Ôn tập Cuối năm

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.. D..[r]

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II

A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN

1/ Chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn 0.

Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un | ≤ v n , n và lim v n = 0 thì limu n = 0

- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim 0

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho CSN (un) lùi vô hạn (với | q|<1 ), ta có :

5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.

Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b)

n n



ĐS: a) -3 b) + c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1

Bài 3 : Tính các giới hạn sau:

4

x

x x





 c) 3

2 1lim

3

x

x x

2

x

x x

1

x

x x

1lim

1

x

x x





 e)

2 2 1

9lim

1 2

x

x x





  h) 4

2 1 3lim

2

x

x x



 

 i) 1

2 1lim

5 2

x

x x

 

 

  k)

2 2

2

x

x x

Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng  - ):

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

( )

3 2

x

khi x x

ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2

c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1

Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0

a)

 

11

d)2x310x 7 0 có ít nhất 2 nghiệm.

e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)

f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

g) x33x21 0 có 3 nghiệm phân biệt

h) 1 m2 x13x2 x 3 0

luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m

i) m x 13x2 4x4 3 0

luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m

BÀI 1: GIỚI HẠN DÃY SỐCâu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu n 

, thì limu n . B Nếu limu n 

, thì limu n  .

C Nếu limu n 0, thì limu n 0

. D Nếu limu n a, thì limu n a

2

n

n n

là:A 4 B 5 C –4 D 4

1.

Câu 4. Kết quả đúng của lim n n

n

5.23

5

D – 2

25.

Câu 5. Kết quả đúng của lim 3 2

12

4 2

Câu 6. Giới hạn dãy số (u n ) với u n = 4 5

42.3

32.4

53

52

bằng:A + B 0 C –2 D –.

Câu 12. Giá trị đúng của lim n n1 n1  là:A –1. B 0. C 1. D +.

Câu 13. Cho dãy số (u n ) với u n = 1

22)1

n n

Chọn kết quả đúng của limu n là:

Câu 14. lim3 1

15





n n

bằng :A + B 1 C 0 D –.

Câu 15. lim 1

10

2 4



n

n bằng :A + B 10 C 0. D –.

Câu 16. lim5 200 3n 5 2n2 bằng :A 0 B 1 C + D –.

Câu 17. Tìm giá trị đúng của S =

8

14

12

11

.

1.

24

n n

41

A 1 B 0 C –1 D 2

1.

Câu 20. Tính giới hạn: lim 3 4

)12(

531

1

3.2

12.1

1

5.3

13.1

1

4.2

13.1

1

n

3. B 1 C 0 D 3

2.

BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐCâu 24. 3 2

3 2 1



x x

5

2 3 1



x x

2 0

lim   

x x

)13

4

lim x  x x

A – B 0 C 4 D +.

Câu 32. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

x x x x x

lim   

x x

2()

x x

x f

Chọn kết quả đúng của

) (

,3)

(

2

x

x x f

lim

2

x f

21

1)

x f

Chọn kết quả đúng của

)(

lim

1

x f

Giá trị đúng của

)(

lim

3

x f

x  là:

Câu 39. 3 2

14

2 3 2

1)

và f(2) = m 2 – 2 với x  2 Giá trị của m để f(x) liên tục tại x = 2 là:

Câu 42. Cho hàm số ( ) 2 4



 x x

f Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) liên tục tại x = 2.

(II) f(x) gián đoạn tại x = 2.

(III) f(x) liên tục trên đoạn  2;2.

A Chỉ (I) và (III) B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) và (III).

A Chỉ I đúng B Chỉ (I) và (II) C Chỉ (I) và (III) D Chỉ (II) và (III).

3)

(

2

x

x x f

3,

3,

II f(x) gián đoạn tại x = 3.

III f(x) liên tục trên R.

A Chỉ (I) và (II) B Chỉ (II) và (III) C Chỉ (I) và (III) D Cả (I),(II),(III) đều đúng.

Câu 44. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I f(x) = x 5 – 3x 2 +1 liên tục trên R.

1)

f

liên tục trên khoảng (–1;1).

III f(x) x 2 liên tục trên đoạn [2;+).

A Chỉ I đúng B Chỉ (I) và (II) C Chỉ (II) và (III) D Chỉ (I) và (III).

Câu 45. Cho hàm số 5 6

1)

x x

tan)

x x

f

0,

0,

;4



. D  ; .

)2()(

x a

x a x f

2,

,2,

Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là:

1x0 ,12

1 x,)

2

x x x x

x x f

2 '

2

' '

''2

cos 1 (cot ) '

'tan '

cos'(cot ) '

sin

u u

u u u

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:

-a) y x 3 b)y3x2 1 c) y x1 d)

11

y x

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 3) y = x.cotx 4) y=(1+cot x )2

1cos cos

(1+sin22 x)2

18)

xsin x y

1 tan x



 19)

sin x x y

Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = √ 3sin x−cos x+x

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

Bài 7: Cho hàm số f(x) 1 x Tính : f(3) (x 3)f '(3) 

Bài 8: a) Cho hàm số: y= x

2+2 x+2

2 Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2

b) Cho hàm số y =

x−3 x+4 Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’

c) Cho hàm số y 2x x  2 Chứng minh rằng:y y" 1 03  

Bài 9: Chứng minh rằng f x'( ) 0    x , biết:



 (C)a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1

Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2

Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y x 3 5x2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) 2

a) Tại M (0;2)

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =

1

7x – 4.

Bài 13: Cho đường cong (C):

2 2

x y x

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là  4

Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau:

x y



 4) y x x 2 15) y x 2sinx 6) y (1 x2) cosx 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x

ĐS: 1)  3

6''

''

1

x x y

y x

1

n n

n

n y

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Đạo hàm của hàm đa thức – hữu tỷ - căn thức và hàm hợp

Câu 1. Đạo hàm của hàm số y2x3 9x212x 4 là:

x y x

Câu 11. Đạo hàm của hàm số y 5x2 2x biểu thức có dạng 1 5 2 2 1

 bằng:

x y x

3 2 1

1

x x

1

x x

1

x x

9 2 11

x x

m   

3

;2

m  

.

Dạng 2: Đạo hàm các hàm số lượng giác

Câu 21: Hàm số ycos sinx 2 x có đạo hàm là biểu thức nào sau đây?

Câu 23: Đạo hàm của hàm số 2

cos2sin

x y

1 sin2sin

x x





2 3

1 cos2sin

x x





2 3

1 sin2sin

x x



2 3

1 cos2sin

x x

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả 2 đều đúng D Không có cách nào.

Câu 27: Đạo hàm của hàm số

x x



cotsin

x

x . C cotsinx x. D sincotx x .

Câu 29: Cho hàm số ysin cos 2x.cos sin 2 x

Đạo hàm y a.sin 2 cos cos 2x  x Giá trị của a là sốnguyên thuộc khoảng nào sau đây?

A m  2, M  2 B m 1, M 1. C m 2, M 2. D m  5, M  5.

Câu 33: Cho hàm số f x   cosxsinx cos 2x

Phương trình f x   tương đương với phương trình nào1sau đây?

trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?

Câu 36: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đạo hàm là sin x2 ?

A

3

sin3

x

y 

1sin 2

x

y x 

. D

1sin 2

2 4

x

.

Câu 37: Hàm số nào sau đây có đạo hàm luôn bằng 0?

A y 1 sin2x. B ysin2x cos2x.C ysin2xcos2x. D ycos 2x.

Câu 38: Hàm số nào sau đây có đạo hàm y x.sinx?

A yxcosx. B y x cosx sinx.C ysinx x cosx. D

2

1.sin2

x y x

y x

là :

Câu 45. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 x2  tại điểm 1 x  có hệ số góc bằng : 0 1

x y x





 có đồ thị là  C

Có bao nhiêu nhiêu cặp điểm thuộc  C

mà tiếp tuyến tại đósong song với nhau?

Câu 51. Trên đồ thị hàm số

11

y x



 có điểm M x y sao cho tiếp tuyến tại đó cùng vói các trục tọa độ tạo( ; )0 0

thành một tam giác có diện tích bằng 2 Khi đó x0 y0 bằng :

13

17



134



Câu 52. Cho hàm số   1 3 2

3

C y  x x 

Phương trình tiếp tuyến của  C

tại điểm có hoành độ là nghiệmcủa phương trình y  là0

A

73

yx

73

yx

73

y x

73

A y3x 3 B y  1 C y5x 7 D y3x 3

Câu 56. Cho hai hàm số   1

tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương

mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x2y 3 0





 có đồ thị  C

Viết phương trình tiếp tuyến với  C

biết tiếp tuyến này cắt,

Ox Oy lần lượt tại A, B sao cho OA4OB

14

y x

B HÌNH HỌC

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA  (ABC).

a) Chứng minh: BC  (SAB)

b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH  SC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA  (ABCD) Chứng minh rằng:

b) Gọi AH là đường cao của ADI Chứng minh: AH  (BCD)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a √ 3 , SA  (ABCD).

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO (ABCD)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC).

Gọi I là trung điểm BC

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.

Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC

1 CMR: BC(OAI)

2 CMR: (OAI)(OHK)

3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS:a / 3

5 Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK) ĐS:cos  6 / 3

6 Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC) ĐS: tan  2

7 Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI Tính khoảng cách giữa hai

đường ấy ĐS: a / 2

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA a 2 

1 CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2 CMR: mp (SAC)mp(SBD)

3 Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB) ĐS:  45 , 300   0

4 Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) ĐS: tan 2

5 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).

ĐS: a 6 / 3

6 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng ấy ĐS: a / 2

7 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI ĐS: SI a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a 3 / 2   

và Gọi H là hình chiếu của S trên AC

7 Tính góc giữa(SAD)và (ABCD) ĐS: tan  5

8 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng ấy ĐS: a 3 / 3

9 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI ĐS: 3 15a / 20

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và .

Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2.

5 Tính khoảng cách giữa SA và BD ĐS: 2a / 5

6 Tính khoảng cách từ A đến (SBD) ĐS: 2a / 7

7 Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D

Từ đó tính MS và NS ĐS: MS a , NS a 6 / 2

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là

trung điểm của AB và AD

6 Tính tang của góc giữa AC và (MNC’) ĐS: tan 2 2 / 3

7 Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD) ĐS: tan  2

8 Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’) ĐS: cos 7 / 51

9 Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’ ĐS: a 3 / 3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Câu 1 Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

B Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

C Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c

(hoặc b trùng với c ).

D Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c

Câu 2: Cho hình hộp ABCD A B C D Khi đó: tổng 3 góc 1 1 1 1 (             D A 1 1, C              C1) ( C B              1 , DD ) (1  DC1, A1B)

2

 

B tan 1 C tan  2 D tan  3

Câu 5. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD, là các tam giác đều Góc giữa AB và CD là

Câu 6. Cho hình hộp ABCD A B CD.    Giả sử tam giác AB C A DC ,   là các tam giác nhọn Góc giữa hai

A D

B AB C B DA C C BB C D DAC

Câu 7. Cho tứ diện ABCD Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , CA và BD Khi đó góc giữa AB và

CD là:

Câu 8. Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho SA a

và vuông góc với ABC Tính góc giữa SD và BC

Câu 13. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a ; SAABCD và SA a Tính góc 

giữa hai mặt phẳng ABCD





Câu 14. Cho hình chóp .S ABCD có cạnh đáy bằng a ; SAABCD và SA a Tính góc  giữa hai mặt

phẳng SBC và SDC?

A

23

Câu 15. Cho ba tia Ox , Oy , Oz trong không gian sao cho xOy 120, zOy 90, xOz 60 Trên ba tia ấy

lần lượt lấy các điểm A, B , C sao cho OA OB OC a   Gọi  ,  lần lượt là góc giữa mặt phẳng

ABC

với mặt phẳng OBC

và mặt phẳng OAC

Tính tantan ?

3 D 45

Câu 18. Cho tứ diện ABCD có

43

Câu 19. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , BC Tính

góc giữa hai đường thẳng MN và C D 

Câu 20. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AD

Câu 21. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC ,

C D   Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP

Câu 22. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC ,

C D   Tính góc giữa hai đường thẳng DN và A P

Câu 23. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SAABCD và SA a 6 Tính

cosin góc tạo bởi SC và mặt phẳng SAB

Câu 25. Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC cân đỉnhA ABC ,  , BC' tạo đáy góc  Gọi I là

trung điểm củaAA , biết ’ BIC 900 Tính tan2tan2

A

1

Câu 26. Cho hình chóp S ABC. có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B ChoBSC 450 ,

gọiASB  Tìm sin  để góc giữa hai mặt phẳng ASC

và BSC

bằng 600

A

15sin

5

 

B

2sin

2

 

3 2sin

9

 

1sin

5

 

Câu 27. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc Giả sử AB  , 1 AC  , 2 AD  Khi đó 3

Câu 29. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD

A

77

a

721

a

217

a

73

a

64

a

32

a

63

a

2 33

a

3 22

a

102

Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB  , 6 CD 3 Góc giữa AB và CD bằng 60o Điểm M nằm trên đoạn

BC sao cho BM 2MC Mặt phẳng  P qua M song song với AB và CD cắt AC , AD và BD lần

lượt tại N , P , Q Tính diện tích MNPQ?

song song với AB và CD lần lượt cắt BC , AC , AD , BD tại

M , N , P , Q Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là:

a

32

a

.

Câu 37. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD a  , CD2a,

cạnh SD vuông góc với ABCD

, SD a Tính d A SBC ;  

A

33

a

66

a

63

a

23

Câu 40. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Đường thẳng SAABCD, SA a  Gọi M

là trung điểm của CD Khoảng cách từ M đến SAB

nhận giá trị nào sau đây?