y = - 12 không đổi

Vậy tích X.Y lớn nhất khi X = Y

=> - P(x) lớn nhất khi: x2 5x 6 = x2 5x 6 2x2

+ 10 = 0  x = 0 hoặc x = - 5 Vậy P(x) đạt GTNN là 36 khi x = 0 hoặc x = - 5

II Biểu thức là một phân thức :

a/ Phân thức có tử là hằng số ,mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ 4 : Tìm GTNN của A = 2

6 x −5 − 9 x2

Giải : A = 2

6 x −5 − 9 x2 = −2

9 x2−6 x +5 =

3 x −1¿2+ 4

¿

−2

¿

Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó

3 x+1¿2+ 4

¿ 1

¿

1

4 theo tính chất a b thì

a

1

b với a, b cùng dấu) Do đó

3 x −1¿2+ 4

¿

−2

¿

− 24 ⇒ A - 12

minA = - 12 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 13

BT tự luyện:

1 Tìm GTLN của BT : 2

1 A



.

2 Tìm GTLN của BT : 2

1 A



b/ Phân thức có mẫu là bìmh phương của nhị thức

Ví dụ 5: Tìm GTNN của A = 3 x2− 8 x+6

Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

A = (2 x

2

− 4 x+2)+(x2− 4 x+4)

x − 2¿2

¿

x − 1¿2

¿

¿

¿ 2

minA = 2 khi và chi khi x = 2

Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :

A =

y +1¿2− 8( y +1)+6

¿

3 ¿

¿

= 3 - 2y + 1

y2 = ( 1y -1)2 + 2 minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2

Bài tập luyện tập:

1, Tìm GTNN và GTLN của bt:

2 2

1 P

1

x





 

2, Tìm GTNN của bt :

2 2

2 2006

x

 



3, Tìm GTNN và GTLN của bt:

2 2 C

5 7

x



 

4, Tìm GTNN của bt : a,

2 2

2 2 D

2 3



  b,

2 2

2 1 E

 



c/ Các phân thức dạng khác:

Ví dụ 6: Tìm GTNN và GTLN của A = 3 − 4 x

x2+1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :

A = x2−4 x+4 − x2−1

2

¿

¿

¿

- 1 -1 minA = -1 khi và chỉ khi x = 2

Tìm GTLN A = 4 x

2 +4 − 4 x2− 4 x −1

x2+ 1 = 4 - 2 x +1¿

2

¿

¿

¿

4

Ví dụ 7: a/ Tìm GTNN của P(x) =

2 2

2

 

 

b/ Tìm GTLN của Q(x) =

2 2

3 17 4

x x





Giải:

a/ Sử dụng phép chia hết,chiacó dư đưa P(x) về dạng: P(x)= 2 - 2

1 2

x  x

P(x) đạt GTNN khi 2

1 2

x  x đạt GTLN Xét biểu thức

x  x x  x      x  

Vì

2 1 2

x



  0 với mọi x, xR nên x2 x 2

3

4 với mọi x, xR

Suy ra 2

1

2

x  x đạt GTLN khi x =

1

2 và GTLN là

1 4

3 3 4



Vậy P(x) đạt GTNN là :

4 2 2

3 3

 

Kết quả:

P    

 

b/ Ta cĩ: Q(x) =

2 2

3 17 4

x x



 = 3 + 2

5 4

x  ; Q(x) lớn nhất khi 2

5 4

x  lớn nhất

2

5 4

x  lớn nhất khi x2 + 4 đạt GTNN

Vì x2 + 4 4, với mọi x, xR nên x2 + 4 đạt GTLN là 4 khi x = 0

Vậy với x = 0, Q(x) đạtGTLN là 3 +

4

4  4

Bài tập luyện tập:

1, Tìm GTLN của bt: a, A 2 2

x x



 b,  

2 3 2

B

2

x x





3, Tìm GTNN của bt: a,

2 4 4

x

 



Với x > 0; b,

5 3

2

D x

x





Với x > 0

4, Tìm GTNN của bt: a,

2 3

2

E x

x

với x > 0; b,

3 2

1

F x 

x Với x > 0

6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:  

2 2 17

Q

x



 Với x > 0

7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:

R

3

x



 Với x > 0

8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:

3 2000

S x

x





Với x > 0

9, Với giá trị dương nào của x thì biểu thức sau đạt GTNN:

a/

2

( ) x

P x

x





b/

2 2

3 ( )

1 9

x

Q x

x





III TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN

Ví dụ 8: Tìm GTNN của x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1

Xử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A

A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2

Đến đây ta có nhiều cách giải

Cách 1: Xử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A

x + y = 1 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1 (1)

Mà (x – y) 0 ⇒ x2 - 2xy + y2 0 (2)

Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 ⇒ x2 + y2 1

2 minA = 1

2 khi và chỉ khi x = y = 1

2

Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x Thay y = x – 1 vào A

A = x

2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - 1

2 )2 + 1

2 1

2

minA = 12 khi và chỉ khi x = y = 1

2

Cách 3/ Sử dụnh điều kiện đã cho để dưa về một biến mới

Đặt x = 12 + a thì y = 12 - a Biểu thị x2 + y2 ta được :

x

2 + y 2 = ( 1

2 + a)2 + ( 1

2 - a)2 = 1

2 +2 a2 1

2

minA = 12 ⇔ a = 0 ⇔ x = y = 12

Ví dụ 9: Tìm Min A = a2ab b 2 3a 3b 2014

Cách 1 Ta có: A= a2 2a  1 b2 2b  1 ab a b    1 2011

= a  2a  1 b  2b  1 ab a b    1 2011 = a 1  2b 11a b  1  b 1 2011

= a 1   b 1  a 1 b 1  2011

b

 Min A = 2011 khi

1

1 2

1 0

b

a b b









  



Cách 2:



Min 2A = 4022 khi

a 1 0

2 0

a b

 







   



=> Min A = 2011

Bài tập luyện tập

Tìm GTNN của

a) A=a25b2 4ab 2b5 ( Gợi ý A = a - 2b 2b 12 4

) b) B = x2y2 xy 3x 3y2029 ( Gợi ý B = x-y 2y 32x 32 2011

) c) Cx24y29z2 4x12y 24z30 ( Gợi ý C = x+2 22y 323z 42 1

) d) D= 20x218y2 24xy 4x12y2016 ( Gợi ý D= 4x-3y 22x 123y 2 2011

)

IV Các chú ý khi tìm bài toán cực trị :

1- Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến

Ví dụ 9 : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y ,biểu thức trở thành (y

+ 1)2 + (y – 1)2

= 2y2 +2 2 ⇒ minA = 2 ⇒ y = 0 ⇒ x = 2

2- Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này

đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức kháư đạt cực trị

chẳng hạn :

-A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất

1

B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0

Ví dụ 10: Tìm GTLN của

4

2 2

1 ( 1)

x A x







Chú ý rằng A>0 nên A lớn nhất khi

1

A nhỏ nhất và ngược lại

1

1

1

min

1

A = 1 khi x = 0 Do đó maxA =1 khi x = 0

3/ Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường xử dụng các bất đẳng thức đã biết.

3.1 Bất đăng thức có tính chất sau

a ) a > b , c > d với a,b,c,d > 0 thì a.c > b.d

b) a > b và c >0 thì a.c > b.c

c) a > b và c<0 thì a.c < b.c

d) a > b và a,b,n >0 thì an > bn

e ) A  B A+B

3.2 Bất đẳng thức Cauchy

- Với a0,b0 thì 2

a b

ab



 hay a b 2 ab

- a>0 ; b>0 thì

a b

3.3 Bất đẳng thức Bu –nhi –a cốp-xki

Cho hai cặp số (a a1 ; 2 ; b b1 ; 2 ta có  2  2 2  2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Dấu ’’=’’ xảy ra khi

1 2

1 2

Ví dụ 11 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN của A = 2x + 3y

Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y và x2 + y2 là thành phần của bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = 2 và b = 3 ta có ( 2x + 3y )2 ( 22 + 32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2

13.13.4

⇒ 2x + 3y 26 Vậy max A = 26

⇔ {3x = 2y

2x +3y 0

Thay y =

3

2

x

vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4

Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 khơng thoả mãn 2x +3y 0 Vậy max A 26 ⇔ x =4 , y = 6

Ví d ụ 12 a/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x)= 2x – x2 với 0 < x < 2

b/ Tìm GTNN của Q(x)=

2 4

x x

 , x > 0

Giải:

a/ Ta có 2x – x2 = x(2 – x) với 0 < x < 2 =>x > 0; 2 – x > 0

Xét tổng x + (2 - x) = 2 = không đổi

Vậy tích x(2 - x) lớn nhất khi x = 2 – x => x = 1

GTLN của P(x) với 0 < x < 2 là: P(1) = 1 +1 = 2, ứng với giá trị x =1

b/ Ta có Q(x)=

;

x

x



 

x > 0 Xét tích x

4

x = 4 = không đổi Vậy tổng x +

4

x đạt giá trị nhỏ nhất khi x =

4

x => x2 = 4 => x = 2

Ví dụ 13 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN của A = 2x + 3y

Giải :Áp dụng BĐT Bu nhi a cơp xki ta cĩ ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52

⇒ ( 2x + 3y )2 13.13.4

⇒

2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 ⇔









Thay y =

3

2

x

vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4

Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 khơng thoả mãn 2x +3y 0 Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6

Ví dụ 14 : Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk

1 1 1

2

x y  Tìm GTNN của bt: A = x y Giải Do x > 0, y > 0 nên

0, 0 y

x  áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số

1 1 ,

x y

ta có:

.

  Hay

4 xy => xy 4 Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x 0, y 0 áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

Vậy: Min A = 4 khi :

4

1 1 1

2









 





Ví dụ 15 : Tìm GTNN của của biểu thức : A x2 x 1  x2 x 1

Giải Ta có:

2

2

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số x2 x 1, x 2 x 1 ta có :

x  x 1   x    x 1 2 x  x 1 x     x 1 2 x  x   1 2

 Max A = 2 khi

x 0







Ví dụ 16 Tìm giá trị nhỏ nhất của :

A

với x, y, z > 0.

Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:

3

Do đó

Cách 2 : Ta có :

2

yx  (do x, y > 0) nên để

chứng minh

3

y z x  ta chỉ cần chứng minh :

1

z x x  (1) (1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)

 xy + z2 – yz – xz ≥ 0  y(x – z) – z(x – z) ≥ 0  (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng Từ đó

tìm được giá trị nhỏ nhất của

y z x

VD 17: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x +

y + z = 1.

Giải

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có:

1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(x y)(y z)(z x)   (2)

Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9.3 A  A ≤

3

2 9

 

 

 

max A =

3

2

9

 

 

  khi và chỉ khi x = y = z =

1

3

VD 18 Tìm GTNN của

A

với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.

Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy :

Tương tự :

x  y  y  z  Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.

min A = 1 với x = y = z =

1

3.

VD 19 Tìm GTNN của 2 2

 với : x > 0, y > 0, x + y < 1 Giải Ta có:

2 4

2

x y











  



VD 20 : Cho

1 2

x 

, Tìm GTLN của A = 2x25x2 + 2 x+3 - 2x

Giải : Ta có : A = 2x25x2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1   x2 + 2 x+3 - 2x  Với

1 2

x 

ta có:

2x 1 0

2 0

x

 





 



áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x 1, x+2  Ta có:    

2x 1 x+2

2x 1 x+2 2

 

3x 3

2x 1 x+2 2



Dấu “ = ” xảy ra khi 2x 1 x+2    x=1

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4  Ta có:  

x 3 4

 

Hay :

x 7



Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4    x=1

Do đó:

x 7

A

2



2



- 2x = 5 Dấu “ = ” xảy ra khi x=1

VD 21: Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của:

1 4 9

S =

x yz

Giải Ta có: S =  

1 4 9

x + y + z

 

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương

4 ,

x y ta có :

Tương tự ta có :

y  z  y z  ;

 S  1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36

Dấu “=” sảy ra khi :

2 2

2 2

2 2

4

1

2

3

6

1

2 1

x y z

























   



Vậy Min S = 36 khi

VD 22: Tìm GTNN của hàm số : y x22x 1 x2 2x1

Cách 1: y x22x 1 x2 2x   1 x 1 x1

Nếu: x < -1 thì y  x 1 x1 x 1 x 1 2x2

Nếu: -1 x 1   thì y  x 1 x1   x 1 x 1 2

Nếu: x > 1 thì y  x 1 x1   x 1 x 1 2 x2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1  

Ta có : y   x 1 1 x    x 1 1 x 2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1  

Bài 23: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 Tìm GTLN của A = x 2 y

Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có :

A = x(4 -2x ) = 2 – x 22 2x 2 2  2 2

=> Max A = 2 khi

1

2

x x

y

x xy









Cách 2: Ta có : A =

1 2

2 x xy Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0 áp dụng bất đẳng thức Cosi

cho 2 số 2x, xy ta có:

2

2 2

x xy

có : 2 x y 2 =A

Vậy Max A =2 khi



BÀI TẬP TỰ LUYÊN

Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, y 4x2 4x 1 4x212x9 b,

2 4 4 2 6 9

Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, y 4x220x25 x2 8x16 b,

25 20 4 25 30 9

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1   x 2 x 1 

3/ Trong các hằng bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau

-Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau

Ví dụ 13: Tìm GTLN và GTNN của tích xy , biết x,y là các số nguyên dương thoả

mãn x + y = 2005

Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2

xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất

giả sử x > y ( không thể xãy ra x = y)

Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003

Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002

max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1

Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002

Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1

VI Một số sai lầm khi giải bài toán cực trị

( Tài liệu Nâng cao vàphát triển Toán 9 tập 1- Vũ Hữu Bình)

VII

Ví dụ thamkhảo + Bài tập luyện tập

1 Sách nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2 – Vũ Hữu Bình (Trang 56 – 73)

2 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9 –Bùi Văn Tuyên (Trang 23-29)